计算机应用数学-(组合数学)-答案哈工大
组合数学(哈工大 第六章)
任世军 (哈尔滨工业大学)
组合数学 特殊计数
December 29, 2014
6 / 46
Catalan 数
Definition
Catalan 数列即 C0 , C1 , C2 , · · · , Cn , · · ·, 其中 ( ) 1 2n Cn = n = 0, 1, 2, · · · , n+1 n 前几个 Catalan 数为 C0 = 1 C4 = 14 C8 = 1430 C1 = 1 C5 = 42 C9 = 4862 C2 = 2 C6 = 132 C3 = 5 C7 = 429
这样的数列个数 于第 n + 1 个 Catalan 数 ( ) 1 2n Cn = (n ≥ 0) n+1 n
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任世军 (哈尔滨工业大学)
组合数学 特殊计数
December 29, 2014
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任世军 (哈尔滨工业大学)
组合数学 特殊计数
December 29, 2014
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Fibonacci 数的若干性质
哈工大深圳研究生院组合数学部分作业题答案习题课6,8
Homework 613．Let A={A1,A2,A3,A4,A5,A6} whereA1={1,2} A2={2,3} A3={3,4} A4={4,5} A5={5,6} A6={6,1}Determine the number of different SDR’s that A has. Generalize to n sets.Solution: When we choose 1 in A 1, if we choose 3 in A 2, we can choose 4 only in A 3, we can choose 5 only in A 4, and we can choose 6 only in A 5, however, we can choose 1 only in A 6，it will contract with 1 in A 1Hence, we can choose only 2 in A .2 if we choose 1 in A 1,3 in A 3,4 in A 4,5 in A 5,6 in A When we choose 2 in A 6.1, we can only choose 3 in A 3, 4 in A 4, 5 in A 5, 1 in A 1That is SDR . Hence, there are only two SDRs in A . 1={1,2,3,4,5,6}and SDR 2Similarity, we can generalize to n sets. There are only two SDRs in n-sets the same.={2,3,4,5,6,1}That is SDR 1={1,2,…,n} and SDR 2={2,3,4,…,n,1}23. Use the deferred acceptance algorithm to obtain both the women-optimal and men-optimal stable complete marriage for the preferential ranking matrix.Conclude that for the given preferential ranking matrix there is onlyone stable complete marriage.a b c dAA BB CC DD�1,32,3 1,44,13,24,33,32,2 2,21,4 4,12,23,44,13,11,4�Solution：(1) women-optimalThe results of the algorithm are as follows:1)A choose a, B choose a, C choose b, D choose d; a rejects B2)B choose d; d rejects D.3)D choose b; b rejects C.4)C choose a; a rejects A.5)A choose c.In 5), there are no rejections, and(2) men-optimalThe results of the algorithm are as follows:1)a choose D, b choose B, c choose D, d choose C; D rejects a.2)a choose C, C rejects d.3)d choose B, B rejects b.4)b choose D, D reject c.5)c choose A.In 5), there are no rejections, anda C,b D,c A,d B.Conclude that, for given preferential ranking matrix, there is only one stable complete marriage.3. Consider an m-by-n chessboard where at least one of m and n is even. The board has an equal number of white and black squares. Show that if m and n are at least 2 and if exactly one white and exactly one black square are forbidden, the resulting board has a perfect cover with dominoes.Solution:Let n be even, there are even numbers of columns. From top row, if the top row has no squares forbidden, then that row can be covered by dominoes. So we can remove this row. Repeat this till the new top row has a forbidden square. Do the same thing from the bottom row. So we can assume that forbidden squares are on the top and bottom rows.Let’s consider the first two columns from the left. If there is nofirst two columns, they can be covered by forbidden square in thedominoes and we can remove them. Repeat this till there is a forbidden square in the first two columns. Do the same from the right side so we ca n also assume the forbidden squares lie in the first two columns and the last two columns. After the above have been done, we can assume that chessflip board is of one of the following three situations (with rotation or ofover the chess board if needed). In each of the case, there are even numbers of columns.