多面体和旋转体的体积
《旋转体的体积》课件
旋转体的性质
深入探讨了旋转体的几何性质，如旋 转体的表面积、质心和转动惯量等。
计算实例
通过具体的计算实例，演示了如何运 用旋转体的体积公式解决实际问题。
未来研究方向和展望
深入研究旋转体的性质
随着几何学的发展，旋转体的 性质将得到更深入的研究，如 探讨旋转体的对称性、稳定性 等。
扩展旋转体的应用领域
条件和范围。
计算中需要注意的事项
单位统一
在计算过程中，确保所有的长度单位都 是统一的，避免因单位不统一导致的误 差。
VS
精确度要求
根据问题的实际需求，合理选择计算方法 和工具，确保计算结果的精确度。
提高计算准确性的技巧和方法
01
02
03
多做练习
通过大量的练习，提高学 生的计算能力和对公式的 熟悉程度。
数学建模
在物理、化学和生物等学科中，旋转 体常被用来建立数学模型，以描述和 分析各种现象。
02
旋转体的体积计算公式
圆柱体的体积计算公式
总结词
圆柱体的体积计算公式是底面积乘以高。
详细描述
圆柱体的体积计算公式是底面积（πr^2）乘以高（h），即V=πr^2h，其中r是 底面圆的半径，h是高。
圆锥体的体积计算公式
随着科技的进步，旋转体在工 程、物理、生物等领域的应用 将更加广泛，如探讨旋转体在 流体动力学、机械工程和生物 学等领域的应用。
探索新的计算方法
随着数学和计算机技术的发展 ，将会有新的计算方法出现， 以更高效、精确地计算旋转体 的体积和其他几何量。
加强与其他学科的交叉研 究
旋转体作为几何学的重要分支 ，将与其他学科如物理学、化 学、生物学等产生更多的交叉 研究，以推动科学的发展。
旋转体的体积计算
旋转体的体积计算旋转体的体积计算是指通过旋转曲线或曲面所产生的立体体积的计算方法。
在实际问题中，旋转体的体积计算常常涉及到各种曲线和曲面，例如圆，抛物线，椭圆等。
在以下内容中，我将以旋转圆为例，介绍旋转体的体积计算方法。
首先，我们来看一个具体的例子：一个半径为r的圆绕其直径所在的轴旋转一周形成的旋转体。
我们的目标就是计算这个旋转体的体积。
首先，我们将这个旋转体通过平行于旋转轴的切割面分成无数个薄片，每个薄片的厚度为Δh。
由于切割面是平行于旋转轴的，所以每个薄片的形状是一个圆环，即一个小圆和一个大圆之间的部分。
我们可以用r1和r2表示每个薄片的内半径和外半径。
接下来，我们计算每个薄片的体积。
由于每个薄片是一个圆环，所以它的体积可以表示为圆环的面积乘以薄片的厚度Δh。
圆环的面积可以用下面的公式表示：A=π(R^2-r^2)其中，R为圆环的外半径，r为圆环的内半径。
所以每个薄片的体积可以表示为：V=π(R^2-r^2)Δh因为Δh很小，所以我们可以用Δh趋近于0的极限值来表示体积。
即：dV = π(R^2 - r^2)dh对整个旋转体来说，我们需要将所有的薄片的体积叠加起来，用积分来表示。
所以旋转体的体积可以表示为：V = ∫[a,b] π(R^2 - r^2)dh其中，[a,b]表示旋转体的高度范围。
在我们的例子中，旋转体的高度范围是0到2r，所以可以计算出旋转体的体积为：V = ∫[0,2r] π(R^2 - r^2)dh= ∫[0,2r] π(4r^2 - r^2)dh= ∫[0,2r] 3πr^2dh= 3πr^2 ∫[0,2r] dh=3πr^2[h]0->2r=3πr^2(2r-0)=6πr^3所以，半径为r的圆绕其直径所在的轴旋转一周形成的旋转体的体积为6πr^3。
多面体与旋转体的体积
9.4.6 多面体与旋转体的体积(一)【教学目标】1．理解祖暅原理，掌握柱体的体积公式．2．会用柱体的体积公式解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．3．通过教学，培养学生的数学应用意识．【教学重点】柱体的体积公式．【教学难点】用柱体的体积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物操作，让学生理解祖暅原理，在此基础上由长方体的体积公式推导一般棱柱、圆柱的体积公式，然后讲练结合，使学生熟练应用公式解决实际问题．【教学过程】一。
.导入；在生产实际中，经常遇到体积的计算问题，如兴修水利、修建道路需要计算土方，修建粮仓、水池需要计算建材数量和容积．因此有必要研究几何体的体积计算．(1) 一个圆柱形的器皿，底面半径为3 cm，高度为8 cm，那么怎样计算它的容积呢？(2) 一个长方体的游泳池，长是50 m，宽是21 m，深是2 m，那么这个游泳池能容纳多少立方水？二．讲授新课几何体占空间部分的大小叫做它的体积．(1) 一个圆柱形的器皿，底面半径为3 cm，高度为8 cm，那么怎样计算它的容积呢？(2) 一个长方体的游泳池，长是50 m，宽是21 m，深是2 m，那么这个游泳池能容纳多少立方水？几何体占空间部分的大小叫做它的体积．1. 长方体体积公式初中学过的计算长方体的体积公式为V长方体＝abc 或V长方体＝Sh．如图，体积公式V＝Sh是否对其他两个几何体也成立？2．进行数学实验，引入祖暅原理取一摞面积相等的课本堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状．体积可看成由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等．祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等．3．棱柱、圆柱的体积公式如果一个棱柱、一个圆柱与一个长方体的高相同(都为h)且底面面积相等(都为S)，那么当我们用一个与底面平行的平面去截它们时，可以证明截面的面积都等于各自底面的面积S，根据祖暅原理可知，棱柱、圆柱的体积与长方体的体积相等，即V柱体＝Sh．其中V柱体表示柱体的体积，S表示柱体底面的面积，h表示柱体的高．4．引例的解答(1)因为V圆柱＝Sh＝π×32×8＝72π (cm2)．所以圆柱形器皿的体积是72π cm2；(2)因为V棱柱＝Sh＝50×21×2＝2 100 (m3)，因此这个游泳池能容纳2100立方水．例1 有一个六角螺母毛坯，它的底面正六边形的边长是12 mm，高是10 mm，内孔直径是10 mm，求这个毛坯的体积．分析六角螺母毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差．解因为V正六棱柱＝34×122×6×10 ≈3 741 (mm3)，V圆柱＝π×52×10≈785(mm3) ，所以一个毛坯的体积为V＝3741－785＝2 956 (mm3) ≈2．96 (cm3)．三．练习(1) 要求学生用第二种解决方法做例1：先求出六角螺母毛坯的底面面积，再用公式V ＝Sh求出螺母毛坯的体积；(2) 已知长方体的铁块长、宽、高分别是2，4，8，将它溶化后铸成一个正方体形的铁块(不计损耗)，求铸成的铁块的棱长．四．小结祖暅原理、柱体的体积公式。
旋转体体积公式大全
旋转体体积公式大全大家好,小豆豆来为大家解答以上的问题。
