数值分析正交多项式
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数值分析(第四版)课后习题及答案
0.30
0.39
0.45
0.53
yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值 S (x) 并满足条件
i) S(0.25) 1.0000, S(0.53) 0.6868; ii) S(0.25) S(0.53) 0.
25. 若 f (x) C2 a,b, S (x) 是三次样条函数,证明
12. 在 1,1 上利用插值极小化求 1 f (x) tg 1x 的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设 f (x) ex 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 Ln (x) ,若 f Ln 有界,
证明对任何 n 1,存在常数 n 、 n ,使
改用另一等价公式
ln(x x2 1) ln(x x2 1)
计算,求对数时误差有多大?
x1 1010 x2 1010 ; x1 x2 2.
14. 试用消元法解方程组
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
s 1 ab sin c,
0c
15. 已知三角形面积 2
n
x
k j
j1 f (xj )
0,0k n2; an1 ,k n1.
15. 证明 n 阶均差有下列性质:
i) 若 F (x) cf (x) ,则 F x0, x1,, xn cf x0, x1,, xn ;
ii) 若 F (x) f (x) g(x) ,则 F x0, x1,, xn f x0, x1,, xn g x0, x1,, xn .
5.
设 xk
x0
数值分析学习课件
§2.正交多项式
性质3. n次多项式 P (x)有n个互异实根，且全部(a, b)内。 n 性质4.设 P (x)的n个实根为x1 , x2 ,..., xn P + 1 (x) 的n+1 ，n n 个实根为 x1 , x2 ,..., xn1 ，则有
a x1 x1 x 2 x2 ...
{ j(x) = e kj x , ki kj } 对应指数多项式 /* exponential
polynomial */
§1.函数逼近的基本概念
定义 权函数：
①
离散型 /*discrete type */
根据一系列离散点 ( xi , yi ) (i 1, ... , n) 拟合时，在每一误
Pk(x)
kl kl
由 P0 1, P1 x 有递推 (k 1) Pk 1 (2k 1) xP kPk 1 k
k
0
1
2 3
P0 ( x) 1 P ( x) x 1
P2 ( x ) =
4
1 P3 ( x ) = (5 x3 - 3x) 2 1 P4 ( x ) = (35 x 4 - 30 x 2 + 3) 8
第三章
函数逼近
/* Approximation Theory */
第一讲
§1.函数逼近的基本概念
§2.正交多项式
§1.函数逼近的基本概念
已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近 m 似函数 P(x) f(x) 使得 | P ( xi ) yi |2 最小。
i 1
已知 [a, b]上定义的 f(x)，求一个简单易算的 b 近似函数 P(x) 使得 a [ P( x) f ( x)]2 dx 最小。
数值分析(04)内积空间
数值分析
成 立, 则 , 必 线 性 相 关 为 若 , 线 性 无 关则k R, .因 , 非 零, 都 有 k 0.从 而( k , k ) 0 所 以 等 号 不 成 立 盾. ,矛
数值分析
数值分析
在不同的空间中 , Cauchy Schwarz不 等 式 有 不同的表达形式 .
x T Ax
i , j 1
xa
i
ij
xj
特别，A为n阶对角阵, x的A范数,定义为 x
A
x T Ax
aii xi2
i 1
n
数值分析
数值分析
( 3) f ( x ) C[a , b],
f f ( x ), f ( x ) f ( x ) dx 称 f 为[a , b]上连续函数f ( x )的内积范数。
数值分析
数值分析
前述三种空间关系
线性空间
(,)
内积 空间
|| ||
赋范线性空间
(,) || ||
1 2
数值分析
数值分析
三、内积空间中的正交系
定理1 若1 , 2 , , r是一组两两正交的非零向量, 则1 , 2 , , r 线性无关.