(A) (B) (C)So the two forbidden squares have one black and the other white, there are even numbers of columns. We draw the figures, in the cases (A) and (B), there has to be odd number of rows while in the case (C), there are even number of rows. Then we divide the board into pieces as shown in the following such each piece is rectangular with at least one side being even, thus can be covered by dominoes respectively.So the entire board has a perfect cover by dominoes.(A) (B) (C)4. Determine the max-matching and the min-cover of the right graph by applying the matching algorithm. We choose the red edges and obtain a matching M1.Find a minimum edge cover for the right graph.Answer:Now we get the matching )},(),,{(44121y x y x M = and U 131,x x = {}. (i) The vertices 31,x x are labeled (*).x 1y 1x x y 2 y 3 y 4y 5(ii) Scan the vertices in U 154321,,,,y y y y y in turn, and label with (1x ), since all vertices incident to 3x .already have a label, no vertex of Y get label (3x ).(iii) Scan the vertices 5431,,,y y y y labeled in (ii), and label 2x with (1y ), label 4x with (4y ).(*)x 1y 1(1x )x(*)x 3x y 2 y 3(1x ) y 4(1x )y 5(1x )(*)x 1 y1x (*)x 3x y 2 y 3 y 4y 5(iv) We scan the vertices 2x and 4x labeled in (iii), and label 2y with (2x ).(v) Scan the vertices 2y labeled in (iv), and find that no new labels are possible.We have achieved breakthrough. We find the 1M -augmenting path11221x y x y r = using the labels as a guide. Then )},(),,(),,{(4411222y x y x y x M =(*)x 1y 1(1x )(1y )x 2(*)x 3(4y )x y 2(2x ) y 3(1x ) y 4(1x )y 5(1x )(*)x 1 y 1(1x )(1y )x 2(*)x 3(4y )x y 2 y 3(1x ) y 4(1x )y 5(1x )and }{32x U =.(vi) The vertices 3x are labeled (*).(vii) Scan the vertices in U 25y in turn, and label with (3x )x 1y 1x 2(*)x 3x 4y 2 y 3 y 4y 5x 1y 1x 2x 3x 4y 2 y 3 y 4y 5(Viii) Scan the vertex 5y labeled in (vii), and find that no new labels are possible.We have achieved breakthrough. We find the 2M -augmenting path352x y r = using the labels as a guide. Then)},(),,(),,(),,{(441122533y x y x y x y x M =is a matching of four edges.Now we can get thatx 1 y 1x 2x 3x 4y 2 y 3 y 4y 5x 1 y 1x 2(*)x 3x 4y 2 y 3 y 4y 5(3x )the max-matching )},(),,(),,(),,{(44112253y x y x y x y x M = and the min-cover= {54321,,,,y y y y y }.2) Find a minimum edge cover for the right graph.Follow the steps above; we can get a max-matching)},(),,(),,(),,{(44112253y x y x y x y x M =.And we can find that there are also some vertices uncovered by the max-matching. Obviously, the vertex 3y Now we can construct a subgraph composed of edges incident to the vertex is uncovered.3y , we find the max-matching of the subgraph, and add it to the max-matching of M, then we can get a minimum edge cover.Fig The subgraphThe max-matching of the subgraph is {(x 1,y 3)}. Now we can get a minimum edgecover={(x 1,y 3)}∪M ={(x 1,y 3)(x 3,y 5)(x 2,y 2)(x 1,y 1)(x 4,y 4)}x 1y 1x 2x 3x 4y 2 y 3y 4y 5x1y1x2 x3 x4y2 y3 y4y5Fig The minimum edge cover第八次作业16. Apply the algorithm for the GCD in Section 10.1 to 15 and 46, and then use the results to determine the multiplicative inverse of 15 in Z46Answer:.The result for Computing the GCD of 15 and 46 are displayed in the following:Now ,we write as a linear combination of 15 and 46：1=46-3*15From the above, 1 is the GCD of 15 and 46.Thus, we can get the multiplicative inverse of 15 in Z4615:-121. Determine the complementary design of the BIBD with parameters bb=vv=77,kk=rr=33,λλ=11in Section 10.2= – 3 = 43.