2023年湖南怀化中考数学试卷
2023年湖南省怀化市中考数学真题(解析版)
怀化市2023年初中学业水平考试试卷数学温馨提示：1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分150分．2.请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．3.请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效．一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1. 下列四个实数中，最小的数是（ ）A. 5- B. 0 C. 12 D. 【答案】A【解析】【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可．【详解】1502-<<<Q \最小的数是：5-故选：A ．【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．2. 2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST ）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（ ）A. 412.225410´ B. 41.2225410´ C. 51.2225410´ D. 60.12225410´【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ´的形式，其中110a £<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数据122254用科学记数法表示为51.2225410´，故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是科学记数法—表示较绝对值较大的数．把一个大于等于10的数写成科学记数法10n a ´的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a ，把整数位数减1作为n ，从而确定它的科学记数法形式．3. 下列计算正确的是（ ）A. 235a a a ×= B. 623a a a ¸= C. ()2329ab a b = D. 523a a -=【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项分别计算后，即可得到答案．【详解】解：A ．235a a a ×=，故选项正确，符合题意；B ．624a a a ¸=，故选项错误，不符合题意；C ．()2326ab a b =，故选项错误，不符合题意；D ．523a a a -=，故选项错误，不符合题意．故选：A ．【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．4. 剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 选项不合题意．.C 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C 选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．5. 在平面直角坐标系中，点(2,3)P -关于x 轴对称的点P ¢的坐标是（ ）A. (2,3)-- B. (2,3)- C. (2,3)- D. (2,3)【答案】D【解析】【分析】根据关于x 轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解．【详解】解：点(2,3)P -关于x 轴对称的点P ¢的坐标是(2,3)，故选：D ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x 轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．6. 如图，平移直线AB 至CD ，直线AB ，CD 被直线EF 所截，160Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A. 30°B. 60°C. 100°D. 120°【答案】B【解析】【分析】根据平移可得AB CD ∥，根据平行线的性质以及对顶角相等，即可求解．【详解】解：如图所示，∵平移直线AB 至CD∴AB CD ∥，160Ð=°，的∴13Ð=Ð,又∵23ÐÐ=，∴2160Ð=Ð=°，故选：B ．【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7. 某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4.关于这组数据，下列说法正确的是（ ）A. 众数是9.6B. 中位数是9.5C. 平均数是9.4D. 方差是0.3【答案】A【解析】【分析】先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断．【详解】解：5个数按从小到大的顺序排列9.2，9.4，9.6，9.6，9.7，A 、9.6出现次数最多，众数是9.6，故正确，符合题意；B 、中位数是9.6，故不正确，不符合题意；C 、平均数是()19.2+9.4+9.62+9.7=9.55´，故不正确，不符合题意；D 、方差是()()()()222219.29.5+9.49.5+29.69.5+9.79.5=0.0325éù´----ëû，故不正确，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数和方差，熟练掌握这些定义及计算方法是解决此类问题的关键．8. 下列说法错误的是（ ）A. 成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B. 一元二次方程230x x ++=有两个相等的实数根C. 任意多边形的外角和等于360°D. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心【答案】B【解析】【分析】根据不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义分别进行判断即可．【详解】解：A 、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故此选项不符合题意；B 、21413110D =-´´=-<，则一元二次方程230x x ++=没有实数根，故此选项符合题意；C 、任意多边形的外角和等于360°，故此选项不符合题意；D 、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义，熟练掌握有关知识点是解题的关键．9. 已知压力(N)F 、压强()Pa P 与受力面积()2m S 之间有如下关系式：F PS =．当F 为定值时，下图中大致表示压强P 与受力面积S 之间函数关系的是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案．【详解】解：根据题意得：F P S=，∴当物体的压力F 为定值时，该物体的压强P 与受力面积S 的函数关系式是：F P S =，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握F P S =以及反比例函数定义，是解题的关键．10. 如图，反比例函数(0)k y k x=>的图象与过点(1,0)-的直线AB 相交于A 、B 两点．已知点A 的坐标为(1,3)，点C 为x 轴上任意一点．如果9ABC S =V ，那么点C 的坐标为（）的A. (3,0)- B. (5,0) C. (3,0)-或(5,0) D. (3,0)或(5,0)-【答案】D【解析】【分析】反比例函数(0)k y k x=>的图象过点(1,3)，可得3y x =，进而求得直线AB 的解析式为3322y x =+，得出B 点的坐标，设(),0C c ，根据1313922ABC S c æö=´+´+=ç÷èøV ，解方程即可求解．【详解】解：∵反比例函数(0)k y k x =>的图象过点(1,3)∴133k =´=∴3y x=设直线AB 的解析式为y mx n =+，∴30m n m n =+ìí=-+î，解得：3232m n ì=ïïíï=ïî,∴直线AB 的解析式为3322y x =+，联立33223y x y xì=+ïïíï=ïî，解得：13x y =ìí=î或232x y =-ìïí=-ïî，∴32,2B æö--ç÷èø，设(),0C c ，∵1313922ABC S c æö=´+´+=ç÷èøV ，解得：3c =或5c =-，∴C 的坐标为(3,0)或(5,0)-，故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点B 的坐标是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11. 有意义，则x 的取值范围是__________．【答案】9x ³【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得出90x -³，即可求解．有意义，∴90x -³，解得：9x ³，故答案为：9x ³．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．12. 分解因式：2242a a -+=_____．【答案】()221a -【解析】【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：原式()()2222121a a a =-+=-，故答案为：()221a -．13. 已知关于x 的一元二次方程220x mx +-=的一个根为1-，则m 的值为__________，另一个根为__________．【答案】①. 1- ②. 2【解析】【分析】将=1x -代入原方程，解得m ，根据一元二次方程根与系数的关系，得出122x x ´=-，即可求解．【详解】解：∵关于x 一元二次方程220x mx +-=的一个根为1-，∴120m --=解得：1m =-，设原方程的另一个根为2x ，则12·2x x =-，∵11x =-∴22x =故答案为：12-，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14. 定义新运算：(,)(,)a b c d ac bd ×=+，其中a ，b ，c ，d 为实数．例如：(1,2)(3,4)132411×=´+´=．如果(2,3)(3,1)3x ×-=，那么x =__________．【答案】1【解析】【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：∵(2,3)(3,1)3x ×-=∴()23313x ´+´-=即66x =解得：1x =故答案为：1．【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．15. 如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE AD ^于点E ，3PE =．则点P 到直线AB 的距离为__________．的【答案】3【解析】【分析】过点P 作PQ AB ^于Q ，证明四边形四边形AEPQ 是正方形，即可求解．【详解】解：如图所示，过点P 作PQ AB ^于Q ，∵点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE AD ^于点E∴四边形AEPQ 是矩形，45EAP Ð=°∴AEP △是等腰直角三角形，∴AE EP=∴四边形AEPQ 是正方形，∴3PQ EP ==，即点P 到直线AB 的距离为3故答案为：3．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键．16. 在平面直角坐标系中，AOB V 为等边三角形，点A 的坐标为()1,0．把AOB V 按如图所示的方式放置，并将AOB V 进行变换：第一次变换将AOB V 绕着原点O 顺时针旋转60°，同时边长扩大为AOB V 边长的2倍，得到11A OB △；第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60°，同时边长扩大为11A OB △，边长的2倍，得到22A OB △，…．依次类推，得到20332033A OB V ，则20232033A OB △的边长为__________，点2023A 的坐标为__________．【答案】①. 20232 ②. ()202220222,2【解析】【分析】根据旋转角度为60°，可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上，故点2023A 在第四象限，且202320232OA =，即可求解．【详解】解：∵AOB V 为等边三角形，点A 的坐标为()1,0，∴1OA =，∵每次旋转角度为60°，∴6次旋转360°，第一次旋转后，1A 在第四象限，12OA =，第二次旋转后，2A 在第三象限，222OA =，第三次旋转后，3A 在x 轴负半轴，332OA =，第四次旋转后，4A 在第二象限，442OA =，第五次旋转后，5A 在第一象限，552OA =，第六次旋转后，6A 在x 轴正半轴，662OA =，……如此循环，每旋转6次，点A 的对应点又回到x 轴正半轴，∵202363371¸=L ，点2023A 在第四象限，且202320232OA =，如图，过点2023A 作2023A H x ^轴于H ，在2023Rt OHA V 中，202360HOA Ð=°，∴202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =×Ð=´°=´=，20232022202320232023sin 22A H OA HOA =×Ð==，∴点2023A 的坐标为()202220222,2．故答案为：20232，()202220222,2．【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17. 计算：()1012sin 451(1)3-æö-+-°---ç÷èø【答案】4【解析】【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法运算，再进行加减混合运算即可．【详解】解：()1012sin 451(1)3-æö-++°---ç÷èø23311=+-++4=【点睛】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18. 先化简234111a a a -æö+¸ç÷--èø，再从1-，0，1，2中选择一个适当的数作为a 的值代入求值．【答案】12a -，当1a =-时，原式为13-；当0a =时，原式为12-．【解析】【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．【详解】解：234111a a a -æö+¸ç÷--èø()()2213111a a a a a a +--æö=+¸ç÷---èø()()21122a a a a a +-=×-+-12a =-，当a 取2-，1，2时分式没有意义，所以1a =-或0，当1a =-时，原式11123==---；当0a =时，原式11022==--．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．19. 如图，矩形ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ．（1）证明：BOF DOE ≌△△；（2）连接BE 、DF ，证明：四边形EBFD 是菱形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出AD BC ∥，则12,34Ð=ÐÐ=Ð，根据O 是BD 的中点，可得BO DO =，即可证明()AAS BOF DOE ≌△△；（2）根据BOF DOE ≌△△可得ED BF =，进而可得四边形EBFD 是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证．【小问1详解】证明：如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴12,34Ð=ÐÐ=Ð，∵O 是BD 的中点，∴BO DO =，在BOF V 与DOE V 中1234BO DO Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS BOF DOE ≌△△；【小问2详解】∵BOF DOE≌△△∴ED BF =，又∵ED BF∥∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF BD^∴四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．20. 为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD （碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A 点用测角仪测得碑顶D 的仰角为30°，在B 点处测得碑顶D 的仰角为60°，已知35m AB =，测角仪的高度是1.5m （A 、B 、C 在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD ．1.732»，结果保留一位小数）【答案】烈士纪念碑的通高CD 约为31.8米【解析】【分析】根据题意，四边形,,AMNB NBCE AMEC 是矩形， 1.5CE =米，35MN AB ==米，根据三角形的外角的性质得出，30NMD MDN Ð=Ð=°，等角对等边得出35ND NM ==，进而解Rt DEN V ，求得DE ，最后根据CD DE CE =+，即可求解．【详解】解：依题意，四边形,,AMNB NBCE AMEC 是矩形， 1.5CE =米，35MN AB ==米，∵30,60DMN DNE Ð=°Ð=°∴30MDN DNE DMN Ð=Ð-Ð=°∴30NMD MDN Ð=Ð=°，∴35ND NM ==米，在Rt DEN V 中，sin DEDNE DNÐ=∴sin 603530.3DE DN =×°=»米∴ 1.530.331.8CD CE DE =+=+=米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．21. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为__________；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．【答案】（1）200人（2）统计图见解析，126°（3）1050人【解析】【分析】（1）用“视力正常”的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数；（2）先求出“中度近视”的人数，进而求出“轻度近视”的人数，由此补全统计图即可；再用360°乘以“轻度近视”的人数占比即可求出对应的圆心角度数；（3）用3000乘以样本中“轻度近视”的人数占比即可得到答案．【小问1详解】解：9045%200¸=人，∴所抽取的学生人数为200人，故答案为：200；【小问2详解】解：中度近视的人数为20015%30´=人，“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为70360126200°´=° ∴高度近视的人数为20090703010---=人，补全统计图如下：【小问3详解】解：7030001050200´=人，∴估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为1050人．【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．22. 如图，AB 是O e 的直径，点P 是O e 外一点，PA 与O e 相切于点A ，点C 为O e 上的一点．连接PC 、AC 、OC ，且PC PA =．（1）求证：PC 为O e 的切线；（2）延长PC 与AB 的延长线交于点D ，求证：PD OC PA OD ×=×；（3）若308CAB OD Ð=°=，，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）8π3-【解析】【分析】（1）连接PO ，证明V V ≌PAO PCO ，即可得证；（2）根据sin OCPAD OD PD ==，即可得证；（3）根据圆周角定理得出260COD CAB Ð=Ð=°，进而勾股定理求得CD ，根据OCD OBC S S S =-V 阴影扇形，即可求解．【小问1详解】证明：∵PA 是O e 的切线，∴90PAO Ð=°如图所示，连接POPAO V 与PCO △中，PA PCOA OCPO PO =ìï=íï=î在∴V V ≌PAO PCO ()SSS 90PCO PAO \Ð=Ð=°∵C 为O e 上的一点．∴PC 是O e 的切线；【小问2详解】∵PC 是O e 的切线；∴OC PD ^，∴sin OC PA D OD PD==∴PD OC PA OD×=×【小问3详解】解：∵ BCBC =，308CAB OD Ð=°=，∴260COD CAB Ð=Ð=°，∵OC PD^∴30D Ð=°，∴142OC OD ==∴CD =，∴2160π2360OCD OBC S S S CO CD CO =-=´´-´V 阴影扇形21144π26=´´-´π38=【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．23. 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A 种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B 种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．（1）求原计划租用A 种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A 、B 两种客车共25辆，要求B 种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A 种客车租金为每辆220元，B 种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？【答案】（1）原计划租用A 种客车26辆，这次研学去了1200人（2）共有3种租车方案，方案一：租用A 种客车18辆，则租用B 种客车7辆；方案二：租用A 种客车19辆，则租用B 种客车6辆；方案三：租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆，（3）租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆才最合算【解析】【分析】（1）设原计划租用A 种客车x 辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设租用A 种客车a 辆，则租用B 种客车()25a -辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解．【小问1详解】解：设原计划租用A 种客车x 辆，根据题意得，()4530606x x +=-，解得：26x =所以()602661200´-=（人）答：原计划租用A 种客车26辆，这次研学去了1200人；【小问2详解】解：设租用A 种客车a 辆，则租用B 种客车()25a -辆，根据题意，得()2574560251200a a a -£ìí+-³î解得：1820a ££，∵a 为正整数，则18,19,20a =，∴共有3种租车方案，方案一：租用A 种客车18辆，则租用B 种客车7辆，方案二：租用A 种客车19辆，则租用B 种客车6辆，方案三：租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆，【小问3详解】∵A 种客车租金为每辆220元，B 种客车租金每辆300元，∴B 种客车越少，费用越低，方案一：租用A 种客车18辆，则租用B 种客车7辆，费用为1822073006060´+´=元，方案二：租用A 种客车19辆，则租用B 种客车6辆，费用为1922063005980´+´=元，方案三：租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆，费用为2022053005900´+´=元，∴租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆才最合算．