第八章方差分析
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医学统计学 -第08章 方差分析
第一节 方差分析的基本思想
看一个例子
例8-1 为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36 只肥胖模型大白鼠随机分为三组，每组12只，分别给 予高脂正常剂量钙(0.5%)、高脂高剂量钙(1.0%)和高 脂高剂量钙(1.5%)三种不同的饲料，喂养9周，测其 喂养前后体重的差值。问三组不同喂养方式下大白鼠 体重改变是否不同？
• 三种喂养方式体重改变的平均值各不相同，这种变异 称为组间变异
•
是组内均值
X
与总均值
i
X
之差的平方和
360
340
组间变异反映了：
320
三种喂养方式的差异（影响）， 300
同时也包含了随机误差。
280
260
240
k ni
220
SS组间
(Xi X )2
200
i1 j
180
X甲
X
X乙
X丙
甲
乙
丙
3、组内变异(SS组内，variation within groups)
0.05
2、根据公式计算SS、MS及F值，列于方差分析表内(计 算过程省略)
变异来源 总变异 组间 组内（误差）
完全随机设计的方差分析表
平方和 SS 自由度
均方MS
47758.32
35
31291.67
2
15645.83
16466.65
33
498.99
F值
31.36
3、确定P值，作出判断
分子自由度=k-1=2，分母自由度=n-k=33，查F 界值表（方差分析用）
表 8-1 三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值(g)
正常钙(0.5%) 高剂量钙(1.0%) 高剂量钙(1.5%)
单向方差分析
1 10, 2 10
F 分布曲线
17
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度 υ2
•
分子旳自由度，υ1
1
2
3
4
5
6
161 200 216 225 230 234 1
4052 4999 5403 5625 5764 5859
18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 2
t Yi Yh Se
Yi Yh
,
MS组内（
1 n1
1 n2
）
N a 组内
29
例四个均值旳Bonferroni法比较
设α＝α’/c＝0.1/6=0.0167,由此t旳临 界值为t（0.0167/2,20）=2.6117
18.5 28.0
t(A: B)
3.48 2.6117, 24 4 20
以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F
test）。用于推断两 个或多种总体均数有 无差别 。
3
方差分析旳优点： 不受比较组数旳限制，可比较多组均数 可同步分析多种原因旳作用 可分析原因间旳交互作用
4
完全随机设计资料（单原因）方差分析 One-way analysis of variance 第一节 方差分析旳基本思想
deviations from mean，SS)反应变异旳大小
10
1. 总变异: 全部测量值之间总
旳变异程度，计算公式
a ni
SS总
Yij Y
2
Y a ni 2 ij
C
i1 j1
i1 j1
N
F 分布曲线
17
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度 υ2
•
分子旳自由度，υ1
1
2
3
4
5
6
161 200 216 225 230 234 1
4052 4999 5403 5625 5764 5859
18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 2
t Yi Yh Se
Yi Yh
,
MS组内（
1 n1
1 n2
）
N a 组内
29
例四个均值旳Bonferroni法比较
设α＝α’/c＝0.1/6=0.0167,由此t旳临 界值为t（0.0167/2,20）=2.6117
18.5 28.0
t(A: B)
3.48 2.6117, 24 4 20
以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F
test）。用于推断两 个或多种总体均数有 无差别 。
3
方差分析旳优点： 不受比较组数旳限制，可比较多组均数 可同步分析多种原因旳作用 可分析原因间旳交互作用
4
完全随机设计资料（单原因）方差分析 One-way analysis of variance 第一节 方差分析旳基本思想
deviations from mean，SS)反应变异旳大小
10
1. 总变异: 全部测量值之间总
旳变异程度，计算公式
a ni
SS总
Yij Y
2
Y a ni 2 ij
C
i1 j1
i1 j1
N
第八章：方差分析
SSE xij xi
k ni i 1 j 1
2
计算结果为： SSE = 2708
三个离差平方和的关系
总离差平方和(SST)、组内离差平方和(SSE) 、组间离差平方和 (SSA) 之间的关系：
x
k i 1 j 1
ni
ij
x ni xi x xij x
外包装底色对产品销量是否有显著影响？
市场 北京 上海 深圳 西安 成都 红色 36 35 27 29 38 橙色 28 26 31 30 24 紫色 30 32 28 26 35 蓝色 22 27 20 21 29
什么是方差分析?
【 例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会 在4个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消 费者对总共23家企业投诉的次数如下表：
2.