旋转体体积公式大全，体积公式大全这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！1、不同形状的物体体积计算公式是不同的，下面是各种不同图形体积计算公式：正方体体积=a³ a为棱长。
2、2、长方体体积=长×宽×高。
3、3、圆柱体体积=πr²h 即底面积×高。
4、4、圆锥体体积=1/3πr²h 即1/3×底面积×高。
5、5、球体体积=4/3πr³。
6、扩展资料：体积的单位换算：1立方分米=1000立方厘米=1000000立方毫米=1升=1000毫升=0.061 立方英寸2、1立方厘米=1000立方毫米=1毫升=0.000061 立方英寸3、1 立方米=1000 立方分米=1000000立方厘米=立方毫米=0.353 立方英尺=1.3079 立方码4、1 立方英寸=0.016387 立方分米=16.387立方厘米=16387立方毫米5、1立方英尺=28.3立方分米=28300立方厘米=立方毫米6、1 立方码=27 立方英尺=0.7646 立方米=164.6立方分米=164600立方厘米=立方毫米7、1 立方尺 = 31.143蒲式耳(英) = 32.143 蒲式耳(美）8、1 加仑(美) =0. 立方米 =0. 加仑（英）长方体的体积 =长×宽×高正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 常规公式(s是底面积h 是高)圆柱公式(r代表底圆半径h代表圆柱体的高)棱柱公式(底面积x高)长方体公式(a、b、c分别表示长方体的长、宽、高)正方体公式用a表示正方体的棱长，则正方体的体积公式为锥体体积常规公式(s是底面积h是高)圆锥体公式圆锥体体积=(s是底面积h是高)不同图形体积计算公式：长方体：（长方体体积=长×宽×高）/2、正方体：（正方体体积=棱长×棱长×棱长）2、圆柱（正圆）：【圆柱（正圆）体积=圆周率×(底半径×底半径)×高】3、立体图形的体积都可归纳为：（底面积×高）4、圆锥（正圆）：【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高/3】5、角锥：【角锥体积=底面积×高/3】6、球体：【球体体积=4/3(圆周率×半径的三次方)】7、棱台：注：v：体积；s1：上表面积；s2：下表面积；h：高。
简单几何体的面积与体积
例2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=3.（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积.题型2：锥体的体积和表面积例3.在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ，求四棱锥P－ABCD的体积.例4. 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55.（1）证明：SC⊥BC；（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（3）求三棱锥的体积V S－AB C.例5．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？例6.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定题型3：棱台的体积、面积及其综合问题例7. 在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等， 侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（1）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）证明：EF ∥面ABCD ；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是 V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.题型4：球的体积、表面积例8．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.例9. 如图，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积.DBAOCEF例10. 如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，P 在球面上，如果 163P ABCD V -=，（1）求球O 的表面积；（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方 体棱长为6，求球的表面积和体积.题型5：球的经纬度、球面距离问题例11. 我国首都靠近北纬40纬线，（1）求北纬40纬线的长度等于多少km ？（地球半径大约为6370km ） （2）在半径为13cm 的球面上有,,A B C 三点，12AB BC AC cm ===，求球心到经过这三点的截面的距离. 随堂练习 （一）选择题1. 如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ） A ．S S S '+=02B ．S S S '=0C ．2S 0＝S ＋S ′D ．S 02＝2S ′S2. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A ．323B ．283C ．243D ．2033. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．23B ．32C ．6D ．64. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( ) A ．1：2 B ．1：3 C ．1：4 D ．1：55. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ､△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为( ) A ．23B ．33 C ．43D ．326. 已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是( )A．42+ B．22+C．32+D．6（二）填空题7. 如图，三棱柱111CBAABC-中，若FE,分别为ACAB,的中点，平面11CEB将三棱柱分成体积为21,VV的两部分，那么21VV：= .8.已知三棱柱111CBAABC-的体积为V，E是棱CC1上一点，三棱锥E—ABC的体积是V1，则三棱锥E—A1B1C1 的体积是________.9. 已知某个几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是3cm.（三）解答题10. 如图在ABC∆中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.11.