环形一级倒立摆设计
一级倒立摆的PID控制设计
一级倒立摆的PID控制设计一级倒立摆的PID控制设计摘要本文主要研究的是一级倒立摆的PID控制问题，并用遗传算法对其PID的参数进行了优化。
倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。
由于在实际中有很多类似于倒立摆的系统，因此对它的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。
本文首先简单地介绍了倒立摆以及倒立摆的控制方法，并对其参数优化算法做了分类介绍。
然后，介绍了遗传算法的基本理论和操作方法。
接着建立了一级倒立摆的数学模型，并求出其状态空间描述。
本文主要采用遗传算法来对PID的参数进行优化，得到较好的PID参数。
最后，用Simulink对系统进行了仿真，验证了该方法的有效性，证明遗传算法是较为理想的参数优化方法。
关键词：PID控制器；倒立摆；遗传算法；MATLAB仿真目录1绪论 (1)1.1倒立摆简介 (1)1.2倒立摆的控制方法 (2)1.3PID控制器参数整定方法 (3)1.4本文的主要任务 (5)2 PID简介 (6)2.1PID控制的基本原理 (6)2.2PID控制器的参数整定 (7)2.3PID控制的基本用途 (8)2.4PID控制的重要意义 (9)3遗传算法的基本理论和基于遗传算法的PID参数寻优 (11)3.1遗传算法的基本原理 (11)3.2遗传算法的操作方法 (13)3.2.1二进制编码 (13)3.2.2适应度函数 (13)3.2.3遗传操作 (16)3.3遗传算法的应用关键 (19)3.4基于遗传算法的PID参数寻优 (19)3.4.1基于遗传算法的PID寻优优点 (20)3.4.2基于遗传算法的PID寻优方法 (20)4 一级倒立摆的模型 (23)4.1一级倒立摆的物理模型 (23)4.2一级倒立摆的数学模型 (23)5直线一级倒立摆PID控制系统的设计及仿真 (27)5.1PID控制器的设计 (27)5.2一级倒立摆系统的S IMULINK模型及系统仿真 (27)5.2.1MATLAB及Simulink (27)5.2.2一级倒立摆系统的Simulink模型 (27)5.2.3仿真结果 (28)5.3小结 (30)结论 (31)致谢 (33)参考文献 (34)附录 (35)1绪论1.1倒立摆简介倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一阶倒立摆是一种常见的控制系统，它由一个旋转臂和一个悬挂在旋转臂末端的摆杆组成。
控制目标是使摆杆保持垂直位置并保持在指定的角度范围内。
本文将基于双闭环PID控制设计一阶倒立摆控制系统，并对其进行详细的分析和讨论。
首先，我们需要明确控制系统的结构。
一阶倒立摆控制系统可以分为两个闭环：内环和外环。
内环用于控制旋转臂的角度，并将输出作为外环的输入。
外环用于控制摆杆的角度，并根据测量的摆杆角度和设定的目标角度来调整内环的输入。
在进行控制系统设计之前，我们需要先建立一阶倒立摆的数学模型。
假设倒立摆的质量集中在摆杆的一端，摆杆的长度为L，质量为m，摩擦系数为b，重力加速度为g。
通过应用牛顿第二定律，可以得到如下动力学方程：mL²θ¨ + bLθ˙ + mgLsinθ = u其中，θ是旋转臂的角度，u是旋转臂的扭矩。
为了简化方程，我们进行恒定参数修正和线性化处理，得到线性方程：θ¨ + 2ξωnθ˙ + ωn²θ = kru其中，ξ是阻尼比，ωn是无阻尼自然频率，kr是旋转臂的增益。
接下来，我们将按照以下步骤设计基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统：1.内环设计：-选择合适的内环闭环控制器类型。
对于一阶倒立摆，可以选择PID控制器。
-根据倒立摆的特性和性能要求，选择合适的PID参数。
可以使用试错法、经验法、系统辨识等方法进行参数调整。
-将PID控制器的输入设置为旋转臂角度误差，输出为旋转臂的扭矩。
2.外环设计：-选择合适的外环闭环控制器类型。
对于一阶倒立摆，可以选择PID控制器。
-根据倒立摆的特性和性能要求，选择合适的PID参数。
-将PID控制器的输入设置为摆杆角度误差，输出为旋转臂的角度设定值。
3.进行系统仿真和调试：-使用MATLAB等仿真工具建立一阶倒立摆的数学模型，并将设计的控制器与模型进行集成。
-调整控制器的参数，以满足性能指标和系统稳定性的要求。
一级倒立摆【控制专区】系统设计
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。
设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。
二、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。
三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。
