梁的强度计算(清华大学)

O´
b
2 I y 1 z b dA A
z
I z 1 y a dA
2 A
I y1z1 y a z b dA
A
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的 坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另 外一些坐标轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标 轴，图形对其静矩等于零。
如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置； 反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计 算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。
与应力分析相关的截面 图形几何性质
与应力分析相关的截面 图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
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惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于 坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。三者的 单位均为m4。
与应力分析相关的截面 图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
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工程中的弯曲构件
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工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
桥式吊车的大 梁可以简化为两端饺 支的简支梁。在起吊 重量(集中力FP)及大梁 自身重量(均布载荷q) 的作用下,大梁将发生 弯曲。
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工程中的弯曲构件
解：取圆环微元面积
r C
dA 2 rdr π
z
d
IP 1 d 2 Iy Iz 2 r dA 2 2 0 1 d 2 π d4 2 r 2 r dr π 0 2 64 I y πd 4 IP 2 32
与应力分析相关的截面 图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
与应力分析相关的截面 图形几何性质
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静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理 惯性矩与惯性积的转轴定理
主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩
与应力分析相关的截面 图形几何性质
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静矩、形心及其相互关系
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实际计算中，对于简单的、规则的图形，其 形心位置可以直接判断，例如：矩形、正方形、圆形、 正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形， 则先将其分解为若干个简单图形（可以直接确定形心 位置的图形）；然后分别计算它们对于给定坐标轴的 静矩，并求其代数和。
A
y1=y＋a z1=z＋b
与应力分析相关的截面 图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
y z1
z
I y 1 z1 d A
2 A
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dA O a
y y1
I z1 y1 dA
2 A
y1=y＋a z1=z＋b
I y1z1 y1 z1dA
A
不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同 的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面 的几何形状有关。
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x const.
FN

A
x dA FN
x
FN A
x Cy
Mz

A
x
dAy M z
x
Mz CI z
第7章 梁的强度计算
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要知道横截面上哪一点最先发生失效，必须知道横截 面上的应力是怎样分布的。第5章中已经分析了梁承受弯曲 时横截面上将有剪力和弯矩两个内力分量。 与这两个内力分量相对应，横截面上将有连续分布的 剪应力和正应力。第6章中所介绍的是应用平衡原理与平衡 方法，确定梁的横截面上的剪力和弯矩。但是，剪力和弯 矩只是横截面上分布剪应力与正应力的简化结果。怎样确 定梁的横截面上的应力分布？
静矩、形心及其相互关系
与应力分析相关的截面 图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
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y
z
S y zdA
A
dA O
y
图形对于 y 轴的静矩
S z ydA
A
z
图形对于 z 轴的静矩
与应力分析相关的截面 图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
与应力分析相关的截面 图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
对于组合图形
S z A1 y C1 A2 y C 2 An y Cn Ai y Ci i 1 n S y A1 z C1 A2 z C 2 An z Cn Ai z Ci i 1
例题2
y
dA
dy 已知：矩形截面b× h 求：Iy， Iz 解：取平行于x轴和y轴的微元面积
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dA
y
h C z dz
dA bdy
dA hdz
h 2 h 2
b 2 b 2
z
I z y dA
2
b 2 b 2 2
h 2 h 2
bh3 y bdy 12
与应力分析相关的截面 图形几何性质
S y AzC
S z ydA
A
S z AyC
ydA A
S yC z A

A
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩可以确定图形的形心坐标
已知图形的形心坐标可以确定静矩
与应力分析相关的截面 图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
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惯性矩、极惯性矩、惯性积、 惯性半径
与应力分析相关的截面 图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
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y
z
I y z 2 dA
A
－图形对 y 轴的惯性矩
dA
I z y 2 dA
A
A
O
r
y
－图形对 z轴的惯性矩
z I yz A yzd A
与应力分析相关的截面 图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
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y z1
z
已知： Iy、Iz、Iyz A dA
y
求： Iy1、Iz1、Iy1z1
I y 1 z1 d A
2 A
O a O´ b
y1
z
I z1 y1 dA
2 A
I y1z1 y1 z1dA
工程力学
第二篇 材料力学
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第7章 梁的强度计算
第7章 梁的强度计算
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杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面 内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线。这种受力与变形 形式称为弯曲。主要承受弯曲的杆件称为梁。 根据内力分析的结果，梁弯曲时，将在弯矩最大的横 截面处发生失效。这种最容易发生失效的截面称为“危险 截面”。但是，危险截面的哪一点最先发生失效？怎样才 能保证梁不发生失效？这些就是本章所要讨论的问题。
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第7章 梁的强度计算
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与应力分析相关的截面 图形几何性质
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与应力分析相关的截面 图形几何性质
讨论拉伸和压缩杆件横截面上应力时，根据 拉伸和压缩时均匀变形的特点，推知杆件横截面 上的正应力均匀分布，从而得到正应力表达式
n
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Ay S z i Ci yC i 1 n A Ai i 1 n Ai z Ci Sy i 1 zC n A Ai i 1
n
与应力分析相关的截面 图形几何性质
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I z y 2 dA
A
与应力分析相关的截面 图形几何性质
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研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及 强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形 的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何 量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极 惯性矩、惯性积、主轴等。
－图形对 y z 轴的惯性积
I P r 2 dA
A
－图形对 O 点的极惯性矩
与应力分析相关的截面 图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
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y
z
iy
Iy A
dA
y
－图形对 y 轴的惯性半径 z iz
Iz A
O
－图形对 z 轴的惯性半径
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y
z
I y z 2 dA
A
＞0
dA
y
I z y 2 dA ＞ 0
A
O
z
I yz yzd A ＞ 0 , ＜ 0
A
I P r 2 dA
A
＞0
与应力分析相关的截面 图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
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第7章 梁的强度计算