2015年秋高一人教A版数学必修4课件： 第3章 三角恒等变换 3.2.1
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高一数学人教A版必修4课件：3.2 简单的三角恒等变换
一、求值问题 对半角公式的四点说明 (1)半角公式的正弦、 余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到 的. ������ (2)半角公式给出了求 的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只
2
需知道 cos α 的值及相应 α 的条件,sin ,cos ,tan 便可求出. (3)由于 tan =
2 ������ sin ������ 1+cos ������
1
2
1.降幂公式与半角公式
降幂公式 sin2 =
2 α 1-������������������ α 2
半角公式 sin =±
2 α 1-������������������ α 2
续表
降幂公式 cos
2α
半角公式
2
2 α 2
=
1+������������������ α 1-������������������ α 1+������������������ α
������
1+cos 2
=-
1+������
.
预习新知
导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
三
知识精要
迁移应用
二、三角函数式的化简 三角恒等变换中常见的变换方法 (1)常值代换 用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些 常数,使之代换后能运用相关公式使化简得以顺利进行.我们把这种 代换称之为常值代换 ,如 “1” 的代换就是一种特殊的常值代换. (2)切化弦 当待化简式中,既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角三角函 数的基本关系 tan α=
������ 2
预习新知
导学探究
典题例解
a a 2 +b 2
2015年高中数学人教A版必修4课件：3.2简单的三角恒等变换
课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测
与三角函数性质有关的问题 (2014·天津高考)已知函数 f(x)＝cos x·sin x＋π3－ 3cos2x＋ 43，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．
数学 ·必修4(A)
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第三十页，编辑பைடு நூலகம்星期五：十一点 六分。
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(2)当 f(x)取得最大值时， sin2x－π3＝1， 有 2x－π3＝2kx＋π2， 即 x＝kx＋51π2(k∈Z)， ∴所求 x 的集合为 xx＝kπ＋51π2，k∈Z .
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【互动探究】
若本例条件不变，求 tan2θ的值． 解：方法一：由例题解题过程可知，
sin2θ＝ 1－a2，
θ
故 tan2θ＝sin2θ＝
1－a2 a.
cos2
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1．(1)化简：2tanπ42－coαs2αsi－n21π4＋α. (2)求证：1＋sin α＝2cos2π4－α2.
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＝11＋＋22ssiinn
θ·cos θ·cos
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换
理网络·明结构
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
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高一数学人教A版必修四课件：第三章 《三角恒等变换》3 章末高效整合 课件资料
数 学 必修3
第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
第三章
三角恒等变换
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
知能整合提升
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
1．记忆和(差)角公式，明晰公式间的关系 (1)公式 C(α－β)是由向量数量积的坐标表示推导出来的， 体现了向量的工具性． (2) 公 式 C(α ＋ β) 是 推 导 其 他 公 式 的 出 发 点 ， 公 式 S(α ＋ β) 就 是 转 化 为
π π 1 ∴sin4＋α· cos4＋α＝ ， 6 π 1 sin2＋2α＝ ，即 3
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
热点考点例析
数 学 必修3
第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
三角函数式的求值 三角函数的求值有三种类型： (1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关 系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题． (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用 含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论．
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
解析：
1 1 (1)由 sin x＋cos x＝ ，平方得 1＋sin 2x＝ ， 5 25
第三章
三角恒等变换
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三角恒等变换
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1．记忆和(差)角公式，明晰公式间的关系 (1)公式 C(α－β)是由向量数量积的坐标表示推导出来的， 体现了向量的工具性． (2) 公 式 C(α ＋ β) 是 推 导 其 他 公 式 的 出 发 点 ， 公 式 S(α ＋ β) 就 是 转 化 为