表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，（1）求这个正四棱柱的表面积.（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积.12.在北纬45圈上有,A B两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为24Rπ，求,A B两点间的球面距离.家庭作业（一）选择题1. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．ππ221+B．ππ441+C．ππ21+D．ππ241+2.如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′(a′+b=h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为（）A. 1+ba且a+b>h B. 1+ba且a+b<hC. 1+ab且a+b>h D. 1+ab且a+b<h3. 设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是（）4. 在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．π29B．π27C．π25D．π235. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A．π3 B．π33C．π6 D．π9（二）填空题6. 如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR= .7.如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.8. 已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=________. （三）解答题9. 在右图所示的几何体中，平面PAC⊥平面ABC，PM∥BC，PA=PC，AC=1，BC=2PM=2，AB=5,若该几何体的侧视图的面积为3.4（1）求证：PA⊥BC；（2）画出该几何体的正视图，并求其面积S；（3）求出多面体A—BMPC的体积V.10. 如图，AA1是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A＝AB＝2. （1）求证：BC⊥平面A1AC；（2）求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．参考答案 例题讲解例1．解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy ())2(1由（2）的平方得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x2+y2+z2=16，即l2=16，所以l=4(cm).点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系. 例2．解析：（1）如图，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD ，作OM ⊥AB 交AB 于M ， 作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N.由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD.∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ，∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON. ∴点O 在∠BAD 的平分线上. （2）∵AM=AA 1cos3π=3×21=23，∴AO=4cosπAM =223. 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29， ∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=. 例3. 解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥ABCD ，得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角， ∠PBO=60°.在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1， 由PO ⊥BO ，于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P －ABCD 的体积V=31×23×3=2. 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积.在能力方面主要考查空间想象能力. 例4. 解：（1）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°，∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C.又AB ∩AC =A ，∴SA ⊥平面AB C.由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，由三垂线定理，得SC ⊥BC .（2）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC .∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角.在Rt △SCB 中，BC =5，SB =55，得SC =22BC SB -=10.在Rt △SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ， ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°. （3）解：在Rt △SAC 中，∵SA =755102222=-=-AC SC ， S △ABC =21·AC ·BC =21×5×5=225，∴V S －ABC =31·S △ACB ·SA =631257522531=⨯⨯. 点评：本题较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理. 例5. 解：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG.设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝42，EF =22， CO ＝344232×=. G O C O G C =+=+=+=222232218422(). 