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键．24. 如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx =+-与x 轴交于(4,0)(2,0)A B -、两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求PAC △面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）设直线135:4l y kx k =+-交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线237:4l y =-上总存在一点E ，使得MEN Ð为直角．【答案】（1）228=+-y x x（2）PAC △面积的最大值为8，此时点P 的坐标为()2,8P --（3）见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）如图所示，过点P 作PD x ^轴于点D ，交AC 于点E ，得出直线AC 的解析式为28y x =--，设()2,28P m m m +-，则(),28E m m --，得出()224PE m =-++，当PE 取得最大值时，PAC △面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）设()11,M x y 、()22,N x y ，MN 的中点坐标为1212,22x x y y Q ++æöç÷èø，联立235428y kx k y x x ì=+-ïíï=+-î，消去y ，整理得：()23204x k x k +--+=，得出121232,4x x k x x k +=-=-+，则211351,224Q k k æö--ç÷èø，设Q 点到2l 的距离为QE ，则QE =22135371124422k k æö---=+ç÷èø，依题意，212352y y k +=-，()221212122y y x x x x -=-+-()()12122x x x x =-++()12k x x =-，得出()()2221212MN x x y y =-+-()221k =+，则21MN k =+，12MN QE =，E 点总在Q e 上，MN 为直径，且Q e 与237:4l y =-相切，即可得证．【小问1详解】解：将(4,0)(2,0)A B -、代入28y ax bx =+-，得164804280a b a b --=ìí+-=î，解得：12a b =ìí=î，∴抛物线解析式为：228=+-y x x ；【小问2详解】解：如图所示，过点P 作PD x ^轴于点D ，交AC 于点E ，由228=+-y x x ，令0x =，解得：8y =-，∴()0,8C -，设直线AC 的解析式为8y kx =-，将点()4,0A -代入得，480k --=，解得：2k =-，∴直线AC 的解析式为28y x =--，设()2,28P m m m +-，则(),28E m m --，∴()22828PE m m m =---+-24m m=--()224m =-++，当2m =-时，PE 的最大值为4∵114222PAC S PE OA PE PE =´=´´=△∴当PE 取得最大值时，PAC △面积取得最大值∴PAC △面积的最大值为248´=，此时2m =-，2284488m m +-=--=-∴()2,8P --【小问3详解】解：设()11,M x y 、()22,N x y ，MN 的中点坐标为1212,22x x y y Q ++æöç÷èø，联立235428y kx k y x x ì=+-ïíï=+-î，消去y ，整理得：()23204x k x k +--+=， ∴121232,4x x k x x k +=-=-+，∴12122x x k +=-，∴()()1212135135222424y y k x x k k k k +=++-=-+-213524k =-，∴211351,224Q k k æö--ç÷èø，设Q 点到2l 的距离为QE ，则QE =22135371124422k k æö---=+ç÷èø，∵()11,M x y 、()22,N x y ，∴212352y y k +=-，()221212122y y x x x x -=-+-()()12122x x x x =-++()12k x x =-∴()()2221212MN x x y y =-+-()()2221212x x k x x =-+-()()22121x x k =-+()()22121241x x x x k éù=+-+ëû()()222431k k k éù=-+-+ëû()()2211k k =++()221k =+∴21MN k =+，∴12MN QE =∴QM QN QE ==，∴E 点总在Q e 上，MN 为直径，且Q e 与237:4l y =-相切，∴MEN Ð为直角．∴无论k 为何值，平行于x 轴的直线237:4l y =-上总存在一点E ，使得MEN Ð为直角．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质与判定，直角所对的弦是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
2020年湖南省怀化市中考数学试卷及其答案
2020年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（3分）下列数中，是无理数的是（）A．﹣3B．0C．D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a6÷a2＝a4C．（2ab）3＝6a3b3D．a2•a3＝a63．（3分）《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（）A．3.5×106B．0.35×107C．3.5×102D．350×1044．（3分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．95．（3分）如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（）A．140°B．50°C．60°D．40°6．（3分）小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（）A．众数B．中位数C．方差D．平均数7．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3B．C．2D．68．（3分）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±29．（3分）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4B．6C．8D．1010．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞3C．0＜x＜1D．1＜x＜3二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（3分）代数式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）因式分解：x3﹣x＝．13．（3分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为分．14．（3分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝°．15．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（结果保留π）．16．（3分）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B 1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．计算：+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣|．18．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．19．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树m米的A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C 在同一直线上，求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）21．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．23．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．24．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N 的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖南省怀化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（3分）下列数中，是无理数的是（）A．﹣3B．0C．D．【解答】解：﹣3，0，是有理数，是无理数．故选：D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a6÷a2＝a4C．（2ab）3＝6a3b3D．a2•a3＝a6【解答】解：a2与a3不是同类项，不能合并，因此选项A计算错误，不符合题意；a6÷a2＝a4，因此选项B计算正确，符合题意；（2ab）3＝8a3b3≠6a3b3，因此选项C计算错误，不符合题意；a2•a3＝a5≠a6，因此选项D计算错误，不符合题意．故选：B．3．（3分）《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（）A．3.5×106B．0.35×107C．3.5×102D．350×104【解答】解：350万＝350×104＝3.5×102×104＝3.5×106．故选：A．4．（3分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：180°（n﹣2）＝1080°，解得：n＝8．故选：C．5．（3分）如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（）A．140°B．50°C．60°D．40°【解答】解：∵∠α＝40°，∴∠1＝∠α＝40°，∵a∥b，∴∠β＝∠1＝40°．故选：D．6．（3分）小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（）A．众数B．中位数C．方差D．平均数【解答】解：根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的工资情况，就要全面的了解中间员工的工资水平，故最应该关注的数据是中位数，故选：B．7．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3B．C．2D．6【解答】解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝BD＝3，故选：A．8．（3分）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，解得：k＝±4．故选：C．9．（3分）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO ＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，故选：C．10．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞3C．0＜x＜1D．1＜x＜3【解答】解：由图象可得，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为1＜x＜3，故选：D．二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（3分）代数式有意义，则x的取值范围是x＞1．【解答】解：由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案为：x＞1．12．（3分）因式分解：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故答案为：x（x+1）（x﹣1）13．（3分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为72分．【解答】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为80×60%+60×40%＝72（分）故答案为：72．14．（3分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝130°．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D＝∠B，∵∠B＝130°，∴∠D＝130°，故答案为：130．15．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是24π（结果保留π）．【解答】解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是4÷2＝2，高是6，圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，且底面周长为：2π×2＝4π，∴这个圆柱的侧面积是4π×6＝24π．故答案为：24π．16．（3分）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B 1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为（2，0）．【解答】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C＝OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），把B1（t，t）代入y＝得t•t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D＝m，则B2的坐标表示为（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），∴A1D＝，A1A2＝，OA2＝，∴A2（，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2+n，n），把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n）•n＝，∴A2E＝，A2A3＝，OA3＝，∴A3（，0），综上可得：An（，0），故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．计算：+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣|．【解答】解：原式＝＝＝＝．18．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．【解答】解：原式＝＝＝＝．∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2，当x＝0时，分母不为0，代入：原式＝．19．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有50名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为72度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．【解答】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；故答案为：50，72；（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），补全条形统计图如图所示：（3）名，答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；（4）列表如下：A B C DA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率＝．20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树m米的A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C 在同一直线上，求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）【解答】解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵△BCD是等腰直角三角形，∴CB＝CD，设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，在Rt△ACD中，tan30°＝＝＝，解得x＝10+10≈10×1.732+10＝27.32≈27，∴CD＝27，答：CD的高度为27米．21．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是④；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不一定垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC＝DE，又∵∠DBC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC，又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是垂等四边形；（3）如图，过点O作OE⊥BD，连接OD，∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC＝BD，又∵垂等四边形的面积是24，∴AC•BD＝24，解得，AC＝BD＝4，又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°，设半径为r，根据垂径定理可得：在△ODE中，OD＝r，DE＝，∴r＝＝＝4，∴⊙O的半径为4．22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．【解答】解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20﹣x）＝﹣100x+10000，∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y＝﹣100x+10000；（2）由题意得：，解得12≤x≤15，∵x为正整数，∴x＝12、13、14、15，共有四种采购方案：①甲型电脑12台，乙型电脑8台，②甲型电脑13台，乙型电脑7台，③甲型电脑14台，乙型电脑6台，④甲型电脑15台，乙型电脑5台，∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x取最小值时，y有最大值，即x＝12时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元．23．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的角平分线，∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），∴CF＝CG．∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠AED＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的角平分线，∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠AEC＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，∴，即AE•BF＝CF•CE，又CE＝CG，CF＝CG，∴AE•BF＝CG2．24．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N 的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，故C点坐标为（0，﹣3），又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），A（﹣1，0），设直线BC的解析式为：y＝ax+b，将C（0，﹣3），B（3，0）代入直线BC的解析式得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，则＝＝，（其中xQ ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB ﹣xC＝3，故，其中0＜n＜3，当时，S有最大值为，△BCN此时点N的坐标为（），（3）存在，理由如下：设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）分情况讨论：①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：线段DG的中点坐标为，即，线段BC的中点坐标为，即，此时DG的中点与BC的中点为同一个点，∴，解得，经检验，此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：线段DB的中点坐标为，即，线段GC的中点坐标为，即，此时DB的中点与GC的中点为同一个点，∴，解得，经检验，此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：线段DC的中点坐标为，即，线段GB的中点坐标为，即，此时DC的中点与GB的中点为同一个点，∴，解得，经检验，此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，5）；综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）；（4）存在，理由如下：连接AC，OP，如图2所示：设MC的解析式为：y＝kx+m，将C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入MC的解析式得：，解得：∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴E点坐标为（﹣3，0），∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，∴CE＝CB，∴∠CBE＝∠E，设P（x，﹣x﹣3），又∵P点在线段EC上，∴﹣3＜x＜0，则，，由题意知：△PEO相似于△ABC，分情况讨论：①△PEO∽△CBA，∴，∴，解得，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为；②△PEO∽△ABC，∴，∴，解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．综上所述，存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似，P点的坐标为或（﹣1，﹣2）．。
2023年湖南省中考数学真题分类汇编：有理数(含答案)
