汕头市2013届高三名师调研(数学理)

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广东省汕头市2013届高三第二次模拟数学理试题(WORD解析版)

2013年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．（3分）（2012•安徽）复数z 满足（z﹣i）i=2+i，则z=（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+3i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘i后，整理即可．解答：解：因为（z﹣i）i=2+i，所以（z﹣i）i•i=2i+i•i，即﹣（z﹣i）=﹣1+2i，所以z=1﹣i．故选B．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（3分）（2013•汕头二模）已知集合M{x|y=}，N={x|﹣3≤x≤1}，且M、N都是全集I的子集，则如图韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣≤x≤1} B．{x|﹣3≤x≤1} C．{x|﹣3≤x≤﹣} D．{x|1≤x≤}考点：V enn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．分析：用集合M，N表示出阴影部分的集合；通过解二次不等式求出集合M；利用交集、补集的定义求出中阴影部分所表示的集合．解答：解：图中阴影部分表示N∩（C U M），∵M={x|3﹣x2＞0}={x|﹣＜x＜}，∴C U M={x|x≤﹣或x}，N={x|﹣3≤x≤1}，∴N∩（C U M）={x|﹣3≤x≤﹣}故选C点评：本题考查利用集合的运算表示韦恩图中的集合、考查利用交集、补集的定义求集合的交集、补集．3．（3分）（2013•汕头二模）执行框图，若输出结果为，则输入的实数x的值是（）A．B．C．D．考点：选择结构．专题：图表型．分析：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值，令y=，利用此分段函数的解析式求出相应的x 的即可．解答：解：分析如图执行框图，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．当x＞1时，若y=，则x=当x≤1时，若y=，则x﹣1=，x=不合．故选D．点评：本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．4．（3分）（2013•汕头二模）如图所示，图中曲线方程为y=x2﹣1，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：由微积分基本定理的几何意义即可得出．解答：解：由微积分基本定理的几何意义可得：图中围成封闭图形（阴影部分）的面积S==．故选C．点评：正确理解微积分基本定理的几何意义是解题的关键．5．（3分）（2013•汕头二模）给出平面区域G，如图所示，其中A（5，3），B（2，1），C（1，5）．若使目标函数P=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．4B．2C．D．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：将目标函数P=ax+y化成斜截式方程后得：y=﹣ax+P，所以目标函数值Z是直线族y=﹣ax+P 的截距，当直线族的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数P=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，由此不难得到a的值．解答：解：∵目标函数P=ax+y，∴y=﹣ax+P．故目标函数值Z是直线族y=﹣ax+P的截距，当直线族y=﹣ax+P的斜率与边界AB的斜率相等时，目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，此时，﹣a==﹣4，即a=4，故选A．点评：目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．6．（3分）（2013•汕头二模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）。

汕头市六都中学2013年4月高三数学(理)客观题测试(二)

汕头市六都中学2013年4月高三数学（理）客观题测试（二）一、选择题1、设抛物线)1(2)('2xf x x f +=，则在点1=x 处的切线方程为 A ：012=++y x B ：052=++y x C ：012=--y x D ：052=--y x2、若复数ibi 212++为实数，则实数=bA ：－2B ：－4C ：2D ：4 3、若向量),2(b n =与向量)2,1(=m 共线，则=bA ：－2B ：－4C ：2D ：4 4、设b a ,为非零实数，条件P ：b a ab >>，Q ：ba 11<，则P 是Q 成立的A ：充分不必要条件B ：必要不充分条件C ：充要条件D ：既不充分也不必要条件5、若⎩⎨⎧+≤-≥11||2x y x y ，则x y z 32-=的最大值为A ；－2B ：－1C ：0D ：386、设A ，B 分别是椭圆191622=+yx上距离椭圆的中心及右焦点最近的点，则点（－1，0）到直线AB 的距离为A ：1B ：2C ：3D ：4 7、设xa x x f +=)(在),1[+∞上的最小值为4，则=aA ：1B ：2C ：3D ：48、设{}n a ，{}n b 分别为等差数列和等比数列，若111=b a ，122=b a ，则33b a 与1的大小关系为A ：133>b aB ：133<b aC ：133≥b aD ：133≤b a 9、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的表面积和体积分别是 A ：2348,3cm cmB ：2388,3cm cmC：234(4,3cm cm + D：238(4,3cm cm +10、设)(),(x g x f 均是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，0)()()()(''>+x g x f x g x f ，且0)2(=-f ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是A ：),2()0,2(+∞⋃-B ：)2,2(-C ：),2()2(+∞⋃--∞D ：)2,0()2(⋃--∞ 二、填空题11、已知α为锐角，且21tan =α，则=-ααααα2cos 2sin sin cos 2sin ____________12、若正三棱锥的两个侧面成钝二面角，则侧棱长与底面三角形边长之比的取值范围是____________13、若n m ,是不大于3的非负整数，则方程12626=+yC x C nm表示椭圆的概率为 .14、如果执行右侧的程序框图，那么输出的S = . 15、6(2)(1)x x ++的展开式中，5x 的系数是.（用数字作答）16、过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线0=+-m my x 与抛物线交于A ，B 两点，且OAB ∆（O为坐标原点）的面积为22，则=+46m m▲ 选做题：在下面三道小题中选做两题，三道小题都选的只计算前两题的得分。

2013届汕头市高三理科数学综合练习题1答案

汕头市2012-2013学年度第二学期高三级数学综合测练题（理一）参考答案一、选择题（５分×８＝40分）二、填空题（５分×６＝30分）9. 1，1或3；10. 25；11. 4，(]28,57；12. ①②；13. 8; 14. 8；部分答案提示： 3.等于圆的直径. 9.列举法；12.①图象C 关于直线24π2ππ+=+k x 对称，当k=0时，图象C 关于8π=x 对称；①正确；②x∈)8π5,8π(时，4π2+x ∈)2π3,2π(，∴函数)(x f 在区间)8π5,8π(内是减函数；②正确；③由x y 2sin 3=的图象向左平移4π个单位长度可以得到x x x f 2cos 3)4π22sin(3)(=+=，得不到图象，③错误。

三、解答题： 16.(本小题12分)解：（１）由题意可设二次函数f (x )=a (x -1)(x -3)(a <0) ………2分当x =0时,y =-3,即有-3=a (-1)(-3), 解得a =-1,f (x )= -(x -1)(x -3)=342-+-x x ,)(x f 的解析式为)(x f =342-+-x x . ………………6分（２）y =f (sin x )=3sin 4sin 2-+-x x=()12sin 2+--x . ……………………8分[0,]2x π∈ , sin [0,1]x ∴∈,则当sin x =0时,y 有最小值-3;当sin x =1时,y 有最大值0. …………………12分17．(本小题12分)解：（1）依题意，有AM －BM =1.5×8=12 (km)，CM －BM =1.5×20=30 (km)∴MB =(x －12)(km )，MC =30+(x －12)=(18+x ) (km ). ……………… 2分在△ABM 中，AB =20 kmABMA MB AB MA MAB ⋅-+=∠2cos 222x x x x x 5323202)12(20222+=⋅--+=同理，xxMAC 372cos -=∠ ……………5分∵MAC MAB ∠=∠cos cos ，∴x x x x 3725323-=+ 解得 )(7132km x = ……………8分(2)作MN ⊥AD 于N ，在△AMN 中，).(71.17532713235323cos km x x x AMN MA MN ≈+⨯=+⋅=∠= ………………11分答：静止目标M 到海防警戒线AD 的距离约为17.71km ………………12分18．（本小题14分）解：（１）xx x e x x e x x f e x x x f )1()12()(,)1()(22++++='++=,)23(2x e x x ++= …………………………………………2分当()021,()021,f x x x f x x ''><->-<-<<-时解得或当时解得所以函数的单调增区间为（－∞，－2），（－1，＋∞）；单调减区间为（－2，－1） …………………………6分（２）xxxe a x a x e a ax x e a x xf )2)2([)()2()(22'+++=++++=,0)2)((=++=x e x a x,2,-=-=∴x a x …………………………………9分列表如下：2,2-≥-∴≤a aAB C……………………………………12分由表可知,3)24()2()(2=+-=-=-ea a f x f 极大解得2342≤-=e a ，所以存在实数a ，使)(x f 的极大值为3。

广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学理试题 Word版含答案

xyOAC y x =2y x =(1,1) B 汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学理试题本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟．一．选择题（共8小题，每小题5分） 1．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限2．已知集合U =R ，2{560}A x x x =-+≥，那么=A C u(A) {2x x <或3}x > (B) {23}x x << (C) {2x x ≤或3}x ≥ (D) {23}x x ≤≤3．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则|2|+=a b(A) 2(C)(D)4．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，14a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = (A) 3或 -1 (B) 3或1 (C) 3 (D) 1 5．6的展开式中常数项是 (A) -160 (B) -20 (C) 20 (D) 1606．已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f(2-x 2)>f(x)，则实数x 的取值范围是(A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞ (B) (,2)(1,)-∞-⋃+∞ (C) (1,2)- (D) (2,1)-7．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为 (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 168．已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a>0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f(x 1)= g(x 2)，则实数a 的取值范围是 (A) 1(0,2(B) 1[,3]2(C) (0,3] (D) [3,)+∞二．填空题（共6小题，每小题5分）（一）必做题：9．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为4，则cosα= ．510.已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于。