方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 （每个行业被投诉的次数必须服从正态分布） 2. 各个总体的方差相同 （ 4个行业被投诉次数的方差都相等） 3. 观测值是独立的 （每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立）
方差分析的基本假设
H 0 : m1 m2 mk H1 : m1 , m2 , , mk 不全相等
2.计算误差
计算全部观测值的均值以及各水平下的组均值 计算总误差 计算组内误差 计算组间误差
计算总误差（ SST）
1. 全部观察值 xij 与总平均值 x 的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况 3. 其计算公式为
SST xij x
k ni i 1 j 1 2
方差分析
差异源
组间 组内
SS
1456.609 2708
第08章+单因素方差分析
t检验判断两组数据平均数间的差异显著性；方差分 析可同时判断多组数据平均数间的差异显著性。
方差分析的基本原理
在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。 造成观测值不同的原因是多方面的，有的是处理不同引起 的，处理效应或条件变异，有的是试验过程中偶然性因素 的干扰和测量误差所致，既试验误差。方差分析的基本思 想是将测量数据的总变异按照变异原因不同分解为处理效 应和试验误差，并作出其数量估计。 通过方差比较以确 定各种原因在总变异中所占的重要程度，即用处理效应和 试验误差在一定意义下进行比较，如二者相差不大，说明 试验处理对指标影响不大，如二者相差较大，处理效应比 试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。 从而作为统计推断。
变差na来源5 5 平方和 自由度
均方每一个xij都F减去65
SST
处= 理a
误差i=1
n j =1
xi2j 13C1.7=4277 .28 4129 .96
25.58
20
=3124.794.32
0.78
42.23**
S*S*A
总1和 a = α=n0.i0=11
xi2.
1C47=.312308 5
计之前就要明确关于模型的基本假设。对于单因素方差分析 来说，两种模型无多大区别。
第八章 单因素方差分析
三、单因素方差分析的检验及例题验算
（得样一本固）的定方方效差式应分不模同型析，与的致随检使机验所效程得应结模序论型不方同差。分随析机的效程应序模完型全适一用样于，水但平由的于总获 体1，、而正固规定检效验应模程型序只适用于所选定的α个水平。也就是说，随机效应 模2型、Ⅰ可单推因方断素差总方齐体状差性况分检，析验而的固实定效战应检模验型程不序能推断总体状况。
方差分析的基本原理
在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。 造成观测值不同的原因是多方面的，有的是处理不同引起 的，处理效应或条件变异，有的是试验过程中偶然性因素 的干扰和测量误差所致，既试验误差。方差分析的基本思 想是将测量数据的总变异按照变异原因不同分解为处理效 应和试验误差，并作出其数量估计。 通过方差比较以确 定各种原因在总变异中所占的重要程度，即用处理效应和 试验误差在一定意义下进行比较，如二者相差不大，说明 试验处理对指标影响不大，如二者相差较大，处理效应比 试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。 从而作为统计推断。
变差na来源5 5 平方和 自由度
均方每一个xij都F减去65
SST
处= 理a
误差i=1
n j =1
xi2j 13C1.7=4277 .28 4129 .96
25.58
20
=3124.794.32
0.78
42.23**
S*S*A
总1和 a = α=n0.i0=11
xi2.