;2023年湖南省中考数学真题分类汇编：有理数一、选择题1．（2023·常德）3的相反数是（ ）A．3B．―3C．13D．―132．（2023·邵阳）2023的倒数是（ ）A．―2023B．2023C．12023D．―120233．（2023·株洲）计算：(―4)×32=（ ）A．―6B．6C．―8D．8 4．（2023·岳阳）2023的相反数是（ ）A．12023B．―2023C．2023D．―120235．（2023·衡阳）据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）A．7.358×107B．7.358×103C．7358×104D．7.358×106 6．（2023·衡阳）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入500元记作+500元，则支出237元记作（ ）A．+237元B．―237元C．0元D．―474元7．（2023·怀化）2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（ ）A．12.2254×104B．1.22254×104C．1.22254×105D．0.122254×1068．（2023·长沙）2022年，长沙市全年地区生产总值约为1400000000000元，比上年增长4.5%．其中数据1400000000000用科学记数法表示为（ ）A．1.4×1012B．0.14×1013C．1.4×1013D．14×10119．（2023·张家界）12023的相反数是（ ）A．12023B．―12023C．2023D．―202310．（2023·郴州）―2的倒数是（ ）A．2B．―12C．―2D．1211．（2023·邵阳）党的二十大报告提出，要坚持以文塑旅、以旅彰文，推进文化和旅游深度融合发展．湖南是文化旅游资源大省，深挖红色文化、非遗文化和乡村文化，推进文旅产业赋能乡村振兴．湖南红色旅游区（点）2022年接待游客约165000000人次，则165000000用科学记数法可表示为（ ）A．0.165×109B．1.65×108C．1.65×107D．16.5×107二、填空题12．（2023·岳阳）近年来，岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任，水在变清，岸在变绿，洞庭湖真正成为鸟类的天堂.2022年冬季，洞庭湖区越冬水鸟数量达37.83万只，数据378300用科学记数法表示为 ．13．（2023·张家界）“仙境张家界，峰迷全世界”，据统计，2023年“五一”节假日期间，张家界市各大景区共接待游客约864000人次．将数据864000用科学记数法表示为 ．14．（2023·常德）联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为 ．三、计算题15．（2023·郴州）计算：(12)―1―3tan30°+(π―2023)0+|―2|．16．（2023·邵阳）计算：tan45°+(12)―1+|―2|．四、综合题17．（2023·长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1=a1x2+b1x+c1与y2=a2x2+b2x+c2同时满足a2―c1+（b2+b1）2+|c2﹣a1|=0，b1―b22023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：（1）若关于x的二次函数y1=2x2+kx+3与y2=m x2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；（2）对于任意非零实数r，s，点P(r，t)与点Q(s，t)(r≠s)始终在关于x的函数y1=x2+2rx+s的图像上运动，函数y1与y2互为“美美与共”函数．①求函数y2的图像的对称轴；②函数y2的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1=a x2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图像顶点分别为点A，点B，函数y1的图像与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图像与x轴交于不同两点E，F．当CD=EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】B12．【答案】3.783×10513．【答案】8.64×10514．【答案】8×10915．【答案】解：原式=2―3×33+1+2=2―1+1+2=4．16．【答案】解：tan45°+(12)―1+|―2|=1+2+2=5．17．【答案】（1）解：由题意可知：a2=c2，a1=c2，b1=―b2≠0，∴m=3，n=2，k=―1．答：k的值为―1，m的值为3，n的值为2．（2）解：①∵点P(r，t)与点Q(s，t)(r≠s)始终在关于x的函数y1=x2+2rx+s的图像上运动，∴对称轴为x=r+s2=―2r2，∴s=―3r，∴y2=s x2―2xx+1，∴对称轴为x=――2r2s =rs=―13．答：函数y 2的图像的对称轴为x =―13．②y 2=―3r x 2―2rx +1=―(3x 2+2x)r +1，令3x 2+2x =0，解得x 1=0，x 2=―23，∴过定点(0，1)，(―23，1)．答：函数y 2的图像过定点(0，1)，(―23，1)．（3）解：由题意可知y 1=a x 2+bx +c ，y 2=c x 2―bx +a ，∴A(―b 2a ，4ac ―b 24a)，B(b 2c ，4ac ―b 24c )，∴CD =b 2―4ac |a|， EF =b 2―4ac 1―1，∵CD =EF 且b 2―4ac >0，∴|a|＝|c|；①若a =―c ，则y 1=a x 2+bx ―a ，y 2=―a x 2―bx +a ，要使以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能构成正方形，则△CAD ，△CBD 为等腰直角三角形，∴CD =2|y A |，∴b 2+4a 2|a |=2⋅|―4a 2―b 24a |，∴2b 2+4a 2=b 2+4a 2，∴b 2+4a 2=4，∴S 正=12C D 2=12⋅b 2―4ac a 2=12⋅b 2+4a 2a2=2a 2，∵b 2=4―4a 2>0，∴0<a 2<1，∴S 正>2；②若a =c ，则A 、B 关于y 轴对称，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形不能构成正方形，综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S>2．。
湖南省怀化市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(基础题)知识点分类
湖南省怀化市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共3小题）1．（2021•怀化）计算：．2．（2023•怀化）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣+（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．3．（2022•怀化）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．二．分式的化简求值（共2小题）4．（2023•怀化）先化简（1+）÷，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．5．（2021•怀化）先化简，再求值：，其中x＝．三．分式方程的应用（共1小题）6．（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？四．解一元一次不等式组（共1小题）7．（2022•怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．五．二次函数的应用（共1小题）8．（2021•怀化）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：进货批次A型水杯（个）B型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？六．全等三角形的判定与性质（共1小题）9．（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．七．平行四边形的性质（共1小题）10．（2021•怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）ED∥BF．八．矩形的性质（共1小题）11．（2023•怀化）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）证明：△BOF≌△DOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．九．圆周角定理（共1小题）12．（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．一十．切线的判定与性质（共1小题）13．（2021•怀化）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C 的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AD的长．一十一．扇形统计图（共1小题）14．（2022•怀化）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表满意程度频数（人）频率非常满意500.5满意300.3一般a c不满意b0.05合计1001根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．一十二．条形统计图（共1小题）15．（2023•怀化）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为 ；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．湖南省怀化市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共3小题）1．（2021•怀化）计算：．【答案】11．【解答】解：原式＝1﹣2+9+4×+1＝1﹣2+9+2+1＝11．2．（2023•怀化）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣+（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．【答案】4．【解答】解：原式＝2+3﹣3+1+1＝4．3．（2022•怀化）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．【答案】2﹣．【解答】解：原式＝1+﹣1+2﹣2＝2﹣．二．分式的化简求值（共2小题）4．（2023•怀化）先化简（1+）÷，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．【答案】，当a＝﹣1时，原式＝﹣，当a＝0时，原式＝﹣．【解答】解：原式＝•＝•＝，当a＝1或2时，分式无意义，故当a＝﹣1时，原式＝﹣，当a＝0时，原式＝﹣．5．（2021•怀化）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】，．【解答】解：原式＝+•＝+＝+＝＝＝，当x＝+2时，原式＝＝＝．三．分式方程的应用（共1小题）6．（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】（1）每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；（2）w＝；（3）最多可购买6套．【解答】解：（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元，根据题意，得，解得x ＝40，经检验x ＝40是所列方程的根，并符合题意．所以x ﹣5＝35，答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；（2）由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：（40+35）×（1﹣20%）＝60（元），当购买a 套雨衣和雨鞋a ≤5时，费用为w ＝0.9x 60a ＝54a ；当购买a 套雨衣和雨鞋a ＞5时，费用为w ＝0.9×60×5+（a ﹣5）×60×0.8＝48a +30，∴W 关于a 的函数关系式为：w ＝；（3）由题意得：48a +30≤320，解得a ≤，答：最多可购买6套．四．解一元一次不等式组（共1小题）7．（2022•怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】2＜x ≤3，解集在数轴上表示见解答．【解答】解：，解不等式①，得：x ＞2，解不等式②，得：x ≤3，∴原不等式组的解集是2＜x ≤3，其解集在数轴上表示如下：．五．二次函数的应用（共1小题）8．（2021•怀化）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：进货批次A 型水杯（个）B型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？【答案】（1）A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；（2）市应将B 型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3000元．【解答】解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据题意得：，解得：．答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；（2）设超市应将B型水杯降价m元时，每天售出B型水杯的利润为W元，根据题意，得：W＝（44﹣m﹣30）（20+5m）＝﹣5m2+50m+280＝﹣5（m﹣5）2+405，∴当m＝5时，W取得最大值，最大值为405元，答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）∵设总利润为w元，购进A种水杯a个，依题意，得：w＝（10﹣b）a+9×＝（10﹣6﹣b）a+3000，∵捐款后所得的利润始终不变，∴w值与a值无关，∴10﹣6﹣b＝0，解得：b＝4，∴w＝（10﹣6﹣4）a+3000＝3000，答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3000元．六．全等三角形的判定与性质（共1小题）9．（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）PH＝a．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．七．平行四边形的性质（共1小题）10．（2021•怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）ED∥BF．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DA＝BC，DA∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，∴∠EAD＝∠FCB，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）由（1）知，△ADE≌△CBF，∴∠E＝∠F，∴ED∥BF．八．矩形的性质（共1小题）11．（2023•怀化）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）证明：△BOF≌△DOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．【答案】（1）证明见解析过程；（2）证明见解析过程．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵点O是BD的中点，∴DO＝BO，又∵∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE（ASA）；（2）证明：由（1）已证△BOF≌△DOE，∴BF＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．九．圆周角定理（共1小题）12．（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．【解答】证明：（1）∵＝，∴，∴AC＝BD；（2）∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABE∽△DCE．一十．切线的判定与性质（共1小题）13．（2021•怀化）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C 的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AD的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）cm．【解答】（1）证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，∵OE＝3，∴AC＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴＝，即＝，∴AD＝（cm）．一十一．扇形统计图（共1小题）14．（2022•怀化）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表满意程度频数（人）频率非常满意500.5满意300.3一般a c不满意b0.05合计1001根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝ 15 ，b＝ 5 ，c＝ 0.15 ；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．【答案】（1）15；5；0.15；（2）54°；（3）旅游质量还有待提高．（答案不唯一）．【解答】解：（1）由题意得，b＝100×0.05＝5，a＝100﹣50﹣30﹣5＝15，c＝1﹣0.5﹣0.3﹣0.05＝0.15，故答案为：15；5；0.15；（2）扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数为360°×0.15＝54°；（3）在调查数据中，还有约20%的游客对服务态度表示“一般”或“不满意”，说明旅游质量还有待提高．（答案不唯一）．一十二．条形统计图（共1小题）15．（2023•怀化）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为 200 ；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．【答案】（1）200；（2）补全条形统计图见解答，126°；（3）1050人．【解答】解：（1）所抽取的学生人数为：90÷45%＝200．故答案为：200；（2）样本中“中度近视”的人数为：200×15%＝30（人），“高度近视”的人数为：200﹣90﹣70﹣30＝10（人），补全条形统计图如下：扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：360°×＝126°；（3）3000×＝1050（人），答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约1050人．。
(试卷合集3份)2023届怀化市中考数学复习检测试题
2019-2020学年中考数学模拟试卷 一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图所示（网格图中每个小正方形的边长均为1），则该“堑堵”的侧面积为（ ）A ．16+162B ．16+82C ．24+162D ．4+422．A 种饮料比B 种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了13元，如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是( )A ．2(x -1)+3x=13B ．2(x+1)+3x=13C ．2x+3(x+1)=13D ．2x+3(x -1)=133．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．平面直角坐标系内一点()2, 3P -关于原点对称点的坐标是（ ）A ．()3,2-B ．()2,3C ．()2,3--D ．()2,3-5．为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5cm ～174.5cm 之间的人数有（ ）A．12 B．48 C．72 D．966．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＜o D．a÷b＞07．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（）cmA．1 B．2 C．3 D．48．小亮家与姥姥家相距24 km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与时间t(h)的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是()A．小亮骑自行车的平均速度是12 km/hB．妈妈比小亮提前0.5 h到达姥姥家C．妈妈在距家12 km处追上小亮D．9：30妈妈追上小亮9．在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列计算正确的是（）A．a4+a5=a9B．（2a2b3）2=4a4b6C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2﹣3的解集是_____．12．已知a 、b 为两个连续的整数，且28a b <<，则+a b =________．13．A ．如果一个正多边形的一个外角是45°，那么这个正多边形对角线的条数一共有_____条． B ．用计算器计算：7•tan63°27′≈_____（精确到0.01）．14．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A （﹣6，0），C （0，23）．将矩形OABC 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为_____．15．现有三张分别标有数字2、3、4的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a （不放回）；从剩下的卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b ，则点（a,b ）在直线11+22y x = 图象上的概率为__． 16．如图，已知m n ∕∕，1105∠=︒，2140∠=︒则a ∠=________.17．图①是一个三角形，分别连接这个三角形的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按上面的方法继续下去，第n 个图形中有_____个三角形（用含字母n 的代数式表示）．18．若a 是方程2310x x -+=的解，计算：22331a a a a -++=______. 三、解答题（本题包括8个小题） 19．（6分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地和大于1．20．（6分）先化简，再求值：（1﹣11a +）÷221a a -，其中a=﹣1． 21．（6分）作图题：在∠ABC 内找一点P ，使它到∠ABC 的两边的距离相等，并且到点A 、C 的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）22．（8分）2019年我市在“展销会”期间，对周边道路进行限速行驶.道路AB 段为监测区，C 、D 为监测点(如图).已知C 、D 、B 在同一条直线上，且AC BC ⊥，CD=400米，tan 2ADC ∠=，35ABC ∠=︒.求道路AB 段的长；(精确到1米)如果AB 段限速为60千米/时，一辆车通过AB 段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由.(参考数据：sin350.57358︒≈，cos350.8195︒≈，tan350.7︒≈)23．（8分）如图，以AB 边为直径的⊙O 经过点P ，C 是⊙O 上一点，连结PC 交AB 于点E ，且∠ACP=60°，PA=PD ．试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；若点C 是弧AB 的中点，已知AB=4，求CE•CP 的值．24．（10分）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC ．直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ．点F 是圆O 上异于B 、C 的动点，直线BF 与l 相交于点E ，过点F 作AF 的垂线交直线BC 于点D ．如果BE=15，CE=9，求EF 的长；证明：①△CDF ∽△BAF ；②CD=CE ；探求动点25．（10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是 斤（用含x 的代数式表示）；销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 26．（12分）如图，点B 在线段AD 上，BC DE ，AB ED =，BC DB =.求证：A E ∠=∠.参考答案一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】【分析】分析出此三棱柱的立体图像即可得出答案.【详解】由三视图可知主视图为一个侧面，另外两个侧面全等，是长×高=228222所以答案选择A 项.【点睛】本题考查了由三视图求侧面积，画出该图的立体图形是解决本题的关键.2．A【解析】【分析】要列方程，首先要根据题意找出题中存在的等量关系，由题意可得到：买A 饮料的钱+买B 饮料的钱=总印数1元，明确了等量关系再列方程就不那么难了．【详解】设B 种饮料单价为x 元/瓶，则A 种饮料单价为（x-1）元/瓶，可得方程为：2（x-1）+3x=1．故选A．【点睛】列方程题的关键是找出题中存在的等量关系，此题的等量关系为买A中饮料的钱+买B中饮料的钱=一共花的钱1元．3．C【解析】【详解】如图所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=1．故选C．考点：勾股定理的证明．4．D【解析】【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D．【点睛】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.5．C【解析】【详解】解:根据图形，身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比为：12100%=24% 6+10+16+12+6，∴该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有300×24%＝72(人)．故选C．6．C【分析】利用数轴先判断出a、b的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可．【详解】解：由a、b在数轴上的位置可知：a＜1，b＞1，且|a|＞|b|，∴a+b＜1，ab＜1，a﹣b＜1，a÷b＜1．故选：C．7．C【解析】【分析】由题意得到DA′＝DA，EA′＝EA，经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC的周长即可解决问题．【详解】如图，由题意得：DA′＝DA,EA′＝EA，∴阴影部分的周长＝DA′＋EA′＋DB＋CE＋BG＋GF＋CF＝(DA＋BD)＋(BG＋GF＋CF)＋(AE＋CE)＝AB＋BC＋AC＝1＋1＋1＝3(cm)故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系.8．D【解析】【分析】根据函数图象可知根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，进而得到小亮骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到妈妈到姥姥家所用的时间，根据交点坐标确定妈妈追上小亮所用时间，即可解答．解：A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h），故正确；B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时），∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；C、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8=1小时，∴小亮走的路程为：1×12=12km，∴妈妈在距家12km出追上小亮，故正确；D、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，故错误；故选D．【点睛】本题考查函数图像的应用，从图像中读取关键信息是解题的关键.9．C【解析】【分析】根据直线的性质公理，相交线的定义，垂线的性质，平行公理对各小题分析判断后即可得解．【详解】解:在同一平面内，①过两点有且只有一条直线，故①正确；②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，综上所述，正确的有①③④共3个，故选C．【点睛】本题考查了平行公理，直线的性质，垂线的性质，以及相交线的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．10．B【解析】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算．详解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确；C、-2a（a+3）=-2a2-6a，故本选项错误；D、（2a-b）2=4a2-4ab+b2，故本选项错误；点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．x＞﹣1．【解析】【分析】根据函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P（-1，-5），然后根据图象即可得到不等式 3x+b＞ax-3的解集．【详解】解：∵函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P（-1，-5），∴不等式 3x+b＞ax-3的解集是x＞-1，故答案为：x＞-1．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，熟练掌握是解题的关键.12．11【解析】【分析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．【详解】∵a＜b，a、b为两个连续的整数，∴∴a＝5，b＝6，∴a＋b＝11.故答案为11.【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键.13．20 5.1【解析】【分析】A、先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得；B、利用计算器计算可得．【详解】A、根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°=8，则这个正多边形对角线的条数一共有8(83)2⨯-=20， 故答案为20； B 、7•tan63°27′≈2.646×2.001≈5.1，故答案为5.1．【点睛】本题主要考查计算器-三角函数，解题的关键是掌握多边形的内角与外角、对角线计算公式及计算器的使用．14．（-23，6）【解析】分析：连接OB 1，作B 1H ⊥OA 于H ，证明△AOB ≌△HB 1O ，得到B 1H=OA=6，OH=AB=23，得到答案． 详解：连接OB 1，作B 1H ⊥OA 于H ，由题意得，OA=6，3则tan ∠BOA=3AB OA =， ∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B 1OB=∠BOA=30°，∴∠B 1OH=60°，在△AOB 和△HB 1O ，111B HO BAO B OH ABO OB OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOB ≌△HB 1O ，∴B 1H=OA=6，3∴点B 1的坐标为（3，6），故答案为（36）．15．16 【解析】【分析】根据题意列出图表，即可表示（a ，b ）所有可能出现的结果,根据一次函数的性质求出在11+22y x =图象上的点，即可得出答案．【详解】画树状图得：∵共有6种等可能的结果(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3)，在直线11+22y x =图象上的只有(3,2)， ∴点（a ，b ）在11+22y x =图象上的概率为16． 【点睛】 本题考查了用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验．16．65°【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.【详解】∵m ∥n,∠1=105°，∴∠3=180°−∠1=180°−105°=75°∴∠α=∠2−∠3=140°−75°=65°故答案为：65°.【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于利用同旁内角互补求出∠3.【解析】【分析】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3.如图③中三角形的个数为943 3.=⨯-按照这个规律即可求出第n 各图形中有多少三角形．【详解】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，图①中三角形的个数为1413=⨯-；图②中三角形的个数为5423=⨯-；图③中三角形的个数为9433=⨯-；可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去1．按照这个规律，如果设图形的个数为n ，那么其中三角形的个数为4n 3-．故答案为4n 3-．【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．18．1【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义得a 2﹣3a+1=1，即a 2﹣3a=﹣1，再代入22331a a a a -++，然后利用整体思想进行计算即可．【详解】∵a 是方程x 2﹣3x+1=1的一根，∴a 2﹣3a+1=1，即a 2﹣3a=﹣1，a 2+1=3a ∴2233=11=01-+-++a a a a 故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用．三、解答题（本题包括8个小题）19．（1）()P =两数相同13；（2）()10P =两数和大于49． 【解析】【分析】 根据列表法或树状图看出所有可能出现的结果共有多少种，再求出两次取出小球上的数字相同的结果有多少种，根据概率公式求出该事件的概率．【详解】第二次第一次6﹣2 7 6（6，6） （6，﹣2） （6，7） ﹣2（﹣2，6） （﹣2，﹣2） （﹣2，7） 7 （7，6） （7，﹣2）（7，7） （1）P （两数相同）=．（2）P （两数和大于1）=．【点睛】本题考查了利用列表法、画树状图法求等可能事件的概率．20．原式=12a -=﹣2． 【解析】分析：原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a 的值代入计算可得．详解：原式=112()+11(1)(1)a a a a a a +-÷++- =(1)(1)·12a a a a a+-+ =12a -， 当a=﹣1时，原式=312--=﹣2． 点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．21．见解析【解析】【分析】先作出∠ABC 的角平分线，再连接AC ，作出AC 的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．【详解】①以B 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC 、AB 于D 、E 两点；②分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 为半径画圆，两圆相交于F 点； ③连接AF ，则直线AF 即为∠ABC 的角平分线； ⑤连接AC ，分别以A 、C 为圆心，以大于12AC 为半径画圆，两圆相交于F 、H 两点； ⑥连接FH 交BF 于点M ，则M 点即为所求．【点睛】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，熟练掌握是解题的关键．22． (1)AB≈1395 米；(2)没有超速．【解析】【分析】（1）先根据tan ∠ADC ＝2求出AC ，再根据∠ABC ＝35°结合正弦值求解即可（2）根据速度的计算公式求解即可.【详解】解：(1)∵AC ⊥BC ，∴∠C ＝90°，∵tan ∠ADC ＝AC CD ＝2， ∵CD ＝400，∴AC ＝800，在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝35°，AC ＝800，∴AB ＝sin 35AC ＝8000.57358≈1395 米； (2)∵AB ＝1395， ∴该车的速度＝139590＝55.8km/h ＜60千米/时， 故没有超速．【点睛】此题重点考察学生对三角函数值的实际应用，熟练掌握三角函数值的实际应用是解题的关键.23．（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）1.【解析】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．证明如下：连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=1．考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．24．（1）275（2）证明见解析（3）F在直径BC下方的圆弧上，且23BF BC=【解析】【分析】（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF；②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得CD CEBA BC=，又由AB=BC，即可证得CD=CE；（3）由CE=CD，可得33，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且23BF BC=.【详解】（1）解：∵直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ． ∴∠BCE=90°，又∵BC 为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°，∵∠FEC=∠CEB ，∴△CEF ∽△BEC ，∴CE EF BE CE=， ∵BE=15，CE=9， 即：9159EF =， 解得：EF=275 ； （2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°， ∴∠ABF=∠FCD ，同理：∠AFB=∠CFD ，∴△CDF ∽△BAF ；②∵△CDF ∽△BAF ，∴CF CD BF BA=， 又∵∠FCE=∠CBF ，∠BFC=∠CFE=90°，∴△CEF ∽△BCF ，∴CF CE BF BC=， ∴CD CE BA BC =， 又∵AB=BC ，∴CE=CD ； （3）解：∵CE=CD ，∴33，在Rt △BCE 中，tan ∠CBE=3CE BC = ∴∠CBE=30°，故CF 为60°，∴F 在直径BC 下方的圆弧上，且23BF BC =．【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．25．（1）100+200x ；（2）1．【解析】试题分析：（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，列式即可得到结论；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．试题解析：（1）将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是100+0.1x ×20=100+200x 斤； （2）根据题意得：(42)(100200)300x x --+=，解得：x=12或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．26．证明见解析【解析】【分析】 若要证明∠A=∠E ，只需证明△ABC ≌△EDB ，题中已给了两边对应相等，只需看它们的夹角是否相等，已知给了DE//BC ，可得∠ABC=∠BDE ，因此利用SAS 问题得解.【详解】∵DE//BC∴∠ABC=∠BDE在△ABC 与△EDB 中AB DE ABC BDE BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△EDB（SAS) ∴∠A=∠E2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（）A．B．C．D．2．如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为A．6cm B．35cm C．8cm D．53cm3．如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在x轴正半轴上，BC∥x轴，∠OAB＝90°，点C（3，2），连接OC．以OC为对称轴将OA翻折到OA′，反比例函数y＝kx的图象恰好经过点A′、B，则k的值是（）A．9 B．133C．16915D．34．若分式11xx-+的值为零，则x的值是( )A．1 B．1-C．1±D．25．下列各式计算正确的是( )A633=B1236=C．3535+=D1025=6．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA 5，那么点C的位置可以在（）A．点C1处B．点C2处C．点C3处D．点C4处7．如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）A．O1B．O2C．O3D．O48．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．CDACB．BCABC．BDBCD．ADAC10．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A．91032π⎛⎫-⎪⎝⎭米2B．932π⎛⎫-⎪⎝⎭米2C．9632π⎛⎫-⎪⎝⎭米2D．()693π-米2二、填空题（本题包括8个小题）11．将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为_____．12．观察下列图形，若第1个图形中阴影部分的面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为34，第3个图形中阴影部分的面积为916，第4个图形中阴影部分的面积为2764，…则第n个图形中阴影部分的面积为_____.（用字母n表示）13．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD 相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．14．我们知道：1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，…，观察下面的一列数：-1，2,，-3，4，-5，6…，将这些数排列成如图的形式，根据其规律猜想，第20行从左到右第3个数是．15．已知，如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，若EG＝3，则AC＝．16．已知a＜0，那么|2a﹣2a|可化简为_____．17．已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2__S乙2（填“＞”、“=”、“＜”）18．抛物线y=﹣x2+4x﹣1的顶点坐标为．三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；若∠1=40°，求∠BDE的度数．20．（6分）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小张出发后的时间x（分）之间的函数图象如图所示．求小张骑自行车的速度；求小张停留后再出发时y与x 之间的函数表达式；求小张与小李相遇时x的值．21．（6分）如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取437=）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？ 22．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ．过点D 作EF ⊥AC ，垂足为E ，且交AB 的延长线于点F ．求证：EF 是⊙O 的切线；已知AB ＝4，AE ＝1．求BF 的长．23．（8分）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．写出销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式；写出销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式；若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？24．（10分）如图，菱形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 边的中点．求证：AE AF =.25．（10分）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM，垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B＝60°．求证：AM是⊙O的切线；若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．26．（12分）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）初中部 a 85 b s初中2高中部85 c 100 160（1）根据图示计算出a、b、c的值；结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．参考答案一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】解：图B、C、D中，线段MN不与直线l垂直，故线段MN的长度不能表示点M到直线l的距离；图A中，线段MN与直线l垂直，垂足为点N，故线段MN的长度能表示点M到直线l的距离．故选A．2．B【解析】试题分析：∵从半径为9cm 的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形， ∴留下的扇形的弧长=()2293π⨯=12π，根据底面圆的周长等于扇形弧长， ∴圆锥的底面半径r=122ππ=6cm ， ∴圆锥的高为2296-=35cm 故选B.考点: 圆锥的计算． 3．C 【解析】 【分析】设B （2k，2），由翻折知OC 垂直平分AA′，A′G ＝2EF ，AG ＝2AF ，由勾股定理得OC ＝13，根据相似三角形或锐角三角函数可求得A′（526，613），根据反比例函数性质k ＝xy 建立方程求k ．【详解】如图，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过点A′作A′G ⊥x 轴于G ，连接AA′交射线OC 于E ，过E 作EF ⊥x 轴于F ，设B （2k，2）， 在Rt △OCD 中，OD ＝3，CD ＝2，∠ODC ＝90°， ∴OC 222232OD CD ++13 由翻折得，AA′⊥OC ，A′E ＝AE ，∴sin ∠COD ＝AE CDOA OC=， ∴AE ＝213213k CD OA OC ⨯⋅==，∵∠OAE+∠AOE ＝90°，∠OCD+∠AOE ＝90°， ∴∠OAE ＝∠OCD ， ∴sin ∠OAE ＝EF ODAE OC=＝sin ∠OCD ，∴EF ＝313OD AE k OC ⋅==， ∵cos ∠OAE ＝AF CDAE OC=＝cos ∠OCD ，∴213CD AF AE k OC =⋅==， ∵EF ⊥x 轴，A′G ⊥x 轴， ∴EF ∥A′G ，∴12EF AF AE A G AG AA ===''， ∴6213A G EF k '==，4213AG AF k ==，∴14521326OG OA AG k k k =-=-=，∴A′（526k ，613k ），∴562613k k k ⋅=， ∵k≠0， ∴169=15k ， 故选C ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，常作为考试题中选择题压轴题，考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等，解题关键是通过设点B 的坐标，表示出点A′的坐标． 