广东省汕头市2013届高三数学第二次模拟考试试题理新人教A版

汕头市东山中学2013届高三第二次模拟数学理试题第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{2,3,6}A =，{2,3,8,9}B =，则 A ．A B ⊆ B ．B A ⊆ C ．{6,8,9}A B = D ．{2,3}A B =2．复数ii+-11的值是（） A ． i - B ．1- C ．i D ． 13．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(2)0(log )(2x x x x f x ，若21)(=a f ，则实数a 的值为A ．－1或2 B.2 C ．－1 D ．1或2-4．等比数列}{n a 中，已知262,8a a ==，则4a =（） A.4± B. 16 C.4- D. 45．在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有 A ．6种 B ．36种 C ．72种 D ．120种7．在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB →＝a ，AD →＝b ，则AG →＝A.27a ＋17bB.27a ＋37bC.37a ＋17bD.47a ＋27b8．非空集合G 关于运算满足：（1）对于任意a 、b ∈G ，都有a ⊕b ∈G ；（2）存在e ∈G ，使对一切a ∈G 都有a ⊕e=e ⊕a=a ，则称G 关于运算⊕为“融合集”，现在给出集合和运算：： ①G={非负整数}，为整数的加法；②G={偶数}，为整数的乘法；③G={平面向量}，为平面向量的加法；④ G={虚数}，为复数乘法，其中G 为关于运算的“融合集”的个数为A 、1个B 、2个C 、3个 D4个第Ⅱ卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．函数11lg(3)y x x =-+-的定义域是．10．在△ABC 中，用a 、b 、c 和A 、B 、C 分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a=2，2=b ，4π=A ，则角B=__ __． 11．不等式|3||3|3x x +-->的解集是 .12．点)1,2(-P 为圆25)3(22=+-y x 的弦的中点，则该弦所在直线的方程是__ __. 13．执行下边的程序框图，输出的k = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）设函数()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（x R ∈）的图象过点7,212P π⎛⎫-⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）已知1021213f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02πα-<<，求3cos 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.17．（本小题满分12分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品都不能通过检测.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.19．（本小题满分14分）已知直线033=+-y x 经过椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的一个顶点B 和一个焦点F ．⑴求椭圆的标准方程；⑵设P 是椭圆C 上动点，求||||||PB PF -的取值范围，并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标．20．（本小题满分14分）已知二次函数()2(21)12f x x a x a=+-+-（1）判断命题：“对于任意的∈a R （R 为实数集），方程1)(=x f 必有实数根”的真假，并写出判断过程（2）若()y f x =在区间]32[，内有零点．求实数a 的取值范围理科数学参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．)3,2()2,1[ 10．6π. 11．3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭12．01=-+y x 13．30.14．sin ρθ=． 3211．【答案】3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】当3x <-时，有(3)(3)3x x -++->得63->，无解.当33x -≤≤时，有333x x ++->，32x >，∴332x <≤.当3x >时，有3(3)3x x +-->，即6>3，∴3x >.综上，有32x >. 14．【解析】点(2,)3π的直角坐标为，∴过点平行于x轴的直线方程为y =即极坐标方程为sin ρθ=三、解答题16．（本小题满分12分）【答案】解（Ⅰ）∵()f x 的图象过点7,212P π⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴773sin 2sin 2121232f A A ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2A = (3分)故()f x 的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（5分） (Ⅱ) ∵102sin 22sin 2cos 2122123213f απαπππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即5cos 13α=, (7分)∵02πα-<<，∴12sin 13α===-（9分）∴333cos cos cos sin sin 444πππααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭51213213226⎛=⨯--⨯=- ⎝⎭（12分）17．（本小题满分12分）【答案】解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A ……1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测”…2分151332104106)(=⨯+=A p 53= ………3分 (Ⅱ) 由题意可知X 可能取值为0,1,2,3. 30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===,12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===.X 的分布列… ……………8分数学期望5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………9分 (Ⅲ) 由(Ⅰ)知，随机选取一件产品，能够通过检测的概率为53记从一批产品随机选取3件产品，恰有二件产品通过检测为事件B，则12554)52()53()(223==C B P ………12分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵AB 是直径，∴AC ⊥BC ，又∵CD ⊥平面ABC ，∴CD ⊥BC ，故BC ⊥平面ACDBC ⊂平面BCDE ，∴平面ADC ⊥平面BCDE …… 4分（Ⅱ）方法一：假设点M 存在，过点M 作MN ⊥CD 于N ，连结AN ，作MF ⊥CB 于F ，连结AF∵平面ADC ⊥平面BCDE ，∴MN ⊥平面ACD ，∴∠MAN 为MA 与平面ACD 所成的角 …… 8分设MN=x ，计算易得，DN=32x ，MF=342x - …… 10分故2222222316(4)2AM AF MF AC CF MF x x =+=++=++-222sin 7316(4)2MNxMAN AMx x ∠===++-…… 12分解得：83x =-（舍去） 43x =， …… 13分故23MN CB =，从而满足条件的点M 存在，且23DM DE = …… 14分方法二：建立如图所示空间直角坐标系C —xyz ，则：A （4，0，0），B （0，2，0），D （0，0，4），E （0，2，1），C （0，0，0）P301 103 21 61则(0,2,3)DE =- ……………………… 6分易知平面ACD 的法向量为C (0,2,0)OB =，………………… 7分假设M 点存在，设(,,)M a b c ，则(,,4)DM a b c =-，再设,(0,1]DM DE λλ=∈00224343a a b b c c λλλλ==⎧⎧⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩，即(0,2,43)M λλ-，从而(4,2,43)AM λλ=--………………………… 11分设直线AM 与平面ACD 所成的角为θ，则：22sin cos ,7164AM θλ==++ 22sin cos 72164OB θλ===+………………………… 12分解得4233λλ=-=或， ………………………… 13分其中4(0,1]3λ=-∉应舍去，而2(0,1]3λ=∈故满足条件的点M 存在，且点M 的坐标为4(0,,2)3． ………………………… 14分19．（本小题满分14分）【答案】⑴依题意，)1 , 0(B ，)0 , 3(-F ，…1分所以1=b ，3=c ……2分，222=+=c b a ……3分，所以椭圆的标准方程为1422=+y x ……5分．⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤，当且仅当||||PB PF =时，0||||||=-PB PF ……6分，当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时，||||||||BF PB PF =-……7分，2||=BF ，所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[……8分。

广东省汕头市高三数学第二次模拟考试试题理(汕头二模)

汕头市2013年普通高中高三教学质量测评试题(二)理科数学一、选择题1. 算数z 满足()2z i i i -=+，则z =A ．1i --B ．1i -C ．13i -+D ．12i -2．已知集合{}{}2|3,|31M x y x N x x ==-=-≤≤，且,M N 都是全集U 的子集，则右边韦恩图中阴影部分表示的集合为 A ．{}|31x x -≤≤ B ．{}|31x x -≤≤ C ．{}|33x x -≤≤-D ．{}|13x x ≤≤3. 执行右边的框图，若输出的结果为12，则输入的实数x 的值是A ．14 B ．32C ．22D 24．如图所示，图中曲线方程为21y x =-，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是5．给出平面区域G ，如图所示，其中(5,3),(2,1),(1,5)A B C ，若使目标函数(0)z ax y a =+>取得最小值的最优解有无穷多个，则a 的值为A ．12 B ．23C ．2D ．4 6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是A ．403 B ．3 C ．503D ．67．已知数列{}{},n n a b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1,a b 且*1111125,,,a b a b a b N +=>∈，则数列{}n b 的前10项和等于A ．55B ．70C ．85D ．100 8．关于二项式2013(1)x -有下列命题：（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；（2）该二项展开式中第六项为620072013C x ；（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；（4）当2014x =时，2013(1)x -除以2014的余数是2013。

其中正确命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（一）必做题（9-13题）9．某学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏，但可见部分如下图，据此可以了解分数在[50,60)的频率为，并且推算全班人数为。

