信号与系统第2章
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10
经典法基本步骤 1）求系统数学模型； 2）求齐次方程通解yc(t)； 3）求非齐次方程特解yd(t) ； 4）写出非齐次方程通解 y(t)= yc(t) + yd(t) ：
5）根据初始值求待定系数；
6）写出给定条件下非齐次方程解。
11
注意：经典法求解微分方程时， 初始值都是指t=0+时刻的值。
原始状态 y ( k ) (0_ ) 本质上是在t<0时激励所造成的储能
+ 自由响应的系数由系统的初始状态 y(0 ) 和输入信号共 同决定。 y(0+)=1, y’(0+)=1
起始状态 初始状态
y’(0_)=1 y’(0+)=1
30
求零输入响应时，由于没有输入信号，
系统的初始状态不会跳变
yx (0 ) yx (0 )
yc (t ) K1es t K2tes t Knt n1es t
系数由系统的初始状态和输入信号共同决定
6
常用激励信号对应的特解形式（p.65表2-1）
输入信号 K Kt Ke-at(特征根 sa) Ke-at(特征根 s=a) Ksin0t 或 Kcos0t Ke-atsin0t 或 Ke-atcos0t 特解 A A+Bt Ae-at Ate-at Asin0t+ Bcos0t Ae-atsin0t+ Be-atcos0t
1 y '(0 ) y '(0 ) 2
1 3 y '(0 ) y '(0 ) 2 2
y(0 ) y(0 ) 0
y(0 ) y(0 ) 2
26
2-3
零输入响应与零状态响应
• 一个连续系统的完全响应，可以根据引起响应的不
同原因，将它分解为零输入响应和零状态响应两部分。
y(t)在 t=0处有跳变
y(0 ) y(0 ) 3
y(0 ) 3 y(0 ) 3
25
例：
2 y ''(t ) 3 y '(t ) 4 y (t ) f '(t )
f (t ) u(t ), y(0 ) 2, y '(0 ) 1
2 y ''(t ) f '(t ) (t ) 1 y '(t ) u (t ) y’(t)在 t=0处有跳变 2 1 y (t ) r (t ) y(t)在 t=0处无跳变 2
特征根为 通解yc(t)
s 2 6s 8 0
s1 2，s2 4
yc (t ) K1e—2t K2e—3t
8
2) 求非齐次方程y’’(t)+6y’(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t)=Ce-t
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
+
_
31
在t=0- 时刻，由于输入信号未加入， 系统的全响应全部由原始状态产生。
y(t ) yx (t ) y f (t )
t 0
y(0 ) yx (0 ) y f (0 )
时刻，输入信号未加入：
在t=0-
y f (0 ) 0
y(0 ) yx (0 )
32
重要公式
yx (0 ) yx (0 )
_ +
y(0 ) yx (0 )
yx (0 ) yx (0 ) y(0 )
+
_
_
33
零输入响应yx(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
yx (t ) K1es1t K2es2t Knesnt
(2) 特征根是相等实根s1=s2==sn
初始条件y(0-)=1, y’(0-)=1, 输入信号f(t)=t2，求系统的完 全响应y(t)。
19
初始条件的确定
原始状态： 初始状态：
uc (0 ), iL (0 )
uc (0 ), iL (0 )
电容电压不跳变：
uc (0 ) uc (0 )
duc ic C dt
uc (t ) C
23
(t )
t
由原始状态确定初始状态的方法
—— 函数平衡法
微分方程两边的 例：
函数的最高次项应保持平衡
y '(t ) 2 y(t ) f (t )
f (t ) u(t ), y(0 ) 0
y '(t ) f (t ) u (t ) y (t ) r (t )
注意：原始状态和初始状态的区别！
17
原始状态、初始状态、初始条件的区别： 起始状态（原始状态） y’(0_) 初始状态 y’(0+)
初始条件：原始状态和初始状态的合称。 不论是原始状态还是初始状态，统称为“初始条 件”
18
初始条件改变后的问题？
例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y "(t ) 3 y '(t ) 2 y(t ) f (t ) 2 f (t )
(1)求齐次方程y‘’(t)+3y‘(t)+2y(t) = 0的通解yc(t) 特征方程为
特征根为 通解yc(t)
s 2 3s 2 0