而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2. 由V V B E F G G E F B--=，得16EF GO h ··=13S E F B △·GC点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解.构造以点B 为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算. 例6. 解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ， 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系.例7.（1）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G .如图所示：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°， ∴AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P .∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H .由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形. ∴PG =21（b －d ），又B 1G =h ，∴tan B 1PG =d b h -2（b ＞d ），∴∠B 1PG =arctand b h -2，即所求二面角的大小为arctan db h-2. （2）证明：∵AB ，CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB ∥CD ，又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线，∴AB ∥面CDEF . ∵EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线，∴AB ∥EF .∵AB 是平面ABCD 内的一条直线，EF 在平面ABCD 外，∴EF ∥面ABC D. （3）证明：∵a ＞c ，b ＞d ，∴V －V 估=h d b c a d b c a ab cd h 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++ =12h ［2cd +2ab +2（a +c ）（b +d ）－3（a +c ）（b +d ）］=12h （a －c ）（b －d ）＞0. ∴V 估＜V .点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题.考查了考生继续学习的潜能. 例8. 解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则23232323O A '=⨯⨯=， 在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+，∴222231()34R R =+， ∴43R =，∴26449S R ππ==. 点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系.例9. 解析：如图，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面的距离为d.在三棱锥P —ABC 中，∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ， ∴AB=BC=CA=2a ，且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′. 由正弦定理，得︒60sin 2a =2r ，∴r=36a .又根据球的截面的性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ，∴P 、O 、O ′共线，球的半径R=22d r +.又PO ′=22r PA -=2232a a -=33a ， ∴OO ′=R －33a =d=22r R -，(R －33a )2=R 2 – (36a )2，解得R=23a ， ∴S 球=4πR 2=3πa 2.点评：本题也可用补形法求解.将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=23a . 例10. 解：（1）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO=R ，22ABCD S R =，163P ABCD V -=， 所以2116233R R ⋅⋅=，R=2， 球O 的表面积是16π.（2）作轴截面如图所示，6CC '=，2623AC =⋅=，设球半径为R ，则222R OC CC '=+22(6)(3)9=+=∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球. 点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素. 例11. 解：（1）如图，A 是北纬40上一点，AK 是它的半径，∴OK AK ⊥， 设C 是北纬40的纬线长，∵40AOB OAK ∠=∠=，∴22cos 2cos 40C AK OA OAK OA πππ=⋅=⋅⋅∠=⋅⋅42 3.1463700.7660 3.06610()km ≈⨯⨯⨯≈⨯所以北纬40纬线长约等于43.06610km ⨯．（2）解：设经过,,A B C 三点的截面为⊙O '，设球心为O ，连结OO '，则OO '⊥平面ABC ，∵32124323AO '=⨯⨯=，∴2211OO OA OA ''=-=， 所以，球心到截面距离为11cm ．随堂练习（一）选择题1. 解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A ；2. 解析：正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6·43·22＝63，S 下＝6·43·42＝243， V 台＝328)(31=+⋅+下下上上S S S S h ，答案B.3. 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ；答案D.4. 解析：设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a ，b ，c ，则棱锥的体积V1=13×12abc=16abc.长方体的体积V=abc ，剩下的几何体的体积为V2=abc-1566abc =abc ，所以V1：V2=1：5，故选D. 5. 