•b: the number of blocks;•v: the number of varieties;•k: the number of varieties in each block;• r : the number of blocks containing each variety• λλ: the number of blocks containing each pair of varieties. Answer:Apply ()11−−=k v r λ to this case, now we have b =v =7,k =r =3,λ=1.Hence, we can get ()()311717111≠=−−×=−−=k v r λ. Thus, we can design such a complementary.We can get the complementary design of the BIBD withparametersb’ = b = 7, v’ = v = 7, k’ = v-k = 4, r’ = b-r = 4 ,213272'=+×−=+−=λλr b .28. Show that BB={00,11,33,99}is a difference set in Z13 Answer:, and use thisdifference set as a starter block to construct an SBIBD. Identify the parameters of the block design.We compute the subtraction table and obtain:We can find that non-zero integers in Z13}{9,3,1,0=B occur exactly once as adifference, hence is a difference set in Z1332. Use Theorem 10.3.2 to construct a Steiner triple system of index 1 having 21 varieties..•Hints:• 1. construct two Steiner triple systems B1 and B2• 2. construct B based on B with 3 and 7varieties, respectively.1and B2. Answer:1）Construct two Steiner triple systems B1 and B2 with 3 and 7 varieties, respectively.Let X={a0,a1,a2}and Y={b0,b1,b2,b3,b4,b5,b6}be two sets of varieties.Let B1={a0,a1,a2}and B2=�{b0,b1,b3},{b1,b2,b4}, {b2,b3,b5},{b3,b4,b6},{b4,b5,b0},{b5,b6,b1},{b6,b0,b2}�be the Steiner triple systems of X and Y, respectively.2）Construct B based on B1 and B2.We define a set B of triples of the elements of X. Let {c ir, c js, c kt} be a set of 3 elements of X. then {c ir, c js, c kt} is a triple of B iff one of the following holds:i) r = s = tIf r=s=t=1, we can get {0,3,9}, {3,6,12}, {6,9,15}, {9,12,18}, {12,15,0},{15,18,3}, {18,0,6};If r=s=t=2, we can get {1,4,10}, {4,7,13}, {7,10,16}, {10,13,19},{13,16,1}, {16,19,4}, {20,1,7};If r=s=t=3, we can get {2,5,11}, {5,8,14}, {8,11,17}, {11,14,20},{14,17,2}, {17,20,5}, {20,2,8};ii) i = j = k, We can get {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8},{9, 10, 11}, {12, 13,14}, {15, 16, 17}, {18, 19, 20};(iii) i, j and k are all different and {a i, a j, a k} is a triple of B1, and r, s and t are all different and {b r, b s, b t} is a triple of B2. Put another way, c ir, c js, and c kt are in 3 different rows and 3 different columns of the array, and the rows in which they lie correspond to a triple of B1 and the columns inwhich they lie correspond to a triple of B2 If {a .i, a j, a k If {a }={0, 1, 3}，we can get {0, 4, 11}, {0, 10, 5}, {3, 1, 11}, {3, 10, 2}, {9, 1, 5}, {9, 4, 2};i, a j, a k If {a }={1, 2, 4}, we can get {3, 7, 14}, {3, 13, 8}, {6, 4, 14}, {6, 13, 5}, {12, 4, 8}, {12, 7, 5};i, a j, a k If{a }={2, 3, 5}，we can get {6, 10, 17}, {6, 16, 11}, {9, 7, 17}, {9, 16,8},{15,7,11},{15,10, 8};i, a j, a k If {a }={3,4,6}, we can get {9,13,20},{9,19,14},{12,10, 20},{12,19,11},{18,10,14},{18,13,11};i, a j, a k If {a }={4, 5, 0}，we can get {12,16,2}, {12, 1,17}, {15,13,2},{15,1,14}, {0,13,17}, {0,16,14};i, a j, a k If {a }={5,6, 1}，we can get {15, 19, 5},{15,4,20},{18, 16, 5},{18, 4, 