s1 1 ，s2 2
yc (t ) K1et K2e2t
13
2) 求非齐次方程y’’(t)+3y’(t)+2y(t) = f’(t)+2 f(t)的特解yp(t)
t
ic ( )d
20
电感电流不跳变：
iL (0 ) iL (0 )
diL uL L dt
iL (t ) L uL ( )d
t
21
由原始状态确定初始状态的方法
—— 函数平衡法
复习：几种奇异之间信号的关系
d (t ) ' (t ) dt
dU (t ) (t ) dt
7
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y’(0)=2, 输入信号f(t)=et U(t)，求系统 的完全响应y(t)。 解
(1)求齐次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t) = 0的通解yh(t) 特征方程为
y(t)在 t=0处无跳变
y(0 ) y(0 ) 0
y(0 ) y(0 ) 0
24
例：
y '(t ) 2 y(t ) 3 f '(t )
f (t ) u(t ), y(0 ) 0
y '(t ) 3 f '(t ) 3 (t ) y (t ) 3u (t )
t 2 t 2 y (t ) e 2 e t 2t 2, t 0
自由响应
强迫响应
齐次解常称为系统的自由响应
特解的形式由激励信号决定，常称为强迫响应。
16
自由响应的系数由系统的初始状态和输入信号共同决定。
y(0+)=1, y’(0+)=1 起始状态（原始状态） y’(0_)=1 初始状态 y’(0+)=1
零状态响应
yf即 (t ) ——只与输入f(t)有关
初始状态= 0，响应由输入信号产生
定义：初始状态为0，只由激励产生的响应
28
微分方程 齐次方程 零输入响应方程
y '' (t ) 2 y ' (t ) 2 y(t ) 2 f ' (t ) 2 f (t ) y '' (t ) 2 y ' (t ) 2 y(t ) 0 yx ' ' (t ) 2 yx ' (t ) 2 yx (t ) 0
将初始值代入得：
y(0) K1 K2 2 1 y '(0) K1 2K2 2 1
解得 K1=1，K2= 2
y(t ) et 2e2t t 2 2t 2, t 0
齐次解常称为系统的自由响应
特解的形式由激励信号决定，常称为强迫响应
15
y(t ) yh (t ) y p (t )
零输入响应的解的形式： 与齐次方程的通解的形式相同，但是系数不同
_ y (0 零输入响应的系数由系统的起始状态 x ) 决定。
+ 自由响应的系数由系统的初始状态 y(0 ) 和输入信号f(t)共同 决定。
29
_ y (0 零输入响应的系数仅由系统的起始状态 x ) 决定。
yx(0_)=1, y’x(0_)=1
第二章 线性时不变系统时域分析
时域分析仪器——示波器
1
时域分析仪器——示波器
电压U （V） 时间t （s）
2
2-1 线性时不变连续系统的时域分析
t<0 , K在1,电路稳定，有
u c (0 ) U s
i (0 ) 0
可得
d 2uc R duc 1 uc 0 2 dt L dt LC
di iR L uc 0 dt duc 又 iC dt
duc d 2uc RC LC uc 0 2 dt dt R 1 P2 P 0 L LC
(特征方程)
3
t 0 , K在2，由KVL,有
(二阶常系数线性齐次微分方程)
u c (0 ) U s
duc (0 ) 0 dt
连续时间LTI系统的响应
• 经典时域分析方法 • 零输入响应与零状态响应解法 • 卷积法
4
一、 连续系统经典时域分析方法
微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次 wenku.baidu.com程的通解yc(t)和非齐次方程的特解yp(t)组成
y(t ) yc (t ) y p (t )
全解 齐次通解 非齐次特解 全响应 自由响应 强迫响应
9
3) 求方程的全解
y (t ) yc (t ) y p (t ) K1e
2t
K 2e
4t
1 t e 3
1 y (0) K1 K 2 1 3 1 y ' (0) 2 K1 4 K 2 2 3
解得 K1=5/2，K2 = 11/6
5 2t 11 4t 1 t y (t ) e e e , t 0 2 6 3
求t=0+时刻的初始值一般比较繁琐
用卷积积分求系统的零状态响应比较方便， 它绕过了求t=0+时刻的初始值的步骤。
12
例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y "(t ) 3 y '(t ) 2 y(t ) f (t ) 2 f (t )