解析：将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥.在梯形ABFE 中，易知BN=32， ∴S △BCN=12BC·HN=12×1×22.24=故该几何体体积为24×1+2×1212,3423=⨯⨯选A. 6. 解析：该几何体为直三棱柱，其表面积为2×12×1×1+2×12+2×1=3+2，选C.（二）填空题7. 解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh.∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S ， V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127Sh ，V 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5.点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系.最后用统一的量建立比值得到结论即可.8. 解析：如图，过E 作AC ､BC 的平行线EF ､EG ，分别与AA1､BB1交于F ､G ，连接FG.∵三棱锥E —ABC 的体积是V1，∴三棱柱EFG —CAB 的体积是3V1，∴三棱柱EFG —C1A1B1的体积是V-3V1，∵VE —A1B1C1=13VEFG —C1A1B1， ∴VE —A1B1C1=13 (V-3V1)=3V -V1， 答案：3V -V1 9.解析：该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体.其体积为23+12×π×2=(8+π) cm3，答案：8+π （三）解答题 10. 解：如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.底面半径等于CO=125AC BC AB =，所以所得旋转体的表面积 S=π·OC·(AC+BC)=π·125·(3+4)=845π； 其体积V=13·π·OC2·AO+13·π·OC2·BO=13·π·OC2·AB=485π. 评析：求一些组合体的表面积和体积时，首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成，再通过轴截面分析和解决问题.11. 解：（1）设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，2AC a =， 又∵24324R ππ=，∴9R =，∴2282AC AC CC ''=-=， ∴8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表（2）如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H .由题设a GE AE AG 3622=-= ∵ △AOF ∽△AEG∴ a R a a R 233663-=，得a R 126= ∵ △AO 1H ∽△AOF∴ R r R a r R a =---36236，得a r 246= ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球 点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等.12. 解：设北纬45圈的半径为r ，则24r R =，设O '为北纬45圈的圆心，α=∠B AO '， ∴24r R απ=，∴2224R R απ=， ∴2πα=，∴2AB r R ==，∴ABC ∆中，3AOB π∠=，所以，,A B 两点的球面距离等于3R π．点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离. 家庭作业（一）选择题1. 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr .∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2r 2，∴ππ221+=侧全S S .答案为A. 点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识. 2. 解析：设酒瓶下底面面积为S ，则酒的体积为Sa ，酒瓶的体积为Sa+Sb ，故体积之比为1+,b a 显然有a<a′，又a′+b=h ，故a+b<h.选B.3. 解析：由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时 间的变化是相同的，反映在图象上，选项B 符合题意.故选B.4. 解析：如图所示，该旋转体的体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —ADE 体积之差，又∵求得AB =1.∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADE B ADE C V V V ，答案D. 5. 解析：∵S ＝21ab sin θ，∴21a 2sin60°＝3，∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ， ∴r ＝1，S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π，答案A.（二）填空题6. 解析：水面高度升高r ，则圆柱体积增加πR 2·r .恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有34πr 3=πR 2r . 故 332=r R .答案为332. 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力.7. 解析：由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P —ABCD(如图)，其中PD ⊥平面ABCD ， 因此该四棱锥的体积V=13×6×6×6=72，而棱长为6的正方体的体积V=6×6×6=216，故需要216372=个这样 的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体. 答案：3评析：几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时，关键是弄清楚折叠与展开前后，位置关系和数量关系变化的情况，画出准确的图形解决问题.8. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是2,6故该凸多面体的体积为216+.点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.（三）解答题9.解：（1）证明：AC=1，BC=2，AB=5，∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC.（2）设几何体的正视图如图所示：∵PA=PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC.∴几何体侧视图的面积=12AC·PD=12×1×PD=34.∴PD=32.易知△PAC是边长为1的正三角形.∴正视图的面积是上､下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积.∴S=12333.224=⨯+（3）取PC的中点N，连接AN，由△PAC是边长为1的正三角形，可知AN⊥PC，由(1)知BC⊥平面PAC，∴AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM.∴AN是四棱锥A—PCBM的高，且AN=3.2由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC.由PM∥BC，可知四边形PCBM是上､下底边长分别为1和2，PC的长1为高的直角梯形.其面积S′=32，∴V=13S′·AN=3.410. 解：（1）证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC.∵AA 1⊥平面ABC ，BC平面ABC ，∴AA 1⊥BC . ∵AA 1∩AC ＝A ，AA 1平面AA 1C ，AC 平面AA 1C ，∴BC ⊥平面AA 1C .（2）设AC ＝x ，在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0＜x ＜2)，故VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13·12·AC ·BC ·AA 1＝13x 4－x 2(0＜x ＜2)， 即VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2)＝13－(x 2－2)2＋4. ∵0＜x ＜2，0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，三棱锥A 1－ABC 的体积最大，其最大值为23.。
旋转体体积公式绕y轴
旋转体体积公式绕y轴
旋转体体积公式是一种用来计算旋转体体积的数学公式。
它是由德国数学家Gottfried Leibniz在17th世纪发明的，他发现了一种可以用来计算旋转体体积的方法。
旋转体体积公式绕y轴旋转，是一种用来计算旋转体体积的数学公式。
它是由德国数学家Gottfried Leibniz在17th世纪发明的，他发现了一种可以用来计算旋转体体积的方法。
旋转体体积公式绕y轴旋转的原理是，将一个曲面沿着y轴旋转，当曲面旋转一周时，它将形成一个旋转体，这个旋转体的体积就是我们要计算的体积。
旋转体体积公式绕y轴旋转的公式是：V=2π∫a^b[f(x)^2+g(x)^2]dx，其中f(x)和g(x)是曲面的函数，a和b是曲面的边界。
旋转体体积公式绕y轴旋转的应用非常广泛，它可以用来计算各种形状的旋转体的体积，比如圆柱体、圆锥体、椎体等。
它也可以用来计算更复杂的几何体的体积，比如椭圆体、椭球体等。
总之，旋转体体积公式绕y轴旋转是一种非常有用的数学公式，它可以用来计算各种形状的旋转体的体积，为我们解决许多几何问题提供了有力的帮助。
春季高考数学各章主要公式汇总
春考数学各章主要知识点、公式汇总第一章 集合与数理逻辑用语概念：一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，就说这个整体就是由这些对象的全体组成的集合，其中每一个对象就是一个元素。
性质：元素的确定性、元素的互异性 分类：有限集合、无限集合空集：不含有任何元素的集合。
是所有集合的子集 集合的表示方法：列举法、性质描述法子集：若一个集合A 中的元素都是集合B 中的元素，就说A 是B 的子集，记做B A ⊆ 或B A ⊇ （包含 包含于） 1．如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 2．如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，3．A ⊆A ；φ⊆A ； A ∩A ＝A ∪A ＝A ； A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ； 4．A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；5．A ∩ U A ＝φ； A ∪ U A ＝U ； U ( U A)＝A ； U (A ∪B)＝ U A ∩ U B6.常用数集：自然数集N 、正整数集N *或N ＋、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、空集φ 7．充分条件与必要条件：对命题p 和q ，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
小是大的充分不必要条件，大是小的必要不充分条件。
当两者相等时，既是充分条件又是必要条件，即充要条件。
当p ⇔q 时，即p 即是q 的充分条件，p 又是q 的必要条件，称p 是q 的充要条件。
8. 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
三种形式：p 或q 、p 且q 、非p真假判断：p 或q ，都假才假，否则为真；p 且q ，都真才为真，否则为假；非p ，真假相反，非真即假 9.集合的基本运算：交集：有两集合的共有的元素组成的集合，例如{1,2,3}⋂{2,3,5}={2,3} 并集：有两集合的所以元素组成的集合{1,2,3}⋃{2,3,5}={1,2,3,5}全集：在讨论某一问题时，每一个集合都是给定集合U 的子集，就称集合U 就是这些集合的全集。
多面体与旋转体的体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大 上底缩小
公式有 它的统 一性
S S V 1 ( S S S S )h S 0 V 1 Sh V Sh 3 3
S为底面面积， h为柱体高
S，S 分别为上、下底 面面积，h 为台体高
S为底面面积， h为锥体高
球的体积?
1. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面
的面积为 3 ，求圆锥的体积.
3 （答案： p） 3
2.圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩
形，则该圆柱的底面积是( )
(A)242
(C)362 或 162
(B)362
(D)9 或 4
【解析】选D.由题意知圆柱的底面圆的周长为
6π或4π，故底面圆的半径为3或2，所以底面圆
不能把希望叫做白日做梦，也不能把 白日之梦叫做希望。
1: 2 2 :3 3 之比为_____________.