4．A 【解析】 试题解析：∵分式11x x -+的值为零，∴|x|﹣1=0，x+1≠0， 解得：x=1． 故选A ． 5．B 【解析】A 选项中，∵∴本选项错误；B 选项中，∵，∴本选项正确；C 选项中，∵，∴本选项错误；D 选项中，∵10102=52÷≠，∴本选项错误； 故选B. 6．D 【解析】 如图：∵AB=5,10ABC S =△, ∴D 4C =4, ∵5sin A =, ∴54DC AC AC ==,∴AC=45, ∵在RT △AD 4C 中，D 44C =,AD=8, ∴A 4C =228445+=,故答案为D. 7．A 【解析】试题分析：因为A 点坐标为（－4，2），所以，原点在点A 的右边，也在点A 的下边2个单位处，从点B 来看，B （2，－4），所以，原点在点B 的左边，且在点B 的上边4个单位处．如下图，O 1符合．考点：平面直角坐标系． 8．B 【解析】 【分析】首先连接AB ，由题意易证得△AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB 的度数． 【详解】连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°.故答案选：B.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的判定与性质. 9．D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义，余弦是邻边比斜边，可得答案．【详解】cosα=BD BC CD BC AB AC==.故选D.【点睛】熟悉掌握锐角三角函数的定义是关键. 10．C【解析】【详解】连接OD，∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=12OA=12×6=1．∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA．在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=1，∴2222CD OD OC6333=-=-=．又∵CD333sin DOCOD∠===，∴∠DOC=60°．∴2606193336336022DOCAODS S Sππ∆⋅⋅=-=-⨯⨯=阴影扇形（米2）．故选C．二、填空题（本题包括8个小题）11．y=2x+1【解析】分析：直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．详解：将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是y=2x+4-3=2x+1；故答案为y=2x+1．点睛：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．12．3()4n﹣1（n为整数）【解析】试题分析：观察图形可得，第1个图形中阴影部分的面积=（34）0=1；第2个图形中阴影部分的面积=（34）1=34；第3个图形中阴影部分的面积=（34）2=916；第4个图形中阴影部分的面积=（34）3=2764；…根据此规律可得第n个图形中阴影部分的面积=（34）n-1（n为整数）•考点：图形规律探究题．13．3【解析】试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，则∠BO′D′=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，。
2023年湖南省怀化市中考三模数学试题
2023年湖南省怀化市中考三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．1116x x -+1116x x +-1116x x -+1611x x -+240b ac ->）的图象x 轴上方部分不变，下方部分沿x 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）①20a b +=；②420a b c -+>；③3c =；④将图象向上平移1个单位后与直线5y =有3个交点．A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．①②③④二、填空题11．单项式322a b -的系数是______．12．分解因式：316m m -=______．13．已知23x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程25x ky -=-的一个解，那么k 的值是___________． 14．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB 长20厘米，弓形高CD 为2厘米，则镜面半径为____________厘米．15．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A 种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A 种候鸟中有8只佩有识别卡，由此估计该湿地约有___________只A种候鸟．16．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a 、b 、c 存在222+=a b c 的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a 为边长的正方形和b 为边长的正方形置于以c 为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于______（用含字母a 的代数式表示）；若()()18c a c b --=，则a b c +-=______．(1)九年级2班共有学生名；(2)九年级共有学生1200人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D 类的大约有多少人？(3)该校德育处决定从九年级二班调查的A 类的4人中，抽2人到八年级开展研学宣讲，若在调查的A 类4人中，刚好有2名男生2名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率．21．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别是AC AB ，的中点，点F 是CB 延长线上的一点，且3CF BF =，连接，DB EF ．(1)求证：四边形DEFB 是平行四边形；(2)若90ACB ∠=︒，8cm AC =，3cm DE =，求四边形DEFB 的面积．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：1y k x b =+过()0,3A -，()5,2B ，直线2l ：22y k x =+．(1)求直线1l 的表达式；(2)过动点()0,P t 且垂直于y 轴的直线与1l ，2l 的交点分别是C ，D ．当1t ≤时，点C 位。
2023年湖南省中考数学真题分类汇编：三角形(含答案)
;2023年湖南省中考数学真题分类汇编：三角形一、选择题1．（2023·衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm2．（2023·长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6 3．（2023·张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）A．πB．3πC．2πD．2π―3 4．（2023·怀化）下列说法错误的是（ ）A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B．一元二次方程x2+x+3=0有两个相等的实数根C．任意多边形的外角和等于360°D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心5．（2023·张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD=14 AB，反比例函数y=k x(k>0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM 的面积为3，则k的值为（ ）A．2B．3C．4D．5二、填空题6．（2023·岳阳）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；②分别以D，E为圆心，以大DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB=60°，则∠AOC= °．于127．（2023·长沙）如图，已知∠ABC=50°，点D在BA上，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，则∠BDE的度数是 度．8．（2023·张家界）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形A B′O′C′，且∠OA C′=100°，则四边形ABOC旋转的角度是 ．9．（2023·常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2，当OA=2，∠AOB=90°时，|l―s|= ．（结果保留一OA位小数）10．（2023·郴州）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3cm ，∠B =60°．将△ABC 绕点A 逆时针旋转，得到△A B ′C ′，若点B 的对应点B ′恰好落在线段BC 上，则点C 的运动路径长是 cm （结果用含π的式子表示）．11．（2023·株洲）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān ），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣=12矩，1欘=112宣（其中，1矩=90°），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A =1矩，∠B =1欘，则∠C = 度．12．（2023·衡阳）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6．以点C 为圆心，r 为半径作圆，当所作的圆与斜边AB 所在的直线相切时，r 的值为 ．13．（2023·邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△A B′P，连接C B′，则在点P的运动过程中，线段C B′的最小值为 ．三、作图题14．（2023·郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形四、综合题15．（2023·长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．（1）求点A离地面的高度AO；（2）求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1km/s，参考数据：3≈1.73) 16．（2023·长沙）如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE=6，CD=8，求BD的长．17．（2023·常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A(―1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1．5（1）求二次函数的表达式；（2）求四边形ACDB的面积；（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．18．（2023·株洲）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．（1）求证：四边形DEFG为平行四边形（2）DG⊥BH，BD=3，EF=2，求线段BG的长度．19．（2023·岳阳）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从以下三个选项中①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．（1）你添加的条件是 （填序号）；（2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．20．（2023·怀化）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）证明：△BOF≌△DOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．21．（2023·郴州）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE=AD，连接DE交射线AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．22．（2023·邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x2+x+c经过点A(―2，0)和点B(4，0)，且与直线l：y=―x―1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．23．（2023·岳阳）如图1，在△ABC中，AB=AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN．（1）初步尝试：MN与AC的数量关系是 ，MN与AC的位置关系是 ．（2）特例研讨：如图2，若∠BAC=90°，BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．①求∠BCF的度数；②求CD的长．（3）深入探究：若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．24．（2023·衡阳）如图，已知抛物线y=a x2―2ax+3与x轴交于点A(―1，0)和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．（1）求a的值．（2）将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】307．【答案】658．【答案】75°9．【答案】0.110．【答案】3π11．【答案】22.512．【答案】24513．【答案】11―214．【答案】（1）解：如图所示，MN即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CAE=∠ACF，如图：设EF与AC交于点O，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，EF ⊥AC ，∵∠AOE =∠COF ，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE =OF ，∴四边形AFCE 为平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 为菱形．15．【答案】（1）解：在Rt △AOC 中，∵∠AOC =90°，∠ACO =30°，AC =8km ，∴AO =12AC =12×8=4(km)，（2）解：在Rt △AOC 中，∵∠AOC =90°，∠ACO =30°，AC =8km ，∴OC =32AC =43(km)，在Rt △BOC 中，∵∠BOC =90°，∠BCO =45°，∴∠BCO =∠OBC =45°，∴OB =OC =43km ，∴AB =OB ―OA =(43―4)km ，∴飞船从A 处到B 处的平均速度=43―410≈0.3(km /s)．16．【答案】（1）证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠AEB =∠ADC =90°，在△ABE 和△ACD 中，∠AEB =∠ADC ∠BAE =∠CAD AB =AC，∴△ABE≌△ACD(AAS)；（2）解：∵△ABE≌△ACD ，∴AD =AE =6，在Rt △ACD 中，AC =AD 2+CD 2=62+82=10，∵AB =AC =10，∴BD =AB ―AD =10―6=4．17．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x 轴交于A(―1，0)，B(5，0)两点．∴设二次函数的表达式为y =a(x +1)(x ―5)∵AO =1，tan ∠ACO =15，∴OC =5，即C 的坐标为(0，5)则5=a(0+1)(0―5)，得a =―1∴二次函数的表达式为y =―(x +1)(x ―5)；（2）解：y =―(x +1)(x ―5)=―(x ―2)2+9∴顶点的坐标为(2，9)过D 作DN ⊥AB 于N ，作DM ⊥OC 于M ，四边形ACDB 的面积=S △AOC +S 矩形OMDN ―S △CDM +S △DNB=12×1×5+2×9―12×2×(9―5)+12×(5―2)×9=30；（3）解：如图，P 是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO =∠PBC 时，连接PB ，过C 作CE ⊥BC 交BP 于E ，过E 作EF ⊥OC 于F ，∵OC =OB =5，则△OCB 为等腰直角三角形，∠OCB =45°．由勾股定理得：CB =52，∵∠ACO =∠PBC ，∴tan ∠ACO =tan ∠PBC ，即15=CE CB =CE 52，∴CE =2由CH ⊥BC ，得∠BCE =90°，∴∠ECF =180°―∠BCE ―∠OCB =180°―90°―45°=45°．∴△EFC 是等腰直角三角形∴FC =FE =1∴E 的坐标为(1，6)所以过B 、E 的直线的解析式为y =―32x +152令y =―32x +152y =―(x +1)(x ―5)解得x =5y =0，或x =12y =274所以BE 直线与抛物线的两个交点为B(5，0)，P(12，274)即所求P 的坐标为P(12，274)18．【答案】（1）证明：∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，∵点G 、F 分别为BH 、CH 的中点．∴GF ∥BC ，GF =12BC ，∴GF ∥DE ，GF =DE ，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF=2，∵DG⊥BH，∴∠DGB=90°，∵BD=3，∴BG=BD2―DG2=32―22=5．19．【答案】（1）答案不唯一，①或②（2）解：添加条件①，▱ABCD为矩形，理由如下：在▱ABCD中AB=CD，AB∥CD，在△ABM和△DCM中AB=CD ∠1=∠2 BM=CM，∴△ABM≌△DCM∴∠A=∠D，又∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°，∴▱ABCD为矩形；添加条件②，▱ABCD为矩形，理由如下：在▱ABCD中AB=CD，AB∥CD，在△ABM和△DCM中AB=CD AM=DM BM=CM，∴△ABM≌△DCM∴∠A=∠D，又∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°，∴▱ABCD为矩形20．【答案】（1）证明：如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵O是BD的中点，∴BO=DO，在△BOF与△DOE中∠1=∠2∠3=∠4，BO=DO∴△BOF≌△DOE(AAS)；（2）解：∵△BOF≌△DOE∴ED=BF，又∵ED∥BF∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD∴四边形EBFD是菱形．21．【答案】（1）解：CF=1BD，理由如下：2∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，过点D作DG∥BC，交AC于点G，∴∠ADG=∠ABC=60°，∠AGD=∠ACB=60°，∠GDF=∠CEF，∴△ADG为等边三角形，∴AD=AG=DG，∵AD=CE，AB―AD=AC―AG，∴DG=CE，BD=CG，又∠DFG=∠CFE，∴△DGF≌△ECF(AAS)，CG，∴CF=FG=12BD；∴CF=12（2）解：①成立，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，∴∠ADG=∠ABC=60°，∠AGD=∠ACB=60°，∠GDF=∠CEF，∴△ADG为等边三角形，∴AD=AG=DG，∵AD=CE，AD―AB=AG―AC，∴DG=CE，BD=CG，又∠DFG=∠CFE，∴△DGF≌△ECF(AAS)，CG，∴CF=FG=12BD；∴CF=12②过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，由①知：△ADG 为等边三角形，△DGF≌△ECF(AAS)，CF =FG =12BD ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC =BC =4，BH =CH =12BC =2，∴AH =AB 2―BH 2=23，∵∠AEB =∠DEB ，EH =EH ，∠AHE =∠MHE =90°∴△AEH≌△MEH ，∴MH =AH =23，∴AM =2AH =43，∵△DGF≌△ECF(AAS)，∴∠CEF =∠MDN ，DG =CE ，∴∠AEH =∠MDN ，∴tan ∠AEH =tan ∠MDN ，∴AH EH =MN DN，设MN =y ，DG =CE =x ，则：EH =CE +CH =2+x ，DN =12DG =12x ，∴23x +2=y x 2①，∵DG ∥BC ，∴△ABC ∽△ADG ，∴BC DG =AH AN=AH AM +MN ，即：4x =2343+y ②，联立①②可得：x =42+4（负值已舍去），经检验x =42+4是原方程的根，∴DG =CE =42+4，DN =22+2，CF =FG =12(x ―4)=22，∴AN =26+23，∴S △ACE =12CE ⋅AH =12(42+4)⋅23=46+43，∵S △ACE S △CEF=AC CF =422，∴S △CEF =22(46+43)=43+26，∴四边形BDFC 的面积为S △ADG ―S △ABC ―S △DFG =S △ADG ―S △ABC ―S △CEF=12(42+4)(26+23)―12×4×23―43―26=43+66．22．【答案】（1）解：∵抛物线y =a x 2+x +c 经过点A(―2，0)和点B(4，0)，∴4a ―2+c =016a +4+c =0，解得：a =―12c =4，∴抛物线解析式为：y =―12x 2+x +4；（2）解：∵抛物线y =―12x 2+x +4与直线l ：y =―x ―1交于D 、E 两点，（点D 在点E 的右侧）联立y =―12x 2+x +4y =―x ―1，解得：x =2+14y =―3―14或x =2―14y =―3+14，∴D(2+14，―14―3)，E(2―14，14―3)，∴x D ―x E =(2+14)―(2―14)=214，∵点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．