计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。
四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为（2） 摆杆重心的运动方程为得sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ) (3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得 一阶倒立摆简化模型：....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩即 G 1(s)= ; G 2(s)=一阶倒立摆环节问题解决！2.电动机驱动器选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下：222()0.4()12() 1.110()s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩驱动电压：U=0~100V 额定功率：PN=200W 额定转速：n=3000r/min 转动惯量：J=3×10-6kg.m2 额定转矩：TN=0.64Nm 最大转矩：TM=1.91Nm 电磁时间常数：Tl=0.001s 电机时间常数：TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为：F=0~16N ；与其配套的驱动器为：MSDA021A1A ，控制电压：UDA=0~±10V 。
环形一级倒立摆设计
1 绪论随着电脑技术和通信技术的飞速发展，控制理论的研究不断深入，自动控制技术在农业、工业、军队和家庭等社会各领域得到了广泛应用，对于提高劳动生产率做出了重要奉献。
倒立摆是一种理想的控制对象平台，它结构简单、成本较低，可以有效地检验众多控制方法的有效性。
对倒立摆系统这样一个典型的多变量、快速、非线性和自然不稳定系统的研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。
这不仅因为其级数增加而产生的控制难度是人类对其控制能力的有力挑战，更是因为在实现其稳定控制的过程中，众多的控制理论和方法被不断应用，新的控制理论和方法因而层出不穷。
各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验，并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合，进而使得这些新方法、新理论可以应用到更加广泛的受控对象中。
1.1 倒立摆系统的分类随着倒立摆系统控制方法研究的不断深入，倒立摆系统的种类也逐渐发展为多种形式。
目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面)内摆动的摆。
考虑倒立摆的不同结构形式，倒立摆系统可以分为以下几种类型1〕小车倒立摆系统仁或称为“直线倒立摆系统”)小车倒立摆系统主要由小车和摆杆两部分构成。
其中，摆杆可以是一级、两级、三级、四级甚至多级。
摆杆的级数越多，控制难度越大，而摆杆的长度也可能是变化的。
控制目标一般是通过给小车施加一个水平方向的力，使小车在期望的位置上稳定，而摆杆到达竖直向上的动态平衡状态。
2〕旋转倒立摆系统仁或称为“环形倒立摆系统”)旋转倒立摆系统是在小车倒立摆系统的基础上发展起来的。
与小车倒立摆不同，旋转倒立摆将摆杆安装在与电机转轴相连的水平旋臂上，通过电机带动旋臂在水平面的转动来控制摆杆的倒立，摆杆可以在垂直平面内旋转。
旋转倒立摆将小车倒立摆的平动控制改为旋转控制，使得整个系统更为复杂和不稳定，增加了控制的难度。
3〕平面倒立摆系统在平面倒立摆系统中，匀质摆杆底端可以在平面内作二维自由运动，摆杆 可沿竖直平面内任一轴线转动。
4.2 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
系统建模与仿真
4.2 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
内环控制器设计
角度内环对象为一非线性的自不稳定系统,故拟采用 “反馈校正”。
D(s)
r (s)
G2 (s)
K
Ks
D2 ( s )
(s)
采用PD结构的 反馈控制器可 使系统结构简 单，使原自不 稳定的系统稳 定。
系统建模与仿真
系统建模与仿真
4.2 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
2) 不同摆杆长度
所设计的双闭环PID控制器在系统参数的一定变化范围内能有效的工 作，保持摆杆直立并使小车有效定位，控制系统具有一定的鲁棒性。
系统建模与仿真
4.2 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
5 结论