π π 1 ∴sin4＋α· cos4＋α＝ ， 6 π 1 sin2＋2α＝ ，即 3
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第三章
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知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
热点考点例析
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第三章
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三角函数式的求值 三角函数的求值有三种类型： (1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关 系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题． (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用 含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论．
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
解析：
1 1 (1)由 sin x＋cos x＝ ，平方得 1＋sin 2x＝ ， 5 25
2015年秋高一人教A版数学必修4课件： 第3章 三角恒等变换 3.1.2 第2课时
3 D．18 π π [探究] 角 α＋β、β－4、α＋4之间的关系．
运用S(α±β)．
[解析] 1 ＝2. (2)原式＝sin[(54° －x)＋(36° ＋x)]＝sin90° ＝1. (1)原式＝sin20° cos10° ＋cos20° sin10° ＝sin(20° ＋10° )
第三章
3.1
3.1.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第三章
3.1
3.1.2
第2课时
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1
优 效 预 习
3
当 堂 检 测
2
高 效 课 堂
4
课 时 作 业
第三章
3.1
3.1.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
优效预习
第三章
3.1
3.1.2
第2课时
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第三章
3.1
3.1.2
第2课时
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3．两角和与差的三角函数公式间的关系
第三章
3.1
3.1.2
第2课时
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●预习自测 4 1．若 tanα＝3，tanβ＝3，则 tan(α－β)＝(
3.1
3.1.2
第2课时
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π 1 1 3． 若 α， β∈(0， tanβ＝3， 则 tan(α＋β)＝________. 2)且 tanα＝2， [答案] 1 1 1 tanα＋tanβ 2＋3 [解析] tan(α＋β)＝ ＝ 1＝1. 1－tanαtanβ 1－6
人教A版高中数学高一必修4课件第三章三角恒等变换
章末复习提升
17
跟踪演练 2 已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝61，α∈π2，π， 求1＋sinco4sα2α的值. 解 ∵sinπ4＋αsinπ4－α＝16， ∴sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，sinπ2＋2α＝13，
章末复习提升
18
即 cos 2α＝31.
又 α∈π2，π，2α∈(π，2π)，
∴sin 2α＝－ 1－cos22α＝－
1－132＝－2
3
2 .
章末复习提升
19
∴1＋sinco4sα2α＝2sin12＋α·ccooss 1＋ 2
22αα＝2×1－＋213＋2213×13
＝－4152.
章末复习提升
20
题型三 三角恒等式的证明 三角恒等式的证明主要是利用sin2α＋cos2α＝1， sin α ＝
∴|ka＋b|2＝|a－kb|2.
∴2kcos(α－β)＝－2kcos(α－β).
∵k≠0，∴cos(α－β)＝0.
∴cos(β－α)＝0.
又∵0<α<β<π，
∴β－α＝π2.
章末复习提升
31
跟踪演练 4 设函数 f(x)＝a·b，其中向量 a＝(2cos x,1)，
b＝(cos x， 3sin 2x).若 f(x)＝1－ 3，且 x∈－π3，π3，求 x. 解 由题设 f(x)＝2cos2 x＋ 3sin 2x ＝1＋cos 2x＋ 3sin 2x＝2sin2x＋6π＋1. 若 f(x)＝1－ 3，则 2sin2x＋π6＝－ 3，
章末复习提升
32
即
sin2x＋6π＝－
3 2.
∵x∈－π3，π3，
∴2x＋π6∈－π2，56π.
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
高中数学人教版必修四配套课件第1部分第三章32简单的三角恒等变换
(2)求f(x)的单调递增区间．
返回
解：(1)由sin x≠0得，x≠kπ，k∈Z，
所以定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
f(x)＝（sin
x－cos x）2sin sin x
xcos
x＝2sin
xcos
x－2cos2x
＝sin 2x－cos 2x－1＝ 2sin(2x－π4)－1
所以最小正周期T＝22π＝π.
返回
(3)降幂与升幂．由 C2α 变形后得到 sin2α＝12(1－cos 2α)，cos2α ＝12(1＋cos 2α)，运用它就是降幂．
反过来，直接运用倍角公式或变形公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1 －cos 2了已知角与未知角之间的联 系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：
（sin 2|cos
2α2α－|＋cos2|sα2in）2α2|，
∵π<α<32π，
∴π2<α2<34π，
∴cos
α2<0，sin
α 2>0.