6. 圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若 放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面
半径相同)后，水恰好淹没最上面的球
(如图所示)，则球的半径是 ______cm. 【解析】设球的半径为r，则 4 3 2 r 6r= r 3+8 r 2 , 3 解得r=4. 答案:4
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的 即棱锥的体积：
1 ． 3
1 V Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积 乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高 的 1 ． 3
三、台体体积
P
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的， 因此可以利用两个锥体的体积差，
初中数学立体几何的旋转体积计算知识点总结
初中数学立体几何的旋转体积计算知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，而旋转体积计算是立体几何的一个重要内容。
通过对不同图形的旋转，我们可以求得旋转体的体积。
本文将总结初中数学中关于旋转体积计算的知识点。
1. 旋转体的概念旋转体是由一个平面图形沿着一条旋转线旋转一周形成的立体图形。
旋转线可以是图形的边，也可以是通过图形某个顶点的直线。
2. 旋转体的表示方法旋转体可以用公式进行表示。
当图形绕横轴旋转时，旋转体的体积公式为V=π∫[a,b] f(x)^2 dx。
当图形绕纵轴旋转时，旋转体的体积公式为V=π∫[a,b] x^2 dy。
3. 旋转体积的计算方法具体计算旋转体积时需要根据图形的形状和旋转轴的位置进行分析。
（1）圆的旋转体积计算当一个圆绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个圆柱体。
旋转体积的计算公式为V=πr^2h，其中r为圆的半径，h为圆柱的高度。
（2）正方形的旋转体积计算当一个正方形绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个圆柱体。
旋转体积的计算公式为V=πa^2h，其中a为正方形的边长，h为圆柱的高度。
（3）矩形的旋转体积计算当一个矩形绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个圆柱体。
旋转体积的计算公式为V=πab^2，其中a为矩形的长，b为矩形的宽。
（4）三角形的旋转体积计算当一个三角形绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个圆锥体。
旋转体积的计算公式为V=1/3 πr^2h，其中r为三角形与旋转轴的距离，h为三角形的高。
（5）梯形的旋转体积计算当一个梯形绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个圆锥体。
旋转体积的计算公式为V=1/3 πh(a^2+ab+b^2)，其中h为梯形的高，a和b分别为上底和下底的边长。
4. 部分旋转体的体积计算有时，我们需要计算旋转体中部分的体积。
（1）半球的体积计算半球是一个球体的一半，当半球绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个球冠。
半球的体积计算公式为V=2/3 πr^3。
（2）圆锥的体积计算当一个圆锥绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个锥体。
各种多面体体积面积计算公式大全
各种多面体体积面积计算公式大全1.三角柱三角柱是由一个底面为三角形、腰为三条连接底面上对边的直线段以及两个底面上对边的垂直直线段所围成的立体图形。
（1）体积公式：V=底面积*高V = (底边1长度 * 底边2长度 * sin(夹角)) * 高（2）表面积公式：A=底面积+三个侧面积A=底边1长度*底边2长度+侧边1长度*高+侧边2长度*高+侧边3长度*高2.四棱柱四棱柱是由一个底面为四边形、直线段连接底面正相邻顶点所围成的立体图形。
（1）体积公式：V=底面积*高V = (1/2 * 对角线1长度 * 对角线2长度 * sin(夹角)) * 高（2）表面积公式：A=底面积+四个侧面积A=底边1长度*底边2长度+侧边1长度*高+侧边2长度*高+侧边3长度*高+侧边4长度*高3.正方体正方体是由长宽高都相等的正方形所组成的立体图形。
（1）体积公式：V=边长³（2）表面积公式：A=6*边长²4.六棱柱六棱柱是由一个底面为正六边形、直线段连接底面相邻顶点所围成的立体图形。
（1）体积公式：V=底面积*高V=(3√3/2*边长²)*高（2）表面积公式：A=底面积+两倍的侧面积A=(3√3/2*边长²)+6*边长*高5.三角锥三角锥是由一个底面为三角形、一个顶点与底面三个顶点连线所围成的立体图形。
（1）体积公式：V=(底面积*高)/3V=(1/2*底边长度*高)/3（2）表面积公式：A=底面积+三个侧面积A=底边长度*高+2*(1/2*底边长度*斜边长度)6.四棱锥四棱锥是由一个底面为四边形、一个顶点与底面四个顶点连线所围成的立体图形。
（1）体积公式：V=(底面积*高)/3（2）表面积公式：A=底面积+四个侧面积A=底边长度*斜高+2*(1/2*底边长度*斜边长度)7.正八面体正八面体是由八个全等正三角形所组成的立体图形。
（1）体积公式：V=(2√2/3)*边长³（2）表面积公式：A=8*3√3*边长²。
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2.7 åÌ ý» ĵ Ÿ îÄ ëÓ «¹ íÀ 2.8 âÀ ùÖ ¬£ ²Ô ùÖ Äµ åÌ ý» 2.9 âÀ ¶×¬£ ²Ô ¶×ĵ åÌ ý»
2.7 体积的概念与公理
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
同读量长度，面积一样，要度量一个几何体的体积，首先要选取一
A’
C’ B’
A
C
S S 三角形BCB'
三角形C 'B 'C
V V V S VV V 13V V 13 Sh 三棱锥CABA'
三 角 形A B A'
高BC 三棱锥CB 'A'B
三棱锥C A B A'
高A' B' B 高A' B'
S三角形三B'A棱'B 锥CB 'A'B
V正方体 a3
(注:.a=b =c)
公理 6 夹在两个平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任
意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的
体积相等.
