2023中考九年级数学分类讲解 - 第三讲 方程(组)(含答案)(全国通用版)
2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)：一次方程(组)及其应用(解析版)
专题06一次方程（组）及其应用1．（2023·浙江温州·统考中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g ．设蛋白质、脂肪的含量分别为 g x ， g y ，可列出方程为（）A ．5302x y B ．5302x y C ．3302x y D ．3302x y 【答案】A 【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g 列方程．【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为g x ，g y ，则碳水化合物含量为(1.5)g x ，则： 1.530x x y ，即5302x y ，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．2．（2023·湖北荆州·统考中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（）A ． 4.50.51y x y x B ． 4.521y x y x C ． 4.50.51y x y x D ． 4.521y x y x 【答案】A 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：12绳子=木条-1，据此列出方程组即可．【详解】解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为： 4.50.51y x y x，故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元9．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x 斛，小容器的容量为y 斛，则可列方程组是（）A ．5352x y x y B ．5352x y x y C ．5352x y x y D ．5253x y x y 【答案】B 【分析】设大容器的容积为x 斛，小容器的容积为y 斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x 、y 的二元一次方程组．【详解】解：设大容器的容积为x 斛，小容器的容积为y 斛，根据题意得：5352x y x y ．故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x 、y 的二元一次方程组是解题的关键．10．（2023·湖南·统考中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x 只鸡，y 只兔．依题意，可列方程组为（）A ．35,4294x y x y B ．94,4235x y x y C ．35,2494x y x y D ．94,2435x y x y 【答案】C 【分析】根据等量关系“鸡的只数 兔的只数35 ”和“2 鸡的只数4 兔的只数94 ”即可列出方程组．【详解】解：设有x 只鸡，y 只兔，由题意可得：352494x y x y，故选：C ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系．11．（2023·广西·模拟预测）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x 天可以追上慢马，则下列方程正确的是（）①-②得：2221x y m n ，即： 221m n x y ，∵1x y ，∴22113m n ，2234222228m n m n m n ，故选：D ．【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出,m n 的关系是解题的关键．14．（2022春·湖北十堰·七年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学的经典书，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，则可列方程组为（）A ．119(10)(8)13x y y x x y B ．911(8)(10)13x y x y y x C ．911(10)(8)13x y y x x y D ．119(8)(10)13x y x y y x 【答案】C【分析】根据题意第一个等量关系为9枚黄金和11枚白银的重量相等列二元一次方程；再根据第二个等量关系为1枚黄金和10枚白银重量和比8枚黄金和1枚白银重量和大13列二元一次方程，即可得二元一次方程组.【详解】解：设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得，911(10)(8)13x y y x x y.故选：C.【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，找出两个等量关系是列方程组的关键.15．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知关于,x y 的二元一次方程组34125x y m x y m的解满足4x y ，则m 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到3x y m ，代入4x y ，即可解答．【详解】解：34125x y m x y m①②， ①②得2226x y m ，3x y m ，代入4x y ，可得34m ，解得1m ，故选：B ．【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．二、填空题16．（2023·全国·统考中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x 人，可列方程为__________．【答案】54573x x 【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可．【详解】解：设合伙人数为x 人，根据题意列方程54573x x ；故答案为：54573x x ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．17．（2023·辽宁大连·统考中考真题）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出8元钱，会多3钱；每人出7元钱，又差4钱，问人数有多少．设有x 人，则可列方程为：_______________．【答案】8374x x 【分析】设有x 人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为： 83x 元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为： 74 x 元，根据题意列出一元一次方程即可求解．【详解】设有x 人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为： 83x 元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为： 74 x 元，则可列方程为：8374x x三、解答题21．（2023·江苏连云港·统考中考真题）解方程组38 27 x yx y【答案】31 xy【分析】方程组运用加减消元法求解即可．【详解】解：3827x y x y ①②①+②得515x ，解得3x ，将3x 代入①得338y ，解得1y ．∴原方程组的解为3,1.x y 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．22．（2023·浙江台州·统考中考真题）解方程组：7,2 2.x y x y 【答案】3,4.x y 【分析】把两个方程相加消去y ，求解x ，再把x 的值代入第1个方程求解y 即可．【详解】解：722x y x y ①②①+②，得39x ．∴3x ．把3x 代入①，得4y ．∴这个方程组的解是34x y．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练的利用加减消元法解方程组是解本题的关键．23．（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：213423x y x y ①②【答案】52x y 【分析】方程组利用加减消元法求解即可．【详解】解：将①2 得：242x y ③②③得：5x 将5x 代入①得：2y【答案】该客车的载客量为40人【分析】设该客车的载客量为x 人，由题意知，430510x x ，计算求解即可．【详解】解：设该客车的载客量为x 人，由题意知，430510x x ，解得，40x ，∴该客车的载客量为40人．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．26．（2023·安徽·统考中考真题）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为,x y 元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解．【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为,x y 元，根据题意得，10110%15x y x y 解得：4050x y 答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．27．（2023·全国·统考中考真题）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A ，B 两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A 种鱼和2箱B 种鱼需花费1300元：如果购买2箱A 种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A 种鱼和每箱B 种鱼的价格．【答案】每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元．【分析】设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．【详解】解：设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，由题意得：21300232300x y x y，解得700300x y，答：每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元．∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯．由（2）知，当3855y 时，3.637683855x ，解得1273.6x ．又∵ 2.67100400 3.15120020050041703855 ，且 2.6710040013353855 ，∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯．设乙户年用气量为3m a ．则有 2.67500 3.155003855a ，解得1300.0a ，∴31300.01273.626.426m ．答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．31．（2023·江西·统考中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．(1)求该班的学生人数；(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？【答案】(1)该班的学生人数为45人；(2)至少购买了甲树苗80棵【分析】（1）设该班的学生人数为x 人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；（2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m 棵，则购买了乙树苗 155m 棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设该班的学生人数为x 人，由题意得，320425x x ，解得45x ，∴该班的学生人数为45人；（2）解：由（1）得一共购买了34520155 棵树苗，设购买了甲树苗m 棵，则购买了乙树苗 155m 棵树苗，由题意得， 30401555400m m ，题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键．。
中考数学一轮教材复习-第二章 方程(组)与不等式(组) 一元二次方程的解法
∴x(x-4)=0,
∴x1=x2=1.
∴x1= 3,x2=- 3.
∴x1=0,x2=4.
③ 整式 方程,叫做一元二次方程
二次项系数( ≠ 0)
一般形式:
2
Байду номын сангаас
+
的
一次项系数
+
= 0(,,为常数, ≠ 0)
常数项
相等
二次项
解:使方程左右两边④
一次项
的未知数的值就是这个一元二次方程的解(或根)
（第二章 方程（组）与不等式（组））
一元二次方程的解法
≥
− ± 2 −4
[2024北京海淀区二模]若x=1是方程x
1-1
数m的值为( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
考点
（第二章 方程（组）与不等式（组））
一元二次方程的解法(10年4考)
2 [2023贵州15题4分]若一元二次方程kx2-3x+1=0有两个相等的实数
根,则k的值是
9
4
.
2+4x+(m-1)=0有实数
[2024毕节三模]若关于x的一元二次方程x
-5
.
.
(3)若该方程有实数根,则m的取值范围是 m≥-5且m≠-1
.
易错
(3)解题时易忽略二次项系数不为0的条件
（第二章 方程（组）与不等式（组））
1
已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+4x-1=0.
(4)若该方程的一个根是1,则m=
-4 ,方程的另一个根是
(5)当m=0时,求该方程的根.