17},{3,16,20},{3,19,17};i, a j, a k}={6,0, 2}，we can get {18, 1, 8}, {18, 7, 2}, {0, 19, 8}, {0, 7,20}, {6, 19, 2}, {6, 1, 20};52. Construct a completion of the 3-by-6 Latin rectangleAnswer:According to theorem 10.4.11(390页), this 3-by-6 Latin rectangle has a completion. Let X={x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5} representing the 6 elements, and Y= {y 0, y 1, y 2, y 3, y 4, y 5} representing the columns. An edge (x i, yj ) in denotes element i doesn’t appear in column j. Then we construct a regular of degree 3 Bipartite graph of X and Y ，G=(X, Δ, Y) as follows.y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5(1)Computing the perfect matching using the matching algorithm (312页) and the results are as follows. The red lines represent the maximum matching. （找出一个完美匹配即可，不必写出寻找的步骤，建议通过观察得出完美匹配最好，匹配算法太麻烦了）0 1 2 3 4 5 4 3 1 5 2 0 54312y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5So a new row is{x 2, x 0, x 4, x 1, x 5, x 3Similarly, we can draw the graph for the above matrix as follows.} could be added to the original matrix as follows.�01243134552054324012153� y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5(2)Computing the perfect matching and the results are as follows. The red lines represent the maximum matching.y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5Hence a new row is{x 1, x 5, x 0, x 2, x 3, x 4Similarly, we can draw the graph for the above matrix as follows.} and the new Latin rectangle is⎣⎢⎢⎢⎡012431345520543204150012153234⎦⎥⎥⎥⎤ y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5From the graph, we can easily know that all the lines construct a perfect matching. So we the final answer as follows⎣⎢⎢⎢⎢⎡012431543335520012204150325153234401⎦⎥⎥⎥⎥⎤58. Construct a completion of the semi-Latin squareAnswer ：思路：构造二分图，找完美匹配（匹配算法）。
应用组合数学(答案)
6. 对于图 A1.2a 的 Venn 图, 用每个区域所代表的集合的集合表达式来对该区域赋标签 (例如, 两个集 合的交的区域将会被标签为 A ∩ B).
7. 画出下列各集合的 Venn 图. (a) A − B. (b) A ∪ B. (c) (A ∪ B) ∩ (A ∩ B). (d) A − (B − A).
A.1 集 合 论 331
集中每一个都有两台机器. 参见图 A1.1. 那么选出 4 台机器的理想组合的策略之一是从图 A1.1 中的每一 个范畴中选出一台机器 (2×2×2×2=16 种选择). 从图 A1.1 中选出 4 台机器还有其他两种办法 (参见本节 末尾的练习 4).
涉及前述集合操作以及相关规则的集合表达式的研究称为布尔代数(Boolean algebra). 布尔代数的 3 个最重要的规则是
下面的集合表达式.
(a) (A ∪ B) ∩ (A ∩ B). (c) (A ∪ C) ∩ (A ∪ B) ∩ (B ∪ C).
(b) A − (B ∪ A).
(d) (A ∪ B) ∩ [(C ∪ B) − (A ∩ B)].
16. 假设投掷两枚骰子. 至少在一枚骰子上出现 1 或 2 的结果有多少种？
(b) {6, 10}. (d) {2, 7, 9}. (f ) {3, 5, 6, 7, 9, 10}.
3. 假设在例 1 中, 我们只知道这样的一条信息：两台计算器有内存但不可充电. 现在说明我们能够推出 图 A1.1 中其他 3 个盒子里的机器数量.
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【3-1】 填空 1、与模拟信号相比，数字信号的特点是它的 离散 性。一个数字信号只有两种取值分
别表示为 0 和 1 。 2、布尔代数中有三种最基本运算： 与 、 或 和 非 ，在此基础上又派生出五种
基本运算，分别为与非、或非、异或、同或和与或非。 3、与运算的法则可概述为：有“0”出 0 ，全“1”出 1；类似地或运算的法则为
Y1 Y2 = ABD ABC CD
Y1 Y2 = AB C B D
Y1 Y2 = ABC D ABC BCD ACD
ABCD ABCD
ABCD ABCD
(8,9,10,13,14,15) BC BC D
d
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根保通据护过生高管产中线工资敷艺料设高试技中卷术资配0料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高高与中中带资资负料料荷试试下卷卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并中3试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
组合数学(哈工大 第七章)
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任世军 (哈尔滨工业大学)
组合数学 Polya 计数
December 31, 2014
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群与置换群
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. Sn 中所有偶置换 .
成一阶为(n!)/2 的 群称为
群， 记做An 。
Theorem
. Sn 中P 的循环格 。 . 成一个 .