返回
∴原式＝－（2s（ins2iαn＋α2c＋oscoα2s）α22）＋
（sin α2－cos α2）2 2（sin α2－cos 2α）
sin ＝－
α2＋cos
所以S矩形PQCR＝PQ·PR
＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ
(4分) (7分)
返回
令t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤ 2)，则sin θcos θ＝t2－2 1，
所以S矩形PQCR＝10
[思路点拨] 可设∠PAB＝θ，并用θ表示PR，PQ， 建立面积的函数关系式，再求其最大值、最小值．
2015年秋高一人教A版数学必修4课件： 第3章 三角恒等变换 章末归纳总结3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第三章
章末归纳总结
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又 tanα＝4 3，
2 2 sin α tan α 48 2 ∴sin α＝ 2 ＝ ＝ . sin α＋cos2α 1＋tan2α 49
4 3 1 2 ∴sinα＝ 7 ，从而 cosα＝ 1－sin α＝7， 故 cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝(－14)×7＋ 14 × 7 ＝2.
第三章
章末归纳总结
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专题三 三角恒等式的证明
1 ．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件 的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明． 就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是
三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简，如果
1 2 1 2 sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x 1－2sin 2x 1－2sin 2x ＝ ＝ 1 ＝1 1 2 2 sin 2 x sin 4 4 2x 81－cos4x 8－4sin22x 4＋4cos22x 4＋21＋cos4x ＝ ＝ ＝ 1－cos4x 1－cos4x 1－cos4x 23＋cos4x ＝ ＝右边． 1－cos4x 原式得证．
用含有已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调
性求得角．
第三章 章末归纳总结
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[探究] 利用 β＝(α＋β)－α 进行角的代换， 则 cosβ＝cos[(α＋ β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
人教A版高中数学必修四课件3.2简单的三角恒等变换课件
2cos 20° cos 10° sin 30° ＋ sin 10° cos 30° ＝ － 2cos 40° sin 20° 2cos 20° sin 40° －2sin 20° cos 40° 2sin 20° ＝ ＝ ＝2. sin 20° sin 20° 1－ cos 2α－ 60° 1－ cos 2α＋ 60° 1－ cos 2α (2)原式＝ ＋ － 2 2 2 1 1 ＝ － [cos(2α－60° )＋ cos(2α＋ 60° )－ cos 2α] 2 2 1 1 1 ＝ － (2cos 2αcos 60° － cos 2α)＝ . 2 2 2
α 2 5 sin 2 5 α tan ＝ ＝ ＝－2. 2 α 5 cos 2 －5
【名师点评】
已知三角函数式的值，求其他三角函数
式的值，一般思路为： (1)先化简所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系 (从三角函数名及
角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
跟踪训练
12 3π 1．已知 sin 2α＝－ ，π<2α< ，求 sin α， cos α. 13 2
第三章
三角恒等变换
3．2
简单的三角恒等变换
学习导航
学习目标 和差公式 ― ― → 二倍角公式 ― ― →
理解 掌握
化简、求值或证明 重点难点 重点：运用和差的正余弦公式进行相关计算
及化简、证明． 难点：运用半角公式求值．
新知初探思维启动
1．和、差角公式及倍角公式 sinαcosβ＋cosαsinβ (1)sin(α＋β)＝__________________________ ； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； 2sinαcosα (2)sin 2α＝__________________ ； cosαcosβ－sinαsinβ (3)cos(α＋β)＝________________________ ； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
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第三章
3.2
3.2.1
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2π 4π 8π 4．cos 7 cos 7 cos 7 ＝________. [答案] 1 8
第三章
3.2
3.2.1
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●自主预习
1．半角公式(不要求记忆)
●知识衔接 1．若角α满足条件sin2α<0，cosα－sinα<0，则α在( A．第一象限 B．第二象限 )
C．第三象限
[答案] B
D．第四象限
第三章
3.2
3.2.1
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2．在△ABC 中，若 sinAsinB＝cos 2 ，则△ABC 是( A．等边三角形 C．不等边三角形 [答案] B
α π [解析] ∵α∈(0，π)，∴2∈0，2. α ∴cos2＝ 1＋cosα 2 ＝ 2 6 3＝ 3 .