则M(t ，―t ―1)，N(t ，―12t 2+t +4)，∴MN =―12t 2+t +4―(―t ―1)=―12t 2+2t +5=―12(t ―2)2+7，当t =2时，MN 取得最大值为7，∵S △END =12(x D ―x E )×MN ，∴当MN 取得最大值时，S △END 最大，∴S △END =12×214×7=714，∴△NED 面积的最大值714；（3）解：∵抛物线与y 轴交于点C ，∴y =―12x 2+x +4，当x =0时，y =4，即C(0，4)，∵B(4，0)，M(t ，―t ―1)∴BC =42+42=42，B M 2=(4―t)2+(―t ―1)2=2t 2―6t +17，C M 2=t 2+(t +5)2=2t 2+10t +25，①当BC 为对角线时，MB =CM ，∴2t 2―6t +17=2t 2+10t +25，解得：t =―12，∴M(―12，―12)，∵BC ，MR 的中点重合，∴R x ―12=4R y ―12=4，解得：R x =92R y =92，∴R(92，92)，②当BC 为边时，当四边形BMRC 为菱形，BM =BC∴2t 2―6t +17=(42)2，解得：t =3―392或t =3+392，∴―t ―1=―3―392―1=―5+392或―t ―1=―3+392―1=―5―392，∴M(3―392，―5+392)或M(3+392，―39―52)，由CM ，BR 的中点重合，∴R x +4=3―392+0R y +0=―5+392+4或R x +4=3+392+0R y +0=―5―392+4，解得：R x =―5―392R y =3+392或R x =―5+392R y =3―392，∴R(―5―392，3+392)或R(―5+392，3―392)，当BC =MC 时；如图所示，即四边形CMRB 是菱形，点R 的坐标即为四边形BMRC 为菱形时，M 的坐标，∴R 点为R(3―392，―5+392)或R(3+392，―39―52)，综上所述，R 点为R(3―392，―5+392)或R(3+392，―39―52)或R(―5―392，3+392)或R(―5+392，3―392)或R(92，92)．23．【答案】（1）MN=12AC；MN//AC （2）解： ①如图所示，连接EM ，MN ，MF ，∵MN 是△BAC 的中位线，∴MN ∥AC ，∴∠BMN =∠BAC =90°∵将△BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF ，∴BE =BM ，BF =BN ；∠BEF =∠BMN =90°∵点A ，E ，F 在同一直线上时，∴∠AEB =∠BEF =90°又∵在Rt △ABE 中，M 是斜边AB 的中点，∴ME =12AB =MB ∴BM =ME =BE∴△BME 是等边三角形，∴∠ABE =60°，即旋转角α=60°∴∠NBF =60°，BN =BF∴△BNF 是等边三角形，又∵BN =NC ，BN =NF ，∴NF =NC ，∴∠NCF =∠NFC ，∴∠BNF =∠NCF +∠NFC =2∠NFC =60°，∴∠FCB =30°，②如图所示，连接AN ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，BC =42，∴AB =22BC =4，∠ACB =∠ABC =45°，∵∠ADN =∠BDE ，∠ANB =∠BED =90°，∴△ADN ∽△BDE ，∴DN DE =AN BE =222=2，设DE =x ，则DN =2x ，在Rt △ABE 中，BE =2，AE =23，则AD =23―x ，在Rt △ADN 中，A D 2=D N 2+A N 2，∴(23―x)2=(2x)2+(22)2，解得：x =4―23或x =―23―4（舍去）∴CD =DN +CN =2x +22=62―26，（3）解：如图所示，当点C ，E ，F 在同一直线上时，且点E 在FC 上时，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，设∠ABC=∠ACB=θ，则∠BAC=180°―2θ，∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥AC∴∠MNB=∠MBN=θ，∵将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，∴△EBF≌△MBN，∠MBE=∠NBF=α，∴∠EBF=∠EFB=θ∴∠BEF=180°―2θ，∵点C，E，F在同一直线上，∴∠BEC=2θ∴∠BEC+∠BAC=180°，∴A，B，E，C在同一个圆上，∴∠EAC=∠EBC=α―θ∴∠BAE=∠BAC―∠EAC=(180°―2θ)―(α―θ)=180°―α―θ∵∠ABF=α+θ，∴∠BAE+∠ABF=180°；如图所示，当F在EC上时，∵∠BEF =∠BAC ，BC =BC∴A ，B ，E ，C 在同一个圆上，设∠ABC =∠ACB =θ，则∠BAC =∠BEF =180°―2θ，将△BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到△BEF ，设∠NBF =β，则∠EBM =β，则α+β=360°，∴∠ABF =θ―β，∵∠BFE =∠EBF =θ，∠EFB =∠FBC +∠FCB∴∠ECB =∠FCB =∠EFB ―∠FBC =θ―β，∵EB =EB∴∠EAB =∠ECB =θ―β∴∠BAE =∠ABF综上所述，∠BAE =∠ABF 或∠BAE +∠ABF =180°24．【答案】（1）解：抛物线y =a x 2―2ax +3与x 轴交于点A(―1，0)，得a +2a +3=0，解得：a =―1；（2）解：存在D (―12，154)，理由如下：设B ′C ′与y 轴交于点G ，由（1）中结论a =―1，得抛物线的解析式为y =―x 2+2x +3，当y =0时，x 1=―1，x 2=3，即A (―1，0)，B (3，0)，C (0，3)，OB =OC ，∠BOC =90°，即△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BCO =45°，∵B ′C ′∥BC ，∴∠BCO =∠B ′GO =45°，设D (t ，―t 2+2t +3)，过点D 作DE ∥y 轴交B ′C ′于点E ，作DF ⊥B ′C ′于点F ，∴∠DEF =∠B ′GO =45°，即△DEF 是等腰直角三角形，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，代入B (3，0)，C (0，3)，得3k +b =0b =3，解得k =―1b =3，故直线BC 的解析式为y =―x +3，将直线BC 向下平移m(m >0)个单位长度，得直线B ′C ′的解析式为y =―x +3―m ，∴E (t ，―t +3―m )，DE =―t 2+2t +3―(―t +3―m )=―t 2+3t +m =―(t ―32)2+94+m ，当t =32时，DE 有最大值94+m ，此时DF =22DE 也有最大值，D (32，154)；（3）解：存在P (―23，119)或P (2，3)，理由如下：当点P 在直线BC 下方时，在y 轴上取点H (0，1)，作直线BH 交抛物线于（异于点B ）点P ，由（2）中结论，得∠OBC =45°，∴OH =OA =1，OB =OC ，∠BOH =∠COA =90°，∴△BOH≌△COA (SAS )，∴∠OBH =∠AOC ，∴∠PBC +∠ACO =∠PBC +∠OBH =∠OBC =45°，设直线BP的解析式为y=k1x+b1，代入点B(3，0)，H(0，1)，得3k1+b1=0b1=1，解得k1=―13b1=1，故设直线BP的解析式为y=―13x+1，联立y=―13x+1y=―x2+2x+3，解得x1=3y1=0（舍）x2=―23y2=119，故P(―23，119)；当点P在直线BC上方时，如图，在x轴上取点I，连接CI，过点P作BP∥CI抛物线于点P，∠PBC=∠BCI，OI=OA=1，OC=OC，∠COI=∠COA=90°，∴△COI≌△COA(SAS)，∴∠OCI=∠AOC，∴∠PBC+∠ACO=∠BCI+∠OCI=∠OCB=45°，设直线CI的解析式为y=k2x+b2，代入点I(1，0)，C(0，3)，得k2+b2=0b2=3，解得k2=―3b2=3，故设直线CI的解析式为y=―3x+3，BP∥CI，且过点B(3，0)，故设直线BP的解析式为y=―3x+9，联立y=―3x+9y=―x2+2x+3，解得x1=2y1=3，x2=3y2=0（舍），故P(2，3)，综上所述：P(―23，119)或P(2，3)。
湖南省怀化市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
湖南省怀化市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类一．实数大小比较（共1小题）1．（2021•怀化）比较大小： （填写“＞”或“＜”或“＝”）．二．实数的运算（共1小题）2．（2023•怀化）定义新运算：（a，b）•（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：（1，2）•（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）•（3，﹣1）＝3，那么x＝ ．三．规律型：数字的变化类（共2小题）3．（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是 ．4．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 ．四．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）5．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝ ．6．（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝ ．五．分式的加减法（共1小题）7．（2022•怀化）计算﹣＝ ．六．二次根式有意义的条件（共1小题）8．（2023•怀化）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ．七．根与系数的关系（共1小题）9．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 ，另一个根为 ．八．函数自变量的取值范围（共1小题）10．（2021•怀化）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．九．三角形中位线定理（共1小题）11．（2022•怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝ ．一十．正方形的性质（共1小题）12．（2023•怀化）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE ＝3．则点P到直线AB的距离为 ．一十一．切线的性质（共1小题）13．（2022•怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为 ．一十二．扇形面积的计算（共1小题）14．（2021•怀化）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）一十三．关于原点对称的点的坐标（共1小题）15．（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝ ．一十四．坐标与图形变化-旋转（共1小题）16．（2021•怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1），再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1（点A1，B1，的对应点分别是A2，B2），则A2的坐标是 ．一十五．相似三角形的性质（共1小题）17．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为 ，点A2023的坐标为 ．一十六．众数（共1小题）18．（2021•怀化）为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是 ，众数是 ．湖南省怀化市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类参考答案与试题解析一．实数大小比较（共1小题）1．（2021•怀化）比较大小： ＞ （填写“＞”或“＜”或“＝”）．【答案】＞．【解答】解：∵1＜＜2，∴＜1，即＞，故答案为：＞．二．实数的运算（共1小题）2．（2023•怀化）定义新运算：（a，b）•（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：（1，2）•（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）•（3，﹣1）＝3，那么x＝ 1 ．【答案】1．【解答】解：（2x，3）•（3，﹣1）＝3，6x﹣3＝3，解得：x＝1．故答案为：1．三．规律型：数字的变化类（共2小题）3．（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是 744 ．【答案】744．【解答】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•第n行有n个数．∴前n行共有个数．∴前27行共有378个数，∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2＝744．故答案为：744．4．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 m2﹣m ．【答案】m2﹣m．【解答】解：由题意得：2100+2101+2102+ (2199)＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100，＝m2﹣m，故答案为：m2﹣m．四．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）5．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝ 2（x﹣1）2 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．6．（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝ x2（1+x）（1﹣x） ．【答案】x2（1+x）（1﹣x）．【解答】解：原式＝x2（1﹣x2）＝x2（1+x）（1﹣x）．故答案为：x2（1+x）（1﹣x）．五．分式的加减法（共1小题）7．（2022•怀化）计算﹣＝ 1 ．【答案】1．【解答】解：原式＝＝＝1．故答案为：1．六．二次根式有意义的条件（共1小题）8．（2023•怀化）要使代数式有意义，则x的取值范围是 x≥9 ．【答案】x≥9．【解答】解：∵代数式有意义，∴x﹣9≥0，∴x≥9，故答案为：x≥9．七．根与系数的关系（共1小题）9．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 ﹣1 ，另一个根为 2 ．【答案】﹣1，2．【解答】解：将x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0，解得：m＝﹣1，∵方程的两根之积为＝﹣2，∴方程的另一个根为﹣2÷（﹣1）＝2．故答案为：﹣1，2．八．函数自变量的取值范围（共1小题）10．（2021•怀化）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥2且x≠3 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：，解得：x≥2且x≠3，故答案为：x≥2且x≠3．九．三角形中位线定理（共1小题）11．（2022•怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝ 8 ．【答案】8．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE：BC＝1：2，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，即，∴S△ABC＝8．故答案为：8．一十．正方形的性质（共1小题）12．（2023•怀化）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE ＝3．则点P到直线AB的距离为 3 ．【答案】3．【解答】解：过点P作PF⊥AB于点F，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴∠PAE＝45°，∴△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴∠FAE＝∠AEP＝∠AFP＝90°，又∵AE＝PE，∴四边形AFPE为正方形，∴AE＝PF＝3，∴点P到直线AB的距离为3．故答案为：3．一十一．切线的性质（共1小题）13．（2022•怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为 ．【答案】．【解答】解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AC，在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝3，则AC＝＝＝，故答案为：．一十二．扇形面积的计算（共1小题）14．（2021•怀化）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 π﹣ ．（结果保留π）【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣．故答案为：π﹣．一十三．关于原点对称的点的坐标（共1小题）15．（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝ 5 ．【答案】5．【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2+3＝5，故答案为：5．一十四．坐标与图形变化-旋转（共1小题）16．（2021•怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1），再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1（点A1，B1，的对应点分别是A2，B2），则A2的坐标是 （2，2） ．【答案】（2，2）．【解答】解：如图，观察图象可知A2（2，2）．故答案为：（2，2）．一十五．相似三角形的性质（共1小题）17．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为 22023 ，点A2023的坐标为 （22022，﹣22022） ．【答案】22023，（22022，﹣22022）．【解答】解：由题意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OA n＝2n，∴△A2023OB2023的边长为22023，∵2023÷6＝337…1，∴A2023与A1都在第四象限，坐标为（22022，﹣22022•）．故答案为：22023，（22022，﹣22022）．一十六．众数（共1小题）18．（2021•怀化）为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是 4h ，众数是 3h ．【答案】4h，3h．【解答】解：将这组数据重新排列为3，3，3，4，5，5，6，所以这组数据的中位数为4h，众数为3h，故答案为：4h，3h．。
概率与统计(40题)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)全文
概率与统计（40题）一、单选题1．（2023·上海·统考中考真题）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（）A．小车的车流量与公车的车流量稳定；B．小车的车流量的平均数较大；C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D．小车与公车车流量的变化趋势相同．【答案】B【分析】根据折线统计图逐项判断即可得．【详解】解：A、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意；B、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意；C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意；D、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键．2．（2023·四川遂宁·统考中考真题）为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10cm，大圆半径为20cm，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（）【答案】B【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积，再根据投中“免一次作业”的概率=免一次作业对应区域的面积÷大圆面积进行求解即可【详解】解：由题意得，大圆面积为2220400cm ππ⨯=，免一次作业对应区域的面积为2226020601050cm 360360πππ⨯⨯⨯⨯−=，∴投中“免一次作业”的概率是5014008ππ=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，正确求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键．A ．58B 【答案】B【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为32，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解．【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为32，∴总面积为2231614169252⎛⎫⨯+⨯=+= ⎪⎝⎭，阴影部分的面积为2239132122222⎛⎫⨯+⨯=+=⎪⎝⎭，∴点P 落在阴影部分的概率为131322550=， 故选：B ．【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁【答案】D【分析】根据10次射击成绩的平均数x 可知淘汰乙；再由10次射击成绩的方差2S 可知1.8 1.20.4>>，也就是丁的射击成绩比较稳定，从而得到答案． 【详解】解：98>，∴由四人的10次射击成绩的平均数x 可知淘汰乙；1.8 1.20.4>>，∴由四人的10次射击成绩的方差2S 可知丁的射击成绩比较稳定；故选：D ．【点睛】本题考查通过统计数据做决策，熟记平均数与方差的定义与作用是解决问题的关键．5．（2023·湖南怀化·统考中考真题）某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4.关于这组数据，下列说法正确的是（ ）A ．众数是9.6B ．中位数是9.5C ．平均数是9.4D ．方差是0.3【答案】A【分析】先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断．【详解】解：5个数按从小到大的顺序排列9.2，9.4，9.6，9.6，9.7，A、9.6出现次数最多，众数是9.6，故正确，符合题意；B、中位数是9.6，故不正确，不符合题意；C、平均数是()19.2+9.4+9.62+9.7=9.55⨯，故不正确，不符合题意；D、方差是()()()()222219.29.5+9.49.5+29.69.5+9.79.5=0.0325⎡⎤⨯−−−−⎣⎦，故不正确，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数和方差，熟练掌握这些定义及计算方法是解决此类问题的关键．A．该小组共统计了100名数学家的年龄B．统计表中m的值为5C．长寿数学家年龄在9293−岁的人数最多D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在9697−岁的人数估计有110人【答案】D【分析】利用年龄范围为9899−的人数为10人，对应的百分比为10%，即可判断A 选项；由A 选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，根据1005%5m =⨯=即可判断B 选项；由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在9293−岁的占的百分比最大，即可判断C 选项；用2200乘以小组共统计了100名数学家的年龄中在9697−岁的百分比，即可判断D 选项．【详解】解：A ．年龄范围为9899−的人数为10人，对应的百分比为10%，则可得1010%100÷=（人），即该小组共统计了100名数学家的年龄，故选项正确，不符合题意；B ．