广东省2013届高三最新理科试题精选(37套含13大市区的二模)分类汇编9圆锥曲线

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版））椭圆221x my +=的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为（）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A2 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）定义:关于x 的不等式||x A B-<的解集叫A 的B 邻域.已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-,其中a b 、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合,则椭圆的方程为（）A ．13822=+y xB ．14922=+y xC ．18922=+y xD ．191622=+y x【答案】B3 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184x y += .B 221126x y += .C 221168x y += .D 221205x y +=【答案】B4 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D 双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =.5 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300的等腰三角形,则m 的取值范围是（）A D ．【答案】A6 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A ．12B C D ．1【答案】A7 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））方程||||169x x y y +=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R 上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】D二、填空题8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.【答案】22143x y -= 9．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则双曲线的离心率e 的值为__________ .【答案】10．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x 轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.【答案】221432x y -= y =± 11．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P 在抛物线y 2=4x 上,那么使得点P 到定点Q(2,,-1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为___【答案】)1,41(-12．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为___【答案】13．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于____【答案】14．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线221x ky -=的一个焦点是0),则其渐近线方程为________.【答案】2y x =±;15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线28y x =的焦点,则圆C 的方程为______________.【答案】22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=];易得圆心坐标为11(,)22,半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题）在平面直角坐标系Oxy 中,若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8,则=m _______. 【答案】3(未排除4-,给3分)17．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线24x y =上一点P到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是_____.【答案】4±18．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.【答案】19．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.【答案】20．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________.【答案】双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.三、解答题21．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版））在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0),直线l :1x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,,RQ FP PQ l ⊥⊥.(Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程;(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为N M ，.求证:直线MN 必过定点)0,3(R .【答案】解:(Ⅰ)依题意知,直线l 的方程为:1x =-.点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线∴PQ 是点Q 到直线l 的距离.∵点Q 在线段FP 的垂直平分线,∴PQ QF =故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:24(0)y x x => (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,，,直线AB 的方程为)1(-=x k y则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB A A x y x y(1)—(2)得k y y B A 4=+,即ky M 2=, 代入方程)1(-=x k y ,解得122+=kx M .所以点M 的坐标为222(1,)k k+同理可得:N 的坐标为2(21,2)k k +-. 直线MN 的斜率为21kkx x y y k N M N M MN -=--=,方程为 )12(1222---=+k x kk k y ,整理得)3()1(2-=-x k k y , 显然,不论k 为何值,(3,0)均满足方程, 所以直线MN 恒过定点R (3,0).1422．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A、()2,0B -,P 是平面内一动点,直线PA 、PB 的斜率之积为34-.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.2013年4月汕头一中高三模拟考【答案】(1)依题意,有3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=--+(2x ≠±), ----------------------------- 化简得: 22143x y += (2x ≠±),为所求动点P 的轨迹C 的方程------------------------(2)依题意,可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --,则有 2222()()143()()143x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩, 两式相减,得4430014342EF mx n n x y k m y x -+=⇒==-=-, 由此得点M 的轨迹方程为:226830x y x +-=(0x ≠).------------------------------ 设直线MA :2x my =+(其中1m k=),则 22222(68)211806830x my m y my x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩, ------------------------------ 故由22(21)72(68)0||8m m m ∆=-+≥⇒≥,即18k≥, 解得:k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ---------------------------23．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题）已知抛物线C :212x y =,过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点. (1)求证:OA OB ⋅为定值;(2)设M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ,证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.【答案】(1)设直线l 的方程为:18y kx =+,()11,A x y ,()22,B x y . ------------------------- 由21218x y y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得:2110264x kx --=,∴12116x x =- ------------------------∴()2121212123464OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=-为定值---------------------------- (2)由(1)得:点M 的横坐标为4k ,∴点N 的横坐标为4k----------------------------∵'4y x = ∴4'|k x y k == ----------------------------∴平行另解:设()00,N x y ,则12024x x k x +==,220028k y x ==---------------------------- 设抛物线C 在点N 处的切线为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 由228412k k y m x x y⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩得:2202816m mk k x x -+-= ------------------------------- ∴22404816m mk k ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得:m k = ------------------------------- ∴平行24．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. (1)求椭圆C 1的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F ,且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直于1l ,垂足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设2C 与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在2C 上,且满足0=⋅,求||QS 的取值范围.【答案】解:(1)由直线:2l y x =+与圆222xy b +=相切,b =,即b =由e =,得222213b e a =-=,所以a =所以椭圆的方程是221:132x y C +=(2)由条件,知2||||MF MP =,即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=(3)由(2),知(0,0)Q ,设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由0=⋅RS QR ,得()()222121121016y y y y y y -+-=∵12y y ≠,∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,∴222121256323264y y y =++≥=,当且仅当2121256y y =,即14y =±时等号成立又||y QS ⎛== ,∵2264y ≥,∴当2264y =,即28y =±时,min ||QS =故||QS 的取值范围是)⎡+∞⎣25．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆222212:20,:(1)4C x y x C x y +-=++=的圆心分别为12,C C ,P 为一个动点,且12||||PC PC +=(1)求动点P 的轨迹M 的方程;(2)是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D,使得11||||C C C D =?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C -∵1212||||||2PC PC C C +=>=∴根据椭圆的定义可知,动点P 的轨迹为以原点为中心,1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点,长轴长为2a =的椭圆, 1,1a c b ====∴椭圆的方程为2212x y +=,即动点P 的轨迹M 的方程为2212x y += (2)(i)当直线l 的斜率不存在时,易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部,直线l 与椭圆M 无交点,所以直线l 不存在.(ii)设直线l 斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为(2)y k x =-由方程组2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(21)8820k x k x k +-+-=①依题意28(21)0k ∆=-->解得22k -<<当k <<时,设交点1122(,),(,)C x y D x y ,CD 的中点为00(,)N x y ,方程①的解为12x x == ,则212024221x x k x k +==+ ∴2002242(2)22121k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭要使11||||C C C D =,必须1C N l ⊥,即11C N k k ⋅=-∴222212114021kk k k k --+⋅=--+,即2102k k -+=② ∵1114102∆=-⨯=-<或,∴2102k k -+=无解所以不存在直线,使得11||||C C C D =综上所述,不存在直线l ,使得11||||C C C D =26．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的,. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点,坐标原点O 到直线l 求AOB △面积的最大值.【答案】(2)设11()A x y ，,22()B x y ，.27．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）己知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >),相交于B 、D 两点,且BD 的中点为(1,3)M(1)求双曲线C 的离心率;(2)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,||||17DF BF ⋅=,证明:过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.【答案】解:(1)由题设知,直线l 的方程为2y x =+代入双曲线C 的方程,并化简得:2222222()440b a x a x a a b ----=设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则212224a x x b a +=-,22212224a a b x x b a+⋅=- ①由(1,3)M 为BD 的中点知:1212x x +=,故2221412a b a ⋅=-,即223b a = ② 所以2223c a a -=,即224c a = 故2c e a==所以双曲线C 的离心率为2e =(注:本题也可用点差法解决)(2)由①、②知,双曲线C 的方程为:22233x y a -=(,0)A a ,(2,0)F a ,122x x +=,2124302a x x +⋅=-<1|||2|BF x a =-同理2|||2|DF x a =-2222121212|||||(2)(2)||42()||864||548|BF DF x a x a x x a x x a a a a a a ⋅=--=-++=----=++又因为||||17DF BF ⋅= 且25480a a ++> 所以254817a a ++= 解得:1a =,95a =-(舍去)12|||6BD x x -连结MA ,则由(1,0)A ,(1,3)M 知||3MA =,从而||||||MA MB MD ==,且MA x ⊥轴, 因此以M 为圆心,MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点,且在点A 处与x 轴相切. 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切28．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知直线033=+-y x 经过椭圆C :12222=+by a x (0>>b a )的一个顶点B 和一个焦点F .⑴求椭圆的标准方程;⑵设P 是椭圆C 上动点,求||||||PB PF -的取值范围,并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标.【答案】【答案】⑴依题意,)1 , 0(B ,)0 , 3(-F , 所以1=b ,3=c ,222=+=c b a ,所以椭圆的标准方程为1422=+y x 5分. ⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤,当且仅当||||PB PF =时,0||||||=-PB PF ,当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,||||||||BF PB PF =- ,2||=BF ,所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[ . 设) , (n m P ,由||||PB PF =得013=++n m ,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0131422n m n m ,解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=13111338n m , 所求点P 为)1 , 0(-P 和)1311, 1338(-P . 29．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy 中,动点P到两点(0),0)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点.(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)是否存在△AOB 面积的最大值,若存在,求出△AOB 的面积;若不存在,说明理由.【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点P 的轨迹C是以(0),0)为焦点,长半轴长为2 的椭圆.故曲线C 的方程为2214x y +=(Ⅱ)存在△AOB 面积的最大值因为直线l 过点(1,0)E -,可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =(舍).则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--= 由22(2)12(4)0m m ∆=++>. 设1122()()A x y B x y ，，，.解得1y =2y =. 则21||y y -=因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-= 设1()g t t t=+,t =t ≥.则()g t在区间)+∞上为增函数.所以()g t ≥.所以AOB S ∆≤当且仅当0m =时取等号,即max ()AOB S ∆=. 所以AOB S ∆30．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分)如图.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴为AB,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率e =,F 为椭圆的左焦点且11AF F B =1 .(I)求椭圆的标准方程; (II)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ.连接AQ 并延长交直线l 于点M.N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F -1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a F AF1222==-∴b c a又23=e 43122222=-==∴aa a c e ,解得42=a1422=+∴y x 所求椭圆方程为：(Ⅱ)设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2200+=∴x y k AQ 所以直线AQ 方程)2(22:00++=x x y y )28,2(00+∴x y M )24,2(00+∴x y N 42222420000000-=--+=∴x y x x y x y k QN又点P 的坐标满足椭圆方程得到:442020=+y x ,所以 202044y x -=-200200024242y x y y x x y x k QN -=-=-=∴ ∴直线 QN 的方程:)(22000x x y x y y --=- 化简整理得到:442202000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x 所以点O 到直线QN 的距离244220=+=y x d∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切.31．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)已知F 1,F 2分别是椭圆C:22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中F 1也是抛物线C 1:24x y =的焦点,点M 是C 1与C 2在第二象限的交点,且15||3MF =. (1)求椭圆C 1的方程;(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆C 1相交于点E,F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】32．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,已知点M0(x0,y0)是椭圆C:222yx=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P.(1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;(2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由椭圆得:y =,'y =1222(22)x x ---切线的斜率为所以,直线l 1的方程为:000)y y x x -=-,与y 轴交点纵坐标为因为011x -≤≤,所以,2001x ≤≤,200222x ≤-≤,所以,当切点在第一、二象限时l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:0y ≤≤,则对称性可知 l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:22y -≤≤. (2)依题意,可得∠PTM 0=90°,设存在T(0,t),M 0(x 0,y 0)由(1)得点P 的坐标(220000222y y x x -+,2),由00PT M T =可求得t=1所以存在点T(0,1)满足条件.33．