四川省绵阳市北川职高高二数学文下学期期末试题含解析
[首发]四川省绵阳市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(文)试题
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绵阳市高中2017级第二学期末教学质量测试 数学（文科）一、选择题1.命题“00x ∃<，0112x ⎛⎫< ⎪⎝⎭”的否定是（ ）A.00x ∃≥，0112x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭ B.0x ∀≥，112x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭ C.0x ∀<，112x ⎛⎫> ⎪⎝⎭ D.0x ∀<，112x⎛⎫⎪⎭≥⎝2.设集合(),2A =-∞，{}3log 1B x x =<，则A B ⋂=（ ） A.(),2-∞B.(),3-∞C.()0,2D.()0,33.若复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数，则a =（ ） A.0B.1C.1-D.1±4.已知命题:p 对1x ∀，()212x R x x ∈≠，()()12120f x f x x x ->-成立，则()f x 在()0,+∞上为增函数；命题0:x R q ∃∈，20210x x -+<，则下列命题为真命题的是（ ） A.p q ∧ B.p q ∨C.()p q ⌝∨D.()()p q ⌝∧⌝5.“不等式101x x +≤-成立”是“不等式()()110x x -+≤成立”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若函数()()21,0,2,0,x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则()2log 7f =（ ）A.6B.34C.716-D.916-7.某程序的框图如图所示，若执行该程序，输出的S 值为（ ） A.45B.36C.25D.168.春节过后，甲、乙、丙三人谈论到有关3部电影A ，B ，C 的情况.甲说：我没有看过电影B ，但是有1部电影我们三个都看过； 乙说：三部电影中有1部电影我们三人中只有一人看过； 丙说：我和甲看的电影有1部相同，有1部不同.假如他们都说的是真话，则由此可判断三部电影中乙看过的部数是（ ） A.1部B.2部C.3部D.1部或2部9.函数()ln f x x x =的图象是（ ）10.设524a=，131log 10b =，(3log c =，则（ ） A.a c b <<B.a b c <<C.b a c <<D.b c a <<11.定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()110f x f x ++-=，且当()1,0x ∈-时，()()21log 2f x x =+-，则172f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A.1B.12C.12-D.1-12.若函数()313ln xa f x x a=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围是（ ）A.()2e 0,11,e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭B.()0,1C.2e e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.2e 1,e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13.设i 是虚数单位，则1i2i-=+______. 14.曲线1ln y x=在e x =处的切线方程为______. 15.已知定义在R 上的函数()()30,1xxf x a aa a -=-+>≠，若()5f m =，则()f m -=______.16.已知函数()212log f x x x =-，那么满足()()11f a f +>-的a 的取值范围是______.三、解答题17.已知实数0a >且1a ≠，命题:p 函数xy a =在R 上单调递增，命题:q x R ∃∈，使2230ax x ++<，若p q ∨为真，p q ∧为假，求a 的取值范围.18.已知三次函数()32f x x ax bx c =+++在13x =-和1x =处取得极值，且()f x 在()()1,1f --处的切线方程为4y kx =+.（1）若函数()()g x f x mx =-的图象上有两条与x 轴平行的切线，求实数m 的取值范围；（2）若函数()228h x x x n =++与()f x 在[]2,1-上有两个交点，求实数n 的取值范围.19.已知函数()2e xf x x =-.（1）证明：0x ≥时，()f x 单调递增；（2）若存在实数1x ，2x ，使得2112ln 2e 2e 2x x x f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求21x x -的最小值.20.在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为1,2,2x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a 为常数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4sin ρθθρ+=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，若24AB =，求a 的值.21.设函数()22f x x x m =++-.（1）当1m =时，解不等式()3f x x ≤+； （2）若存在实数x ，使得不等式()3f x m x ≤+-成立，求实数m 的取值范围.绵阳市高中2017级第二学年末教学质量测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.A9.D10.A11.B12.D二、填空题 13.13i 55- 14.e 2e 0x y +-= 15.116.()(),20,-∞-⋃+∞ 三、解答题17.解：（1）由题知，命题p 为真时，1a >. 命题q 为真时，得0,0,a >⎧⎨∆>⎩即0,4120,a a >⎧⎨->⎩解得103a <<， q ∴为真时，103a <<.