可表示为(1)c1 (2)c2 · · · (n)cn ， Sn 中有 同格 的置换 体
Theorem
. S .n中 (1)c1 (2)c2 · · · (n)cn
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组合数学 Polya 计数
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群与置换群
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任世军 (哈尔滨工业大学)
组合数学 Polya 计数
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群与置换群
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Theorem
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. 任一n 阶群同 .
于一个n 个
的置换群。
Theorem
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. 任 . 一置换可表成若
组合数学课后习题答案
第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。
故符合要求的不同分组共有12)2()12(21111+-=-----=∑n k n k n k n 种。
计算机应用数学-(组合数学)-答案哈工大
1，证明，如果从集合{1，2，...，2n}中选择n+1整数，那么总存在两个整数，它们之间相差为1.2，用鸽巢原理证明，有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。
例如，34 478/99 900=0.345 125 125 125 125 12...3，一间屋内有10个人，他们当中没有人超过60岁（年龄只能以整数给出）但又至少不低于1岁。
证明，总能够找出两组人（两组不含相同人），各组人的年龄和是相同的。
题中的数10能换成更小的数吗？4，一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
如果我每分钟从袋子里了出1种水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？5，i）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离至多为1/2。
ii）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，存在2个点，其间距离至多为1/3。
iii）确定一个整数m小n，使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择的m小n个点，则存在2个点，其间距离至多为1/n.6，下列各数各有多少互异正因子？i）3的4次方X 5的2次方X 7的6次方X 11ii）620iii）10的10次方7，确定下列类型的一手牌（5张牌）的数目。
i）full houses （3张一样大小的牌及2张相同点数的另外大小的牌）。
ii）顺牌（5张点数相连的牌）。
iii）同花（5张一样花色的牌）。
iv）同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）。
v）恰好两个对（一对同样大小，另一对另外点数同样大小，再有一张另外大小的5张牌）。
vi）恰好一个对（一对同样大小，另外三张另外大小且互异点数的牌）。
8，从拥有10名男会员和12名女会员的一个俱乐部选出一个5人委员会。
如果至少要包含2位女士，能够有多少种方法形成这个委员会？此外，如果俱乐部还有一位特定的男士和一们特定的女士拒绝进入该委员会一起工作，形成委员会的方式又有多少？9，学校有100名学生和3个宿舍A，B和C，它们分别容纳25，35和40人。
组合数学(哈工大 第三章)
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| |A ∩ B ∩ C| = |S| − |A| − |B| − |C| + |A ∩ B| + |B ∩ C| + |A ∩ C| − |A ∩ B ∩ C| .
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任世军 (哈尔滨工业大学)
组合数学 容斥原理
December 8, 2014
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容斥原理的最简情形
. Theorem . | .A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| 若A 代表具有性质a 的元素集合， B 代表具有性质b 的元素集合， 等式左 端表示至少具有性质a、 b 之一的元素个数， |A| 表示具有性质a 的元素个 数， |B| 表示具有性质b 的元素个数， 但二者相加时， 同时具有性质a、 b的 元素计数重复加了一次， 故需要减去重复的数|A ∩ B|。
1 2 m m 上式总的项数应该为C0 m + Cm + Cm + · · · + Cm = 2 项
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任世军 (哈尔滨工业大学)
|A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Am | = ∑ ∑ ∑ |S| − |Ai | + |Ai ∩ Aj | − |Ai ∩ Aj ∩ Ak | + · · · + (−1)m |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Am |
哈尔滨工业大学组合数学_Chap6-1
A1 A2 A3
•Generally, the number of terms on the right side of the equality is
m m m mm
2
012m
7
Module #15-Combinatorics
•Example. IfS= {2{a}, 1{b}, 3{c}}, then the 3-combinations ofSare {2{a}, 1{b}}, {2.a, 1.c}, {1.a, 1.b, 1.c}, {1.a, 2.c}, {1.b,2.c}, {3.c}.
17
Module #15-Combinatorics
Let P1, P2,…, Pmbe m properties referring to the objects in S and let Ai={x: x in S and x has property Pi},
(i=1,2,…,m).
Then,Ai∩Ajis
thesubsetofobjects
whichhaveboth
8
Module #15-Combinatorics
Examples
Find the number of integers between 1 and 1000, inclusive, which are divisible by none of 5, 6, and 8.
