§3.5 函数按正交多项式展开
正交函数族与正交多项式
正交多项式正交函数族与正交多项式1、什么是权函数？定义4：设[a,b]是有限或无限区间，在[a,b]上的非负函数ρ(x)满足条件：（1）∫x k ρ(x )dx ba 存在且为有限值（k=0,1，…）；（2）对[a,b]上的非负连续函数g(x)，如果∫g (x )ρ(x )dx =0ba ,则g(x)≡0. 则称ρ(x )为[a,b]上的一个权函数。
2、什么是内积？内积：(f (x ),g (x ))=∫f (x )g (x )dx baρ(x)是[a,b]上的权函数，内积：(f (x ),g (x ))=∫ρ(x)f (x )g (x )dx ba ，常用ρ(x)≡1。
3、正交及正交函数族概念定义5若f (x ),g (x )∈C [a,b ],ρ(x )为[a,b]上的权函数且满足(f (x ),g (x ))=∫ρ(x )f (x )g (x )dx =0ba , (2.1)则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x )正交。
若函数族φ0(x ),φ1(x ),…,φn (x ),…满足关系(φj ,φk )=∫ρ(x )φj (x )φk (x )dx ={0 , j ≠k,A k >0,j =k.ba (2.2)则称{φk (x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族；若Ak ≡1，则称为标准正交函数族。
例如，三角函数1,cos x ,sin x , cos 2x , sin 2x ,…解：在区间[−π，π]上的正交函数族，因为对k=1,2,…有（任意两个相同函数在区间[−π，π]上的内积k=j ）：(1,1)=∫1×1dx =π−ππ−(−π)=2π(sin kx,sin kx )=∫sin k 2x π−πdkx =π同理(cos kx,cos kx,)=π任意两个不同函数在区间[−π，π]上的内积（k ≠j ）：(cos kx,sin kx )=∫sin kx cos kx π−πdkx =0 (cos kx,cos jx )=∫cos jx cos kx π−πdx =0 同理(sin kx ,sin jx )=(cos kx,sin jx )=0因此三角函数族为在区间[−π，π]上带权的正交函数族。
函数的最佳平方
记aij = (ϕ i , ϕ j ) = a ji = ∫ ρ ( x)ϕ i ( x)ϕ j ( x)dx
a
b
b j = ( f , ϕ j ) = ∫ ρ ( x) f ( x)ϕ j ( x)dx
a
b
则得到 a11 a 21 M an1 a12 a22 M an 2 L a1n c1 b1 c b L a2 n 2 2 M = M O M L ann cn bn
∂I = −2 b ρ ( x)( f ( x) − p( x))ϕ ( x)dx = 0, j = 1 : n. ⇔ j ∫a ∂c j ∴ ∑ ci ( ∫ ρ ( x)ϕ i ( x)ϕ j ( x)dx) = ∫ ρ ( x) f ( x)ϕ j ( x)dx
b b i =1 a a n
j = 1: n
∴ p(t ) = 1.7183 + 0.8301t + 0.06985(3t 2 − 1) + 0.0033(5t 3 − 3t ) ∴ p( x) = 1.7183 + 0.8301(2 x − 1) + 0.06985(3(2 x − 1) 2 − 1) + 0.0033(5(2 x − 1) 3 − 3(2 x − 1)).
x= 1 + 1 t 2 2
* 2 2
= ( f − p* , f − p* ) = min ( f − p, f − p )
p∈H n
则称p * ( x)为子空间H n中对于f ( x)的最佳平方逼近。
Q I = f − p, f − p) = ∫ ρ ( x)( f ( x) − p( x)) 2 dx = min （
正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
函数按正交多项式展开
其他说明：
1 . 若 f ( x ) C [ a , b ], 则可通过 x F (t ) f ( ab 2
2 . 用正交多项式则不用解
t 化为
ba 2
t ) g (t ) , 1 t 1 .
题.
方程组，不出现病态问
例、 求 f ( x ) arcsin x 在 [-1,1] 上的切比雪夫级数
n
s* (x)
j0
2j1 2
( f , p j ) p j ( x ).
例 求 f ( x ) e 在 [-1,1] 上的三次最佳平方逼近
x
多项式 .