当m=0时,原方程是x2+4x-1=0,配方得,(x+2)2=5,
2023年安徽中考数学总复习专题：方程(组)与不等式(组)的实际应用(PDF版,有答案)
2023年安徽中考数学总复习专题：方程（组）与不等式（组）的实际应用1．我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十：九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”大意为：今有若干户人家共同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱；若每9家共出270个钱，则多30个钱，问共同买牛的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题．2．我校为了提高线上教学效果，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．实际每间直播教室的建设费用是多少？3．某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：项目第一档第二档第三档用电量（度）210度以下210至350350度以上价格（元）0.52比第一档提价0.05元比第一档提价0.3元例：若某户月用电量400度，则需交电费为210×0.52+（350﹣210）×（0.52+0.05）+（400﹣350）×（0.52+0.30）＝230（元）．（1）如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量；（2）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用电量属于第几档？4．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米．（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为7米，求BC＝ 米．（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为192平方米，求边CD的长．5．某中学为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，为此购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元；已知A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元．（1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？（2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价打8折，B种品牌的足球单价优惠4元．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？6．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（列方程组解应用题）（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买）则该公司共有 种购买方案；（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是 元．参考答案1．解：设共有x户人家共同买牛，牛的价格为y钱，依题意得：y―190×x7=330 270×x9―y=30，解得：x=126y=3750．答：共有126户人家共同买牛，牛的价格为3750钱．2．解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据题意得：8000+40001.2x ―8000x=1，解得：x＝2000，经检验：x＝2000是原方程的解，1.2x＝2400，答：实际每间直播教室的建设费用是2400元．3．解：（1）∵0.52×210＝109.2（元），0.52×210+（0.52+0.05）×（350﹣210）＝189（元），∴用电210度和用电350度的电费分别为109.2元和189元，∵109.2＜138.84＜189，∴小华家5月份的用电量大于210度而小于350度，设小华家5月份的用电量是x度，根据题意得109.2+（0.52+0.05）（x﹣210）＝138.84，解得x＝262，答：小华家5月份的用电量是262度．（2）由（1）可知，当0＜a≤109.2时，小华家该月用电量属于第一档；当109.2＜a≤189时，小华家该月用电量属于第二档；当a＞189时，小华家该月用电量属于第三档．4．解：（1）当CD＝7米时，BC＝45+3﹣3×7＝27（米）．故答案为：27．（2）设边CD的长为x米，则BC的长为（45+3﹣3x）米，依题意得：x（45+3﹣3x）＝192，整理得：x2﹣16x+64＝0，解得：x1＝x2＝8，当x＝8时，45+3﹣3x＝45+3﹣3×8＝24＜27，符合题意．答：边CD的长为8米．5．解：（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，依题意得：25x+50y=4500 x―y=30，解得：x=80 y=50．答：A种品牌足球的单价是80元，B种品牌足球的单价是50元．（2）设购买A种品牌的足球m个，则购买B种品牌的足球（50﹣m）个，依题意得：80×0.8m+(50―4)(50―m)≤2750 m≥23，解得：23≤m≤25，又∵m为正整数，∴m可以为23，24，25，∴共有3种购买方案，方案1：购买A种品牌的足球23个，B种品牌的足球27个，所需总费用为80×0.8×23+（50﹣4）×27＝2714（元）；方案2：购买A种品牌的足球24个，B种品牌的足球26个，所需总费用为80×0.8×24+（50﹣4）×26＝2732（元）；方案3：购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球25个，所需总费用为80×0.8×25+（50﹣4）×25＝2750（元）．∵2714＜2732＜2750，∴为了节约资金，学校应选择方案1：购买A种品牌的足球23个，B种品牌的足球27个．6．解：（1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，由题意可得2a+3b=80 3a+2b=95，解得a=25 b=10，答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，由题意可得25m+10n＝200且m＞0，n＞0，解得m=2n=15或m=4n=10或m=6n=5，∴该公司共有三种购买方案，故答案为：三；（3）当m＝2，n＝15时，获得的利润为：8000×2+5000×15＝91000（元），当m＝4，n＝10时，获得的利润为：8000×4+5000×10＝82000（元），当m＝6，n＝5时，获得的利润为：8000×6+5000×5＝73000（元），由上可得，最大利润为91000元，故答案为：91000．。
2023年中考数学-----一元二次方程之相关概念知识点总结及专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学-----一元二次方程之相关概念知识点总结及专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式为：()002≠=++a c bx ax 。
其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 为常数项。
3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。
专项练习题1．（2022•广东）若x ＝1是方程x 2﹣2x +a ＝0的根，则a ＝ ．【分析】把x ＝1代入方程x 2﹣2x +a ＝0中，计算即可得出答案．【解答】解：把x ＝1代入方程x 2﹣2x +a ＝0中，得1﹣2+a ＝0，解得a ＝1．故答案为：1．2．（2022•连云港）若关于x 的一元二次方程mx 2+nx ﹣1＝0（m ≠0）的一个根是x ＝1，则m +n 的值是 ．【分析】把x ＝1代入方程mx 2+nx ﹣1＝0得到m +n ﹣1＝0，然后求得m +n 的值即可．【解答】解：把x ＝1代入方程mx 2+nx ﹣1＝0得m +n ﹣1＝0，解得m+n＝1．故答案为：1．3．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．【分析】将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入2a2+4a，即可得出答案．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，∴a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，故答案为：6．4．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，∴m2+3m﹣2022＝0，∴m2+3m＝2022，∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022＝2022m﹣2022﹣2022m+2022＝0．故选：B．5．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．【解答】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2（cm），则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360．故答案为：15x（10﹣x）＝360．。
2023年中考数学----二元一次方程组之解二元一次方程组知识点及专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学----二元一次方程组之解二元一次方程组知识点及专项练习题（含答案解析）知识点1. 解二元一次方程组的思想：消元思想：将方程组中的未知数由多化少，逐一解决的思想。
2. 解二元一次方程组的方法：①代入消元法：将其中一个方程的其中一个未知数用另一个未知数表示出来代入另一个方程中，实现消元，进而求出方程组的解的方法叫做代入消元法。
（通常适用于有未知数的系数是±1的方程组）②加减消元法：当方程组中的两个方程的同一个未知数的系数相同或相反时，则可以利用将两个方程相减或相加的方法消掉这个未知数的方法叫做加减消元法。
专项练习题1、．（2022•株洲）对于二元一次方程组⎩⎨⎧=+−=721y x x y ，将①式代入②式，消去y 可以得到（ ） A ．x +2x ﹣1＝7 B ．x +2x ﹣2＝7C ．x +x ﹣1＝7D ．x +2x +2＝7 【分析】将①式代入②式，得x +2（x ﹣1）＝7，去括号即可．【解答】解：，将①式代入②式，得x +2（x ﹣1）＝7，∴x +2x ﹣2＝7，故选：B ．2、（2022•潍坊）方程组⎩⎨⎧=−=+0231332y x y x 的解为 ． 【分析】由第一个方程得4x +6y ＝26，由第二个方程得9x ﹣6y ＝0，两个方程相加消去y ，解出x ，再进一步解出y 即可．【解答】解：，由①×2得4x +6y ＝26③，由②×3得9x ﹣6y ＝0④，由③+④得13x ＝26，解得x ＝2，将x ＝2代入②得3×2﹣2y ＝0，解得y ＝3，所以原方程组的解为． 故答案为：． 3、（2022•沈阳）二元一次方程组⎩⎨⎧==+x y y x 252的解是 ． 【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可．【解答】解：，将②代入①，得x +4x ＝5，解得x ＝1，将x ＝1代入②，得y ＝2，∴方程组的解为，故答案为：． 4、（2022•无锡）二元一次方程组⎩⎨⎧=−=+121223y x y x 的解为 ．【分析】根据代入消元法求解即可得出答案．【解答】解：，由②得：y ＝2x ﹣1③，将③代入①得：3x +2（2x ﹣1）＝12，解得：x ＝2，将x ＝2代入③得：y ＝3，∴原方程组的解为． 故答案为：． 5、（2022•随州）已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+5242y x y x ，则x ﹣y 的值为 ． 【分析】将第一个方程化为x ＝4﹣2y ，并代入第二个方程中，可得2（4﹣2y ）+y ＝5，解得y ＝1，将y ＝1代入第一个方程中，可得x ＝2，即可求解．【解答】解：解法一：由x +2y ＝4可得：x ＝4﹣2y ，代入第二个方程中，可得：2（4﹣2y ）+y ＝5，解得：y ＝1，将y ＝1代入第一个方程中，可得x +2×1＝4，解得：x ＝2，∴x ﹣y ＝2﹣1＝1，故答案为：1；解法二：∵，由②﹣①可得：x﹣y＝1，故答案为：1．6、（2022•安顺）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为．【分析】直接利用已知解方程组进而得出答案．【解答】解：方法一、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，则a＝8﹣2b，代入3a+4b＝18，解得：b＝3，则a＝2，故a+b＝5．方法二、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，∴2a+2b＝10，∴a+b＝5，故答案为：5．本课结束。