1. 本节从理论上证明了所设计的“一阶直线倒立摆”双闭环PID 控制方案是可行的；
Simulink子系统
模型的封装
将复杂系统变的简洁，可读性强
系统建模与仿真
4.2 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
模型验证
封装模型
精 确 模 型
线 性 化 模 型
系统建模与仿真
4.2 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
仿真实验：
在0.1N的冲击力作用下，摆杆倒下，小车位置逐渐增加；这一结果符合前 述的实验设计，故可以认为该“一阶倒立摆系统”的数学模型是有效的。
内环： 2 W
K K sG 2 ( S ) 1 K K sG 2 ( S ) D 2 ( S ) 64 s 64 K D 2s 64 K P 2 40
2
系统建模与仿真
4.2 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
一阶倒立摆控制系统设计
一阶倒立摆控制系统设计首先，设计一阶倒立摆控制系统需要明确系统的参数和模型。
一阶倒立摆通常由一个平衡杆和一个摆组成。
平衡杆的长度、摆的质量和位置等都是系统的参数。
根据平衡杆的转动原理和摆的运动方程，可以得到一阶倒立摆的数学模型。
接下来，根据系统的数学模型，进行系统的稳定性分析。
稳定性分析是判断一阶倒立摆控制系统是否能够保持平衡的重要步骤。
常用的稳定性分析方法有判据法和根轨迹法。
判据法通过计算特征方程的根来判断系统的稳定性，根轨迹法则通过特征方程的根随一些参数变化的路径来分析系统的稳定性。
在进行稳定性分析的基础上，选择合适的控制策略。
常见的控制策略有比例控制、积分控制和微分控制等。
比例控制通过将系统的输出与期望值之间的差异放大一定倍数来控制系统；积分控制通过积分系统误差来进行控制；微分控制通过对系统误差的微分来进行控制。
在选择控制策略时，需要考虑系统的动态响应、稳态误差和鲁棒性等指标。
在选定控制策略后，进行控制器的设计和参数调节。
控制器是实现控制策略的核心部分。
控制器可以是传统的PID控制器，也可以是现代控制理论中的模糊控制器、神经网络控制器等。
控制器的参数需要通过试探法、经验法或者系统辨识等方法进行调节，以使系统达到最佳的控制效果。
最后，进行实验验证和性能评估。
在实验中，需要将控制器与倒立摆系统进行连接，并输入一定的控制信号。
通过测量系统的输出响应和误差，可以评估控制系统的性能，并进行调整和改进。
综上所述，一阶倒立摆控制系统设计的步骤包括系统参数和模型确定、稳定性分析、控制策略选择、控制器设计和参数调节、实验验证和性能评估等。
在设计过程中，需要综合考虑系统的稳定性、动态响应和鲁棒性等因素，以实现一个稳定可靠、性能优良的一阶倒立摆控制系统。
基于双闭环设计的一阶倒立摆PID控制方法1
基于双闭环设计的一阶倒立摆PID控制方法1摘要倒立摆控制是控制理论中的经典问题，双闭环控制方法在倒立摆控制中得到广泛应用，本文提出了一种基于双闭环设计的一阶倒立摆PID控制方法。
首先建立倒立摆的数学模型，选择控制器型号为PID控制器，并采用标准的Ziegler-Nichols方法进行控制器参数调节。
接着，设计了两级闭环控制系统：外环控制倒立摆的角度，内环控制电机输出的电压，以保证倒立摆稳定控制。
仿真结果表明，该控制器在扰动干扰下也能够实现稳定控制，具有较高的精度和稳定性。
关键词：双闭环，一阶倒立摆，PID控制，Ziegler-Nichols方法AbstractInverted pendulum control is a classic problem in control theory. The double closed-loop control method has been widely used in inverted pendulum control. This paper proposes a first-order inverted pendulum PID control method based on double closed-loop design. First, the mathematical model of the inverted pendulum is established, and the controller type is selected as PID controller. The standard Ziegler-Nichols method is used to adjust the controller parameters. Then, atwo-level closed-loop control system is designed: the outer loop controls the angle of the inverted pendulum, and the inner loop controls the voltage output of the motor