由A 选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，则1005%5m =⨯=，故选项正确，不符合题意；C ．由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在9293−岁的占的百分比最大，即长寿数学家年龄在9293−岁的人数最多，故选项正确，不符合题意；D ．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在9697−岁的人数估计有112200242100⨯=人，故选项错误，符合题意． 故选：D ．【点睛】此题考查了扇形统计图和统计表，从扇形统计图和统计表中获取正确信息，进行正确计算是解题的关键．二、填空题这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）． 【答案】0.93【分析】根据题意，用频率估计概率即可．【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93， 故答案为：0.93．【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【答案】10【分析】根据概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：该生体重“标准”的概率是350750010=， 故答案为：710．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是本题的关键．【答案】1500吨【分析】由题意易得试点区域的垃圾收集总量为300吨，然后问题可求解． 【详解】解：由扇形统计图可得试点区域的垃圾收集总量为()60150129300÷−−−=％％％（吨），∴全市可收集的干垃圾总量为30050101500⨯⨯=％（吨）； 故答案为1500吨．【点睛】本题主要考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键．10．（2023·浙江宁波·统考中考真题）一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为_____________．【答案】1 4【分析】从袋子里任意摸一个球有12种等可能的结果，其中是绿球的有3种，根据简单概率公式代值求解即可得到答案．【详解】解：由题意可知，从袋子里任意摸一个球有12种等可能的结果，其中是绿球的有3种，P∴（任意摸出一个球为绿球）31 124==，故答案为：1 4．【点睛】本题考查概率问题，弄清总的结果数及符合要求的结果数，熟记简单概率公式求解是解决问题的关键．三、解答题(1)阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数．(2)为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．【答案】(1)平均里程：200km ；中位数：200km ，众数：205km ；(2)见解析 【分析】（1）观察统计图，根据平均数、中位数和众数的计算方法求解即可； （2）根据各型号汽车的平均里程、中位数、众数和租金方面进行分析． 【详解】（1）解：由统计图可知： A 型号汽车的平均里程：31904195520062052210200(km)34562A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++，A 型号汽车的里程由小到大排序：最中间的两个数（第10、11个数据）是200、200，故中位数200200200(km)2+==，出现充满电后的里程最多的是205公里，共六次，故众数为205km ．（2）选择B 型号汽车．理由：A 型号汽车的平均里程、中位数、众数均低于210km ，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；B ，C 型号汽车的平均里程、中位数、众数都超过210km ，其中B 型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B 型号汽车比C 型号汽车更经济实惠，故建议选择B 型号汽车．【点睛】本题考查了统计量的选择，平均数、中位数和众数，熟练掌握平均数、方差、中位数的定义和意义是解题的关键．根据以上信息，解答下列问题：(1)补全频数分布直方图；(2)抽取的40名学生成绩的中位数是___________；(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？【答案】(1)见解析；(2)82；(3)估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有440人 【分析】（1）根据总人数减去其他组的人数求得7080x ≤<的人数，即可补全直方图； （2）根据中位数为第20、21个数据的平均数，结合直方图或分布表可得； （3）用样本估计总体即可得．【详解】（1）解：404612108−−−−=(人)， 补全的频数分布直方图如下图所示，；（2）解：∵46818++=， ∴第20、21个数为81、83；∴抽取的40名学生成绩的中位数是()18183822+=；故答案为：82； （3）解：由题意可得：121080044040+⨯=（人），答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有440人．【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．13．（2023·浙江·统考中考真题）为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”．人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题： 抽取的学生脊柱健康情况统计表(1)求所抽取的学生总人数；(2)该校共有学生1600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；(3)为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．【答案】(1)200人；(2)80人；(3)【分析】（1）利用抽取的学生中正常的人数除以对应的百分比即可得到所抽取的学生总人数；（2）用该校学生总数乘以抽取学生中脊柱侧弯程度为中度和重度的百分比即可得到答案；（3）利用图表中的数据提出合理建议即可．【详解】（1）解：17085%200÷=（人）．∴所抽取的学生总人数为200人．（2）() 1600185%10%80⨯−−=（人）．∴估算该校学生中脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数有80人．（3）该校学生脊柱侧弯人数占比为15%，说明该校学生脊柱侧弯情况较为严重，建议学校要每天组织学生做护脊操等．【点睛】此题考查了统计表和扇形统计图，熟练掌握用部分除以对应的百分比求总数、用样本估计总体是解题的关键．【答案】(1)1,8；(2)23，；(3)优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见解析【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%，即可得出七年级活动成绩为7分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；（2）根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得a，b的值，即可求解；（3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解．−−−【详解】（1）解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为7分的学生数的占比为150%20%20%=10%´，∴样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是1010%=1根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为8分， 故答案为：1,8．（2）∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，∴第5名学生为8分，第6名学生为9分，∴5122a =−−=， 1012223b =−−−−=，故答案为：23，． （3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，七年级优秀率为20%20%=40%+，平均成绩为：710%850%920%1020%=8.5⨯+⨯+⨯+⨯，八年级优秀率为32100%50%10+⨯=40%>，平均成绩为：()167228392108.310⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=8.5<， ∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高， ∴优秀率高的年级不是平均成绩也高【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键．②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按2:3:3:2的比例统计，求A 款新能原汽车四项评分数据的平均数． (2)合理建议：请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由．【答案】(1)①3015辆，②68.3分；(2)选B 款，理由见解析 【分析】（1）①根据中位数的概念求解即可； ②根据加权平均数的计算方法求解即可； （2）根据加权平均数的意义求解即可． 【详解】（1）①由中位数的概念可得，B 款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为3015辆； ②172270367364268.32332x ⨯+⨯+⨯+⨯==+++分．∴A 款新能原汽车四项评分数据的平均数为68.3分； （2）给出1:2:1:2的权重时， 72170267164267.81212A x ⨯+⨯+⨯+⨯=≈+++（分），70171270168269.71212B x ⨯+⨯+⨯+⨯=≈+++（分），75165267161265.71212C x ⨯+⨯+⨯+⨯=≈+++（分），结合2023年3月的销售量， ∴可以选B 款．【点睛】此题考查了中位数和加权平均数，以及利用加权平均数做决策，解题的关键是熟练掌握以上知识点．16．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，有4张分别印有Q 版西游图案的卡片：A 唐僧、B 孙悟空、C 猪八戒、D 沙悟净．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“B 孙悟空”的概率为__________；(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A 唐僧”的概率．【答案】(1)14；(2)716【分析】（1）根据概率公式即可求解；（2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：共有4张卡片，第一次取出的卡片图案为“B 孙悟空”的概率为14 故答案为：14．（2）树状图如图所示：由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A 唐僧”的结果有7种． ∴P (至少一张卡片图案为“A 唐僧”）716=．答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A 唐僧”的概率为716．【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．【答案】(1)100人；(2)270人【分析】（1）根据保山市腾冲市的员工人数除以所占百分比即可求出本次被抽样调查的员工人数；（2）用该公司总的员工数乘以样本中保山市腾冲市的员工人数除以所占百分比即可估计出该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数．÷（人），【详解】（1）本次被抽样调查的员工人数为：3030.00%=100所以，本次被抽样调查的员工人数为100人；⨯（人），（2）90030.00%=270答：估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数为270人．【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算．熟练掌握用样本估计总体是解答本题的关键．18．（2023·新疆·统考中考真题）跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：请根据以上信息解答下列问题： (1)填空：=a ______，b =______；(2)学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？ (3)某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由． 【答案】(1)165，150；(2)84；(3)见解析【分析】（1）根据众数与中位数的定义进行计算即可求解；（2）根据样本估计总体，用跳绳165次及以上人数的占比乘以总人数，即可求解； （3）根据中位数的定义即可求解；【详解】（1）解：这组数据中，165出现了4次，出现次数最多 ∴165a =，这组数据从小到大排列，第1011个数据分别为148,152， ∴1481521502b +==，故答案为：165，150．（2）解：∵跳绳165次及以上人数有7个， ∴估计七年级240名学生中，有72408420⨯=个优秀，（3）解：∵中位数为150，∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．【点睛】本题考查了求中位数，众数，样本估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义是解题的关键． 19．（2023·甘肃武威·统考中考真题）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x 表示，分成6个等级：A ．10x <；B ．10 1.5x ≤<；C ．1520x ≤<；D ．2025x ≤<；E ．2530x ≤<；F ．3035x ≤≤）．下面给出了部分信息：b ．八年级学生上学期期末地理成绩在C ．1520x ≤<这一组的成绩是： 15，15，15，15，15，16，16，16，18，18c ．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：学期 平均数 众数 中位数八年级上学期 17.715 m【答案】(1)16；(2)35；(3)八年级，理由见解析【分析】（1）由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩； （2）根据样本估计总体即可求解； （3）根据平均成绩或中位数即可判断．【详解】（1）解：由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩，由统计图知A 组4人，B 组10人，C 组10人，则中位数在C 组，第20、21位的成绩分别是16，16， 则中位数是1616162+=；故答案为：16； （2）解：612003540+⨯=(人)，这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人，故答案为：35；（3）解：因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分（或中位数）下学期的比上学期的高，所以八年级学生下学期期末地理成绩更好．【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数等知识，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 平均数 众数 中位数七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85n根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：m =________，n =________；(2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为21S 、22S ，请判断21S ___________22S （填“>”“<”或“=”）；(3)从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 【答案】(1)80,86；(2)>；(3)见解析【分析】（1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为m 的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为n 的值；（2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可； （3）利用平均数和中位数作决策即可．【详解】（1）解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80，∴80m=；将八年级的10个数据进行排序：76,77,85,85,85,87,87,88,88,97；∴()18587862n=+=；故答案为：80,86；（2）由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大，∵方差越小，数据越稳定，∴2212S S>；故答案为：>．（3）七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好．【点睛】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键．(1)A，B两班的学生人数分别是多少？(2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．(3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．【答案】(1)A ，B 两班的学生人数分别是50人，46人；(2)见解析；(3)见解析 【分析】（1）由统计表中的数据个数之和可得两个班的总人数；（2）先求解两个班成绩的平均数，再判断中位数落在哪个范围，以及15分以上的百分率，再比较即可； （3）先求解前测数据的平均数，判断前测数据两个班的中位数落在哪个组，计算15人数的增长百分率，再从这三个分面比较即可．【详解】（1）解： A 班的人数：28993150++++=（人） B 班的人数：251082146++++=（人） 答：A ，B 两班的学生人数分别是50人，46人． （2）14 2.5167.51212.5617.5222.59.150A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，6 2.587.51112.51817.5322.512.946B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈， 从平均数看，B 班成绩好于A 班成绩．从中位数看，A 班中位数在510x <≤这一范围，B 班中位数在1015x <≤这一范围，B 班成绩好于A 班成绩． 从百分率看，A 班15分以上的人数占16%，B 班15分以上的人数约占46%，B 班成绩好于A 班成绩． （3）前测结果中： A 28 2.597.5912.5317.5122.56.550x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯'==B6.4x '=≈从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好． 从中位数看，两班前测中位数均在05x <≤这一范围，后测A 班中位数在510x <≤这一范围，B 班中位数在1015x <≤这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．从百分率看，A 班15分以上的人数增加了100%，B 班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．【点睛】本题考查的是从统计表中获取信息，平均数，中位数的含义，增长率的含义，选择合适的统计量作分析，熟练掌握基础的统计知识是解本题的关键．……结合调查信息，回答下列问题：本次调查共抽查了多少名学生？900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．【答案】(1)100；(2)360；(3)见解析【分析】（1）根据乒乓球人数和所占比例，求出抽查的学生数；（2）先求出喜爱篮球学生比例，再乘以总数即可；（3）从图中观察或计算得出，合理即可．÷=，【详解】（1）被抽查学生数：3030%100答：本次调查共抽查了100名学生．⨯=，（2）被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：1005%5−−−−=，∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：100301015540∴40900360100⨯=（人）．答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360．（3）答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等．【点睛】本题考查从条形统计图和扇形统计图获取信息的能力，并用所获取的信息反映实际问题．【答案】(1)8；(2)108︒；(3)5 6【分析】（1）用做饭的人数除以做饭点的百分比25%，得抽取的总人数，再减去“洗衣”、“拖地”、“刷碗”的人数即可求得到m值；（2）用360︒乘以“拖地”人数所占的百分比，即可求解；（3）画树状图或列表分析出所有可能的结果数和有男生的结果数，再用概率公式计算即可．【详解】（1）解：1025%1012108m=÷−−−=，故荅案为：8；（2）解：() 360121025%108︒⨯÷÷=︒，故荅案为：108°；（3）解：方法一：画树状图如下：由图可知所有可能的结果共的12种，有男生的结果有10种，所以所选同学中有男生的概率为105 126=．方法二：列表如下：由表可知所有可能的结果共的12种，有男生的结果有10种，所以所选同学中有男生的概率为105 126=．【点睛】本题考查统计表，扇形统计图，用画树状图或列表的方法求概率．熟练掌握从统计图表中获取有用信息和用画树状图或列表的方法求概率是解题的关键．(1)补全学生课外读书数量条形统计图；(2)请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；(3)该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于【答案】(1)补全学生课外读书数量条形统计图见解析；(2)4，72，103；(3)450人【分析】（1）根据已知条件可知，课外读书数量为2本的有2人，4本的有4人，据此可以补全条形统计图；（2）根据众数，中位数和平均数的定义求解即可；（3）用该校学生总数乘以抽样调查的数据中外读书数量不少于3本的学生人数所占的比例即可．【详解】（1）补全学生课外读书数量条形统计图，如图：（2）∵本次所抽取学生课外读书数量的数据中出现次数最多的是4，∴众数是4．将本次所抽取的12名学生课外读书数量的数据，按照从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5．∵中间两位数据是3，4，∴中位数是：347 22+=．平均数为：112233445210123x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．（3）3429 6006004501212++⨯=⨯=，∴该校有600名学生，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为450人．【点睛】本题主要考查了条形统计图，众数，中位数，平均数，以及用样本所占百分比估计总体的数量，熟练掌握众数，中位数，平均数的定义是解题的关键．25．（2023·四川达州·统考中考真题）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达100%，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．(1)该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中，m =___________，n =___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；(3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．【答案】(1)见解析；(2)20，10，144；(3)110【分析】（1）利用C 类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到D 的人数，然后补图即可；（2）根据总数与各项人数比值可求出m ，n 的值，A 项目的人数与总人数比值乘360︒即可得出圆心角的度数；（3）画树状图展示所有20求解．【详解】（1）本次调查的学生总数：510%50÷=（人），D 、书法社团的人数为：5020105105−−−−=(人)，如图所示故答案为：50；（2）由图知，105020%5010%2050360144÷=÷=÷⨯︒=︒，5，，。