1 x
解
( f , p 0 ) 1 e d x 2 . 35 04 ,
1
1
x
( f , p1 ) 1 xe d x 0 . 7358 ,
( f , 0 ) ( f ,1 ) , ( f , n )
s (x) a k (x)
( f , k ) ||
k
均方误差
k0
||
2 2
k ( x ).
* 1/2
|| n ( x ) || 2 || f ( x ) s n ( x ) || 2 ( f ( x ) s n ( x ), f ( x ))
* a2
3
2
1
x
1
5
3
3
x
5 2
( f , p 2 ) 0 . 3578 ,
* a3
7 2
( f , p 3 ) 0 . 07046 .
【精品】正交多项式
正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ（3.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念 定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
正交性的概念 定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k kk j A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ 则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
正交多项式
正交多项式若首项系数的次多项式，满足就称多项式序列，在上带权正交，并称是上带权的n次正交多项式。
构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法定理：按以下方式定义的多项式集合是区间上关于权函数的正交函数族。
其中证明可用归纳法，略。
例：求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。
解：构造正交多项式于是故在［0,1］上的二次最佳平方逼近多项式为勒让德多项式当区间为［－1,1］，权函数时，由正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用表示。
是n次多项式，对其n次求导后得首项的系数显然最高项系数为1的勒让德多项式为勒让德(Legendre)多项式具体表达式为性质1 正交性证明：反复用分部积分公式，略。
性质2 奇偶性n为偶数时为偶函数，n为奇数时为奇函数。
性质3 递推关系证明略。
性质4 在所有最高项系数为1 的n次多项式中，勒让德多项式在［－1，1］上与零的平方误差最小。
证：设是任意一个最高项系数为1的多项式，可表示为于是证毕。
性质5在区间［－1，1］内有n个不同的实零点。
第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式当区间为［－1，1］，权函数时，由序列正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。
它可表示为若令当在［－1，1］上变化时，对应的在［0，π］上变化，其可改写成具体表达式为是首项系数为的次多项式。
性质1 递推关系这只要由三角恒等式令即得。
性质2 最高项系数为1的对零的偏差最小。
即在区间［－1，1］上所有最高项系数为1的一切n次多项式中，与零的偏差最小，其偏差为证：由于且点是的切比雪夫交错点，由定理4知，区间［－1，1］上在中最佳逼近多项式为，即是与零的偏差最小的多项式。
证毕。
例：求在［－1，1］上的最佳2次逼近多项式。
解：最佳逼近多项式应满足由性质2知，当即时，与零偏差最小，故就是在［－1，1］上的最佳2次逼近多项式。
性质3 切比雪夫多项式在区间［－1，1］上带权正交，且令则于是性质4只含的偶次幂，只含的奇次幂.性质5在区间［-1，1］上有个零点可用的线性组合表示，其公式为具体表达式为其他常用的正交多项式一般说，如果区间及权函数不同，则得到的正交多项式也不同。
多项式展开式公式
多项式展开式公式多项式展开式可以用于求解多种数学问题，包括代数问题、几何问题和物理问题。
在代数中，多项式展开式可以用于解决方程、求多项式的根等问题。
在几何中，多项式展开式可以用于计算多边形的面积和体积，以及解决平面上的几何问题。
在物理中，多项式展开式可以用于计算物体的运动、力学系统的能量等。
1.二项式展开式：对于形如(a+b)^n的二项式，展开式可以由二项式定理给出：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n-1)*a^1*b^(n-1)+C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
2.平方差展开式：对于形如(a-b)^2的平方差，展开式可以由平方差公式给出：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.平方和展开式：对于形如(a+b)^2的平方和，展开式可以由平方和公式给出：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^24.立方差展开式：对于形如(a-b)^3的立方差，展开式可以由立方差公式给出：(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^35.立方和展开式：对于形如(a+b)^3的立方和，展开式可以由立方和公式给出：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^36.二次多项式展开式：对于形如(ax+b)^2的二次多项式，展开式可以由二次多项式展开公式给出：(ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^27.三次多项式展开式：对于形如(ax+b)^3的三次多项式，展开式可以由三次多项式展开公式给出：(ax+b)^3 = a^3x^3 + 3a^2bx^2 + 3ab^2x + b^3这些公式是多项式展开的基础，可以根据需求进行扩展和组合。