to ensure stable control of the inverted pendulum. Simulation results show that the controller can achieve stable control even under disturbance interference, and has high accuracy and stability.Keywords: double closed-loop, first-order inverted pendulum, PID control, Ziegler-Nichols method一、引言倒立摆是一种在工业自动化控制、机器人自主导航、交通运输车辆控制等领域应用广泛的研究对象，其控制问题一直是研究的热点，也是控制理论中的经典问题。
一阶倒立摆控制设计与实现
一阶倒立摆控制设计与实现一阶倒立摆是一种常见的控制系统模型，它由一个垂直的支柱和一个质量为m 的物体组成，物体通过支柱与地面相连。
在控制系统中，我们需要设计一个控制器来控制物体的位置和速度，使其保持在垂直位置上。
本文将介绍一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容。
一、一阶倒立摆模型一阶倒立摆模型可以用以下方程描述：m*d^2y/dt^2 = -mg*sin(y) + u其中，y是物体的位置，u是控制器的输出，m是物体的质量，g是重力加速度，t是时间。
该方程可以通过拉普拉斯变换转换为传递函数：G(s) = Y(s)/U(s) = 1/(ms^2 + mg)二、控制器设计为了控制一阶倒立摆，我们需要设计一个控制器来产生控制信号u。
常见的控制器包括比例控制器、积分控制器和微分控制器，它们可以组合成PID控制器。
在本文中，我们将使用比例控制器来控制一阶倒立摆。
比例控制器的输出与误差成正比，误差越大，输出越大。
比例控制器的传递函数为：Gc(s) = Kp其中，Kp是比例增益。
三、闭环控制系统将控制器和一阶倒立摆模型组合起来，得到闭环控制系统的传递函数：G(s) = Y(s)/R(s) = Kp/(ms^2 + mg + Kp)其中，R(s)是参考信号，表示我们期望物体保持的位置。
四、控制系统实现在实现控制系统之前，我们需要对一阶倒立摆进行建模和仿真。
我们可以使用MATLAB等工具进行建模和仿真。
在MATLAB中，我们可以使用Simulink模块来建立一阶倒立摆模型和控制器模型。
在建立模型之后，我们可以进行仿真，观察系统的响应和稳定性。
在实现控制系统时，我们需要选择合适的硬件平台和控制器。
常见的硬件平台包括Arduino和Raspberry Pi等，常见的控制器包括PID控制器和模糊控制器等。
在实现控制系统之后，我们需要进行调试和优化，以达到最佳控制效果。
五、总结本文介绍了一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容，包括一阶倒立摆模型、控制器设计、闭环控制系统和控制系统实现。
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1 绪论随着计算机技术和通信技术的飞速发展，控制理论的研究不断深入，自动控制技术在农业、工业、军队和家庭等社会各领域得到了广泛应用，对于提高劳动生产率做出了重要贡献。
倒立摆是一种理想的控制对象平台，它结构简单、成本较低，可以有效地检验众多控制方法的有效性。
对倒立摆系统这样一个典型的多变量、快速、非线性和自然不稳定系统的研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。
这不仅因为其级数增加而产生的控制难度是人类对其控制能力的有力挑战，更是因为在实现其稳定控制的过程中，众多的控制理论和方法被不断应用，新的控制理论和方法因而层出不穷。
各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验，并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合，进而使得这些新方法、新理论可以应用到更加广泛的受控对象中。
1.1 倒立摆系统的分类随着倒立摆系统控制方法研究的不断深入，倒立摆系统的种类也逐渐发展为多种形式。
目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面)内摆动的摆。
考虑倒立摆的不同结构形式，倒立摆系统可以分为以下几种类型1）小车倒立摆系统仁或称为“直线倒立摆系统”)小车倒立摆系统主要由小车和摆杆两部分构成。
其中，摆杆可以是一级、两级、三级、四级甚至多级。
摆杆的级数越多，控制难度越大，而摆杆的长度也可能是变化的。
控制目标一般是通过给小车施加一个水平方向的力，使小车在期望的位置上稳定，而摆杆达到竖直向上的动态平衡状态。
2）旋转倒立摆系统仁或称为“环形倒立摆系统”)旋转倒立摆系统是在小车倒立摆系统的基础上发展起来的。
