数学-安徽省滁州市定远县藕塘中学2017-2018学年高二3月月考(理)(解析版)

安徽省滁州市定远县藕塘中学2017-2018学年高二3月月考（理）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

) 1.复数1ii 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.若 ， 则下列不等式成立的是（ ） A.B.C.D.3.设z=x-y, 式中变量x 和y 满足条件， 则z 的最小值为 （ ）A.1B.-1C.3D.-34.等差数列{a n }中，“a 1＜a 3”是“a n ＜a n+1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.如图所示，由函数f （x ）=sinx 与函数g （x ）=cosx 在区间 [0，]上的图象所围成的封闭图形的面积为（ ）A.3﹣1 B.4﹣2 C.D.26.若函数f （x ）= ， 并且＜a ＜b ＜ ， 则下列各结论中正确的是（ ） A.f （a ）＜f （）＜f （）B.f （）＜f （）＜f （b ）C.f （）＜f （）＜f （a ） D.f （b ）＜f （）＜f （）7.设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，则a 37+b 37等于（ ） A.0 B.37 C.100 D.﹣378.若函数f(x)的导数为f'(x)=-sinx ，则函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为 A.90° B.0° C.锐角 D.钝角9.若正实数,x y 满足()()2242log 3log log 2x y x y +=+，则3x y +的最小值是（ ）A. 12B. 6C. 16D. 810.在ABC ∆中，060A =，43a =，42b =，则（ ） A ．045B =或0135 B ．0135B = C ．045B = D ．以上答案都不对11.已知数列{a n }满足a 1=a 2= ，a n+1=2a n +a n ﹣1（n ∈N * ， n≥2），则的整数部分是（ ）A.0B.1C.2D.312.有5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ） A. B. C. D.第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

) 13. 观察下列各式：……照此规律，当nN 时，.14.设实数 x y ，满足70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最小值为 . 15.若等比数列{n }满足：， ，则的值是___ ___16.已知曲线xy xe =在0x x =处的切线经过点()1,2，则()2001x x x e--=______．三、解答题(本大题共6个小题，共70分。

)17. (10分)已知函数f （x ）=x （x+a ）﹣lnx ，其中a 为常数． （1）当a=﹣1时，求f （x ）的极值； （2）若f （x ）是区间 内的单调函数，求实数a 的取值范围．18. (12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知（a ﹣3b ）cosC=c （3cosB ﹣cosA ）． （1）求 的值；（2）若c= a ，求角C 的大小．19. (12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=24，a 6=18． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅲ）当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．20. (12分)在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=120°，∠BAC=60°，AC=2，记∠ABC=θ．（Ⅰ）求用含θ的代数式表示DC；（Ⅱ）求△BCD面积S的最小值．21. (12分)解答下面两个问题：（Ⅰ）已知复数，其共轭复数为，求；（Ⅱ）复数z1=2a+1+（1+a2）i，z2=1﹣a+（3﹣a）i，a∈R，若是实数，求a的值．22. (12分)某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动，经市场调查和测算，该纪念品的年销售量（单位：万件）与年促销费用（单位：万元）之间满足于成反比例.若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件.已知加工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，没生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等.（利润=收入－生产成本－促销费用）（Ⅰ）请把该工厂2017年的年利润（单位：万元）表示成促销费（单位：万元）的函数；（Ⅱ）试问：当2017年的促销费投入多少万元时，该工程的年利润最大？参考答案1.D 【解析】由题；1i i -，则；(1)11111,(,)(1)(1)22222i i i i i i +-+==---+-,则对应的点在第四象限。

2.C【解析】由指数函数、对数函数的性质以及不等式的性质知， 若 ， 则；；；， 故选C.3.A【解析】根据题意，变量x 和y 满足条件 ， 则可知不等式表示为无界区域，那么目标函数z=x-y,过直线的交点（2，1）时，取得最小值，故答案为A. 4.C【解析】等差数列中，由， 可知公差 ， 所以 ， 即.反过来，由， 可知公差， 所以， 即.等差数列{a n }中，“a 1＜a 3”是“a n ＜a n+1”的充分必要条件.选C. 5.D【解析】由y=sinx （x ∈[0，]）和y=cosx （x ∈[0，]），可得交点坐标为（ ， ），（ ，），∴由两曲线y=sinx （x ∈[0，]）和y=cosx （x ∈ [0，]）所围成的封闭图形的面积为S=（cosx ﹣sinx ）dx+（sinx ﹣cosx ）dx+（cosx ﹣sinx ）dx=（sinx+cosx ）|﹣（sinx+cosx ）|+（sinx+cosx ）|=2 ．故选：D ．求出图象的交点坐标，根据定积分的几何意义，所求面积为S=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx+（cosx﹣sinx）dx，再用定积分计算公式加以6.D【解析】∵f（x）=，∴f′（x）=，当x∈（，]时，可判断xcosx﹣sinx是减函数，故xcosx﹣sinx＜•﹣＜0，当x∈（，）时，xcosx﹣sinx＜0；故f（x）=在（，）上是减函数，而由＜a＜b＜知a＜＜＜b，故f（a）＞f（）＞f（），f（b）＜f（）＜f（）；故选D．由导数可判断f（x）=在（，）上是减函数，再由基本不等式可判断出＜，从而由函数的单调性比较函数值的大小即可。