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆1C :22221x y a b+= (0a b >>)的离心率为3,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.(1)求椭圆1C 的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直1l 于点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设O 为坐标原点,取2C 上不同于O 的点S ,以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ,求该圆面积的最小值时点S 的坐标.【答案】解:(1)解:由e =得223a c =,再由222c a b =-,解得a =由题意可知1222a b ⋅⋅=,即a b ⋅=解方程组2a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a b ==所以椭圆C 1的方程是22132x y += (2)因为2MP MF =,所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F (1,0)的距离,所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线,2F 为焦点的抛物线,所以点M 的轨迹2C 的方程为24y x =(3)因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ,所以∠ORS = 90°,即0OR SR ⋅= 设S (1x ,1y ),R (2x ,2y ),SR =(2x -1x ,2y -1y ),OR =(2x ,2y )所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-= 因为12y y ≠,20y ≠,化简得12216y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭所以221222256323264y y y =++≥=, 当且仅当2222256y y =即22y =16,y 2=±4时等号成立圆的直径|OS===因为21y ≥64,所以当21y =64即1y =±8时,min OS =, 所以所求圆的面积的最小时,点S 的坐标为(16,±8)34．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(6),设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且12PF PF ⋅uuu r uuu r 最小值为0.(1)求椭圆C 的方程;(2)若动直线12,l l 均与椭圆C 相切,且12//l l ,试探究在x 轴上是否存在定点B ,点B 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点B 坐标;若不存在,请说明理由.图（6）F 2F 1oyx【答案】解:(1)设),(y x P ,则有),(1y c x PF +=,),(2y c x P F -=[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ 由12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c , ∴椭圆C 的方程为1222=+y x(2)①当直线12,l l 斜率存在时,设其方程为,y kx m y kx n =+=+ 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得2212m k =+同理,2212n k =+∴22m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意,∴m n =- 设在x 轴上存在点(,0)B t ,点B 到直线12,ll 的距离之积为1,则1=,即2222||1k t m k -=+,--- 把2212k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=,解得1t =±;---------------------------------------------------------②当直线12,l l 斜率不存在时,其方程为x =和x =,定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1-+=;定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1=; 综上所述,满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0)35．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题）已知椭圆C 的中心在原点O ,离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F . ⑴求椭圆C 的方程;⑵设椭圆的上顶点为A ,在椭圆C 上是否存在点P ,使得向量OA OP +与FA 共线?若存在,求直线AP 的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,椭圆C 的离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F ,∴c c a ==, 222a b c =+,∴2,1,a b c ===,故椭圆C 的方程为2214x y += ⑵假设椭圆C 上是存在点P (00,x y ),使得向量OA OP +与FA 共线,00(,1)OP OA x y +=+,(FA =,∴011y +=,即001)x y =+,(1) 又点P (00,x y )在椭圆2214x y +=上,∴220014x y += (2)由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩,或0017x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴(0,1)P -,或1()7P , 当点P 的坐标为(0,1)-时,直线AP 的方程为0y =,当点P的坐标为1()7P 时,直线AP440y -+=, 故直线AP 的方程为0y =440y -+=36．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称. (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围;(Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1F 2为双曲线C 的左,右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程.【答案】解:(Ⅰ)设双曲线C 的渐近线方程为y =kx ,则kx -y =0∵该直线与圆x 2+(y - 2 )2=1相切,有｜－ 2 ｜k 2+ 1= 1 ⇒ k =±1. ∴双曲线C 的两条渐近线方程为y =±x , 故设双曲线C 的方程为 x 2a 2－y 2a2 = 1 .易求得双曲线C 的一个焦点为 ( 2 ,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(Ⅱ)由 ⎩⎨⎧ y =mx +1 x 2－y 2=1得(1-m 2)x 2-2mx -2=0.令f (x )= (1-m 2)x 2-2mx -2直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f (x )=0在(-∞,0)上有两个不等实根. 因此 ⎩⎪⎨⎪⎧ △>02m 1－m 2 <0－21－m 2>0解得1<m <2 .又AB 中点为(m 1－m 2 ,11－m2 ),∴直线l 的方程为y =1－2m 2+m +2 (x +2). 令x =0,得b =2－2m 2+m +2=2－2(m －14 )2+178.∵1<m < 2 ,∴-2(m -14 )2+178 ∈ (-2+ 2 , 1),∴b ∈ (-∞,-2- 2 )∪(2,+∞).(Ⅲ)若Q 在双曲线的右支上,则延长2QF 到T ,使||||1QF QT =, 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T ,使| QT |=|QF 1 |.根据双曲线的定义| TF 2 |=2,所以点T 在以F 2( 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x - 2 )2+y 2=4 (x ≠ 0) ①由于点N 是线段F 1T 的中点,设N (x ,y ),T (x T ,y T ).则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x =x T－ 2 2 y =y T2,即 ⎩⎨⎧ x T=2x + 2y T= 2y .代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.(x ≠ -22) (或者用几何意义得到| NO |=12| F 2T |=1, 得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.)37．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,()()000,0A x y x ≠是抛物线C 上的一定点.(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于,Q R 两点, S 为C 的准线上一点,若QRS ∆的面积为4,求p 的值;(2)过点A 作倾斜角互补的两条直线AM ,AN ,与抛物线C 的交点分别为()11,,M x y ()22,N x y .若直线AM ,AN 的斜率都存在,证明:直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.【答案】(本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力) 解: (1)由题设0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设1,,2p Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则1,2p R x ⎛⎫- ⎪⎝⎭QR =2p ===.∴由QRS ∆的面积为4,得:1242p p ⨯⨯=,得: 2.p =(2)由题意()100,A x y -首先求抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.解法一:设抛物线在1A 处的切线的斜率为k ,则其方程为()00y k x x y =++ 联立()0022y k x x y x py⎧=++⎪⎨=⎪⎩得2002220x pkx px k py ---=将2002py x =代入上式得:2200220x pkx px k x ---=()()22002420pk px k x ∆=-++=即2220020p k px k x ++= 即()200pk x += 得0.x k p=-即抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率为0.x p-解法二:由22x py =得212y x p=, ∴'x y p=∴抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点()100,A x y -处的切线的斜率为0.x p-再求直线MN 的斜率.解法一:设直线AM 的斜率为1k ,则由题意直线AN 的斜率为1k -直线AM 的的方程为()010y y k x x -=-,则直线AN 的的方程为()010y y k x x -=--.联立()21002x py y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得221100220x pk x pk x x -+-=(1)方程(1)有两个根01,x x ,∴()()2210102420pk px k x ∆=--->∴0,1x =0112x x pk +=,即1102x pk x =-,同理可得2102x pk x =--直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率解法二:AM AN k k =-01020102y y y y x x x x --∴=--- 将222012012,,222x x x y y y p p p ===分别代入上式得:2222001201022222x x x x p p p p x x x x --=---, 整理得0122x x x =+∴直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.38．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图5, 已知抛物线2P yx :=,直线AB 与抛物线P 交于A B ,两点,OA OB ^,OA OB OC uu r uu u r uuu r+=,OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程;求四边形AOBC 的面积的最小值.,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一:(1)解:设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,, ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 ∴()222121212222yy y y y y x +-+==,①122y y y +=. ② ∵OA OB ⊥, ∴0OA OB ⋅=. ∴2212120y y y y += 依题意知120y y ≠,∴121y y =-. ③把②、③代入①得:2422y x +=,即()2112y x =- ∴点M 的轨迹方程为()2112yx =- (2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形,∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅===∵22121222y y y y +≥=,当且仅当12y y =时,等号成立,∴2S ≥=∴四边形AOBC 的面积的最小值为2 解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=.解得0x =或21x k=∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭同理得点B 的坐标为()2k k ,- ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩消去k ,得()2112yx =- ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-(2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形, ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅=≥2=当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为239．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P .(1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y += 解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =,∵2c =, ∴22212b a c =-=∴椭圆1C 的方程为2211612x y += (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=, )413,2(211x x BA --=, ∵C B A ,,三点共线, (苏元高考吧:) ∴BC BA // ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ 设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x += 代入②得 2141x x y =, 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y . 若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P ,由24xy =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y ∴点P 的轨迹方程为3-=x y若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==- 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+= ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =- 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*)由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个40．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点(4,0)M 、(1,0)N ,若动点P 满足6||MN MP NP =⋅.(1)求动点P 的轨迹C ; (2)在曲线C 上求一点Q ,使点Q 到直线l :2120x y +-=的距离最小.【答案】解:(1)设动点(,)P x y ,又点(4,0)M 、(1,0)N ,∴(4,)MP x y =-,(3,0)MN =-,(1,)NP x y =- 由6||MN MP NP =⋅,得3(4)x --=∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++,故223412x y +=,即22143x y +=,∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆;评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分. (2)椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l :2120x y +-= 且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离. 设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩,消去y 得2242120x mx m ++-= (*). 依题意得0∆=,即0)12(16422=--m m ,故216m =,解得4m =±.当4m =时,直线1l :240x y ++=,直线l 与1l 的距离5d ==.当4m =-时,直线1l :240x y +-=,直线l 与1l 的距离d ==<,故曲线C 上的点Q 到直线l 当4m =-时,方程(*)化为24840x x -+=,即2(1)0x -=,解得1x =. 由1240y +-=,得32y =,故3(1,)2Q . ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小 41．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22221(0,0)x y a b b a+=>>的离心率为12,其左焦点E 与抛物线21:4C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得12MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112b =,所以,2b =.由2221b a -=求得a =因此,所求椭圆的方程为22143x y += (*)(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为k ,① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线的方程为0y =;② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆==112y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立: 221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,求得x =此时满足条件的点M 有4个: ,,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭. ②若点P 的坐标是(1,2)-,则PF =点M 到直线:1y x =-+于是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y +-=±, 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则PF =,点(,)M x y 到直线:1y x =-是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y --=±,与(*)式联立:22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M有4个:,,1115,714⎛⎫⎪⎝⎭,31,2⎛⎫--⎪⎝⎭.综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.42．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））已知抛物线C:y2=4x, F 是抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2 ,y2)是C上异于原点O的两个不重合点,OA丄OB,且AB与x轴交于点T(1) 求x1x2的值;(2) 求T的坐标;(3) 当点A在C上运动时,动点R满足:FRFBFA=+,求点R的轨迹方程.【答案】F的距43．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知动点M到点(0,1) y=的距离之和为5.离与到直线4(1)求动点M的轨迹E的方程,并画出图形;=+与轨迹E有两个不同的公共点,A B,求m的取值范围;(2)若直线:l y x mAB的最大值.(3)在(2)的条件下,求弦长||【答案】44．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知椭圆)(112222１　>=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ,抛物线C:px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点()11,M x y 、N ()22,x y ,点M 在x轴上方,直线1F M 与抛物线C 相切.(1)求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标;(2)设A,B 是抛物线C 上两动点,如果直线MA ,MB 与y 轴分别交于点,P Q . MPQ ∆是以MP ,MQ 为腰的等腰三角形,探究直线AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.【答案】解:(1)由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝所以椭圆焦点为），（，01F )01(21-F 又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p p x y C 42=∴： ∵),(11y x M 在抛物线C 上, ∴1214x y =,直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y 代入抛物线C 得22211(1)4(1),y x x x +=+22114(1)4(1)x x x x +=+即 22111(1)0,x x x x x ∴-++= ∵1F M 与抛物线C 相切,04)121221=-+∆∴x x ＝（,11,x ∴=　∴ M、N 的坐标分别为(1,2)、(1,-2) (2)直线AB 的斜率为定值—1. 证明如下:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(1,2)M ,A 、B 在抛物线24y x =上,∴211222244241y x y x ⎧=⎪=⎨⎪=⨯⎩①②③由①-③得,1112412MA y k x y -==-+④由②-③得,2222412MB y k x y -==-+④因为MPQ ∆是以MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以MA MB k k =-由MAMB k k =-得11222124122412y x y y x y -⎧=-⎪-+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩ 化简整理,。