2023年初中数学中考复习专题解方程与解不等式篇(含解析)
知识回顾2023年初中数学中考复习专题02 解方程与解不等式1. 解一元一次方程的步骤：①去分母——等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。
②去括号。
注意括号前的符号，是否需要变号。
③移项——含有未知数的项移到等号左边，常数移到等号右边。
移动的项一定要变符号。
④合并——利用合并同类项的方法合并。
⑤系数化为1——等式左右两边同时除以系数（或乘上系数的倒数）。
2. 解二元一次方程组的方法：①代入消元法：将其中一个方程的其中一个未知数用另一个未知数表示出来代入另一个方程中，实现消元，进而求出方程组的解的方法叫做代入消元法。
（通常适用于有未知数的系数是±1的方程组） ②加减消元法：当方程组中的两个方程的同一个未知数的系数相同或相反时，则可以利用将两个方程相减或相加的方法消掉这个未知数的方法叫做加减消元法。
3. 解分式方程的步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。
把分式方程化成整式方程。
②解整式方程。
③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。
若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。
若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。
4. 解一元二次方程的方法：（1）直接开方法：适用形式：p x =2或()p a x =+2或()p b ax =+2（p 均大于等于0） ①p x =2时，方程的解为：p x p x -==21，。
②()p a x =+2时，方程的解为：a p x a p x --=-=21，。
③()p b ax =+2时，方程的解为：ab p x a b p x --=-=21，。
（2）配方法的具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。
②移项——把常数项移到等号右边。
③配方——两边均加上一次项系数一半的平方得到完全平方式。
④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。
⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。
专题05一次方程组-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【解析版】
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题05一次方程组一．选择题（共16小题）1．（2022•株洲）对于二元一次方程组{y =x −1①x +2y =7②，将①式代入②式，消去y 可以得到（ ）A ．x +2x ﹣1＝7B ．x +2x ﹣2＝7C ．x +x ﹣1＝7D ．x +2x +2＝7【分析】将①式代入②式，得x +2（x ﹣1）＝7，去括号即可． 【解析】{y =x −1①x +2y =7②，将①式代入②式，得x +2（x ﹣1）＝7， ∴x +2x ﹣2＝7， 故选：B ．【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题关键．2．（2022•扬州）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有x 只，兔有y 只，那么可列方程组为（ ） A ．{x +y =35，4x +4y =94B ．{x +y =35，4x +2y =94 C ．{x +y =94，2x +4y =35D ．{x +y =35，2x +4y =94【分析】关系式为：鸡的只数+兔的只数＝35；2×鸡的只数+4×兔的只数＝94，把相关数值代入即可求解． 【解析】设鸡有x 只，兔有y 只，可列方程组为： {x +y =352x +4y =94． 故选：D ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数及鸡和兔的脚的总只数的等量关系．3．（2022•宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为35．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x 斗，向桶中加谷子y 斗，那么可列方程组为（ ）A ．{x +y =10x +35y =7 B ．{x +y =1035x +y =7C ．{x +7=7x +53y =10D ．{x +y =753x +y =10【分析】根据原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7即可得出答案． 【解析】根据题意得：{x +y =10x +35y =7，故选：A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系：原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7是解题的关键．4．（2022•舟山）上学期某班的学生都是双人桌，其中14男生与女生同桌，这些女生占全班女生的15，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学期该班有男生x 人，女生y 人，根据题意可得方程组为（ ） A ．{x +4=y x 4=y 5B ．{x +4=yx5=y 4C ．{x −4=y x 4=y 5D ．{x −4=y x 5=y 4【分析】根据14男生与女生同桌，这些女生占全班女生的15，可以得到14x =15y ，根据本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，可得x +4＝y ，从而可以列出相应的方程组，本题得以解决． 【解析】由题意可得， {x +4=y 14x =15y ，故选：A ．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 5．（2022•达州）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为（ ） A ．{4x +6y =382x +5y =48B ．{4x +6y =482x +5y =38C ．{4x +6y =485x +2y =38D ．{4y +6x =482y +5x =38【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．【解析】设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为：{4x +6y =482x +5y =38．故选：B ．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．6．（2022•成都）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x 个，甜果有y 个，则可列方程组为（ ） A ．{x +y =1000，47x +119y =999 B ．{x +y =1000，74x +911y =999 C ．{x +y =1000，7x +9y =999 D ．{x +y =1000，4x +11y =999【分析】利用总价＝单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解． 【解析】∵共买了一千个苦果和甜果， ∴x +y ＝1000；∵共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个， ∴47x +119y ＝999． ∴可列方程组为{x +y =100047x +119y =999． 故选：A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．（2022•湘潭）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x 张桌子，有y 条凳子，根据题意所列方程组正确的是（ ） A ．{x +y =404x +3y =12B ．{x +y =124x +3y =40C ．{x +y =403x +4y =12D ．{x +y =123x +4y =40【分析】根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，且桌子腿数与凳子腿数的和为40条”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解． 【解析】∵组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共12个， ∴x +y ＝12；又∵桌子腿数与凳子腿数的和为40条，且每张桌子有4条腿，每条凳子有3条腿， ∴4x +3y ＝40．∴列出的方程组为{x +y =124x +3y =40．故选：B ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．（2022•宿迁）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x 间，房客y 人，则列出关于x 、y 的二元一次方程组正确的是（ ） A ．{7x −7=y 9(x −1)=yB ．{7x +7=y 9(x −1)=yC ．{7x +7=y 9x −1=yD ．{7x −7=y 9x −1=y【分析】设该店有客房x 间，房客y 人；根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可． 【解析】设该店有客房x 间，房客y 人； 根据题意得：{7x +7=y9(x −1)=y ，故选：A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意得出方程组是解决问题的关键． 9．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解析】∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4，∴最中间的数为：x +6﹣4＝x +2，或x +6+20﹣22﹣y ＝x ﹣y +4， 最右下角的数为：6+20﹣（x +2）＝24﹣x ，或x +6﹣y ＝x ﹣y +6， ∴{x +2=x −y +424−x =x −y +6， 解得：{x =10y =2，∴x +y ＝12， 故选：D ．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10．（2022•眉山）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛x 两银子，1只羊y 两银子，则可列方程组为（ ） A ．{5x +2y =192x +3y =12B ．{5x +2y =122x +3y =19C ．{2x +5y =193x +2y =12D ．{2x +5y =123x +2y =19【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【解析】∵5头牛，2只羊共19两银子， ∴5x +2y ＝19；∵2头牛，3只羊共12两银子， ∴2x +3y ＝12．∴可列方程组为{5x +2y =192x +3y =12．故选：A ．【点评】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11．（2022•嘉兴）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x 场，平了y 场，根据题意可列方程组为（ ） A ．{x +y =73x +y =17B ．{x +y =93x +y =17C ．