初始条件y(0+)=1, y’(0+)=1, 输入信号f(t)=t2，求系统的 完全响应y(t)。 解
由输入f (t)=t2的形式，设方程的特解为
yp(t)=C2t2+C1t+C0
将特解带入原微分方程
即可求得常数C2=1, C1=-2,C0=2
yp(t)=t2-2t+2
14
3) 求方程的全解
y(t ) yc (t ) y p (t ) K1e2t K2e4t t 2 2t 2
yx (t ) K1es t K2tes t Knt n1es t
系数由系统的起始状态 yx (0- ) 确定
34
例、已知系统方程 y '' (t ) 2 y ' (t ) 2 y(t ) 2 f ' (t ) 2 f (t ) 的初始条件yx(0-)=1， y‘x(0-)=2，求其零输入响应。 解：将微分方程的特征方程为：
r (t ) U ( )d
t
U (t ) ( )d
t
dr (t ) U (t ) dt
(t ) ' ( )d
22
t
复习：几种奇异之间信号的关系
r (t )
r (t )
U (t )
t t
dr (t ) dt U (t ) dU (t ) dt (t )
• 也可以按照数学上对系统微分方程的求解过程，将 完全响应分解为齐次通解和非齐次特解两部分。
y(t ) yx (t ) y f (t )
完全响应 零输入响应 零状态响应
27
零输入响应 yx (t ) ——只与初始状态有关 输入 = 0，响应由起始状态产生
定义：没有外加激励信号作用， 完全由起始状态 y(0_ ) 所产生的响应。
通解yc(t)的形式由齐次方程的特征根确定 特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
•一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。
5
齐次解yc(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
yc (t ) K1es1t K2es2t Knesnt
(2) 特征根是相等实根s1=s2==sn
经典法基本步骤 1）求系统数学模型； 2）求齐次方程通解yc(t)； 3）求非齐次方程特解yd(t) ； 4）写出非齐次方程通解 y(t)= yc(t) + yd(t) ：
5）根据初始值求待定系数；
6）写出给定条件下非齐次方程解。
11
注意：经典法求解微分方程时， 初始值都是指t=0+时刻的值。
原始状态 y ( k ) (0_ ) 本质上是在t<0时激励所造成的储能
+ 自由响应的系数由系统的初始状态 y(0 ) 和输入信号共 同决定。 y(0+)=1, y’(0+)=1
起始状态 初始状态
y’(0_)=1 y’(0+)=1
30
求零输入响应时，由于没有输入信号，
系统的初始状态不会跳变
yx (0 ) yx (0 )
yc (t ) K1es t K2tes t Knt n1es t
系数由系统的初始状态和输入信号共同决定
6
常用激励信号对应的特解形式（p.65表2-1）
输入信号 K Kt Ke-at(特征根 sa) Ke-at(特征根 s=a) Ksin0t 或 Kcos0t Ke-atsin0t 或 Ke-atcos0t 特解 A A+Bt Ae-at Ate-at Asin0t+ Bcos0t Ae-atsin0t+ Be-atcos0t
1 y '(0 ) y '(0 ) 2
1 3 y '(0 ) y '(0 ) 2 2
y(0 ) y(0 ) 0
y(0 ) y(0 ) 2
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2-3
零输入响应与零状态响应
• 一个连续系统的完全响应，可以根据引起响应的不
同原因，将它分解为零输入响应和零状态响应两部分。
y(t)在 t=0处有跳变
y(0 ) y(0 ) 3
y(0 ) 3 y(0 ) 3
25
例：
2 y ''(t ) 3 y '(t ) 4 y (t ) f '(t )
f (t ) u(t ), y(0 ) 2, y '(0 ) 1
2 y ''(t ) f '(t ) (t ) 1 y '(t ) u (t ) y’(t)在 t=0处有跳变 2 1 y (t ) r (t ) y(t)在 t=0处无跳变 2
特征根为 通解yc(t)
s 2 6s 8 0
s1 2，s2 4
yc (t ) K1e—2t K2e—3t
8
2) 求非齐次方程y’’(t)+6y’(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t)=Ce-t
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
+
_
31