广东省汕头市高三数学第一次模拟考试试题理(含解析)新人教A版

2013年广东省汕头市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（40分）1．（5分）（2013•汕头一模）若x，y∈R，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=0，y≠0，仅有x=0不能断定x+yi为纯虚数．解答：解：根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=0，y≠0．“若x=0则x+yi为纯虚数”是假命题，反之为真．∴x，y∈R，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的必要不充分条件故选B点评：考查充分，必要条件的判断，复数的基本概念的应用．2．（5分）（2013•汕头一模）集合A={x|2012＜x＜2013}，B={x|x＞a}可满足A∩B=ϕ．则实数a的取值范围（）A．{a|a≥2012 }B．{a|a≤2012 }C．{a|a≥2013}D．{a|a≤2013 }考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：根据条件，可借助于数轴将集合A与集合B在数轴上表示出来，从而可求实数a的取值范围．解答：解：将集合A={x|2012＜x＜2013}，B={x|x＞a}画在数轴上根据A∩B=∅，∴a≥2013．故选C点评：本题以集合为载体考查不等式运算，关键是利用集合运算，得出不等式，从而得解，属于基础题．3．（5分）（2013•汕头一模）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．15 B．10 C．9D．7考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的方法和步骤，我们可将960人分为32组，每组30个人，则由此可计算出做问卷AB的组数和做问卷C的组数，即相应的人数．解答：解：用系统抽样方法从960人中抽取32人可将960人分为32组，每组30个人由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，故编号为[1，750]中共有750÷30=25组即做问卷C的有32﹣25=7组故做问卷C的人数为7人故选D点评：本题考查的知识点是系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的方法和步骤是解答的关键．4．（5分）（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：证明题；综合题．分析：首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．解答：解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0由此可得，A选项符合题意．故选A点评：本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题．5．（5分）（2013•汕头一模）执行下面的程序框图，如果输入m=72，n=30，则输出的n是（）A．12 B．6C．3D．0考点：程序框图．专题：计算题．分析：先根据循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后r的值找出规律，从而得出所求．解答：解：如图所示的程序框图是直到型循环结构，输入m=72，n=30，第一次循环：72÷30=2…12，第二次循环：30÷12=2…6，第三次循环：12÷6=2…0，∴n=6．故选B．点评：本题主要考查了直到形循环结构，注意循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．6．（5分）（2013•汕头一模）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a10，则k=（）A．45 B．46 C．47 D．48考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知a k=a1+a2+a3+…+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解解答：解：∵a k=a1+a2+a3+…+a10，∴a1+（k﹣1）d=10a1+45d∵a1=0，公差d≠0，∴（k﹣1）d=45d∴k=46故选B点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7．（5分）（2013•汕头一模）设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c考点：平面与平面垂直的判定；四种命题间的逆否关系；命题的真假判断与应用；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：利用直线与平面垂直的判定定理判断A的逆命题正误；通过平面与平面平行的性质定理判断B的逆命题的正误；利用平面与平面垂直的性质定理判断C的逆命题的正误；利用直线与平面平行的判定定理判断命题D的逆命题的正误；解答：解：对于A，当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α的逆命题为：当a∩b=O 且a⊂α，b⊂α时，若c⊥α，则c⊥a，c⊥b，由直线与平面垂直的性质定理可知逆命题正确；对于B，当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β的逆命题为：当a∩b=O 且a⊂α，b⊂α时，若α∥β，则a∥β，b∥β，有直线与平面平行的性质定理可知逆命题正确；对于C，当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然不正确，可能b与β不垂直，所以逆命题不正确；对于D，当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c的逆命题为：当b⊂α时，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α；满足直线与平面平行的判定定理，正确；故选C．点评：本题考查直线与平面的位置关系，直线与平面直线与垂直的判定定理与性质定理的应用，考查逻辑推理能力．8．（5分）（2013•汕头一模）给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色（红、黄、绿、兰），要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法（）A．6种B．12种C．24种D．48种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：方案型；探究型．分析：用四种不同的颜色给正方体的六个面涂色，相邻的两个面涂不同颜色，且涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法，则该问题实质为从四种不同颜色中任选两种颜色把这两种花颜色涂在正方体的两对对面上，有几种选法的问题．解答：解：由于涂色过程中，要保证满足用四种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可．因此共有=6种不同的涂法．故选A．点评：本题考查了排列，组合和简单的计数问题，解答该题的关键是对题目中注明的涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法的理解，这样使看似复杂的问题变为简单的选色（即组合）问题，属中档题．二、填空题：（30分）9．（5分）（2013•汕头一模）函数y=lnx在点A（1，0）处的切线方程为y=x﹣1 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．解答：解：∵y=lnx，∴y′=∴函数y=lnx在x=1处的切线斜率为1又∵切点坐标为（1，0）切线方程为y=x﹣1．故答案为：y=x﹣1．点评：本题主要考查了函数导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．10．（5分）（2013•汕头一模）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是[﹣，6] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣y的取值范围．解答：解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣y，直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点B（2，0），直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点C（，3），分析可知z在点C处取得最小值，z min=3×﹣1=﹣，z在点B处取得最大值，z max=3×2﹣0=6，∴﹣≤z≤6，故答案为[﹣，6]；点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键；11．（5分）（2013•汕头一模）若曲线与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2．则正实数a= ．考点：定积分．专题：计算题．分析：由积分的几何意义可得，，利用积分基本定理求解后可求a解答：解：由积分的几何意义可得，==∴a=故答案为：点评：本题主要考查了积分的几何意义及积分基本定理的简单应用，属于基础试题12．（5分）（2013•汕头一模）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，Q和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．解答：解：∵y2=4x∴p=2，焦点坐标为（1，0）依题意可知当P，Q和焦点三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小如图，故P的纵坐标为﹣1，然后代入抛物线方程求得x=，故答案为：（，﹣1）．点评：本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．13．（5分）（2013•汕头一模）已知在三角形ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=θ，若D为BC的三等分点〔靠近点B一侧）．则的取值范围为（﹣，）．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和数量积运算即可得出．解答：解：∵===，∴==+==．∵﹣1＜cosθ＜1，∴．∴．故答案为．点评：熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键．14．（5分）（2013•汕头一模）已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点．x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2，则圆C上的点到直线l的距离最小值是2﹣2 ．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：把直线的参数方程化为普通方程，再把圆C的极坐标方程化为普通方程，求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离．解答：解：直线l的参数方程为（参数t∈R），消去t的普通方程为 x﹣y﹣4=0，∵圆C的极坐标方程为ρ=2∴圆C的普通方程为 x2+y2=4，圆心（0，0），半径为2，则圆心C到直线l的距离为d==2，圆C上的点到直线l的距离最小值是d﹣r=2﹣2．故答案为：2﹣2．点评：本题以曲线参数方程、极坐标方程出发，考查了参数方程、极坐标方程、普通方程间的互化，直线和圆的位置关系．15．（2013•汕头一模）如图，半径是的ΘO中，AB是直径，MN是过点A的圆O的切线，AC，BD 相交于点P，且∠DAN=30°，CP×PA=12，又PD＞PB，则线段PD的长为 4 ．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据AB是直径得∠ADB=90°，由弦切角定理，得到∠B=∠DAN=30°，从而在Rt△ABD中算出BD=AB=7，设PD=x，根据相交弦定理建立关于x的方程，解之即可得到线段PD的长．解答：解：∵MN切圆O于A，∴∠B=∠DAN=30°，∵AB是直径，可得∠ADB=90°，∴AD=AB=，且BD=AD=7又∵圆O中，PB×PD=CP×PA=12∴设PD=x，可得x（7﹣x）=12，解之得x=3或4∵PD＞PB，∴PD=4（﹣3舍去）故答案为：4点评：本题给出圆的直径和垂直于该直径的切线，在弦AC、BD相交的情况下求分出的线段PD之长，着重考查了弦切角定理、直径所对的圆周角和解直角三角形等知识，属于中档题．