第二章 结构图化简

分析法：从元件或系统所依据的物理或化学规律出发，推
导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模 型。

实验法： 对实际系统加入一定形式的输入信号，求取系统 输出响应，从而建模 。
二、控制系统的微分方程模型

微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵 循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定 理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。
将诸待定常数求出后代入F (s)式，取反变换求得f (t)
f (t ) L1 [ F ( s)] Cm C m1 C m1 Cn C1 L m m 1 s s1 s s m1 s sm ( s s1 ) ( s s1 )

1 RC
t
e
1 RC
t

Ur(t) 1 t 1
Uc(t)
t
0
0
方法2. 用拉氏变换求解线性微分方程

Laplace变换 L[f(t)]=F(s) 从时域→复域 定义： 举例：
F ( s ) f (t )e st dt
0

f (t ) 1(t )
1 st 1 F ( s) e dt e s 0 s 0
1
C m1 m2 C m m 1 s1t n t t C 2 t C1 e Ci e si t (m 2)! i m (m 1)!
1 1 L [ ] t n 1e at ( n 1)! ( s a) n
1
注：
如上例：
例：RC无源网络 解： Uc是被控量，Ur是给定量 列出方程组如下：
Ur=UC+ RI
dUc I=C dt
R Ur
i
C
Uc
du RC u u dt
c c
r
例： 列写直流调速系统的微分方程
解： 输入：Ur 输出：w
列出方程如下：
e u r u f u a K a e d Tm dt K m u a u f K f Tm：电动机的时间常数
PD调节器 (Proportion Differential)
•二阶振荡环节 微分方程
T
2
d c(t ) dt 2
2
dc(t ) 2T c(t ) r (t ) dt
传递函数
1 G ( s) 2 2 T s 2Ts 1
具体对象：
RLC无源网络
•二阶微分环节
微分方程
d r (t ) dr (t ) r (t ) 2 r (t ) dt dt
传递函数分母多项式= 0 的根——极点
例：系统的闭环传递函数为
S+2 G（S）= --------------------------------（S+3）（S+1+j）(S+1- j ) 零点：-2 极点：-3，-1-j, -1+j
3、 典型元部件的传递函数

比例环节（无惯性环节） 微分方程：Xc（ t ）= k Xr（ t ） 传递函数：G（S）= k 具体对象：比例放大器、 电位器


数学模型
定义：控制系统的输入输出变量以及中间变量之间关系的 数学表达式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动控 制系统的基础。

为什么要建立数学模型：我们需要了解系统的具体的性能
指标，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和 计算。
常用的有微分方程、传递函数、动态结构图、状态方程等


建模的方法
il
ul
一阶惯性环节
dxc (t ) xc (t ) kxr (t ) 微分方程： T dt k 传递函数： G ( s ) Ts 1
具体对象：具有一个储能元件的电路
•一阶微分环节
dr (t ) 微分方程： c(t ) r (t ) dt
传递函数：
G ( s) s 1
反拉氏变换
三、控制系统的传递函数模型
1、 传递函数的概念和定义
定义：线性定常系统在零初始条件下，输出量 的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。
微分定理：
d L f (t ) sF ( s ) f (0) dt
d f (t ) L s F ( s) sf (0) f (0) dt
Kf： 测速机输出电压斜率
Km：电动机增益时间常数（电压转速传递函数）
消去中间变量得
d Tm (1 K ) K m K a ur dt K Ka Km K f
建立系统微分方程模型的一般步骤：


根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入，输 出变量； 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依照各变量 所遵循的物理（或化学）定律，列写处在变化（运 动）过程中的动态方程（一般为微分方程）； 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 标准化：与输入有关的各项放在等号右侧，与输出 有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列，最后将 系数回代为具有一定物理意义的形式。
•用拉氏变换求解微分方程
1. 将微分方程进行拉氏变换(积分下限为0-），得到 以S为变量的代数方程； 2． 解代数方程，得系统输出变量的象函数表达式； 3． 进行拉氏反变换，得微分方程的解。
•用拉氏变换求解微分方程的优点

微分方程转化为多项式
拉氏变换
Uc(t)微分方程
s的多项式
求解
Uc(t)
Uc(s)
2 2
2
传递函数
• 积分环节
微分方程：
xc (t ) kxr (t )dt
k G (s) s
传递函数：
具体对象： a. 电容
b．运算放大器电路
c．比例积分(PI调节器 proportion integral)
•微分环节
微分方程： 传递函数： 具体对象： a 电感 b. 理想微分
dxr (t ) xc (t ) k dt G ( s) ks
s si
n Ci L1[ F ( s)] f (t ) L1 i 1 s si
Ci e sit
i 1
n
2. 有重根情况
Cm C m 1 C1 C m 1 Cn F(s) m m 1 (s s1) (s s1) s s1 s sm 1 s sn
m
m 1
首先将F（s）的分母多项式A（s）进行因式分解，即写为
A(s) (s s1)(s s2)(s sn)
1．A（s）= 0无重根
c c c c F ( s) ss ss ss ss
1 2 i n 1 2 i
n
Ci lim s si) (s) ( F
st

•常用函数的Laplace变换：
(t ) 1
1 t 2 s
1 1(t ) s
1 1 t 2 s
2
3
e
t
1 s
sin t 2 2 s
•拉普拉斯变换基本定理：
初值定理
f (0 ) lim sF ( s)
s
终值定理：
f () lim s F ( s)
求线性微分方程的解
由给定输入信号时的输出信号来分析系统性能。 方法1：常规解法 例：求 RC 网络中，当Ur为单位阶跃输入信号时， 被控信号Uc的变化曲线。
解：方法一
（1）先求对应齐次线性方程的通解
du 1 u 0 dt RC
c c
du 1 dt u RC
c c
两端积分得
1 ln uc dt lnC ' RC
uc C ' e

1 t RC
（2）使用常数变易法求非齐次线性方程的特解
即
uc C (t )e

1 RC
t
1 RC
duc C ' (t )e dt
t
C (t )e

1 RC
t
1 ( ) RC
代入非齐次方程中得
C ' (t )e

1 RC
t
C (t )e
1

1 RC
t
t 1 1 ur RC ( ) C (t )e RC RC RC
3 2 3 2 3 3 s 1
d [( s 1) F ( s )] C lim 0 dt 1 d [( s 1) F ( s )] C lim 1 2 dt 5 1 F (s) ( s 1) s 1 5 f (t ) t e e 2
3 2 s 1 2 3 1 s 1 2 3 2 t t
2 2 ' 2
从微分方程模型到传递函数
du RC u u dt
c c
r
设初始值uc(0)=0
( RCs 1)U ( s) U ( s)
c r
U ( s) 1 U ( s) RCs 1
c r
2．零初始条件的含义： •输入作用是在t=0 以后才作用于系统，
r (0) r (0) r (0) 0
第二章 控制系统的数学模型
本章主要内容： 控制系统的模型 建立系统的微分方程模型 建立系统的传递函数模型 建立系统的动态结构图并化简 自动控制系统的传递函数定义

一、控制系统的模型 模型：经原系统简化了的系统，并能反映 系统所代表的全部重要特征。 模型的分类
数字模型 数学模型 图形模型 模型 计算机程序 物理模型：模拟
•系统在输入作用前相对静止，