{x +y =7x +3y =17D ．{x +y =9x +3y =17【分析】由题意：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．列出二元一次方程组即可． 【解析】根据题意得：{x +y =9−23x +y =17，即{x +y =73x +y =17， 故选：A ．【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．（2022•随州）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x 天可以追上慢马，则可列方程为（ ） A ．150（12+x ）＝240x B ．240（12+x ）＝150x C ．150（x ﹣12）＝240xD ．240（x ﹣12）＝150x【分析】设快马x 天可以追上慢马，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解． 【解析】设快马x 天可以追上慢马， 依题意，得：150（x +12）＝240x ． 故选：A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．13．（2022•苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x 步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ） A ．x ＝100−60100x B ．x ＝100+60100xC ．10060x ＝100+x D ．10060x ＝100﹣x【分析】设走路快的人要走x 步才能追上，由走路快的人走x 步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【解析】设走路快的人要走x 步才能追上，则走路慢的人走x 100×60，依题意，得：x100×60+100＝x ．故选：B ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14．（2022•武威）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x 天相遇，根据题意可列方程为（ ） A ．（17+19）x ＝1B ．（17−19）x ＝1C ．（9﹣7）x ＝1D ．（9+7）x ＝1【分析】设总路程为1，野鸭每天飞17，大雁每天飞19，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程＝总路程即可得出答案． 【解析】设经过x 天相遇， 根据题意得：17x +19x ＝1，∴（17+19）x ＝1，故选：A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程+大雁的路程＝总路程列出方程是解题的关键．15．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I 跟导体两端的电压U 、导体的电阻R 之间有以下关系：I =UR，去分母得IR ＝U ，那么其变形的依据是（ ） A ．等式的性质1 B ．等式的性质2C ．分式的基本性质D ．不等式的性质2【分析】根据等式的基本性质，对原式进行分析即可．【解析】将等式I =UR，去分母得IR ＝U ，实质上是在等式的两边同时乘R ，用到的是等式的基本性质2． 故选：B ．【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．16．（2022•南充）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x 只，可列方程为（ ） A ．4x +2（94﹣x ）＝35 B ．4x +2（35﹣x ）＝94 C ．2x +4（94﹣x ）＝35D ．2x +4（35﹣x ）＝94【分析】由上有三十五头且鸡有x 只，可得出兔有（35﹣x ）只，利用足的数量＝2×鸡的只数+4×兔的只数，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解． 【解析】∵上有三十五头，且鸡有x 只， ∴兔有（35﹣x ）只．依题意得：2x +4（35﹣x ）＝94． 故选：D ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．二．填空题（共4小题）17．（2022•随州）已知二元一次方程组{x +2y =42x +y =5，则x ﹣y 的值为 1 ．【分析】将第一个方程化为x ＝4﹣2y ，并代入第二个方程中，可得2（4﹣2y ）+y ＝5，解得y ＝1，将y ＝1代入第一个方程中，可得x ＝2，即可求解． 【解析】解法一：由x +2y ＝4可得：x ＝4﹣2y ，代入第二个方程中，可得： 2（4﹣2y ）+y ＝5， 解得：y ＝1，将y ＝1代入第一个方程中，可得 x +2×1＝4， 解得：x ＝2， ∴x ﹣y ＝2﹣1＝1， 故答案为：1；解法二：∵{x +2y =4①2x +y =5②，由②﹣①可得： x ﹣y ＝1， 故答案为：1．【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法与代入消元法．18．（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为35．【分析】分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，得出甲乙丙三山香樟和红枫的数量（只含一个字母），进而根据“所花费用和预算费用相等”列出等式，从而求得香樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果． 【解析】根据题意，如表格所设： 香樟数量 红枫数量 总量 甲 4x 5y ﹣4x 5y 乙 3x 6y ﹣3x 6y 丙9x7y ﹣9x7y∵甲、乙两山需红枫数量之比为2：3，∴5y−4x 6y−3x=23，∴y ＝2x ， 故数量可如下表： 香樟数量 红枫数量 总量 甲 4x 6x 10x 乙 3x 9x 12x 丙9x5x14x所以香樟的总量是16x ，红枫的总量是20x ， 设香樟的单价为a ，红枫的单价为b ， 由题意得，[16x •（1﹣6.25%）]•[a •（1﹣20%）]+20x •[b •（1+25%）]＝16x •a +20x •b ， ∴12a +25b ＝16a +20b ， ∴4a ＝5b ， 设a ＝5k ，b ＝4k ， ∴12a 25b=12×5k 25×4k =35，故答案为：35．【点评】本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理．19．（2022•乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为 5 ．【分析】设正方形b 的边长为x ，则正方形a 的边长为2x ，正方形c 的边长为3x ，正方形d 的边长为5x ，利用矩形的周长计算公式，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出x 的值，再将其代入5x 中即可求出结论．【解析】设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，依题意得：（3x+5x+5x）×2＝26，解得：x＝1，∴5x＝5×1＝5，即正方形d的边长为5．故答案为：5．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．20．（2022•绍兴）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是20．【分析】设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x+12），即可解得良马20天追上劣马．【解析】设良马x天追上劣马，根据题意得：240x＝150（x+12），解得x＝20，答：良马20天追上劣马；故答案为：20．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．三．解答题（共9小题）21．（2022•广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设科技类图书的购买数量为m 本，购买这两种图书的总金额为w 元，则文学类图书的购买数量为（100﹣m ）本，分30≤m ≤40，40＜m ≤50及50＜m ≤60三种情况考虑，利用总价＝单价×数量，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征（或二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征），可求出w 的取值范围，取其最小值即可得出结论．【解析】（1）设科技类图书的单价为x 元，文学类图书的单价为y 元，依题意得：{2x +3y =1544x +5y =282， 解得：{x =38y =26． 答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．（2）设科技类图书的购买数量为m 本，购买这两种图书的总金额为w 元，则文学类图书的购买数量为（100﹣m ）本．①当30≤m ≤40时，w ＝38m +26（100﹣m ）＝12m +2600，∵12＞0，∴w 随m 的增大而增大，∴2960≤w ≤3080；②当40＜m ≤50时，w ＝[38﹣（m ﹣40）]m +26（100﹣m ）＝﹣（m ﹣26）2+3276，∵﹣1＜0，∴当m ＞26时，w 随m 的增大而减小，∴2700≤w ＜3080；③当50＜m ≤60时，w ＝[38﹣（50﹣40）]m +26（100﹣m ）＝2m +2600，∵2＞0，∴w 随m 的增大而增大，∴2700＜w ≤2720．综上，当30≤m ≤60时，w 的最小值为2700．答：社区至少要准备2700元购书款．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）分30≤m ≤40，40＜m ≤50及50＜m ≤60三种情况，找出w 关于m 的函数关系式．22．（2022•娄底）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg ，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg ．（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？【分析】（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg ，由题意：一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg ，一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg ．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）由（1）的结果列式计算即可．【解析】（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg ，由题意得：{x +y =62x =2y −4， 解得：{x =40y =22， 答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg ；（2）50000×40＝2000000（mg ）＝2kg ，答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．23．（2022•台州）解方程组：{x +2y =4x +3y =5． 【分析】通过加减消元法消去x 求出y 的值，代入第一个方程求出x 的值即可得出答案．【解析】{x +2y =4①x +3y =5②， ②﹣①得：y ＝1，把y ＝1代入①得：x ＝2，∴原方程组的解为{x =2y =1． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．24．（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【分析】（1）设每件雨衣x 元，则每双雨鞋（x ﹣5）元，根据购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双）列出方程并解答；（2）根据题意求出a 的取值范围，并求出w 与a 的关系式解答即可；（3）根据题意列出不等式并解答．【解析】（1）设每件雨衣x 元，则每双雨鞋（x ﹣5）元，根据题意，得400x =350x−5，解得x ＝40，经检验x ＝40是所列方程的根，并符合题意．