有限元原理(加权余量法和变分法)

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3. 加权余量法－－例1
3. 加权余数表达式：
F j(R ) jR d jR d ， j 1 ,2
j 1时,得到一个代数方程：
F1(R) 1R d 1R d
d 0
x(2C2
)d
|x0x((C1x1C2x2
) x0
0)d
|xd
x((C1x1C2x2
) xd
10)d
2.结合问题，写出余数表达式：
2
（） ＝ Cixi＝C1x1C2x2 i1
： R（ ） （ ）
在 x0处（ ： ） x0＝ (C1x1C2x2)x0
在 xd处（ ： ） xd＝ (C1x1C2x2)xd
在x0处： （）x0＝0
在 x0处R： x0＝ 0
在xd处（ ：）xd＝10
在 xd处R： xd＝ (C1d1C2d2)10
第三讲
1.偏微分方程求解－－有限元法的原 理（加权余量法和变分法）
2
A
2A t 2
J
2
2
t 2
1. 解析法
2. 应用范围有限，适用于理论求解，但有强烈的物理含义（常系数微分 方程）
3. 某些复杂问题，很考虑根本找不到解析解
2. 数值法
工程实际中应用广泛，复杂场域问题，但物理含义不很清楚。任何问题总可 以找到数值解（数学方法）
近似解
问题的自 由度
n
Ci i i 1
简单函数，一般选用 简单形式的函数，一 旦选定就是已知的了
待定系数是真
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正的求解目标 整理ppt
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设 法使其最小的方法。
加权余量法误差（即余数）的定义：
C2d2 0(C1d2 C2d3 10d)d2C1d2(1d)C2 10d 0
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3. 加权余量法－－例1
3. 加权余数表达式：
j 2时, 又得到一个代数方程：
F2(R)
2 R
d
2 R
d
d 0
x2 (2C2 )d
| x0 x 2 ((C1x1 C2 x 2 ) x0 0) d
两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。磁位矢 量的方程可以分解到各个分量上变为标量方程。
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3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法
在求解场域内，偏微分方程的真解为 ，近似解为 它由一组简单函数
ψ i 的线性组合表达，表达中有待定系数 C i 即：
wj＝w*j＝j
即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数
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3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
由此构建加权量法的目标函数：
关于函数的函数， 称为：泛函数，或
泛函
Fj(R) jRdjRd，
令Fj(R) 0则余数最 小 趋， 于
上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。
| xd x 2 ((C1x1 C2 x 2 ) xd 10 ) d
2 3
C2d 3
0
(C1d 3
C2d
4
10 d
2)
14
d
3C1
d
3( 2 3
d )C2
10 d
2
0
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3. 加权余量法－－例1
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解
解得 C 1 ＝ 1/： 0 d； C 2 ＝ 0
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2/4 2.数值求解方法
1. 基本思想：
以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够 接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。
2. 基本方法：
尝试函数，基 函数，形函数
ψ 1. 假设一个近似解，该解为一组（形式上）简单函数 i 的线性组合
2.
来表示，线性组合的系数就是一组待定系数 C i
然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解
和近似解
间误差的目标函数 F
3. 用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了
待定系数，从而也就得到了问题的近似解。
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2/4 2.数值求解方法
目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 另一方面，求得构成近似解的待定系数。
权函数的积分为0。－－“加权余量法”的来由。
设加权函数wj为 ： ;w*j
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3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余数的定义：
目标函数：
wjRdw*jRd，j1,2,....
加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。 效果较好的、运用较多的是迦辽金法：
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3. 加权余量法－－例1
例1.两极电容板内部电场分布问题： 根据问题特点将3维问题简化为2维， 进一步简化为1维。 该问题是静态电场问题， 偏微分方程和边界条件：
2 0 0 0; d 10;
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3. 加权余量法－－例1
加权余量法求解： 1.选取尝试函数、构造近似解：
理论上任意选取， 操作中越简单越好
i xi (i1,2)
n
2
C i iC ix i C 11 C 22 C 1 x 1 C 2 x 2
i 1
i 1
2.结合问题，写出余数表达式：
: R 22
2C2
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2 2( 2 Cixi) 2(C1x1)2(C2x2)
i1
02C2
2 0
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3. 加权余量法－－例1
问题的自 由度
场域 内: R22 边界 上R ： （） （）
注意：一般余数并不表示近似解与真解间的代数差（场域内），加权余 量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数），来代表近似解 整体接近偏微分方程真解的程度。
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3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。 为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数，以使余数和该加
近似 （ ） ＝ 解 i 2 1C ix： i＝ C 1x1C 2x2 ＝ 1 dx 0
加权余量法求解流程： 1.选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题，写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组，解之得到待定
数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的 数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。
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3.电磁场位函数偏微分方程的数值求ห้องสมุดไป่ตู้方法－加权余量法
电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述
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A
2A t 2
J
2
2
t 2
1 g(1)
t 2(2)2h(2)