证明
设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r r 0
证明 : 任取实数k , 考虑内积 ( k , k ) ( , ) 2k ( , ) k 2 ( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式, 有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , ) 当 k ( k R, 非 零), 显 然 定 理 中 等 号 成 立 之, 如 果 等 号 ;反
数值微积分---chap正交多项式定理证明
School of mathematics and statistics
假设 n ( x)在(a, b)中只有l个根(l n), x1 , x2 ,..., xl
2 2 2 则 n ( x)( x x1 )( x x2 )( x xl ) = ( x)( x x1 ) ( x x2 ) ( x xl )
k 0 n
的节点xk : a x0 x1 xn b是Gauss点的充分必要条件是 : 它们是区间(a, b)上以 ( x)为权的正交多项式n 1 ( x)的n 1个根
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第4章 数值微积分
4.4 Gauss型求积公式与正交多项式
School of mathematics and statistics
一般地, ( k 1 , k ) (( x k ) k k k 1 , k )
__ __ __
__
__
__
__
__
(( x k ) k , k ) ( k k 1 , k ) 0 由此函数系的正交性:( k 1 , k ) 0 因此(( x k ) k , k ) 0 ,即( x k , k ) k ( k , k )
__
__
由于( x x1 ) ( x x2 )( x xl )有次数低于n次
则由正交性 ( x) n ( x)( x x1 )( x x2 )( x xl )=0
a
b
__
由 ( x)在(a, b)上不变号
b
a
( x) ( x)( x x1 )2 ( x x2 )2 ( x xl )2 0
假设 n ( x)在(a, b)中只有l个根(l n), x1 , x2 ,..., xl
2 2 2 则 n ( x)( x x1 )( x x2 )( x xl ) = ( x)( x x1 ) ( x x2 ) ( x xl )
k 0 n
的节点xk : a x0 x1 xn b是Gauss点的充分必要条件是 : 它们是区间(a, b)上以 ( x)为权的正交多项式n 1 ( x)的n 1个根
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第4章 数值微积分
4.4 Gauss型求积公式与正交多项式
School of mathematics and statistics
一般地, ( k 1 , k ) (( x k ) k k k 1 , k )
__ __ __
__
__
__
__
__
(( x k ) k , k ) ( k k 1 , k ) 0 由此函数系的正交性:( k 1 , k ) 0 因此(( x k ) k , k ) 0 ,即( x k , k ) k ( k , k )
__
__
由于( x x1 ) ( x x2 )( x xl )有次数低于n次
则由正交性 ( x) n ( x)( x x1 )( x x2 )( x xl )=0
a
b
__
由 ( x)在(a, b)上不变号
b
a
( x) ( x)( x x1 )2 ( x x2 )2 ( x xl )2 0
jacobi正交多项式的一些性质
jacobi正交多项式的一些性质Jacobi正交多项式是一类重要的正交多项式，它们在数值分析、积分计算、物理学、金融学等领域有着广泛的应用。
Jacobi正交多项式的一些性质如下：1、Jacobi正交多项式是一类完全正交的多项式，它们满足Jacobi正交性质：$$\int_{-1}^{1}P_n^{(\alpha,\beta)}(x)P_m^{(\alpha,\beta)}(x)w(x)dx=0,\quad n\neq m$$其中$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$是Jacobi正交多项式，$w(x)$是Jacobi权函数。
2、Jacobi正交多项式的系数可以用递推公式求得：$$a_n=\frac{2n+\alpha+\beta+1}{2(n+\alpha+\beta+1)}a_{n-1}$$其中$a_n$是Jacobi正交多项式的系数，$\alpha$和$\beta$是Jacobi权函数的参数。
3、Jacobi正交多项式的零点可以用递推公式求得：$$x_n=\frac{-b_n+\sqrt{b_n^2-4a_nc_n}}{2a_n}$$其中$x_n$是Jacobi正交多项式的零点，$a_n$、$b_n$和$c_n$是Jacobi正交多项式的系数。
4、Jacobi正交多项式的最大值可以用递推公式求得：$$M_n=\frac{2n+\alpha+\beta+1}{2(n+\alpha+\beta+1)}M_{n-1}$$其中$M_n$是Jacobi正交多项式的最大值，$\alpha$和$\beta$是Jacobi权函数的参数。
以上就是Jacobi正交多项式的一些性质，它们在数值分析、积分计算、物理学、金融学等领域有着广泛的应用，为科学研究和工程应用提供了重要的理论支持。
3.2 正交多项式
试用三项递推公式求关于该点集的正交多项式第三章函数逼近由此得050125xp050125025050751上的正交多项式序列第三章函数逼近连续区间上正交多项式连续区间上的正交多项式的概念与离散点集上的正交多项式概念相似只要将内积的定义作相应的改变定义32函数fx的正交多项式序列
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
(11)
给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 (x) e2x2的正交多项式。
Hn(x)
(1)n e x2
dn dxn
(e x 2
)
前几个Hermite多项式如下：
第三章 函数逼近
H 2 ( x ) 4 x 2 2, H 3 ( x) 8 x 3 12 x, H 4 ( x ) 16 x 4 48 x 2 12, H 5 ( x) 32 x 5 160x 3 120x.