所以x ﹣5＝35，答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；（2）由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：（40+35）×（1﹣20%）＝60（元），当购买a 套雨衣和雨鞋a ≤5时，费用为w ＝0.9x 60a ＝54a ；当购买a 套雨衣和雨鞋a ＞5时，费用为w ＝0.9×60×5+（a ﹣5）×60×0.8＝48a +30，∴W 关于a 的函数关系式为：w ={54a(a ≤5)48a +30(a ＞5)； （3）由题意得：48a +30≤320，解得a ≤6124， 答：最多可购买6套．【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．25．（2022•泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A 种茶30盒，B 种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B 种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A 、B 两种茶每盒的价格．【分析】设第一次购进A 种茶的价格为x 元/盒，B 种茶的价格为y 元/盒，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解析】设第一次购进A 种茶的价格为x 元/盒，B 种茶的价格为y 元/盒，依题意得：{30x +20y =600020×(1+20%)x +15×(1+20%)y =5100， 解得：{x =100y =150． 答：第一次购进A 种茶的价格为100元/盒，B 种茶的价格为150元/盒．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．26．（2022•连云港）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．【分析】设有x 个人，物品的价格为y 钱，由题意：每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．列出二元一次方程组，解方程组即可．【解析】设有x 个人，物品的价格为y 钱，由题意得：{y =8x −3y =7x +4， 解得：{x =7y =53， 答：有7个人，物品的价格为53钱．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．27．（2022•安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额+出口额．（1）设2020年进口额为x 亿元，出口额为y 亿元，请用含x ，y 的代数式填表：年份进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元 2020x y 520 2021 1.25x 1.3y 1.25x +1.3y（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以用含x 、y 的代数式表示出2021年进出口总额；（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可．【解析】（1）由表格可得，2021年进出口总额为：1.25x +1.3y ，故答案为：1.25x +1.3y ；（2）由题意可得，{x +y =5201.25x +1.3y =520+140， 解得{x =320y =200， ∴1.25x ＝400，1.3y ＝260，答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．28．（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A 地30千米的B 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A 地出发，则甲、乙恰好同时到达B 地，求甲骑行的速度．【分析】（1）设乙骑行的速度为x 千米/时，则甲骑行的速度为1.2x 千米/时，利用路程＝速度×时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2x 中即可求出甲骑行的速度；（2）设乙骑行的速度为y 千米/时，则甲骑行的速度为1.2y 千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合乙比甲多用20分钟，即可得出关于y 的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2y 中即可求出甲骑行的速度．【解析】（1）设乙骑行的速度为x 千米/时，则甲骑行的速度为1.2x 千米/时，依题意得：12×1.2x ＝2+12x ， 解得：x ＝20，∴1.2x ＝1.2×20＝24．答：甲骑行的速度为24千米/时．（2）设乙骑行的速度为y 千米/时，则甲骑行的速度为1.2y 千米/时，依题意得：30y −301.2y =2060，解得：y ＝15，经检验，y ＝15是原方程的解，且符合题意，。
浙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类②
浙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类②一．实数的运算（共1小题）1．（2023•金华）计算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．二．解二元一次方程组（共1小题）2．（2023•台州）解方程组：．三．一次函数的应用（共2小题）3．（2023•金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．（1）求哥哥步行的速度．（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．①求图中a的值；②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．4．（2023•台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm（观察值）302928.12725.8任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）5．（2023•杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．（1）求k1，k2的值．（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．五．勾股定理的逆定理（共1小题）6．（2023•金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC 分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P ，来表示∠POA 的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法（如图）结论①在CB 上取点P 1，使CP 1＝4．∠P 1OA ＝45°，点P 1表示45°．②以O 为圆心，8为半径作弧，与BC 交于点P 2．∠P 2OA ＝30°，点P 2表示30°．③分别以O ，P 2为圆心，大于OP 2长度一半的长为半径作弧，相交于点E ，F ，连接EF 与BC相交于点P 3．…④以P 2为圆心，OP 2的长为半径作弧，与射线CB 交于点D ，连结OD 交AB 于点P 4．…（1）分别求点P 3，P 4表示的度数．（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P 5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．六．三角形综合题（共1小题）7．（2023•金华）问题：如何设计“倍力桥”的结构？图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁b，使得横梁不能移动，结构稳固．图2是长为l（cm），宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为O1，O2，O3，O1M＝O1N，O2Q＝O3P＝2cm，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H1，H2是横梁侧面两边的交点，测得AB＝32cm，点C到AB的距离为12cm，试判断四边形CDEH1的形状，并求l的值．探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形H1H2H3…H12，求l的值；②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形H1H2H3…H n的周长．七．四边形综合题（共1小题）8．（2023•绍兴）在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），AB＝12，AD＝10，∠B为锐角，且sin B＝．（1）如图1，求AB边上的高CH的长；（2）P是边AB上的一动点，点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'，D'，①如图2，当C'落在射线CA上时，求BP的长；②当△AC'D'是直角三角形时，求BP的长．9．（2023•台州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．九．解直角三角形的应用（共1小题）10．（2023•台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）一十．统计量的选择（共1小题）11．（2023•台州）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．表1：前测数据测试分数x0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤2020＜x≤25控制班A289931实验班B2510821表2：后测数据测试分数x0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤2020＜x≤25控制班A14161262实验班B6811183（1）A，B两班的学生人数分别是多少？（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．浙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类②参考答案与试题解析一．实数的运算（共1小题）1．（2023•金华）计算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．【答案】7．【解答】解：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|＝1+2﹣2×+5＝1+2﹣1+5＝7．二．解二元一次方程组（共1小题）2．（2023•台州）解方程组：．【答案】．【解答】解：，①+②得3x＝9，解得x＝3，把x＝3代入①，得3+y＝7，解得y＝4，∴方程组的解是．三．一次函数的应用（共2小题）3．（2023•金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．（1）求哥哥步行的速度．（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．①求图中a的值；②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．【答案】（1）100m/min．（2）①a＝6．②能，追上时兄妹俩离家300米远．【解答】解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度为：800÷8＝100（m/min）．（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，∴妹妹所用时间t为：800÷200＝4（min）．∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，∴a＝8+2﹣4＝6．②由（1）可知：哥哥的速度为100m/min，∴设BC所在直线为s1＝100t+b，将B（17，800）代入得：800＝100×17+b，解得b＝﹣900．