1. Let P1be the property that an integer is divisible by 5, P2 the property that an integer is divisible by 6, and P3the property that an integer is divisible by 8. Let S be the set consisting of the first 1000 positive integers. For i=1, 2, 3 let Aibe the set consisting of those integers in S with property Pi. We wish to find the number of integers inA1 A2 A3
2020-2021大学《计算机应用数学》期末课程考试试卷B(含答案)
2020-2021《计算机应用数学》期末课程考试试卷B适用专业： 考试时间：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分) 1. 设行列式D=25，则D T = 。
2. 已知方阵A 的4A =，A 的伴随矩阵为*A ，则1-A = 。
3. 已知向量12(1,2,5),(2,4,8)T T αα==，则向量组12,αα线性 （填相关或无关）4. xoy 平面内的直线1y =绕x 轴旋转得到的旋转曲面方程为 。
5. 设,A B 均为n 阶方阵,则()=k k k AB A B 成立充要条件是 。
二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1. 设ab Acd ⎛⎫=⎪⎝⎭，且1ad bc -=，则1A -=( ) (A)db ca ⎛⎫⎪⎝⎭ (B)d c b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C)d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (D)d c b a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭2. n 元次线性方程组0Ax =（()R A r =）有非零解的充要条件是（ ） (A) r n = (B) r n < (C) r n ≤ (D) r n >3. 方程22y x =在空间直角坐标系中表示（ ）(A)抛物面 (B)抛物线 (C) 抛物柱面 (D) 旋转抛物面 4. 设A 是45⨯矩阵，()3R A =，则（ ）(A)A 中的4阶子式都不为0 (B)A 中存在不为0的4阶子式(C)A 中的3阶子式都不为0 (D) A 中存在不为0的3阶子式 5. 设,A B 均为n 阶矩阵，且A 可逆，则下列结论正确的是（ ） (A) 若,A B 的积不为零方阵即0AB ≠，则B 可逆 (B) 若,A B 的积为零方阵即0AB =，则0B =(C) 若,A B 的积不为零方阵即0AB ≠，则B 不可逆 (D) 若AB BA =，则B 为单位阵即B E =三、设100023045A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求1-A 及2A 。
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1，证明，如果从集合{1，2，...，2n}中选择n+1整数，那么总存在两个整数，它们之间相差为1.2，用鸽巢原理证明，有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。
例如，34 478/99 900=0.345 125 125 125 125 12...3，一间屋内有10个人，他们当中没有人超过60岁（年龄只能以整数给出）但又至少不低于1岁。
证明，总能够找出两组人（两组不含相同人），各组人的年龄和是相同的。
题中的数10能换成更小的数吗？4，一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
如果我每分钟从袋子里了出1种水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？5，i）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离至多为1/2。
ii）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，存在2个点，其间距离至多为1/3。
iii）确定一个整数m小n，使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择的m小n个点，则存在2个点，其间距离至多为1/n.6，下列各数各有多少互异正因子？i）3的4次方X 5的2次方X 7的6次方X 11ii）620iii）10的10次方7，确定下列类型的一手牌（5张牌）的数目。