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与
原点对称。
11
ò (Tn ,Tm ) = - 1 1- x2 Tn (x)Tm (x)dx
0, 当n m
2 ,
,
当m n 0 当m m 0
第三章 函数逼近
（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。 Laguerre多项式可由三项递推公式
第三章 函数逼近
L2 ( x) x 2 4 x 2, L3 ( x) x 3 9 x 2 18 x 6, L4 ( x) x 4 16 x 3 72 x 2 96 x 24 L4 ( x) x5 25 x4 200x 3 600x 2 600x 120
其中的 (x)0为给定的权函数。
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
(11)
给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 (x) e2x2的正交多项式。
Hn(x)
(1)n e x2
dn dxn
(e x 2
)
前几个Hermite多项式如下：
第三章 函数逼近
H 2 ( x ) 4 x 2 2, H 3 ( x) 8 x 3 12 x, H 4 ( x ) 16 x 4 48 x 2 12, H 5 ( x) 32 x 5 160x 3 120x.
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与
原点对称。
11
ò (Tn ,Tm ) = - 1 1- x2 Tn (x)Tm (x)dx
0, 当n m
2 ,
,
当m n 0 当m m 0
第三章 函数逼近
（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。 Laguerre多项式可由三项递推公式
第三章 函数逼近
L2 ( x) x 2 4 x 2, L3 ( x) x 3 9 x 2 18 x 6, L4 ( x) x 4 16 x 3 72 x 2 96 x 24 L4 ( x) x5 25 x4 200x 3 600x 2 600x 120
其中的 (x)0为给定的权函数。
正交多项式模型
正交多项式模型正交多项式模型一、引言正交多项式模型是统计学中一个重要的概念，主要用于回归分析和时间序列分析等。
它利用正交性，将高维问题转化为低维问题，从而简化计算和建模过程。
本文将介绍正交多项式模型的基本概念、应用和实现方法。
二、正交多项式模型的基本概念正交多项式是一种特殊的多项式，它的各个项之间是正交的，即各项的系数互为相反数。
这种特性使得正交多项式在统计学中有广泛的应用。
正交多项式模型是指利用正交多项式来拟合数据的一类模型，具有简洁、高效和易于解释等特点。
三、正交多项式模型的应用时间序列分析：在时间序列分析中，很多数据的趋势和季节性因素可以用正交多项式来描述。
例如，使用正交多项式模型可以有效地提取时间序列中的长期趋势、季节性和周期性变化。
回归分析：在回归分析中，正交多项式模型可以用来处理自变量和因变量之间的关系，特别是当自变量之间存在多重共线性时，使用正交多项式模型可以有效地消除这种影响。
数据降维：由于正交多项式具有将高维问题转化为低维问题的特性，因此可以用于数据降维。
通过选择合适的正交多项式，可以将高维数据投影到低维空间，从而降低计算复杂度和提高可视化效果。
四、正交多项式模型的实现方法选择合适的正交多项式：根据数据的特性和问题要求，选择合适的正交多项式类型，如Legendre多项式、Chebyshev多项式等。
拟合模型：利用选定的正交多项式对数据进行拟合，通过最小二乘法或其他优化算法求解系数，得到最佳拟合模型。
预测与评估：利用拟合得到的模型进行预测，并对预测结果进行评估和比较，选择最优的模型。
五、结论正交多项式模型是一种高效、简洁和易于解释的统计模型，在回归分析、时间序列分析和数据降维等方面有广泛的应用。
通过选择合适的正交多项式类型，可以有效地提取数据中的特征和规律，为实际问题的解决提供有力支持。