7.C【解析】∵数列{a n}、{b n}都是等差数列，∴数列{a n+b n}也是等差数列，∵a1+b1=25+75=100，a2+b2=100，∴数列{a n+b n}的公差为0，数列为常数列，∴a37+b37=100故选：C．8.C【解析】因为 ， 所以在点的切线斜率为 ， 所以倾斜角为锐角.故选C.在点P 处的切线斜率就是函数在该点的导数值。

9.D【解析】由()()2242log 3log log 2x y x y +=+化简得311332,122x y x y xy xy y x ⎛⎫++==+= ⎪⎝⎭， ()()113133133101068222x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10.C【解析】10.由正弦定理得B bA a sin sin =，得22342324s i n si n =⋅==aA bB ，结合ba >得045B =，故选C ． 11.B【解析】∵a n+1=2a n +a n ﹣1 ， ∴2a n =a n+1﹣a n ﹣1 ， 即 ，（n ∈N * ， n≥2）， 又a 1=a 2= ， ∴ （i ∈N * ， i≥2），∴ ===＜2．∵a 1=a 2= ，且a n+1=2a n +a n ﹣1 ， ∴a 2016＞1，a 2017＞1，则 ，∴1＜ ＜2． ∴ 的整数部分是1．故选：B ．12.B【解析】因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以第一次抽到理科题的前提下，第2次抽到理科题的概率为P= = ．故选：B．13.【解析】因为第一个等式右端为：；第二个等式右端为：；第三个等式右端为：·由归纳推理得：第n个等式为：所以答案应填：14.8【解析】作出不等式组70310350x yx yx y+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩表示的平面区域如图：根据图形得：当直线2z x y=-经过点B时z取得最大值，由70310x yx y+-=⎧⎨-+=⎩解得：()5 2B，，∴max5228z=⨯-=.15.4【解析】设数列的公比为，则，①，，②①②得，，故答案为.16.2-【解析】由xy xe =，得()'=1xy x e +，根据题意得()00000211x x x e x e x -+=-，∴()020012x x x ex e -=-，∴()20012x x x e--=-.答案： 2-17.（1）解：当a=﹣1时，所以f （x ）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增 于是f （x ）有极小值f （1）=0，无极大值 （2）解：易知 在区间 内单调递增， 所以由题意可得 在内无解即或f′（1）≤0解得实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，得到或f′（1）≤0，解出即可．18.（1）解：∵（a ﹣3b ）cosC=c （3cosB ﹣cosA ）， ∴sinAcosC ﹣3sinBcosC=3cosBsinC ﹣cosAsinC ， 即sinAcosC+cosAsinC=3cosBsinC+3sinBcosC ， ∴sin （A+C ）=3sin （B+C ），即sinB=3sinA ， ∴=3．（2）解：∵ =3，∴b=3a ． ∴cosC= == ．∴C= ．【解析】（1）利用正弦定理将边化角整理化简条件式子，得出sinA 和sinB 的关系；（2）用a 表示b ，c ，使用余弦定理求出cosC ．19.（Ⅰ）302n a n =-；（Ⅱ）229n S n n =-+；（Ⅲ）1415n =或时，n S 的最大值为 214=142914210S -+⨯=.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ，利用等差数列的性质即可解得2d =-，再根据等差数列的性质代入通项公式即可求得其通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，128a =，2d =-，代入等差数列的前n 项和公式即可求得结果； （Ⅲ）将等差数列的前n 项和进行配方，得到其图像的对称轴，从而得到当1415n =或时，n S 的最大值为214=142914210S -+⨯=.（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ，因为a 3=24，a 6=18，所以d==﹣2，所以()33302n a a n d n =+-=- .（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a 1=28，所以()()12283022922n n n a a n n S n n ++-===-+ （Ⅲ）因为，所以对称轴是292n =， 则1415n =或时，n S 最大，所以n S 的最大值为214=142914210S -+⨯=20.解：（Ⅰ）在△ADC 中，∠ADC=360°﹣90°﹣120°﹣θ=150°﹣θ，由正弦定理可得 = ，即 = ， 于是：DC= ．（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得 = ，即BC= ，由（Ⅰ）知：DC=，∴S= = = =．故θ=75°时，S取得最小值6﹣3【解析】（I）在△ADC中，使用正弦定理解出DC；（II）在△ABC中，使用正弦定理解出BC，代入三角形的面积公式计算．21.解：（Ⅰ）∵，∴．∴．，∴= ；（Ⅱ）∵是实数，∴a2+a﹣2=0，解得a=1，或a=﹣2，故a=1，或a=﹣2．【解析】（Ⅰ）由复数，求出和，代入计算得答案；（Ⅱ）把z1，代入化简，再结合已知条件即可求出a的值．22.解：（Ⅰ）设反比例系数为（）.由题意有.又时，，所以，，则与的关系是（），依据题意，可知工厂生产万件纪念品的生产成本为万元，促销费用为万元，则每件纪念品的定价为元/件，于是，进一步化简，得（）.因此工厂2017年的利润为（）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（），当且仅当，即时取等号，所以当2017年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元.【解析】(1)根据反比例函数的定义结合同意代入数值求出k的值，进而通过x表示出年利润y的代数式，对其化简整理即可得到函数式。