三、解答题（满分80分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）（2013•汕头一模）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．（I）求角A的大小；（II）若且△ABC的面积为，求b十c的值．考点：余弦定理；二倍角的正弦．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由，结合向量平行的坐标表示可得关于A的三角关系式，然后利用二倍角公式对已知式子进行化简可求tanA，进而可求A（2）由三角形的面积公式S=可求bc，然后由余弦定理可得，可求b+c解答：解：（1）∵∴…（2分）∴…（4分）∴又A∈（0，π）∴…（6分）（2）∵…（8分）∴bc=6…（9分）由余弦定理得：…（10分）⇒（b+c）2=7+3bc=25…（11分）∴b+c=5…（12分）点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示的应用、二倍角公式及同角基本关系的应用，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用．17．（12分）（2013•汕头一模）广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享．现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：幸福级别非常幸福幸福不知道不幸福幸福指数（分）90 60 30 0人数（个）19 21 7 3（I）求这50位市民幸福指数的数学期望（即平均值）；（11）以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数．求ξ的分布列；（III）从这50位市民中，先随机选一个人．记他的幸福指数为m，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n，求n＜m+60的概率P．考点：离散型随机变量及其分布列；离散对数在加密和数字签名中的应用．专题：概率与统计．分析：（I）由数学期望（即平均值）的定义，结合图表可得答案；（II）可得ξ的可能取值为0、1、2、3，分别求其概率，即可得其分布列；（III）方法一，求对立事件n≥m+60的概率，进而由P=1﹣P1可得答案，方法二，直接列举出符合n＜m+60的情况，由古典概型的公式可得答案．解答：解：（Ⅰ）记Ex表示这50位市民幸福指数的数学期望，∴．…（1分）（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3 …（2分）…（3分）…（4分）…（5分）…（6分）∴ξ分布列为ξ0 1 2 3P…（7分）（Ⅲ）方法一：设所有满足条件的对立事件n≥m+60的概率为P1①满足m=0且n=60的事件数为：…（8分）②满足m=0且n=90的事件数为：…（9分）③满足m=30且n=90的事件数为：…（10分）∴…（11分）所以满足条件n＜m+60的事件的概率为．…（12分）方法二：基本事件的总数为满足条件n＜m+60的有如下各种情况：①满足m=0时，n=0，30的事件数为：…（8分）②满足m=30时，n=0，30，60的事件数为：…（9分）③满足m=60时，n=0，30，60，90的事件数为：…（10分）④满足m=90时，n=0，30，60，90的事件数为：…（11分）所以…（12分）点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．18．（14分）（2013•汕头一模）在三棱锥P﹣ABC中．侧梭长均为4．底边AC=4．AB=2，BC=2，D．E 分别为PC．BC的中点．〔I）求证：平面PAC⊥平面ABC．（II）求三棱锥P﹣ABC的体积；（III）求二面角C﹣AD﹣E的余弦值．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用等腰三角形的性质即可得到OP⊥AC，再利用勾股定理的逆定理即可得到OP⊥O B，利用线面垂直的判定定理即可证明；（II）由（I）可知OP⊥平面ABC，故OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP=，直角三角形ABC 的面积S=，再利用即可得出．（III）方法一：过点E 作EH⊥AC于H，过点H作HM⊥AD于M，连接ME，由平面PAC⊥平面ABC，EH⊥AC，EH⊂平面ABC，可得EH⊥平面PAC，于是ME⊥AD（三垂线定理），可得∠EMH 即为所求的二面角的平面角．利用直角三角形的边角关系求出即可．方法二：以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量即可得到二面角．解答：证明：（Ⅰ）∵PA=PB=PC=AC=4，取AC的中点O，连接OP，OB，可得：OP⊥AC，，∵，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC为Rt△．∴OB=OC=2，PB2=OB2+OP2，∴OP⊥OB．又∵AC∩BO=O且AC、OB⊂面ABC，∴OP⊥平面ABC，又∵OP⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．）（Ⅱ）由（I）可知：OP⊥平面ABC，∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP=．直角三角形ABC的面积S=．∴V P﹣ABC==．（Ⅲ）方法一：过点E 作EH⊥AC于H，过点H作HM⊥AD于M，连接ME，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，EH⊥AC，EH⊂平面ABC，∴EH⊥平面PAC，∴ME⊥AD（三垂线定理），∴∠EMH即为所求的二面角的平面角．∵E，D分别为中点，EH⊥AC，∴在RT△HEC中：，，∴在RT△HMA中，．在RT△HME中，．所以．方法二：以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，O（0，0，0），A（0，﹣2，0），，C（0，2，0），，，，∴，，设平面AED的一个法向量为，平面ACD的一个法向量为，则，得，令x=1，则，．∴，设所求的二面角为θ，显然θ为锐角，===．点评：熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、三棱锥的体积计算公式、利用三垂线定理和二面角的定义求得二面角的平面角、通过空间直角坐标系利用两个平面的法向量得到二面角等是解题的关键．19．（14分）（2013•汕头一模）如图．已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率，F1为椭圆的左焦点且=1．（I）求椭圆的标准方程；（II）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）写出A，B，F2=1，1的坐标，进而得到，的坐标，代入=1并化简得b 由，得，解出得a2，从而得椭圆方程；（II）可根据圆心O到直线QN的距离d与圆的半径的大小关系判断：设P（x0，y0），则Q（x0，2y0）（x0≠±2），由点斜式写出直线AQ方程，与直线BM方程联立可得M坐标，进而得N点坐标，由点斜式可得直线QN方程，根据点到直线距离公式可得圆心O到直线QN的距离，与半径a比较即可，注意点P坐标满足椭圆方程；解答：解：（Ⅰ）易知A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），∴，∴a2﹣c2=b2=1，又，∴，解得a2=4，∴；（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（x0，2y0）（x0≠±2），∴，所以直线AQ方程，∴，则，∴，又点P的坐标满足椭圆方程，则，所以，∴，∴直线QN的方程：，化简整理得到：，即x0x+2y0y=4，所以点O到直线QN的距离，故直线QN与AB为直径的圆O相切．点评：本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查学生的运算能力，本题中动点较多，设点坐标时应尽量减少未知量的个数．20．（14分）（2013•汕头一模）数列{a n}的前n项和为S n，（I）设b n=a n+n，证明：数列{b n}是等比数列；（II）求数列{nb n}的前n项和T n；（III）若c n=﹣a n，P=，求不超过P的最大整数的值．数列的求和；等比关系的确定．考点：计算题；等差数列与等比数列．专题：分（Ⅰ）由，令n=1可求a1，n≥2时，利用a n=s n﹣s n﹣1析：可得a n与a n﹣1之间的递推关系，构造等可证等比数列（Ⅱ）由（Ⅰ）可求nb n，利用错位相减法可求数列的和（Ⅲ）由（Ⅰ）可求，进而可求c n，代入P中利用裂项求和即可求解解解：（Ⅰ）因为答：当n=1时，2a1=﹣1，则a1=﹣，…．（1分）当n≥2时，，…．（2分）所以2a n﹣a n﹣1=﹣n﹣1，即2（a n+n）=a n﹣1+n﹣1，所以，而b1=a1+1=，…．（3分）所以数{b n}是首项为，公比为的等比数列，所以．…．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以①②…．（6分）②﹣①得：…．（7分）…（8分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知∴c n=n…（9分）而====，…（11分）所以，故不超过P的最大整数为2013．…..（14分）点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，数列的错位相减求和及裂项求和方法的综合应用21．（14分）（2013•汕头一模）已知函数．（I）若f（x）=f1（x）+f2（x）﹣bf2（﹣x），是否存在a，b∈R，y=f（x）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；〔II）若a=2，b=1．求函数g（x）=f1（x）+f2（x）在R上的单调区间；（III ）对于给定的实数∃x0∈[0，1]，对∀x∈[0，1]，有|f1（x）﹣f2（x0）|＜1成立．求a的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）存在a=0，b=﹣1使y=f（x）为偶函数．再根据偶函数的定义进行证明即可；（Ⅱ）先利用绝对值的意义将g（x）写成分段函数的形式g（x）=，再对x进行分类讨论：①当x≥2时；②当x＜2时；利用导数工具研究其单调性即得；（Ⅲ）由于|f1（x）﹣f2（x0）|＜1，从而f2（x0）﹣1＜f1（x）＜f2（x0）+1，∃x0∈[0，1]对∀x∈[0，1]，f2（x0）﹣1＜f1（x）＜f2（x0）+1成立．等价于：．再对字母b分类讨论：①当b≥0时，②当b＜0时．即可求得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）存在a=0，b=﹣1使y=f（x）为偶函数，…（2分）证明如下：此时：f（x）=e|x|+e﹣x+e x，x∈R∴f（﹣x）=e|﹣x|+e x+e﹣x=f（x），∴y=f（x）为偶函数．…（4分）（注：a=0，b=0）也可以）（Ⅱ）∵g（x）=e|x﹣2|+e x=，…（5分）①当x≥2时g（x）=e x﹣2+e x，∴g′（x）=e x﹣2+e x＞0，∴y=g（x）在[2，+∞）上为增函数．…（6分）②当x＜2时g（x）=e2﹣x+e x，则g′（x）=﹣e2﹣x+e x，令g′（x）=0得到x=1，（ⅰ）当x＜1时g′（x）＜0，∴y=g（x）在（﹣∞，1）上为减函数．（ⅱ）当1≤x＜2时g′（x）＞0，∴y=g（x）在（1，2）上为增函数．…（8分）综上所述：y=g（x）的增区间为[1，+∞），减区间为（﹣∞，1）．…（9分）（Ⅲ）∵|f1（x）﹣f2（x0）|＜1，∴f2（x0）﹣1＜f1（x）＜f2（x0）+1∴∃x0∈[0，1]对∀x∈[0，1]，f2（x0）﹣1＜f1（x）＜f2（x0）+1成立．即：…（10分）①当b≥0时，f2（x）为增函数或常数函数，∴当x∈[0，1]时，∵，∴f2（x）min﹣1=f2（0）﹣1=0＜f1（x）min恒成立．，，∴e b+1＞e1﹣a∴a＞1﹣ln（e b+1）∵∴∴∴e b+1＞e a∴a＜ln（e b+1）∵∴综上所述：a∈（1﹣ln（e b+1），ln（e b+1））…（12分）②当b＜0时，f2（x）在[0，1]上为减函数，∴∵∴f2（x）min﹣1＜f1（x）min恒成立．∴∴a＞1﹣ln2∴，，．∴2＞e a∴a＜ln2∴综上所述：∴a∈（1﹣ln2，ln2）…（13分）由①②得当b≥0时，a∈（1﹣ln（e b+1），ln（e b+1））；当b＜0时，a∈（1﹣ln2，ln2）．…（14分）点评：本小题主要考查函数的单调性、奇偶性与单调性的综合等基本知识，考查分类讨论、化归以等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．。