∴BC所在直线为：s1＝100t﹣900．当s1＝1900时，t哥哥＝28．∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，∴妹妹的速度是160米/分．∴设妹妹返回时得解析式为s2＝160t+b，将F（20，800）代入得800＝160×20+b，解得b＝﹣2400，∴s2＝160t﹣2400．令s1＝s2，则有100t﹣900＝160t﹣2400，解得t＝25＜28，∴妹妹能追上哥哥，此时哥哥所走得路程为：800+（25﹣17）×100＝1600（米）．兄妹俩离家还有1900﹣1600＝300（米），即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远．4．（2023•台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm（观察值）302928.12725.8任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．【答案】任务1：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2；任务2：h＝﹣0.1t+30；任务3：（1）0.05，（2）0.038．任务4：见解析．【解答】解：任务1：变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．任务2：设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝kt+b，∵t＝0 时，h＝30；t＝10时，h＝29；∴，解得：，∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣0.1t+30；任务3：（1）w＝（30﹣30）2+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2＝0.05．（2）设：h＝kt+30，∴w＝（0•k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（20k+30﹣28.1）2+（30k+30﹣27）2+（40k+30﹣25.8）2＝3000（k+0.102）2+0.038，∴当k＝﹣0.102时，w的最小值为0.038．任务4：将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟．四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）5．（2023•杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．（1）求k1，k2的值．（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．【答案】（1）k1＝10，k2＝2；（2）答案见解析．【解答】（1）解：∵点A的横坐标是2，∴将x＝2代入y2＝k2（x﹣2）+5＝5，∴A（2，5），∴将A（2，5）代入得：k1＝10，∴，∵点B的纵坐标是﹣4，∴将y＝﹣4代入得，，∴B（﹣，﹣4）．∴将B（﹣，﹣4）代入y2＝k2（x﹣2）+5得：，解得：k2＝2．∴y2＝2（x﹣2）+5＝2x+1．（2）证明：如图所示，由题意可得：C（，5），D（2，﹣4），设CD所在直线的表达式为y＝kx+b，∴，解得：，∴CD所在直线的表达式为y＝﹣2x，∴当x＝0时，y＝0，∴直线CD经过原点．五．勾股定理的逆定理（共1小题）6．（2023•金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法（如图）结论①在CB上取点P1，使CP1＝4．∠P1OA＝45°，点P1表示45°．②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2．∠P2OA＝30°，点P2表示30°．…③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3．④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线…CB交于点D，连结OD交AB于点P4．（1）分别求点P3，P4表示的度数．（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】（1）点P3表示60°，点P4表示15°；（2）见解析．【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，∴∠OP2C＝∠P2OA＝30°，由作图可知，EF是OP2的中垂线，∴OP3＝P3P2；∴∠P3OP2＝∠P3P2O＝30°，∴∠P3OA＝∠P3OP2+∠P2OA＝60°，∴点P3表示60°；②作图可知，P2D＝P2O，∴∠P2OD＝∠P2DO，∵CB∥OA，∴∠P2DO＝∠DOA；∴，∴点P4表示15°；答：点P3表示60°，点P4表示15°；（2）作∠P3OP4的角平分线交BC于P5，点P5即为所求作的点，如图：∵点P3表示60°，点P4表示15°，∴∠P3OP4＝60°﹣15°＝45°，∴∠P3OP4+∠P4OA＝22.5°+15°＝37.5°，∴P5表示37.5°．六．三角形综合题（共1小题）7．（2023•金华）问题：如何设计“倍力桥”的结构？图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁b，使得横梁不能移动，结构稳固．图2是长为l（cm），宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为O1，O2，O3，O1M＝O1N，O2Q＝O3P＝2cm，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H1，H2是横梁侧面两边的交点，测得AB＝32cm，点C到AB的距离为12cm，试判断四边形CDEH1的形状，并求l的值．探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形H1H2H3…H12，求l的值；②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形H1H2H3…H n的周长．【答案】（1）CDEH1为菱形，l＝22cm；（2）①l＝（16+6）cm，②（）cm．【解答】解：探究1：①四边形CDEH1是菱形，理由如下：由图1可知，CD∥EH1，ED∥CH1，∴CDEH1为平行四边形，∵桥梁的规格是相同的，∴桥梁的宽度相同，即四边形CDEH1每条边上的高相等，∵平行四边形CDEH1的面积等于边长乘这条边上的高，∴CDEH1每条边相等，∴CDEH1为菱形．②如图1，过点C作CM⊥AB于点M．由题意，得CA＝CB，CM＝12cm，AB＝32cm，∴AM＝AB＝16cm，在Rt△CAM中，CA2＝AM2+CM2，∴CA＝20（cm），∴l＝CA+2＝22（cm），故答案为：l＝22cm．探究2：①如图2，过点C作CN⊥H1H2于点N，由题意，得∠H1CH2＝120°，CH1＝CH2，CN＝3cm，∴∠CH1N＝30°，∴CH1＝2CN＝6cm，H1N＝cm，又∵四边形CDEH1是菱形，∴EH1＝CH1＝6cm，∴l＝2（2+6+3）＝（16+6）cm，故答案为：l＝（16+6）cm．②如图3，过点C作CN⊥H1H2于点N．由题意，形成的多边形为正n边形，∴外角∠CH1H2＝，在Rt△CNH1中，H1N＝（cm），又∵CH1＝CH2，CN⊥H1H2，∴H1H2＝2H1N＝cm，∴形成的多边形的周长为（）cm．故答案为：（）cm．七．四边形综合题（共1小题）8．（2023•绍兴）在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），AB＝12，AD＝10，∠B为锐角，且sin B＝．（1）如图1，求AB边上的高CH的长；（2）P是边AB上的一动点，点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'，D'，①如图2，当C'落在射线CA上时，求BP的长；②当△AC'D'是直角三角形时，求BP的长．【答案】（1）8；（2）①；②6 或8±．【解答】解：（1）在▱ABCD中，BC＝AD＝10，在Rt△BCH中，HC＝BC sin B＝．（2）①如图，作CH⊥BA于点H，由（1）得，BH＝＝＝6，作C'Q⊥BA交BA延长线于点Q，则∠CHP＝∠PQC'＝90°，∴∠C'PQ+∠PC'Q＝90°，∵∠C'PQ+∠CPH＝90°，∴∠PC'Q＝∠CPH，由旋转知PC'＝PC，∴△PQC′≌△CHP（AAS）．设BP＝x，则PQ＝CH＝8，C′Q＝PH＝6﹣x，QA＝PQ﹣PA＝x﹣4．∵C′Q⊥AB，CH⊥AB，∴C′Q∥CH，∴△AQC′∽△AHC，∴，∴，∴x＝，∴BP＝，②由旋转得△PCD≌△PC′D′，CD＝C'D'CD⊥CD'又∵AB∥CD，∴C'D'⊥AB情况一：当以C′为直角顶点时，如图．∵C'D'⊥AB，∴C′落在线段BA延长线上．∵PC⊥PC'，∴PC⊥AB，由（1）知，PC＝8，∴BP＝6．情况二：当以A为直角顶点时，如图，设C'D'与射线BA的交点为T，作CH⊥AB于点H．∵PC⊥PC'，∴∠CPH+∠TPC'＝90°，∵点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'，D'，∴∠CPD＝∠C'PD'＝90°，PC＝PD，PC'＝PD'，∴∠CPD＝∠C'PD'，∴△PCD≌△PC'D'（SAS），∴∠PCD＝∠PC'D'，∵AB∥CD，∴∠BPC＝∠PCD＝∠PC'D'，∵∠C'PT+∠CPB＝90°，∴∠C'PT+∠PC'T＝90°，∴∠PTC'＝90°＝∠CHP，∴△CPH≌△PC′T（AAS），∴C′T＝PH，PT＝CH＝8．设C′T＝PH＝t，则AP＝6﹣t，∴AT＝PT﹣PA＝2+t．∵∠C'AD'＝90°，C'D'⊥AB，∴△ATD′∽△C′TA，∴，∴AT2＝C'T⋅TD'，∴（2+t）2＝t（12﹣t），化简得t2﹣4t+2＝0，解得，∴BP＝BH+HP＝8±，情况三：当以D'为直角顶点时，点P落在BA的延长线上，不符合题意．综上所述，BP＝6 或8±．②方法二：动静互换：将C、D看成静止的，点A绕P点顺时针旋转90°，∴△APA1是等腰直角三角形，∴A点轨迹是在∠BAE＝45°的射线AE上，当△A1CD为直角三角形时，（i）当∠A1CD＝90°时，∴∠BP1A1＝90°，∴BP1＝＝6；（ii）当点A为直角时，以CD为直径作圆O交AE于点A2、A3.如图所示，则△AOE为等腰直角三角形，∵AO＝8，∴AE＝8，OF＝4，∴A2F＝A3F＝2，AF＝4，∴AA2＝4+2，∴AP2＝4+BP2＝12﹣（4+）＝8﹣，（iii）AA3＝4﹣2，∴AA3＝4﹣，∴BP3＝12﹣（4﹣）＝8+，综上所述：BP＝6 或8±．八．作图—复杂作图（共1小题）9．（2023•台州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．【答案】（1）证明见解析部分；（2）作图见解析部分．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∠A＝∠C，∴180°﹣（∠ADB+∠A）＝180°﹣（∠CBD+∠C），即∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：如图，四边形BEDF就是所求作的菱形．九．解直角三角形的应用（共1小题）10．（2023•台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）【答案】AC的长约为80cm．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝120cm，∠BAC＝90°，∠B＝33.7°，∴tan B＝，∴AC＝AB•tan33.7°≈120×0.67＝80.4≈80（cm），∴AC的长约为80cm．一十．统计量的选择（共1小题）11．（2023•台州）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．表1：前测数据测试分数x0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤2020＜x≤25控制班A289931实验班B2510821表2：后测数据测试分数x0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤2020＜x≤25控制班A14161262实验班B6811183（1）A，B两班的学生人数分别是多少？