i）full houses （3张一样大小的牌及2张相同点数的另外大小的牌）。
ii）顺牌（5张点数相连的牌）。
iii）同花（5张一样花色的牌）。
iv）同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）。
v）恰好两个对（一对同样大小，另一对另外点数同样大小，再有一张另外大小的5张牌）。
vi）恰好一个对（一对同样大小，另外三张另外大小且互异点数的牌）。
8，从拥有10名男会员和12名女会员的一个俱乐部选出一个5人委员会。
如果至少要包含2位女士，能够有多少种方法形成这个委员会？此外，如果俱乐部还有一位特定的男士和一们特定的女士拒绝进入该委员会一起工作，形成委员会的方式又有多少？9，学校有100名学生和3个宿舍A，B和C，它们分别容纳25，35和40人。
i）为学生安排宿舍有多少种方法？ii）设100个学生中有50名男生和50名女生，而宿舍A是全男生宿舍，宿舍B 是全女生宿舍，宿舍C男妇兼收。
有多少种方法可为学生安排宿舍？1，将1，…，2n这2n 个数分为如下n组，(1,2), (3,4), (5,6),…,(2n-1,2n)，由鸽巢原理，任选择n+1整数必有两数同在一组。
2，用n作除数去除m，在除法的演算过程中，余数必是0，1，2，…,n-1中的一个，而余数无穷多，因此由鸽巢原理在作除法时一定会出现相同的余数，后面的计算将会重复，于上所得的商也必然重复。
3，10个人，最多可形成2^10-1=1023个组,组的年龄总和介于1*10=10和10*60=600之间.600-10=590，1203>590,故必有两组年龄之和相等。
2^9-1=511，511不大于590，故题中的数10不能换成更小的数。
4，取11*4+1=45个水果，必然有一种水果不少于12个，否则取的水果总数不会超过11*4=44个，即需要45分钟即可拿出了1打相同种类的水果。
5，i）连结三角形的三条边上的中点，将该三角形分为4个小三角形，必有两点在同一个小三角形内，这个小三角形的边长为1/2，故这两点其间距离至多为1/2。
ii）将三角形一条边分为三等份，将分点互相连结起来得9个边长为1/3的小三角形，此时必有两点在同一个小三角形内，故这两点其间距离至多为1/3。
iii）确定一个整数m小n，使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择的m小n个点，则存在2个点，其间距离至多为1/n. ????6，i）3的4次方* 5的2次方* 7的6次方* 11有互异正因子个数为（4+1）*（2+1）*（6+1）*（1+1）=5*3*7*2=210ii）620 =31*2^2*5，故有互异正因子个数为(1+1)(2+1)(1+1)=12iii）10的10次方，故有互异正因子个数为(1+10)=117，确定下列类型的一手牌（5张牌）的数目。
i）full houses （3张一样大小的牌及2张相同点数的另外大小的牌）。
3张一样大小的牌有4*13种选法，2张相同点数的另外大小的牌有4*3*12种选法，故共有4*13*4*3*12=7488种选法。
ii）顺牌（5张点数相连的牌）。
1-5，2-6,…,9-13共9种情况，每种情况均有5^4种选取，共有9*5^4=5625。
iii）同花（5张一样花色的牌）。
每一种花色有C(13,5)种，故共有(13*12*11*10*9/1*2*3*4*5 )*4=1287*4=5148种。
iv）同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）。
每一种花色有9种，4种花色共有9*4=36种。
v）恰好两个对（一对同样大小，另一对另外点数同样大小，再有一张另外大小的5张牌）。
一对同样大小的有C(4,2)*13种选法, 另一对另外点数同样大小C(4,2)*12种选法, 再有一张另外大小的第5张牌有11*4种选法，共计有（4*3/2*1）*13*（4*3/2*1）*12*11*4vi）恰好一个对（一对同样大小，另外三张另外大小且互异点数的牌）。
一个对子的选法有C(4,2)*13种选法，另外三张牌的选法有C(12,3)*4，共计C(4,2)*13*C(12,3)*48，首先选2位女士有C(12,2)种选法，其他剩余的20人可选可不选共有20^2种选法，如果至少要包含2位女士共计有（12*11/2）*20^2, 如果俱乐部还有一位特定的男士和一们特定的女士拒绝进入该委员会一起工作，2位女士有C(11,2)种选法，其他剩余的9男9女可选可不选有9^2*9^2种选法，共计有（11*10/2）*9^2*9^2种选法。
9，学校有100名学生和3个宿舍A，B和C，它们分别容纳25，35和40人。