广东省汕头市2013届高三教学质量测评数学理试题(汕头一模)

绝密＊启用前试尝类型：A 汕头市2013年普通高中高三教学质量测评试题理科数学本试卷共4页，21小题、满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：I答春前，考生务必用葱色字迹的钢笔或签字笔将自己的性名和考生号、试室号、座位号镇写在答题卡上，并拈贴好条形码。

认真核准条形码上的牲名、考生号、试室号和座位号。

2选择赶每小题选出答案后，用2B铅笔把答月卡上汁应题目选项的答案信息点涂又．如需改动，用株皮挤干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3非选择超必须用从色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位I 上；如雷改动，先划摔原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号叶应的信级点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效5考生必须保持答超卡的整洁。

考试结未后，将试卷和答题卡一并交回一、选择题：（40分）1、设x，y∈R，则“x＝0”是“复数x+yi为纯虚数”的（）A充分而不必要条件B、必要而不充分条件C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2集合A＝{x｜2012＜x＜2013}，B＝{x｜x＞a}可满足A∩B＝φ．则实数a的取值范围（）A、{a｜a≥2012 }B、{a｜a≤2012 }C、{a｜a≥2013}D、{a｜a≤2013 }3采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2 ...960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落人区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A. 15B. 10C. 9D. 74把函数y=cos2x＋l的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变），然后向左平移l个单位长度．再向下平移1个单位长度．得到的图像是5.执行右面的程序框图，如果输入m=72，n=30，则输出的n 是（） A. 0 B. 3 C. 6 D. 126.在等差数列｛n a }中，首项a 1=0，公差d ≠0 若1210k a a a a =+++ ，则k ＝（） A ．45 B. 46 C. 47 D. 487.设O 是空间一点，a,b,c 是空间三条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A. 当a ∩b ＝O 且a ⊂α，b ⊂α时，若c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥αB. 当a ∩b ＝O 且a ⊂α，b ⊂α时，若a ∥β，b ∥β，则α∥βC. 当b ⊂α时，若b ⊥β，则α⊥βD. 当b ⊂α时，且c α⊄时，若c ∥α，则b ∥c8.给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色（红、黄、绿、兰），要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法（） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种二、填空题：（30分）（一）必做题（9-13题）9.函数y ＝lnx 在点A(1,0)处的切线方程为_______．10.已知变量x,y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函Rz=3x －y 的取值范围是＿＿＿＿11.若曲线y =与直线x=a ，y=0所围成封闭图形的面积为a 2．则正实数a ＝＿＿＿＿12.已知动点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么使得点P 到定点Q （2,，－1）的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为＿＿＿13.已知在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，若D 为BC 的三等分点〔靠近点B 一侧）．则的取值范围为＿＿＿＿．（二）选做题14.已知直线l 方程是22x ty t =+⎧⎨=-⎩学科网（t 为参数），以坐标原点为极点．x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是＿＿＿ 15ΘO 中，AB 是直径，MN 是过点A 的圆O 的切线，AC ，BD 相交于点P ，且∠DAN ＝30°，CP ＝2, PA ＝6，又PD ＞PB ，则线段PD的长为＿＿＿三、解答题（满分80分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）△ABC 中内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c, 向量(2sin 2Am = ，2(cos ,2cos 1)4A n A =- ，且m n 。

广东省汕头一中2013年高三下学期4月模拟考试数学理试题

汕头一中2013年高三下学期4月模拟考试数学理试题本试卷共页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将答案填在答题卡上。