与小车倒立摆不同，旋转倒立摆将摆杆安装在与电机转轴相连的水平旋臂上，通过电机带动旋臂在水平面的转动来控制摆杆的倒立，摆杆可以在垂直平面内旋转。
旋转倒立摆将小车倒立摆的平动控制改为旋转控制，使得整个系统更为复杂和不稳定，增加了控制的难度。
3）平面倒立摆系统在平面倒立摆系统中，匀质摆杆底端可以在平面内作二维自由运动，摆杆 可沿竖直平面内任一轴线转动。
小车倒立摆的摆杆底端运动轨迹是直线，旋转 倒立摆的摆杆底端运动轨迹是圆周，而平面倒立摆的摆杆底端在二维平面内无 固定的运动轨迹，这也是它与前两种倒立摆的主要区别。
4）柔性倒立摆系统在柔性倒立摆系统中，由于将匀质刚体摆杆换成了柔性摆杆，这种倒立摆 的摆杆本身已经变成了非线性分布参数系统。
5）直线柔性连接倒立摆系统所谓直线柔性连接倒立摆系统，就是在直线刚性倒立摆的基础上，加入自 由弹簧系统:电机连接一个主动小车，而主动小车通过一根弹簧作用于从动小 车，对固定在从动小车上的倒立摆实施控制。
1.2设计内容及要求设计内容：1. 构建单级旋转倒立摆模型；；2. 实现单级旋转倒立摆摆杆的稳定控制；；3. 基于MATLAB 完成稳定控制仿真；基本要求：1． 摆角稳定控制范围：1010θ-≤≤；2． 旋臂转角可在0360进行控制。
1.3课题研究的意义倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有较为简单的结构、可以有效地检验众多控制方法的有效性、参数和模型易于改变、相对低廉的成本等优点，研究控制理论的很多科研人员一直将它们视为主要的研究对象，用它们来描述线性控制领域中不稳定系统的稳定性以及在非线性控制领域中的无源性控制、变结构控制、非线性观测器、自由行走、非线性模型降阶、摩擦补偿等控制思想，且从中不断开发出新的控制方法和控制理论，所以倒立摆系统是研究智能控制方法较为理想的实验装置。
不仅如此，倒立摆系统也是进行控制理论教学的理想平台。
很显然，这种实验教学方法难以培养学生综合素质和实践能力。
所以必须在实验环节的内容和形式上进行改革与创新，以培养学生的创新意识和实践动手能力。
因此，进行设计性、开放性的综合实验具有极其重要的现实意义。
1.4本人侧重点本人主要工作是旋转倒立摆系统的lagrange方程建模及性能分析。
倒立摆系统是一个异常复杂而又对准确性、快速性要求很高的非线性不稳定控制问题.显然一个典型的非线性、不稳定系统的研究成果无论在理论上或是在方法论上都有重要的意义.而倒立摆数学模型的建立对研究其稳定性具有指导作用.实验证明在此建模基础上采用状态反馈法对倒立摆系统的稳定控制相当成功,并可在此基础上对其进行分析,为计算机控制提供理论与实践的依据.2 旋转倒立摆系统的Lagrange方程建模与可控性分析在建立倒立摆系统的模型时，传统的方法一般采用牛顿运动定律来求解。
但在用牛顿运动定律来求解质点组的运动问题时，常常要列解大量的微分方程组。
在许多实际问题中，求解微分方程会遇到困难。
特别是当质点组存在约束情况时，还需要确定各质点间的相互作用力、位移、速度、加速度关系，联立求解这些方程则更为困难。
为了简化旋转倒立摆系统的数学建模过程，本章采用了分析力学中的Lagrange方程推导旋转倒立摆的系统模型，并对该系统的可控性进行了分析。
首先，在第2.1节中分析了Lagrange方程的物理意义和特点;接下来，在第2.2节中讨论了旋转式倒立摆系统的特点，对倒立摆系统进行了动力学分析;然后，在第2.3节中根据Lagrange 方程运用动力学理论对旋转倒立摆系统建立数学模型;随后，在第 2.4节中分析了旋转倒立摆系统模型中的非线性因素以及局部线性化带来的问题;最后，在第2.5节中对旋转倒立摆系统的可控性进行了分析。
2.1 Lagrange 方程及其特点Lagrange 方程是分析力学中的一个重要方程，它不仅在理论上揭示了系统的最小势能原理，在实用上也有很大价值。
分析力学是理论力学的重要组成部分，主要从能量角度来研究力学体系的运动规律，把系统作为一个整体来考察，用动能和势能的标量函数来描述系统，使很多受理想约束的非自由质点系动力学问题的研究和求解过程大为简化。
当系统的动能和势能的表达式可求的情况下，使用Lagrange 方程可以使系统动力学方程的形式和求解变得很简单。
设n q q q ,...,21为系统的广义坐标;n q q q,...,21为系统的广义速度，即广义坐标对时间的导数;H 是用广义坐标和广义速度表示的系统功能;n Q Q Q ,...,21为对应于各个广义坐标的广义力，则系统的运动满足下列方程组： )qH (Q )q H (dt d i i i ∂∂+=∂∂ （i=1,2...n ） (2-1) 上式为Lagrange 方程的一般形式。
其物理意义为广义动量对时间的变化率等于系统广义力和拉格朗日力之和。
iq H ∂∂叫拉格朗日力，表示惯性力的投影。
广义力i Q 的物理意义主要决定于广义坐标的量纲,例如，当i q 表示长度时，则i Q 表示作用力；当i q 表示面积时，则i Q 表示表面张力；当i q 表示体积时，则i Q 表示应力；当i q 表示转角时，则i Q 表示力矩。