夹在平行平面α,β之间的
两个形状不同的几何体，被平
行于平面α , β的任意一个平面
所截，如果截面P和Q的面积
P
Q
相等，那么它们的体积一定相
例1 有一堆相同规格的六
O
角螺帽毛坯共重5.8kg。已知底
面六边形的边长是12mm,高是
PN
10mm,内孔直径是10mm.问约
有毛坯多少个(铁的比重是
7.8g/cm3)
解: 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱
的体积的差.
V正六棱柱
3 12 2 6 10 3.74 10（ 3 mm 3 ) 4
三棱锥C C 'D'B'
V正方体 6V三棱锥
蔡文耀
2004 12 1
的上底面都在和平面α平行的同一个平面内。
பைடு நூலகம்
用和平面α平行的
任意平面去截它们时，
所得的截面都和它们的
底面分别全等，故这些
截面的面积都等于S。
根据定理6，它们的体
积相等。
由于长方体的体积等于它的底面积和高的乘积，于是我们得到下
面的定理：
定理 柱体（棱体，圆体）的体积等于它的面积S和高h的积。
V柱体 sh
V圆柱 3.14
毛坯的体积
（10 2
）2 10
0.78510（ 3 mm3）
V 3.74 103 0.785103
2.96 103 (mm3 )
2.96(cm3 )
5.8103 (7.8 2.96) 2.5102 (个)
答：这堆毛坯约有250个。
2.9 棱锥,圆锥的体积
1 V锥体 Sh
3
1.用棱长为1的正方体的体积作为体积单位右图 长方 体的体积的数值为36。假如将体积单位改用棱 长 为2的正方体的体积，这个长方体的体积变为多 少 ？为什么？
解：原来以1为一个单位，现 在以2为一个单位。
长方体有2 3 6 个体积单位 222
故，这个长方体的体积是4.5
s1 s
h12 h2
,
s2 s
h12 h2
,
s1 s2 , s1 s2.
ss
h1 s1
h
s
h1 s2
h
s
根据公理6，这两的锥体的体积相等，及三棱锥的体积公式。由此我们 可以得到下面的定理：
定理 等面积等高的两的锥体的体积相等。
定理 如果一个锥体（棱锥，圆锥）的底面积S，高是h，那么它 的体积是
2.已知长方体形的铜块长，宽，高分别是 2cm,4cm,8cm，将它们融化后铸成一个正方体 形的铜块，求铸成的铜块的棱长（不计损 耗）。
解：由柱体体积公式有：
V长方体 abc 2 48
V正方体 a3
不计损耗
V长方体 V正方体 a3 2 48
a 4(cm)
等。
例如，取一摞书或一摞纸张堆放在桌面上，将它如图那样改变一
下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书 或纸的体积与变形前相等。
2.8 棱柱,圆柱的体积
设有底面积都等于S,高都等于h的任意一个棱柱和一个圆柱,取一
个与它们底面积相等,高也相等的长方体,使它们的下底面在同一个平
面α上。因为它们的上底面和下底面平行，并且高都相等，所以它们
所求棱长为4cm
B
D
3.如图，将长方体沿相邻
三个面的对角线截取一个三棱 锥。这个三棱锥的体积是长方
A
C
体体积的几分之几？
B’
解：
D’
A’
V V V 长方体
三棱柱ABD A'B'D'
C’ 三棱柱CDBC 'D'B'
V V 三棱柱ABD A'B'D'
三棱柱CDBC 'D'B'
V 3V 三棱柱CDBC'D'B'
三棱锥CB 'A'B
高BC 三棱锥A'C 'B 'C
三棱锥CB 'A'B
三棱柱ABCA'B 'C '
V三棱柱ABC A'B'C' Sh
取任意两个锥体,设它们的底面面积都是S,高都是H.把这两个锥体 放在同一个平面α上,这时它们的顶点都在和平面α平行的同一个平面内。 用平行于平面α的任意平面去截它们，截面分别与底面相似。设截面与 顶点的距离是h1，截面面积分别是S1,S2,那么
个单位体积作为标准。
然后求出几何体
的体积的体积是单
c
位体积的多少倍，
这个倍数就是这个
几何体的体积的数 值。
b a
公理 5 长方体的体积等于它的长，宽，高的积。
V长方体 abc
从公理 5 ，可以直接得到下面的推论：
推论 1 长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。
V长方体 sh
(注:.ab=s 、h=s) 推论 1 正方体的体积等于它的棱长的立方。