1. 集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是.A}{2,1A B =--.B ()(,0)R C A B =-∞.C (0,)AB =+∞.D }{()2,1R C A B =--2. 若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是.A 2-.B 22.C34.D 23. 设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =.A 2.B 1.C 0.D 1-4. 已知命题p ：,(0,)a b ∃∈+∞，当1a b +=时，113a b+=；命题2:,10q x R x x ∀∈-+≥恒成立，则下列命题是假命题的是 .A ()()p q ⌝∨⌝.B ()()p q ⌝∧⌝.C ()p q ⌝∨ .D ()p q ⌝∧5. 正项等比数列{}n a 满足31a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是.A 65.B 65-.C 25.D 25-6. 已知,,O A B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =.A 2OA OB -.B 2OA OB -+.C2133OA OB - .D 1233OA OB -+7. 若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是.A 0 .B 1 .C.D 98. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)03(,1πϕωx x x kx y 的图象如下图，则.A 6,21,31πϕω===k .B 3,21,31πϕω===k.C 6,2,31πϕω==-=k.D 3,2,3πϕω==-=k第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分。

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汕头市2010届高三名师调研（数学理）参考公式：三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c ´、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x ｜a-1≤x ≤a+2}，B={x| 3<x<5}，则能使A ⊇ B 成立的实数a 的取值范围是 ( )A ．{a|3<a ≤4}B ．{a|3≤a ≤4}C ．{a|3<a<4}D ．Φ2．函数y=12-x 的定义域是(-∞，1) [2,5)，则其值域是 ( ) A ．(-∞，0) ( 21，2] B ．(-∞，2]C ．(-∞，21) [2，+∞) D ．(0，+∞)3．极坐标系中，点A(1，32π)到圆ρ=2cos θ上动点的距离的最大值为 ( )A ．3-1B ．3+1C ．2D ．14．夹在两个平行平面之间的球、圆柱、圆锥在这两个平面上的射影都是等圆，则它们的体积之比为( )A ．2：3：1B ．3：2：1C ．3：6：2D ．6：8：3 5．以下命题正确的是 ( )A ．α，β都是第一象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin βB ．α, β都是第二象限角，若sin α>sin β，则tg α>tg βC ．α，β都是第三象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin βD ．α，β都是第四象限角，若sin α>sin β，则tg α>tg β6. 已知直线l ，m ，平面α和β，且lm ⊥⊂αβ，，给出下列三个命题 ①若l m ⊥，则αβ//；②若αβ//，则l m ⊥；③若αβ⊥，则l m //。

其中正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 如图，在正方体A B C D A B C D -1111中，二面角D A C D 1--的余弦值是（）A.63B. -63C. -33D.338. 定义在R 上的函数y f x =+()1的图像如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①f ()01=；②f ()-=11；③若x >0，则f x ()>0；④若x <0，则f x ()>0。

其中正确的命题是（）A. ②③B. ①④C. ②④D. ①③二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.9 ．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 10．若0x >，则2x x+的最小值为 11．在4(1)x +的展开式中，x 的系数为 (用数字作答).12. 复数()2i 1+i 的实部是。

13. 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为。

14. 若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是15. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（16）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值。

（17）如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 º （Ⅰ）证明：AB ⊥PC（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积。

D 1 C 1A 1B 1D CABy 1 1x-1 018．（本小题满分12分）已知长方体AC 1中，棱AB ＝BC ＝3，棱BB 1＝4，连结B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于E ，交B 1C 于F.(1)求证A 1C ⊥平面EBD ；(2)求点A 到平面A 1B 1C 的距离；(3)求平面A 1B 1C 与平面BDE 所成角的度数； (4)求ED 与平面A 1B 1C 1所成角的大小；19．（本小题满分12分）某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10000平方米，该球场每座的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该球场建x 个时，每平方米的平均建设费用用f (x )表示，且f (n )=f (m )(1+20mn )(其中n ＞m ,n ∈N )，又知建五座球场时，每平方米的平均建设费用为400元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，公司应建几个球场?20．（本小题满分12分）已知定点Q （6，0）和抛物线y 2=8x 上的两个动点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），其中A 、B 的横坐标x 1、x 2满足x 1≠x 2，且x 1+x 2=4．（I ）证明线段AB 的垂直平分线过定点Q ；（Ⅱ）当A 、B 两点的距离为何值时，△AQB 的面积最大？ 21．（本小题满分14分）设f (x )=ax 2+bx +c (a ＞b ＞c ),f (1)=0,g (x )=ax +b .（1）求证：函数y =f (x )与y =g (x )的图象有两个交点；（2）设f (x )与g (x )的图象交点A 、B 在x 轴上的射影为A 1、B 1，求｜A 1B 1｜的取值范围；（3）求证：当x ≤－3时，恒有f (x )＞g (x ).参考答案一、选择题1——8 B A B A D B D B 二、填空题9、 12 10、 22 11、6 12、 -1 13、2314、 (),0-∞ 或是 . {}|0a a <15、 7次三、解答题 (16) 解：作//DM AC 交BE 于N ，交CF 于M ．22223017010198DF MF DM =+=+=， 222250120130DE DN EN =+=+=，2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=．．．．．．．6分在DEF ∆中，由余弦定理，2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯. ．．．．．．12分（17）解：（Ⅰ）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =。

如图，取AB 中点D ，连结PD ,CD , 则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC ,所以AB PC ⊥。

．．．．．．6分（Ⅱ）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ．因为Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，所以AE PC ⊥，AE BE =．由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=︒．．．．．．．8分因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以,,AEB PEB CEB ∆∆∆都是等腰直角三角形。

由已知4PC =，得2AE BE ==， AEB ∆的面积2S =．因为PC ⊥平面AEB ，所以三角锥P ABC -的体积1833V S PC =⨯⨯= ．．．．．．．12分18．本小题主要考查空间线面关系和锥体体积的计算，考查逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力。

解：(1)连结AC ，则BD AC ⊥，又AC 是A 1C 在平面ABCD 内的射影∴BD C A ⊥1；又∵CB C B B A 1111面⊥，且A 1C 在平面CB C B 11内的射影BE C B ⊥1， ∴BE C A ⊥1，又∵B BE BD =⋂ ∴EBD C A 面⊥1 ……………… 3分(2) 容易证明BF ⊥平面A 1B 1C ，∴所求距离即为BF ＝12/5 ……………… 6分 (3) 同上∵BF ⊥平面A 1B 1C ，，而BF 在平面BDE 上， ∴平面A 1B 1C ⊥平面BDE ……………… 8分(4)连结DF ，A 1D ，∵C B EF 1⊥，C A EF 1⊥，∴C B A EF 11面⊥，∴∠EDF 即为ED 与平面A 1B 1C 所成的角 6分由条件3==BC AB ，41=BB ，可知51=C B ，512=BF ，5161=F B ，59=CF ，F B FC EF 1=·=BF 2027，FB FC EC 1=·491=BB∴41522=+=CD EC ED ∴259sin ==ED EF EDF ∴ED 与平面A 1B 1C 所成角为arcsin 259………………12分19．本小题主要考查求运用所学知识解决实际问题的能力。

.解：设建成x 个球场，则每平方米的购地费用为x 1000101284⨯＝x 1280……………2分由题意知f (5)＝400, f (x )＝f (5)(1+205-x )＝400(1+205-x ) ……………… 6分从而每平方米的综合费用为y =f (x )+x1280＝20（x +x 64）+300≥20.264+300＝620（元），当且仅当x =8时等号成立 ……………… 10分故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省. ……………… 12分20．本小题主要考查直线与圆锥曲线的有关知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力。

解：（I ）设线段AB 的中点为),,(00y x M 则.2,22210210y y y x x x +==+=.48880212122121212y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=∴线段AB 的垂直平分线的方程为).2(400--=-x y y y ①…………………………3分⎩⎨⎧==06y x 为方程①的一个解，即以（6，0）为坐标的点在线段AB 的垂直平分线上， ∴线段AB 的垂直平分线过定点Q （6，0）．…………………………………………6分（Ⅱ）由（I ）知，直线AB 的方程为).2(400-=-x y y y由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-x y x y y y 8)2(4200 消去x ，得.016222002=-+-y y y y ②依题意y 1、y 2为方程②的两个实数根，且y 1≠y 2，∴.0)162(4)2(2020>---=∆y y 解得－4＜y 0＜4．……………………………………8分又,)16)(16(21)]162(4)2][()4(1[||2020202020y y y y y AB -+=--+=Q （6，0）到直线AB 的距离 ,16)0()26(||20202y y QM d +=-+-==20202016)16)(16(2121||21y y y d AB S AQB +⋅-+⋅=⋅=∴∆…………………………………10分 .6964)32321616(2141)232)(16)(16(214132020********=-++++≤-++=y y y y y y当且仅当)4,4(334,2321602020-∈±=-=+y y y 即时取等号，此时.23161621||402=-=y AB故当A 、B 两点的距离为2316时，△AQB 的面积最大．…………………………12分21. 本小题主要考查函数的性质等有关知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力。