在t=0- 时刻，由于输入信号未加入， 系统的全响应全部由原始状态产生。
y(t ) yx (t ) y f (t )
t 0
y(0 ) yx (0 ) y f (0 )
时刻，输入信号未加入：
在t=0-
y f (0 ) 0
y(0 ) yx (0 )
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重要公式
yx (0 ) yx (0 )
_ +
y(0 ) yx (0 )
yx (0 ) yx (0 ) y(0 )
+
_
_
33
零输入响应yx(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
yx (t ) K1es1t K2es2t Knesnt
(2) 特征根是相等实根s1=s2==sn
初始条件y(0-)=1, y’(0-)=1, 输入信号f(t)=t2，求系统的完 全响应y(t)。
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初始条件的确定
原始状态： 初始状态：
uc (0 ), iL (0 )
uc (0 ), iL (0 )
电容电压不跳变：
uc (0 ) uc (0 )
duc ic C dt
uc (t ) C
23
(t )
t
由原始状态确定初始状态的方法
—— 函数平衡法
微分方程两边的 例：
函数的最高次项应保持平衡
y '(t ) 2 y(t ) f (t )
f (t ) u(t ), y(0 ) 0
y '(t ) f (t ) u (t ) y (t ) r (t )
注意：原始状态和初始状态的区别！
17
原始状态、初始状态、初始条件的区别： 起始状态（原始状态） y’(0_) 初始状态 y’(0+)
初始条件：原始状态和初始状态的合称。 不论是原始状态还是初始状态，统称为“初始条 件”
18
初始条件改变后的问题？
例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y "(t ) 3 y '(t ) 2 y(t ) f (t ) 2 f (t )
(1)求齐次方程y‘’(t)+3y‘(t)+2y(t) = 0的通解yc(t) 特征方程为
特征根为 通解yc(t)
s 2 3s 2 0
s1 1 ，s2 2
yc (t ) K1et K2e2t
13
2) 求非齐次方程y’’(t)+3y’(t)+2y(t) = f’(t)+2 f(t)的特解yp(t)
t
ic ( )d
20
电感电流不跳变：
iL (0 ) iL (0 )
diL uL L dt
iL (t ) L uL ( )d
t
21
由原始状态确定初始状态的方法
—— 函数平衡法
复习：几种奇异之间信号的关系
d (t ) ' (t ) dt
dU (t ) (t ) dt
7
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y’(0)=2, 输入信号f(t)=et U(t)，求系统 的完全响应y(t)。 解
(1)求齐次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t) = 0的通解yh(t) 特征方程为
y(t)在 t=0处无跳变
y(0 ) y(0 ) 0
y(0 ) y(0 ) 0
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例：
y '(t ) 2 y(t ) 3 f '(t )
f (t ) u(t ), y(0 ) 0
y '(t ) 3 f '(t ) 3 (t ) y (t ) 3u (t )
t 2 t 2 y (t ) e 2 e t 2t 2, t 0
自由响应
强迫响应
齐次解常称为系统的自由响应
特解的形式由激励信号决定，常称为强迫响应。
16
自由响应的系数由系统的初始状态和输入信号共同决定。
y(0+)=1, y’(0+)=1 起始状态（原始状态） y’(0_)=1 初始状态 y’(0+)=1
零状态响应
yf即 (t ) ——只与输入f(t)有关
初始状态= 0，响应由输入信号产生
定义：初始状态为0，只由激励产生的响应
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微分方程 齐次方程 零输入响应方程
y '' (t ) 2 y ' (t ) 2 y(t ) 2 f ' (t ) 2 f (t ) y '' (t ) 2 y ' (t ) 2 y(t ) 0 yx ' ' (t ) 2 yx ' (t ) 2 yx (t ) 0
将初始值代入得：
y(0) K1 K2 2 1 y '(0) K1 2K2 2 1