1C47=.312308 5
计之前就要明确关于模型的基本假设。对于单因素方差分析 来说，两种模型无多大区别。
第八章 单因素方差分析
三、单因素方差分析的检验及例题验算
（得样一本固）的定方方效差式应分不模同型析，与的致随检使机验所效程得应结模序论型不方同差。分随析机的效程应序模完型全适一用样于，水但平由的于总获 体1，、而正固规定检效验应模程型序只适用于所选定的α个水平。也就是说，随机效应 模2型、Ⅰ可单推因方断素差总方齐体状差性况分检，析验而的固实定效战应检模验型程不序能推断总体状况。
第八章 方差分析与相关分析
第八章方差分析与相关分析一．方差分析1．基本概念方差分析的概念：比较组间方差是否可以用组内方差来进行解释，从而判断若干组样本是否来自同一总体。
方差分析，又称为ANOVA（Analysis Of Variance）分析。
方差分析可以一次检验多组样本，避免了t检验一次只能比较两组的缺陷。
方差分析只能反映出各组样本中存在着差异，但具体是哪一组样本存在差异，无法进行判定。
考察下列例子：某厂使用四种不同颜色对产品进行包装，经过在五个城市的试销，获得销售数据如下（单观察数据的列平均值，列平均值的差异反映出不同颜色包装的销售业绩差异。
此时，需要判断这种差异与同一颜色包装在不同城市间的差异相比，是否显著。
如果不显著，则这种2．方差分析原理计算观察值的组间方差和组内方差，并计算两者的比值，如果该比值比较小，说明组间方差与组内方差比较接近，组间方差可以用组内方差来解释，从而说明组间差异不存在。
●●建立原假设“H0：各组平均数相等”●●构造统计量“F＝组间方差／组内方差”●●在计算组间方差时，使用自由度为（r-1），计算组内方差时，使用自由度为（n-r）。
●●F满足第一自由度为（r-1），第二自由度为（n-r）的F分布。
●●查表，若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各组平均数存在差异。
根据方差计算的原理，生成方差分析表如下：其中：组间离差平方和 SSA (Sum of Squares for factor A) ＝39.084误差项离差平方和 SSE (Sum of Squares for Error) ＝76.8455总离差平方和 SST (Sum of Squares for Total)＝115.9295P-value值为0.000466，小于0.05，所以拒绝原假设。
3．双因素方差分析观察下列销售数据，欲了解包装方式和销售地区是否对于销售业绩有影响，涉及到双因素的方差分析。
此时需分别计算SSA、SSB与SSE之间的比值是否超过临界值。
生物统计-8第八章单因素方差分析
01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量） 和因子水平（因子的不同类别或 条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析 模型。模型通常包括组间差异和 组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件， 包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否 显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分 类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变 异，如果存在多个因素引起的变异，单因 素方差分析可能无法准确反映实际情况。 此时需要考虑使用其他统计方法，如多元 方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件 实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析 的结果。
输出结果，并进行解释和 解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种 的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。
第八章 单因素方差分析
V 4.2 3.2 4.8
4
5
1.0
0.8 1.5
-1.3
-1.1 -0.3
1.8
3.5 11.5
4.1
6.0 29.0
3.3
2.5 18.0 总和 57.0
xi
n
xi2
j 1 2 ij
2.25
1.93
9.00
3.4
132.25
29.43
841.00 324.00
174.46 68.06
1308.50
sx MS e n
品系号
Ⅳ
Ⅴ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
平均数
70.8
68.6
67.3
65.3
64.4
顺序号
1
2
3
4
5
df
k
R0.05
Rk
R0.01
Rk
2
2.95
1.165
4.02
1.588
3 20 4
3.10
1.225
4.22
1.667
3.18
1.256
4.33
1.710
5
3.25
1.284
4.40
1.738
5
单因素固定效应模型方差分析表
变异来源
处理间
平方和
自由度
均方
F
F MS A MS e
SSA
a-1
MSA
误差或处理内
总和
SSe
SST
na-a
na-1
MSe
4、平方和的简易计算方法
株号 1 2 3 I -0.4 0.3 -0.2
品 II
第八章 方差分析
xij (i 1,2,, r , j 1,2,, s)
1 r s 1 s 记＝ ij 表示总平均值， i .＝ ij 表示因素A的第i个水平的平均值， . rs i 1 j 1 s j 1
1 r . j＝ ij 表示因素B的第j个水平的平均值 . r i 1
行业类型 计算机
3.94 2.76 8.95 3.23
每股净收益
3.04 4.69 1.52 5.05
医药
公用
2.89
-2.26
1.65
0.66
2.59
2.22
1.09
1.77
-1.07
-0.15
2.30
2.10
-3.10
2.89 1.12 -3.21 2.11
例8.3：某汽车销售商欲了解三种品牌的汽车X,Y,Z和四种标
ANOVA过程简介
ANOVA过程用于均衡数据的方差分析。
对非均衡数据的方差分析问题，SAS系统要求用GLM（一般 线性模型）来处理（单因素时也可以用ANOVA).
GLM过程也可以处理均衡数据的方差分析问题，但效率低于 ANOVA.
ANOVA过程简介
ANOVA过程的一般格式：
PROC ANOVA<options>; CLASS variables; MODEL dependents=effects</options>; BY variables; FREQ variable; MEANS effects</options>;
一、单因素方差分析模型
设因素X有k个水平，每个水平可视为一个小总体，分别用
X1 , X 2 ,, X k 来表示。记 j的总体均值为 j , X