2022年湖南省怀化市中考数学试卷(含答案)
2022年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）．1．（4分）（2022•怀化）﹣的相反数是（）A．B．2C．﹣D．﹣22．（4分）（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．（4分）（2022•怀化）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为（）A．10.909×102B．1.0909×103C．0.10909×104D．1.0909×1044．（4分）（2022•怀化）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角B．对角线相等的四边形是矩形C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等5．（4分）（2022•怀化）下列计算正确的是（）A．（2a2）3＝6a6B．a8÷a2＝a4C．＝2D．（x﹣y）2＝x2﹣y26．（4分）（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝07．（4分）（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形8．（4分）（2022•怀化）如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC＝5，EC ＝2，则平移的距离是（）A．1B．2C．3D．49．（4分）（2022•怀化）从下列一组数﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（）A．B．C．D．10．（4分）（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（）A．8B．9C．10D．11二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）（2022•怀化）计算﹣＝．12．（4分）（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝．13．（4分）（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝．14．（4分）（2022•怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝．15．（4分）（2022•怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为．16．（4分）（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）（2022•怀化）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．18．（8分）（2022•怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．19．（10分）（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73，≈1.41）20．（10分）（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．21．（12分）（2022•怀化）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表满意程度频数（人）频率非常满意500.5满意300.3一般a c不满意b0.05合计1001根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．22．（12分）（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．23．（12分）（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？24．（14分）（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A （﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．2022年湖南省怀化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）．1．（4分）（2022•怀化）﹣的相反数是（）A．B．2C．﹣D．﹣2【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．【解答】解：﹣的相反数是，故选：A．【点评】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．2．（4分）（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式是解题的关键，注意π是数字．3．（4分）（2022•怀化）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为（）A．10.909×102B．1.0909×103C．0.10909×104D．1.0909×104【分析】把比较大的数写成a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可得出答案．【解答】解：10909＝1.0909×104，故选：D．【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．4．（4分）（2022•怀化）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角B．对角线相等的四边形是矩形C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【分析】根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案．【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关定理以及性质进而判定出命题的正确性．5．（4分）（2022•怀化）下列计算正确的是（）A．（2a2）3＝6a6B．a8÷a2＝a4C．＝2D．（x﹣y）2＝x2﹣y2【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、二次根式的性质、完全平方公式分别计算，进而得出答案．【解答】解：A．（2a2）3＝8a6，故此选项不合题意；B．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；C.＝2，故此选项符合题意；D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、二次根式的性质、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．（4分）（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝0【分析】根据各方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可求出各方程根的判别式Δ的值，取Δ≥0的选项即可得出结论．【解答】解：A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，∴方程2x2﹣x+1＝0没有实数根；B．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；C．∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根；D．∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，∴方程x2+2＝0没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．7．（4分）（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝900°，解得：n＝7．故选：A．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，体现了方程思想，掌握多边形的内角和＝（n ﹣2）•180°是解题的关键．8．（4分）（2022•怀化）如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC＝5，EC ＝2，则平移的距离是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．【解答】解：点B平移后对应点是点E．∴线段BE就是平移距离，∵已知BC＝5，EC＝2，∴BE＝BC﹣EC＝5﹣2＝3．故选：C．【点评】考查图形平移性质，关键找到平移前后的对应点．9．（4分）（2022•怀化）从下列一组数﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先确定这组数据的负数的个数，然后再利用概率的公式求解即可．【解答】这组数据共有6个数，其中是负数的有﹣2，﹣，﹣0.12，﹣这4个，∴P（随机抽取一个数，这个数是负数）＝．故选：B．【点评】本题主要考查随机事件概率的求法．10．（4分）（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】设点B的坐标为（a，），然后根据三角形面积公式列方程求解．【解答】解：设点B的坐标为（a，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×a×＝5，解得：a＝11，经检验，a＝11是原分式方程的解，故选：D．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）（2022•怀化）计算﹣＝1．【分析】原式利用通分分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝＝＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（4分）（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝x2（1+x）（1﹣x）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x2（1﹣x2）＝x2（1+x）（1﹣x）．故答案为：x2（1+x）（1﹣x）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．（4分）（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝5．【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2+3＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，b是解题关键．14．（4分）（2022•怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝8．【分析】由中位线定理可得线段DE与BC的比，即可得出△ADE与△ABC的比，又已知△ADE的面积，进而即可得出△ABC的面积．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE：BC＝1：2，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，即，∴S△ABC＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形面积比与对应边之比的关系，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．15．（4分）（2022•怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为．【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥AC，再根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AC，在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝3，则AC＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．16．（4分）（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是744．【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【解答】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•第n行有n个数．∴前n行共有个数．∴前27行共有378个数，∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2＝744．故答案为：744．【点评】本题考查了数列的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）（2022•怀化）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．【分析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．【解答】解：原式＝1+﹣1+2﹣2＝2﹣．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，考查学生的运算能力，掌握a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．18．（8分）（2022•怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x＞2，解不等式②，得：x≤3，∴原不等式组的解集是2＜x≤3，其解集在数轴上表示如下：．【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．19．（10分）（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73，≈1.41）【分析】过A点作AD⊥BC于D点，根据题意可得BD＝AD，CD＝AD，由BC＝2400m 可得关于AD的方程，计算可求解AD的长，进而可求解．【解答】解：过A点作AD⊥BC于D点，由题意知：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝45°，∴BD＝AD，CD＝AD，∵BC＝2.4km＝2400m，∴AD+AD＝2400，解得：AD＝1200（﹣1）≈876＞800，故该公路不能穿过纪念园．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角，构造直角三角形是解题的关键．20．（10分）（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．【分析】（1）根据等式的性质可得：，再由圆心角，弧，弦的关系可得结论；（2）根据两角相等可证明两三角形相似．【解答】证明：（1）∵＝，∴，∴AC＝BD；（2）∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABE∽△DCE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系．根据已知条件推知AC＝BD是解题的难点．21．（12分）（2022•怀化）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表满意程度频数（人）频率非常满意500.5满意300.3一般a c不满意b0.05合计1001根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝15，b＝5，c＝0.15；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．【分析】（1）用样本容量乘“不满意”的频率求出b，进而求出a、c的值；（2）用360°乘“一般”的频率即可；（3）根据频数分布表的数据提出建议即可．【解答】解：（1）由题意得，b＝100×0.05＝5，a＝100﹣50﹣30﹣5＝15，c＝1﹣0.5﹣0.3﹣0.05＝0.15，故答案为：15；5；0.15；（2）扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数为360°×0.15＝54°；（3）在调查数据中，还有约20%的游客对服务态度表示“一般”或“不满意”，说明旅游质量还有待提高．（答案不唯一）．【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，中位数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22．（12分）（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．23．（12分）（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【分析】（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元，根据购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双）列出方程并解答；（2）根据题意求出a的取值范围，并求出w与a的关系式解答即可；（3）根据题意列出不等式并解答．【解答】解：（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元，根据题意，得，解得x＝40，经检验x＝40是所列方程的根，并符合题意．所以x﹣5＝35，答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；（2）由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：（40+35）×（1﹣20%）＝60（元），当购买a套雨衣和雨鞋a≤5时，费用为w＝0.9x60a＝54a；当购买a套雨衣和雨鞋a＞5时，费用为w＝0.9×60×5+（a﹣5）×60×0.8＝48a+30，∴W关于a的函数关系式为：w＝；（3）由题意得：48a+30≤320，解得a≤，答：最多可购买6套．【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．24．（14分）（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A （﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组，求出a，c的值，设BC的解析式为y＝kx+b，把B，C两点坐标代入求出k，b即可；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），证明△PEF是等腰直角三角形，求出PE的最大值，可得结论；（3）存在．如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．分两种情形：CB为平行四边形的边，CB为平行四边形的对角线，分别构建方程求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，可得y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∵PF∥AB，∴∠PFE＝∠OBC＝45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，∵×3×PE＝，∴PE＝，∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；（3）存在．理由：如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．当BC为平行四边形的边时，则有|1﹣m|＝3，解得m＝﹣2或4，∴G（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），当BC为平行四边形的对角线时，（1+m）＝（0+3），∴m＝2，∴G（2，3），综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣2，5）或（4，﹣5）或（2，3）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
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2023年湖南怀化中考数学试卷
摘要：
一、前言
1.介绍2023 年湖南怀化中考数学试卷的基本情况
2.试卷结构与分值分布
二、试卷内容分析
1.选择题部分
a.题目类型及数量
b.涵盖的知识点
2.填空题部分
a.题目类型及数量
b.涵盖的知识点
3.解答题部分
a.题目类型及数量
b.涵盖的知识点
三、试卷难度分析
1.基础题型
2.提高题型
3.拓展题型
四、对考生的建议
1.针对试卷特点进行复习
2.提高解题速度与准确率
3.注重基础知识和基本技能的掌握
正文：
一、前言
2023 年湖南怀化中考数学试卷在遵循国家教育部关于中考改革精神的基础上，结合本地教学实际，科学地设置考试内容，旨在选拔出具备一定数学素养和发展潜力的学生。
本文将对该试卷进行简要分析，以供考生参考。
二、试卷内容分析
1.选择题部分
2023 年湖南怀化中考数学试卷选择题共12 题，每题3 分，满分36 分。
题目类型包括：概念辨析、法则运用、计算求解等。
涵盖的知识点有：实数、代数式与整式、分式与二次根式、几何图形、函数与统计等。
2.填空题部分
填空题共8 题，每题4 分，满分32 分。
题目类型包括：概念理解、性质与应用、计算求解等。
涵盖的知识点有：相似三角形、四边形、圆、概率与统计等。
3.解答题部分
解答题共6 题，共72 分。
题目类型包括：计算证明题、应用题、几何题、函数题等。
涵盖的知识点有：整式的因式分解、分式方程与不等式、函数的性质与应用、相似三角形的判定与性质、圆的性质与计算、概率与统计等。
三、试卷难度分析
2023 年湖南怀化中考数学试卷难度适中，分为基础题型、提高题型和拓
展题型。
其中，基础题型约占总分的60%，提高题型约占总分的30%，拓展题型约占总分的10%。
整套试卷既考查了学生对基础知识和基本技能的掌握，又考查了学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力。
四、对考生的建议
针对2023 年湖南怀化中考数学试卷的特点，考生在复习备考过程中，应注重以下几点：
1.针对试卷特点进行复习，重点掌握各知识点的核心内容，加强基础知识与基本技能的训练。
2.提高解题速度与准确率，通过大量练习，熟练掌握各类题型的解题方法，形成解题技巧。
3.注重培养自己的思维能力、分析问题和解决问题的能力，提高自己的数学素养和发展潜力。