当作用于系统的主动力为保守力，即系统为保守系统时，可将方程写为 0=∂∂-∂∂)H ()H (dt d q q ii （i=1,2...n ） （2-2） 这里H 为系统的动能T 和势能V 之差（H=T-V ）。
在分析力学中称H 为Lagrange函数。
为减少实验的盲目性，简化系统的建模过程，采用Lagrange方程推导旋转倒立摆的系统模型。
Lagrange方程有如下特点:1)它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统自由度数是一致的。
2)理想约束反力不出现在方程组中，因此在建立运动方程式时，只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。
3 ) Lagrange方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量--系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量--广义力。
因此用拉格朗日方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。
2．2旋转倒立摆的特点及系统动力学分析2．2．1旋转倒立摆的特点目前在倒立摆的研究中，以小车式倒立摆为控制对象的文章很多。
人们对于小车驱动式倒立摆的研究进行的比较深入，提出了多种不同的控制算法，为控制理论的发展做出了重要贡献。
但是，小车式倒立摆在机械系统上需要有很长的导轨，这占用了较大的空间。
另外，由于小车式倒立摆有着繁多的传动机构，在实验过程中经常因为机城系统的误差和故障影响控制效果，从而干扰对控制算法本身性能的有效判断。
旋转式倒立摆与小车式倒立摆不同，出于将小车的平动控制改为旋臂的旋转控制，在硬件结构上减少了中问传动机构，使其系统结构更加简单牢固，相对于小车式倒立摆具有更大的非线性、不稳定性和复杂性，对控制算法提出了更高的要求。
在本文中我们研究的是一种新型的旋转倒立摆装置。
作为一种新型的倒立摆装置，旋转倒立摆系统主要有以下四个特点：(1)不确定性：主要是由模型的参数误差以及机械传动过程中的减速齿轮间隙所导致。
但是与小车倒立摆系统相比，由于没有了导轨上用于拖动小车的皮带，影响程度相对较小。
(2)耦合特性：旋转倒立摆系统的摆杆和水平旋臂之闷j，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之削都有较强的耦合作用。
(3)开环不稳定性：丌坏时微小的扰动就会使系统离丌平衡点而倾倒。
(4)行程无限制：旋转倒立摆系统的水平旋臂没有行程限制，而小车倒立摆系统中小车的行程是有物理限制的，因而增加了控制的约束，使得一些控制算法在小车倒立摆系统上无法实现。
2. 2. 2旋转倒立摆系统的动力学分析对旋转倒立摆系统建立数学模型是实现倒立摆控制的基础，下面对课题采用的单级旋转倒立摆系统的数学模型进行动力学分析。
旋转倒立摆的模型结构如图2-1所示，在忽略各种阻力和摩擦的条件下，旋臂和摆杆可以抽象为的两个匀质杆，其中旋臂长度为r，相对其水平方向零位的角位移为θ;摆杆质心与铰链距离为L，相对其竖直方向零位的角位移为α.相应地，θ 为旋臂角速度，α 为摆杆角速度。
图2-1 旋转倒立摆系统模型分析下面根据动力学理论介绍单级旋转倒立摆的动力学方程推导。
摆杆质心的速度由水平和竖直两个分量构成:y L x L V ˆ)(sin ˆ)(cos αααα --=摆杆质心 （2-3） 其中,x L ˆ)(cos αα -表示摆杆质心的水平速度分量,y L ˆ)(sin αα -表示摆杆质心的竖直速度分量。
旋臂和摆杆一起运动,其沿水平方向x 的线速度为:θr V =旋臂 （2-4） 摆杆质心在x 方向和y 方向的速度分量为:)(sin )(cos ααααθ L V L r V y x -=-= （2-5） 方程组式(2-5)给出了完整的摆杆速度描述,应用Lagrange 方程可推导出系统的动态方程。
2.3旋转倒立摆系统的Lagrange 方程建模以旋臂所在水平面为零势能面,则系统的势能V 即为摆杆的重力势能,因 此系统势能V 可以表示为：αcos mgL mgh V ==系统的动能T 由四部分因素构成,它们包括:旋臂在水平面内的转动,摆杆 在竖直平面内的转动,摆杆质心沿x 轴方向的速度、沿y 轴方向的速度(参见 图2一1),对应的动能分量这里分别用T 1、T 2、T 3、T 4表示：4321T T T T T +++=其中： 21121θ J T = α 2221J T =23))(cos (21ααθ L r m T -=24))(sin (21αα L m T -=故系统动能T 可以表示为：22221))(sin (21))(cos (212121ααααθαθ L m L r m J J T -+-++= （2-6） 设R 为摆杆长度,由于L 为R 的一半,即R=2L 。