在实际应用中，我们可以使用这些展开式公式来计算多项式表达式的值、求解方程、进行因式分解等。
线性代数中的正交多项式
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
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1
第三章 函数逼近与计算
( ( x), ( x))a
j 0 k j
n
j
( f ( x ), k ( x ))
( 0 , )a ( 0 , a], (span 0 , n{ )a ( ), f )( x), , ( x)}, 0x 1) 1 n 0 , f( )0 C [,a b ( x 设 0 1 n (1 , 0 )a0 (1 , 1 )a1 (1 , n )an (1 , f ) 若 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是正交函数族， ( (0x x )) 0, i j 而 ( j ( x), j ( x)) 0 则 )), a0 j(( n ,i n , 1 )a1 ( n , n )an ( n, f ) (
故法方程组的系数矩阵 Gn G(0 ( x), 1 ( x), , n ( x))
为非奇异对角阵， 且方程组的解为
* ak ( f ( x ), k ( x )) /( k ( x ), k ( x ))
最佳平方逼近函数
S ( x)
* k 0 n
(k 0,1, , n).
3 2 1 x 7 ( f ( x), P2 ( x)) ( x )e dx e 0.1431; 1 2 2 e 1 5 1 3 3 x 37 5e 0.02013. ( f ( x), P3 ( x)) ( x x)e dx 1 2 e 2 又 ( f ( x), Pk ( x)) * * ak ( x) a0 ( f ( x), P0 ( x)) / 2 1.1752, ( Pk ( x), Pk ( x)) * * a a1 3( f ( x), P ( x )) / 2 1 . 1036 , 2 5( f ( x), P 2 ( x)) / 2 0.3578, 1 * a3 7( f ( x), P3 ( x)) / 2 0.07046. * * * * Sn ( x) a0 P0 ( x) a1 P ( x ) a 代入 1 nP n ( x),
n
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第三章 函数逼近与计算 例1 求 f ( x) e x在 [1, 1]上的三次最佳平方逼近多项式. ~ (k 0,1,2,3). ( f ( x ), P 先计算 k ( x)) 解 1 1 x ( f ( x), P ( x )) e dx e 2.3504; 0 1 e 1 x 1 ( f ( x), P ( x )) x e dx 2 e 0.7358; 1 1
x * 3 2
2 *2 ak 0.0084. 1e dx k 0 2k 1
1 2x
3
最大误差
* n (ห้องสมุดไป่ตู้x) e x S3 ( x) 0.0112.
如果 f ( x) C[a, b],求 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式， ba ba (1 t 1), 做变换 x t 2 2 ba ba 于是 F (t ) f ( t ), 2 2 * 在 [1, 1] 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 S n (t ), 1 * 从而得到区间 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式 S n ( (2 x a b)). ba
5 5
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2 2
( f ( x), k ( x)) ( x ) k 0 k 2
n
2
.
1 2
用Legendre多项式求最佳平方逼近多项式 考虑函数 f ( x) C[1, 1],勒让德多项式 {P0 ( x), P1 ( x), , Pn ( x)} 由(3.8)，(3.9)可得 * * * * Sn ( x) a0 P0 ( x) a1 P ( x ) a 1 nP n ( x), 其中
* ak ( x)
( f ( x), Pk ( x)) 2k 1 1 f ( x) Pk ( x)dx. 1 ( Pk ( x), Pk ( x)) 2
平方误差
k ( x ) 2 f ( x )dx
2 1 2 1
2 *2 ak . k 0 2k 1
3 3
1
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4 4
第三章 函数逼近与计算 得三次最佳平方逼近多项式
* S3 ( x) 0.9963 0.9979 x 0.5367 x 2 0.1761x 3 .
均方误差 n ( x) e S ( x) 2
( f ( x), k ( x))
k ( x)
2 2
k ( x).
2 2
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第三章 函数逼近与计算
* 均方误差 n ( x) 2 f ( x) Sn ( x) 2
f ( x)