第三章 3.2 3.2.1
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3π 4 α 2．已知 cosα＝5，α∈ 2 ，2π，则 sin2等于(
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
(2)和差化积公式(不要求记忆和应用) x ＋y x －y sinx＋siny＝2sin 2 cos 2 ， x＋y x－y sinx－siny＝2cos 2 sin 2 ， x＋y x－y cosx＋cosy＝2cos 2 cos 2 ， x＋y x－y cosx－cosy＝－2sin 2 sin 2 .
1＋cos2x 1－cos2x 1 2 2 2 (2)sin x ＝ ， cos x ＝ _____________ ， sinxcosx ＝ 2 2
sin2x ______.
第三章
3.2
3.2.1
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●预习自测
1 α 1．若 cosα＝3，且 α∈(0，π)，则 cos2的值为( 6 A． 3 6 C．± 3 [答案] A 6 B．－ 3 3 D．± 3 )
1＋cosα ± 1－cosα α α 2 ， cos 2 ＝ _____________ ， tan 2 ＝ 2
α sin 2 ＝ ± 1－cosα 1－cosα sinα α ± 1＋cosα ＝ _____________ sinα ＝1＋cosα.符号由2所在的象限决定．
第三章路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[拓展](1)积化和差公式(不要求记忆和应用) 1 sinαcosβ＝2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， 1 cosαsinβ＝2[sin(α＋β)－sin(α－β)]， 1 cosαcosβ＝2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， 1 sinαsinβ＝－2[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
3．3sinx－ 3cosx＝(
π A．sinx－6
)
π B．3sinx－6
C．
π 3sinx＋6
D．2
3
π 3sinx－6
[答案]
D
[解析] 3sinx－ 3cosx＝2 ＝2
3 1 sin x － cos x 2 2 π 3sinx－6.
π π 3sinxcos6－cosxsin6＝2
第三章
3.2
3.2.1
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4．sin2x－sinxcosx＋2cos2x＝( 3π 3 2 A． 2 sin2x＋ 4 ＋2
3.2.1
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1
优 效 预 习
3
当 堂 检 测
2
高 效 课 堂
4
课 时 作 业
第三章
3.2
3.2.1
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优效预习
第三章
3.2
3.2.1
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第三章
3.2
3.2.1
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2．常见的三角恒等变换 2 2 a ＋ b (1)asinx＋bcosx＝_____________sin(x＋φ)(ab≠0)，其中 tanφ 3 b b ＝a， φ 所在象限由 a 和 b 的符号确定． 仅仅讨论a＝± 1， ± 3， ±3 的情况．
3．已知 tanθ＝2，则 sin2θ＋cos2θ 等于( 1 A．3 1 C．－3 [答案] B 1 B．5 1 D．－5
)
[解析] sin2θ＋cos2θ＝2sinθcosθ＋2cos2θ－1 2sinθcosθ＋2cos2θ 2tanθ＋2 ＝ －1＝ 2 －1 sin2θ＋cos2θ tan θ＋1 2×2＋2 1 ＝ －1＝5. 4＋1
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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三角恒等变换
第三章
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3.2 简单的三角恒等变换
3.2.1 三角恒等变换
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3.2
[解析 ]
2C
)
B．等腰三角形 D．直角三角形
2C
cosC＋1 1－cosA＋B sinAsinB＝cos 2 ＝ ＝ ，展开整 2 2
理可得 cos(A－B)＝1，因为－π<A－B<π，故 A＝B．则△ABC 是 等腰三角形．
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3.2
3.2.1
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)
10 A．－ 10 3 C．10 3 [答案] B
10 B． 10 3 D．－5
[解析]
3π α 3π ∵α∈ 2 ，2π，∴2∈ 4 ，π.
α ∴sin2＝
1－cosα 10 2 ＝ 10 .
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