i）A 宿舍有方案C(100,25)，B宿舍有方案C(75,35)，C宿舍有方案C(40,40)，共计((100*99*…*76)/(1*2*3*…25))*((75*76*…*41)/(1*2*3*…*35))ii）50名男生和50名女生分别住进宿舍A，宿舍B共有2^50*2^50种方法，这也是全部方法。
鸽巢原理也叫抽屉原理，是Ramsey定理的特例。
也是编程爱好者必须掌握的研究离散问题中存在性问题的方法。
它的简单形式是：把ｎ＋１个物体放入n个盒子里，则至少有一个盒子里含有两个或两个以上的物体。
做题之前，先贴几个小问题：（1）月黑风高穿袜子有一个晚上你的房间的电灯忽然间坏了，伸手不见五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的袜子。
你有三双分别为红、白、蓝颜色的袜子，可是你平时做事随便，一脱袜就乱丢，在黑暗中不能知道哪一双是颜色相同的。
你想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成同颜色的一双。
这最少数目应该是多少？如果你懂得鸽笼原理，你就会知道只需拿出去四只袜子就行了。
为什么呢？因为如果我们有三个涂上红、白、蓝的盒子，里面各放进相对颜色的袜子，只要我们抽出4只袜子一定有一个盒子是空的，那么这空的盒子取出的袜子是可以拿来穿。
（2）手指纹和头发据说世界上没有两个人的手指纹是一样的，因此警方在处理犯罪问题时很重视手指纹，希望通过手指纹来破案或检定犯人。
可是你知道不知道：在12亿中国人当中，最少有两个人的头发是一样的多？道理是很简单，人的头发数目是不会超过12亿这么大的数目字！假定人最多有N根头发。
现在我们想像有编上号码1，2，3，4，…一直到N的房子。
谁有多少头发，谁就进入那编号和他的头发数相同的房子去。
因此张乐平先生的“三毛”应该进入“3号房子”。
现在假定每间房巳进入一个人，那么还剩下“九亿减N”个人，这数目不会等于零，我们现在随便挑一个放进一间和他头发数相同的房子，他就会在里面遇到和他有相同头发数目的同志了。
（3）戏院观众的生日在一间能容纳1500个座位的戏院里，证明如果戏院坐满人时，一定最少有五个观众是同月同日生。
现在假定一年有三百六十五天。
想像有一个很大的鸽子笼，这笼有编上“一月一日”，“一月二日”，至到“十二月三十一日”为止的标志的间隔。
假定现在每个间隔都塞进四个人，那么 4×365=1460个是进去鸽子笼子里去，还剩下1500-1460=40人。
只要任何一人进入鸽子笼，就有五个人是有相同的生日了。
解题的关键是：弄清题目中，谁是鸽子谁是巢题1：证明，如果从{1,2,3,....3n}中选择n+1个整数，那么总存在两个整数，他们之间的差最多为2。
解：分组化简。
将这3n个整数分组，{1,2,3}，{4,5,6}.....{3n-2,3n-1,3n} 共n组。
这样题目等价于：将n+1个整数放在n个盒子里。
则根据原理，至少存在一个盒子里有两个数，这两个数之差最多为2。
题2：证明，对于任意给定的52个整数，存在其中的两个整数，要么两者的和能被100整除。
要么两者的差能被100整除。
解：还是分组化简！将数这样进行分组：将所有整数的后两位尾数分组。
{+0,-0,+100,-100,+200,-200....}，{+1,-1,+99,-99,+101,-101,+199,-199,+201,-201......}，......，{+49,-49,+51,-51,+149,-149,+151,......}{+50,-50,+150,-150,+250,-250.. ....} 这样。
将所有的能被100整数的数分为51组（鸽子）。
而从中取52个，（巢）。
必有两个在同一组。
得证。
题3：一个学生有37天来准备考试，她知道她需要不超过60小时的学习时间，她还希望每天至少学习1小时。
证明，无论如何安排学习时间（每天都是整数小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。
证明：令a1为她第一天学习的小时数，a2为第二天的学习时数。
这样。
存在这样一个递增数列a1,a2,a3,......a37。
满足：1<=a1<a2<a3......a37<=60。
同时，将这个数列每个数都加上13。
则存在数列：14<=a1+13<a2+13<a3+13......a37+13<=73。
而这两个数列共有37+37=74个成员。
这样。
鸽子和巢终于出现^_^ 必然存在一个ai,和一个aj.使得ai=aj+13.就是说这两个数列中必然有两个差为13的数。
得证。
题4：一个袋子装了100个苹果，100个香蕉，100个橘子，100个梨子。
如果我们每分钟从袋子里取出1种水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已经拿出1打相同种类的水果。
解：根据鸽巢原理加强形式：如果q1,q2,,,,,qn为正整数，将q1+q2+.....qn-n+1个物体放入n个盒子里。