未来的研究可以进一步探讨正交多项式模型的优化算法和应用领域，为更多领域的数据分析和处理提供新的思路和方法。
数值分析引论 易大义Ch3.2
， k 1
( k , k ) ( k 1 , k 1 )
且于 [ a , b ]带权函数
( x )为正交多项式组
n { k ( x )} k 0 ,（ k ( x )为首项系数
为 1的 k 次多项式） 是唯一的。
定理5 设 { k }为 [ a , b ]上带权 ( x )的正交多项式序列 式 n ( x ) 在[a,b]内恰好有n个不同的实根. 说明：用反证法利用定理3即得证. 应用：求最佳一致逼近多项式.
i0
i n 0 生成（张成）的集合. 为由 i 结论 （1 Span 0 , , n an
a i i ( x ), a i 为实数
1, x ， , x 是
n n
Span
0 , , n 的特例
（2 P ( x ) H n 为任一次数 ）
n 多项式，则
（ P , ） i
①
{ 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x )} 于 [ a ， b ] 线性无关；
n
② P(x) 证明： ①
c i i ( x )
，其中
i0
ci ( i 0 ,1 , , n ) （ i , ） i
2 n ! dx
( 2 .8 )
（1） Pn ( x ) 的首项系数 a n
则有 d dx
2n 2n
1
n
( 2 n )!
2 n! n!
，若令 ( x ) ( x 2 1 ) n ，
( x ) ( 2 n )!.
事实上， ( x )
(n)
2 nx
2n1
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(2)Qn( x) Hn均可表为p0( x), p1( x), , pn( x)的线性组合. (3)当k j时，( p j , pk ) 0,且pk ( x)与任一次数小于k的多
项式正交.
（4）有递推关系
pn1( x) ( x n ) pn( x) n pn1( x), n 0,1, , (2.4)
(i
(
x
),
k
(
x))
0, Ak
,
i
k, ik
,
(i,k 0,1,2, )
(2.2)
则称函数族{n( x)}为[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族 .
特别地, 当Ak 1时, 则称该函数系为标准正交函数族 .
例如，三角函数族 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, ,
为[ , ]上的正交函数族, (1,1) 2 ,(cos kx,cos kx) (sin kx,sin kx) ,其他内积 0.
定义6 设pn( x)是[a,b]上首项系数an 0的n次多项式, ( x)
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
(2.10)
切比雪夫多项式的性质: (1) 递推关系
TTn0(1x( x)
1, )2
T1( xTn (
x) x)
x, Tn1(
x
).
Tn( x)的最高次幂xn的系数为2n1,(n 1).
事实上，只需由
(2.11)
cos(n 1) 2cos cos n cos(n 1) , n 1.
§2 正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 若f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数, 且
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx 0，
(2.1)
则称f ( x)与g( x)在[a,b]上带权ρ(x)正交 .
设在[a,b]给定函数族0( x),1( x), ,n( x), , 且满足
代入 x cos , 即得递推关系式.
(2) 正交性
0, m n,
11
1
1
x
2Tm
(
x)Tn
(
x
)dx
/
2, ,
m n 0, m n 0.