解得 K1=1，K2= 2
y(t ) et 2e2t t 2 2t 2, t 0
齐次解常称为系统的自由响应
特解的形式由激励信号决定，常称为强迫响应
15
y(t ) yh (t ) y p (t )
零输入响应的解的形式： 与齐次方程的通解的形式相同，但是系数不同
_ y (0 零输入响应的系数由系统的起始状态 x ) 决定。
+ 自由响应的系数由系统的初始状态 y(0 ) 和输入信号f(t)共同 决定。
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_ y (0 零输入响应的系数仅由系统的起始状态 x ) 决定。
yx(0_)=1, y’x(0_)=1
第二章 线性时不变系统时域分析
时域分析仪器——示波器
1
时域分析仪器——示波器
电压U （V） 时间t （s）
2
2-1 线性时不变连续系统的时域分析
t<0 , K在1,电路稳定，有
u c (0 ) U s
i (0 ) 0
可得
d 2uc R duc 1 uc 0 2 dt L dt LC
di iR L uc 0 dt duc 又 iC dt
duc d 2uc RC LC uc 0 2 dt dt R 1 P2 P 0 L LC
(特征方程)
3
t 0 , K在2，由KVL,有
(二阶常系数线性齐次微分方程)
u c (0 ) U s
duc (0 ) 0 dt
连续时间LTI系统的响应
• 经典时域分析方法 • 零输入响应与零状态响应解法 • 卷积法
4
一、 连续系统经典时域分析方法
微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次 wenku.baidu.com程的通解yc(t)和非齐次方程的特解yp(t)组成
y(t ) yc (t ) y p (t )
全解 齐次通解 非齐次特解 全响应 自由响应 强迫响应
9
3) 求方程的全解
y (t ) yc (t ) y p (t ) K1e
2t
K 2e
4t
1 t e 3
1 y (0) K1 K 2 1 3 1 y ' (0) 2 K1 4 K 2 2 3
解得 K1=5/2，K2 = 11/6
5 2t 11 4t 1 t y (t ) e e e , t 0 2 6 3
求t=0+时刻的初始值一般比较繁琐
用卷积积分求系统的零状态响应比较方便， 它绕过了求t=0+时刻的初始值的步骤。
12
例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y "(t ) 3 y '(t ) 2 y(t ) f (t ) 2 f (t )
初始条件y(0+)=1, y’(0+)=1, 输入信号f(t)=t2，求系统的 完全响应y(t)。 解
由输入f (t)=t2的形式，设方程的特解为
yp(t)=C2t2+C1t+C0
将特解带入原微分方程
即可求得常数C2=1, C1=-2,C0=2
yp(t)=t2-2t+2
14
3) 求方程的全解
y(t ) yc (t ) y p (t ) K1e2t K2e4t t 2 2t 2
yx (t ) K1es t K2tes t Knt n1es t
系数由系统的起始状态 yx (0- ) 确定
34
例、已知系统方程 y '' (t ) 2 y ' (t ) 2 y(t ) 2 f ' (t ) 2 f (t ) 的初始条件yx(0-)=1， y‘x(0-)=2，求其零输入响应。 解：将微分方程的特征方程为：
r (t ) U ( )d
t
U (t ) ( )d
t
dr (t ) U (t ) dt
(t ) ' ( )d
22
t
复习：几种奇异之间信号的关系
r (t )
r (t )
U (t )
t t
dr (t ) dt U (t ) dU (t ) dt (t )
• 也可以按照数学上对系统微分方程的求解过程，将 完全响应分解为齐次通解和非齐次特解两部分。
y(t ) yx (t ) y f (t )
完全响应 零输入响应 零状态响应
27
零输入响应 yx (t ) ——只与初始状态有关 输入 = 0，响应由起始状态产生
定义：没有外加激励信号作用， 完全由起始状态 y(0_ ) 所产生的响应。
通解yc(t)的形式由齐次方程的特征根确定 特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
•一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。
5
齐次解yc(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
yc (t ) K1es1t K2es2t Knesnt
(2) 特征根是相等实根s1=s2==sn