（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．【答案】（1）50、46；（2）B班成绩好于A班成绩，理由见解答；（3）张老师新的教学方法效果较好，理由见解答．【解答】解：（1）A班的人数：28+9+9+3+1＝50（人），B班的人数：25+10+8+2+1＝46（人），答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．（2）＝＝9.1，＝≈12.9，从平均数看，B班成绩好于A班成绩．从中位数看，A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，B 班成绩好于A班成绩．从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩．（3）前测结果中：，．4，从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．从中位数看，两班前测中位数均在0＜x≤5这一范围，后测A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．从百分率看，A班15分上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三讲 方程（组）专项一 一元一次方程的概念和解法知识清单1．等式的概念与性质等式的概念 表示 关系的式子，叫做等式 等式的基本性质性质1 若a =b ，则a ±c =b ±c 性质2若a =b ，则ac =bc ，a c =bc（c ≠0） 2．一元一次方程的有关概念（1）含有未知数的 叫做方程；（2）使方程左、右两边 的未知数的值叫做方程的解；（3）只含有一个未知数，并且未知数的次数是 ，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程． 3．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 ． 考点例析例1 若关于x 的方程42x-+a =4的解是x =2，则a 的值为 . 分析：根据方程解的定义，将x =2代入方程42x-+a =4，再解关于a 的方程.例2 解方程：32x -+13x -=4.分析：方程两边每一项都乘以各分母的最小公倍数6，去掉分母，然后按照去括号、移项、系数化为1的步骤求解.解：归纳：解一元一次方程应注意：①去分母时，不含分母的项也要乘各分母的最小公倍数，分子是多项式的，去分母后要加上括号；②去括号时，括号前面是负号，去括号后括号里的各项都要变号；③移项要变号；④系数化为1时，方程两边都除以未知数的系数．跟踪训练1. 方程2x-1=2的解是（ ） A. x =2 B. x =3 C. x =5D. x =6 2. 解方程-2（2x +1）=x 时，下列去括号正确的是（ ） A. -4x +1=-x B. -4x +2=-x C. -4x -1=x D. -4x -2=x3. 若a ，b ，c 为互不相等的实数，且b =45a +15c ，则下列结论正确的是（ ） A. a ＞b ＞c B. c ＞b ＞a C. a -b =4（b -c ） D. a -c =5（a -b ）4. 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a 的值为 .第4题图专项二 二元一次方程（组）的概念和解法知识清单1．二元一次方程（组）的有关概念（1）含有两个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是，这样的方程叫做二元一次方程，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；（2）使二元一次方程组的两个方程左右两边都的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．也可以说二元一次方程组的解就是两个二元一次方程的公共解．2．解二元一次方程组的基本思路是“”，即把“二元”化为“一元”．常用的方法有和．当某个未知数的系数绝对值为1或一个方程的常数项为0时，用较简便；当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整数倍时，用较简便．考点例析例1 已知关于x，y的二元一次方程组235423，x y ax y a+=⎧⎨+=+⎩满足x-y>0，则a的取值范围是_____________．分析：根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，用含a的代数式表示出x-y，再根据x-y>0，求得a的取值范围．例2 解方程组：342 3.x yx y-=-⎧⎨-=-⎩①②，分析：注意到①可变形为y=3x+4，然后代入②消去y，再解一元一次方程即可.解：归纳：解二元一次方程组时，要仔细观察方程的系数特点，灵活选用适当的方法，力求解题过程简捷.本题两种方法均可，同学们可以自己尝试加减消元法.跟踪训练1.解方程组2323 4 ②，①x yx y+=⎧⎨-=⎩时，将①-②得（）A. -2y=-1B. -2y=1C. 4y=1D. 4y=-12. 方程组23 4，x yx y+=⎧⎨+=⎩的解是（）A.2，xy=⎧⎨=⎩B.11，xy=⎧⎨=⎩C.22，xy=⎧⎨=-⎩D.33，xy=⎧⎨=-⎩3.若21，ab=⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522，ax byax by⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x+2y的算术平方根为（）A. 3B. ±3C.D.4. 已知二元一次方程x+3y=14，请写出该方程的一组整数解.（写一组即可）5. 已知2，xy m=⎧⎨=⎩是方程3x+2y=10的一组解，则m的值是.6. 已知x，y满足方程组22237，，x yx y+=⎧⎨+=⎩则x+y的值为.7. 解方程组：32200 21530.①，②x yx y-+=⎧⎨+-=⎩8. 已知方程组271，x yx y+=⎧⎨=-⎩的解是关于x，y的方程ax+y=4的一个解，求a的值.专项三分式方程的概念和解法知识清单1. 分母中含有的方程叫做分式方程．2. 分式方程的解法：（1）去分母：在方程的两边都乘 ，约去分母，化成 ；（2）解这个整式方程；（3）检验：把整式方程的解代入 ，看结果是否为0，若最简公分母不为0，这个解就是原分式方程的解；若最简公分母为0，这个解就不是原分式方程的解，原分式方程无解．考点例析例1 解方程：21311x x x --+-=1. 分析：方程两边都乘以（x +1）（x -1）得到（x -1）2-3=（x +1）（x -1），求出方程的解，再检验即可. 解：归纳：由于去分母所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为零，因此求得解后一定要检验. 例2 若关于x 的分式方程311x mx x=--+2的解为正数，则m 的取值范围是 . 分析：根据解分式方程的一般步骤求出分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式.当x =1时方程中分式的分母为0，所以分式方程的解不等于1.根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到m 的取值范围.归纳：根据分式方程的解的情况确定方程中待定字母的取值范围，主要有两种类型：一是分式方程的解为正数、负数或非负数等，解题方法是先把分式方程的解用含字母的代数式表示出来，再建立不等式（组），求出字母的取值范围．要特别注意排除分式分母为零的情况；二是分式方程无解，包括两种情况：①由分式方程化为整式方程ax =b ，出现a ＝0，b ≠0的情况；②由分式方程化为整式方程，整式方程的解使得分式方程的分母为零．跟踪训练1. 方程123x x=-的解为（ ） A. x =-6B. x =-2C. x =2D. x =62. 若关于x 的分式方程233x ax x++--=2无解，则a 的值为（ ） A. -1B. 0C. 3D. 0或33. 关于x 的分式方程302m xx+-=-有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A. m =-2 B. m ≠-2C. m =2D. m ≠24. 若分式22y -+1的值为零，则y = . 5. 若关于x 的分式方程21x x --1=1mx -无解，则m = . 6.若x ＜2，且12x -+|x -2|+x -1=0，则x = . 7.若分式方程21x a x ---4=21x ax -++的解为整数，则整数a 的值为 .8. 解方程：2111x x x +=+-.专项四 一元二次方程的概念和解法知识清单1．只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）．2．一元二次方程的解法： （1）直接开平方法适用方程类型：（x +m ）2＝n （n ≥0）步骤：①两边开方，得x +m ＝；②解为x ＝-m ． （2）配方法适用方程类型：x2+px+q＝0（p为偶数）步骤：①化二次项系数为1；②常数项移右边，即x2+px＝-q；③配成完全平方式，即22px⎛⎫+⎪⎝⎭=-q+22p⎛⎫⎪⎝⎭；④直接开平方．（3）因式分解法适用方程类型：方程一边为0，另一边能分解成两个因式的乘积步骤：①把方程化成（ax+b）（cx+d）＝0的形式；②令ax+b＝0，cx+d＝0进行求解．（4）公式法适用于所有一元二次方程步骤：①将方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②确定a，b，c的值；③若b2-4ac≥0，则代入求根公式x＝a acb b24-2-±，求得x1，x2；若b2-4ac＜0，则方程无实数根．考点例析例1 关于x的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）A. 0B. ±3C. 3D. -3分析：把原方程化为一般形式（m-3）x2+（m2-9）x-5=0，由一元二次方程的定义，知m-3≠0，不含一次项，即m2-9=0，列式计算即可.例2 解方程：x2-4x-5=0.分析：本题可以用配方法，先移项将常数项移到等式的右边，得x2-4x=5，然后等式的两边同时加4，配成完全平方式，再利用直接开平方法解.也可以用公式法，公式法是所有一元二次方程的通用解法.解：归纳：当题目对解方程的方法没有具体要求时，要先观察方程的特点，看看能否运用因式分解法，不要急于把方程化为一般形式；若不能运用因式分解法求解，再化方程为一般形式，选择配方法或公式法求解．跟踪训练1. 关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个根是x=-2，则k的值为（）A. 2或4B. 0或4C. -2或0D. -2或22. 用配方法解方程x2+4x+1=0时，配方结果正确的是（）A.（x-2）2=5B.（x-2）2=3C.（x+2）2=5D.（x+2）2=33. 方程x2-x=56的根是（）已知a是不等式5（a-2）+8＜6（a-1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1=0.专项五一元二次方程根的判别式、根与系数的关系知识清单1. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），根的判别式Δ=_________________；当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根.2. 若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=____________，x1x2=_______________.考点例析例1若关于x的一元二次方程ax2+4x-2=0有实数根，则a的取值范围为.分析：利用一元二次方程的定义和根的判别式得到a≠0且Δ=42-4a×（-2）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可.归纳：根据一元二次方程根的情况求字母系数的值或取值范围，特别要注意考虑二次项系数不为0这个隐含条件.本题中，一元二次方程有实数根包含有两种情况：①Δ>0，方程有两个不等的实数根；②Δ=0，方程有两个相等的实数根.例2若m，n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根，则m2+4m+n的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 12分析：由根与系数的关系，得m+n=-3，mn=-9.又m是方程的一个根，所以m2+3m-9=0，即m2+3m=9.将m2+4m+n 拆成m2+3m+m+n，然后整体代入计算即可.