(2.12)
(3) 奇偶性 Tn( x)当n为奇数时为奇函数，且只含x的奇次幂; 当n为偶数时为偶函数，且只含x的偶次幂.
(4) Tn( x)在[1,1]上有n个不同的零点
( x)dx
2mn1m!n!11
dm dxm
[(x2
1)m
]
dn dxn
[(x2
1)n
]dx
1
dm
2mn m!n!dxm
[( x 2
1)m
]ddxnn11 [( x2
1)n
1
]
1
2m
1 n m!n!
11
dm1 dx m 1
[(
x
2
1)m
]
dn1 dx n 1
[(
x
2
1)n
]dx
(1)m
1 2mn m!n!
xk
cos (2k 1)
2n
,
(k
1,2,
, n)
（5）Tn (x)的首项 xn的系数为2n1(n 1, 2,L ).
x)
2n 1 n1
xPn (
P1( x) x,
x)
n
n
1
Pn1(
x),
(n
1,2,
)
(2.9)
可得
P2( x)
1 (3 x2 2
1),
P3( x)
1 (5 x3 2
3 x ),
三、切比雪夫多项式
区间为[1,1],权函数为( x) 1 ，序列{1, x, xn, }
1 x2
正交化所得正交多项式称为n次切比雪夫多项式.
可表为
Tn( x) cos(narccos x), (1 x 1,n 0,1,2, )
若令x cos，则Tn( x) cos(n ),0 .
T0( x) cos(0) 1, T1( x) cos(arccos x) x, T2( x) cos(2arccos x) 2x2 1, T3( x) 4x3 3x,
二、勒让德多项式
区间[1,1]上带权( x) 1的正交多项式
Pn( x)
Байду номын сангаас
1 2n
n!
dn dxn
[( x 2
1)n ],
(n 0,1,2, )
称为n次 Legendre多项式 .
其首项系数an
2n (2n 1) 2n n!
(n
1)
(2n)! 2n ( n! )2
.
首项系数为1的勒让德多项式为
11
d2m dx 2m
[(
x2
1)m
]ddxnnmm
[(
x2
1)n ]dx
(1)m
(2m)! 2mn m!
n!
dnm1 dx n m 1
[(
x2
1)n
1
]
1
0.
(ii)当m n时.
11
Pn2 (
x)dx
(1)n
(2n)! 22n ( n! )2
11(
x2
1)ndx
x s in t
(2n)! (2n n!)2
交多项式.
只要给定[a,b]上的权函数(x), 由{1, x,L xn,L }利用逐个
正交化手续立得正交多项式序列:
p0( x) 0,
pn( x)
xn
n1( xn,
j0 ( pj,
p p
j j
) )
p
j
,
n 1,2, .
(2.3)
性质：
注意：这些多项
(1) pn( x)的首项系数为1.
式是线性无关的
其中 p0( x) 1，p1( x) 0，
n ( xpn, pn ) /( pn, pn ), n ( pn , pn ) /( pn1, pn1)，n 1,2, ,
（5）设{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交多项式
序列. 则pn( x)(n 1)的n个根都是在(a,b)内的单重实根;
P~n (
x)
n! (2n)!
dn dxn
[(
x2
1)n
],
(n 0,1,2, )
(2.5) (2.6)
勒让让德多项式性 :
(1) 正交性
11
Pm
(
x ) Pn (
x)dx
0, 2
2n
, 1
m n, m n.
(2.7)
证：(i) 当m n时,不妨m n. 做m次分部积分
11 Pm
( x) Pn
/
2 /2
cos2n1
tdt
(2n)! (2n n!)2
2 (2n)(2n 2) (2n 1)(2n 1)
2 3
2. 2n 1
(2) 奇偶性
Pn( x) (1)n Pn( x). (3) Pn( x)在(1,1)内部有n个互异的实零点. (4) 递推关系
(2.8)
Pn1(
P0( x) 1,