跟踪训练1. 若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的值可以是（）A. -1B. 0C. 1D.2. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不等的实数根x1，x2，则（）A. x1+x2＜0B. x1x2＜0C. x1x2＞-1D. x1x2＜13. 关于x的一元二次方程x2+mx-m-2=0的根的情况是（）A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 实数根的个数由m的值确定4. 对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2-ab，例如3☆2=3×22-3×2=6，则方程1☆x=2的根的情况为（）A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不等的实数根5. 关于x的方程x2-x-1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2-x1x2的值为.6. 关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个实数根，则k的取值范围是.7. 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根.（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22=12，求m的值.专项六方程（组）的应用知识清单列方程（组）解应用题的实质是把实际问题利用已知量与未知量之间的等量关系抽象成数学问题（方程问题），然后通过数学问题的解决，获得实际问题的答案．列方程（组）解应用题的一般步骤为：（1）审：弄清题目中涉及的已知量与未知量，找出反映已知量与未知量关系的句子；（2）设：用x（或x，y）表示未知数，把其他量也用含有未知数的式子表示出来；（3）列：利用已知量与未知量之间的等量关系列出方程（组）；（4）解：解方程，注意检验所求得的解是否满足题意；（5）答：写出答语．考点例析例1 某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶.购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元.（1）求大、小两种垃圾桶的单价；（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？分析：（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据等量关系“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可；（2）利用总价=单价×数量，求得购买垃圾桶所需的费用.解：例2直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？分析：（1）根据日利润=每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的日利润.设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+()10605x-=（140-2x）件，根据日利润=每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值得出结论；（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过（1）中所求售价，列出不等式求解即可.解：例3 太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的53倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟.求走路线一到达太原机场需要多长时间？分析：根据题意得到等量关系：路线一的平均速度×53=路线二的平均速度，再根据等量关系列出方程，求解并检验.解： 跟踪训练1.某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元.若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）A. 20%B. 25%C. 30%D. 36%2. 为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距上班地点18 km ，他乘公交车平均每小时行驶的路程比自驾车平均每小时行驶的路程多10 km.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的34.小王乘公交车上班平均每小时行驶（ ） A. 30 km B. 36 km C. 40 km D. 46 km3.某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙型号无人机架数比总架数的13少2架.设甲型号无人机有x 架，乙型号无人机有y 架，根据题意可列方程组为（ ） A ．()()1113122，x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ B ．()()1113122，x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩C ．()()1112123，x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩D ．()()1112123，x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩4. 扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一.书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马 天追上慢马.5. 2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）.若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数.（请用方程知识解答）第5题图6. 某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图②）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图③）……以此类推【规律总结】（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．【问题解决】（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？①②③第6题图专项七二元一次方程组中的整体思想知识清单整体思想是从问题的整体结构进行分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的地整体处理.当方程（组）具有某种特殊的结构特征时，通过变形运用整体思想，把某些代数式看成整体进行计算，从而达到化繁为简的效果．例若x，y满足2223，，x yx y-=-⎧⎨+=⎩则代数式x2-4y2的值为____________．分析：观察代数式x2-4y2可以分解为（x+2y）（x-2y），然后直接代入求解.归纳：上述解法运用了整体代入法，将x+2y，x-2y看作整体.此题也可以解方程组求得x，y的值，再代入计算.跟踪训练1.已知二元一次方程组2521①，②，x yx y-=⎧⎨-=⎩则x-y的值为（）A. 2B. 6C. -2D. -62. 已知关于x，y的方程组221255①，②x y ax y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x+y=-3，则a的值为.参考答案专项一一元一次方程的概念和解法例1 3 例2 x=7.1. D2. D3. D4. 2专项二二元一次方程（组）的概念和解法例1 a>1例2 由①，得y=3x+4.将y=3x+4代入②，得x-2（3x+4）=-3，解得x=-1.将x=-1代入y=3x+4，得y=1.所以原方程组的解为11.xy=-⎧⎨=⎩，1. D2. B3. C4.111xy=⎧⎨=⎩，（答案不唯一） 5. 2 6. 57.解：将方程组整理，得353221.20①②xyyx+=-=-⎧⎨⎩，①×2-②×3，得-49y=-49，解得y=1.将y=1代入②，得x=-6.所以原方程组的解为61.x y =-⎧⎨=⎩，8. 解：方程组 1.27①②x y x y +=⎩=-⎧⎨，将②代入①，得2(y -1)+y =7，解得y =3.将y =3代入②，得x =2.所以方程组的解是23.x y =⎧⎨=⎩，将23x y =⎧⎨=⎩，代入方程ax +y =4，得2a +3=4，解得a =12.专项三 分式方程的概念和解法例1 方程两边都乘以（x +1）（x -1），得（x -1）2-3=（x +1）（x -1），解得x =-12. 检验：当x =-12时，（x +1）（x -1）≠0，所以x =-12是原分式方程的解. 例2 m ＜-2且m ≠-31. D2. A3. B4. 05. 26. 17. ±18. 解：方程两边同乘（x +1）（x -1），得2（x -1）+x 2-1=x （x +1），解得x =3. 经检验，x =3是原分式方程的解.专项四 一元二次方程的概念和解法例1 D 例2 x 1=5，x 2=-1. 1. B 2. D 3. C 4. D 5. -36. 解：移项，得x （x-7）+8（x-7）=0.提公因式，得（x-7）（x+8）=0，解得x 1=7，x 2=-8.7. 解：a=2，b=-5，c=3.因为Δ=b 2-4ac=（-5）2-4×2×3=1>0，所以方程有两个不等的实数根. 所以x=514±，即x 1=32，x 2=1. 8. 解：解不等式5（a -2）+8＜6（a -1）+7，得a ＞-3，所以最小整数解为-2.将a =-2代入方程x 2+2ax +a +1=0，得x 2-4x -1=0.配方，得（x -2）2=5.直接开平方，得xx 1x 2专项五 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系例1 a ≥-2且a ≠0 例2 C 1. D 2. D 3. A 4. D 5. 2 6. k≥-17. 解：（1）根据题意，得Δ=（2m ）2-4（m 2+m ）≥0，解得m ≤0.所以m 的取值范围是m ≤0. （2）根据题意，得x 1+x 2=-2m ，x 1x 2=m 2+m .因为x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=12，所以（-2m ）2-2（m 2+m ）=12，即m 2-m -6=0，解得m 1=-2，m 2=3（舍去）.所以m 的值为-2.专项六 方程（组）的应用例1 （1）设大垃圾桶的单价为x 元，小垃圾桶的单价为y 元.根据题意，得24606815060y x x y +=+=⎧⎨⎩，，解得60180x y ==⎧⎨⎩，.答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元. （2）180×8+60×24=2880（元）.答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元.例2 （1）设售价应定为x 元，则每件的利润为（x -40）元，日销售量为20+()10605x -=（140-2x ）件. 根据题意，得（x -40）（140-2x ）=（60-40）×20.整理，得x 2-110x +3000=0，解得x 1=50，x 2=60（舍去）. 答：售价应定为50元.（2）该商品需要打a 折销售.根据题意，得62.5×10a≤50，解得a ≤8. 答：该商品至少需打8折销售.例3 设走路线一到达太原机场需要x 分钟. 根据题意，得5253037x x ⨯=-，解得x =25. 经检验，x =25是所列分式方程的解，且符合实际. 答：走路线一到达太原机场需要25分钟. 1. A 2. C 3. D 4. 205. 解：设这个最小数为x ，则最大数为（x +8）.根据题意，得x （x +8）=65.整理，得x 2+8x -65=0，解得x 1=5，x 2=-13（不合题意，舍去）. 答：这个最小数为5.6. 解：（1）2 （2）（2n+4） （3）令2n+4=2021，得n=1008.5.当n=1008时，2n+4=2020，此时剩下1块等腰直角三角形地砖，所以需要正方形地砖1008块.专项七 二元一次方程组中的整体思想例 -6 1. A 2. 5。