因为p q ∨为真，p q ∧为假， 所以命题p 和命题q 有且只有一个为真. 若p 真q 假，则1a >且13a ≥，得1a >； 若p 假q 真，则01a <<且13a <，得103a <<. 综上，实数a 的取值范围是103a a ⎧<<⎨⎩，或}1a >. 18.（1）()232f x x ax b '=++，由题得103f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，且()10f '=，即120,33320,ab a b ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩解得1a =-，1b =-. 于是()14f '-=，即4k =， 故切线方程为44y x =+.因为切点在切线上，所以()()14140f -=⨯-+=， 将()1,0-代入()f x ，解得1c =，()321f x x x x ∴=--+. ()321g x x x x mx ∴=--+-.由题得()23210g x x x m '=---=有两个不相等的实根，()()224310m ∴∆=--⨯⨯-->，解得43m >-. （2）由题得()()h x f x =在[]2,1-上有两个不同的解， 即32391n x x x =--+在[]2,1-上有两个不同的解.令()32391F x x x x =--+，[]2,1x ∈-，则()2369F x x x '=--，由()0F x '>得1x <-或3x >， 由()0F x '<得13x -<<，因为[]2,1x ∈-，所以()F x 在()2,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减，()()max 16F x F ∴=-=. ()21F -=-，()110F =-， ()min 10h x ∴=-，由图象知16n -≤<. 19.解：（1）()e 2x f x x '=-，()e 2x f x ''∴=-⎡⎤⎣⎦，由e 20x->，解得ln 2x >， 由e 20x-<，解得0ln 2x ≤<，()f x '∴在[)0,ln 2单调递减，在()ln 2,+∞单调递增， ()()ln 222ln 20f x f ''∴≥=->， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增. （2）设2112ln 2e 2e 2x x x f m ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则122e ln2e x m π==， 1x R ∈，则12e0x e>，即0m >，故1ln 2e x m =，2ln 2xm =， 12e ln x m ∴=，22e m x =，即212e 2e ln m x x m -=-，()0m >.令()()2e 2eln 0xh x x x =->，则()e22xh x e x'=-， 因为2x e 和2ey x=-在()0,+∞上单调递增， 所以()h x '在()0,+∞上单调递增，且()10h '=，∴当1x >时，()0h x '>，当01x <<时，()0h x '<，()h x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴当1x =时，()h x 取最小值，此时()12e h =，即21x x -最小值是2e .20.解：（1）直线l的参数方程为1,2,2x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a 为常数），消去参数t 得l0y a +-=.由2sin 4sin ρθθρ+=，得222sin 4sin ρθρθρ+= 即2224y y x y +=+，整理得24x y =. 故曲线C 的直角坐标方程为24x y =.（2）将直线l的参数方程代入曲线中得2160t a +-=， 于是由()6430a ∆=+>， 解得3a >-，且12t t +=-1216t t a =-，1224AB t t ∴=-===，解得6a =.21.解：（1）()2213f x x x x =++-≤+， 于是当1x ≥时，原不等式等价于33x x ≤+， 解得312x ≤≤； 当21x -<<时，原不等式等价于43x x -+≤+， 解得112x ≤≤； 当2x ≤-时，原不等式等价于33x x -≤+，无解； 综上，原不等式的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由题意，存在实数x ，使得不等式23x x m ++-≤成立， 则只需()min23x x m++-≤，又222x x m x x m m ++-≥+-+=+，当()()20x x m +-≤时取等号. 所以23m +≤， 解得51m -≤≤.。
2020年绵阳市数学高二(下)期末综合测试试题含解析
2020年绵阳市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设命题p ：0x R ∃∈，021x ≤，则p ⌝为（ ）A ．0x R ∃∈，021x >B ．0x R ∃∈，021x ≥C ．x R ∀∈，21x ≤D ．x R ∀∈，21x > 【答案】D【解析】分析：直接利用特称命题的否定解答.详解：由特称命题的否定得p ⌝为：x R ∀∈，21x >，故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 特称命题:p ,()x M p x ∃∈,特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝.2．i 是虚数单位，则12i i -的虚部是（ ） A ．-2B ．-1C ．i -D ．2i -【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】 由题意得221222i i i i i i--==--， 所以复数12i i-的虚部是1-． 故选B ．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．3．已知m n kx y （k 是实常数）是二项式()52x y -的展开式中的一项，其中1m n =+，那么k 的值为 A ．40B ．40-C ．20D ．20- 【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，求出m ，n 的值，即可求出k 的值．【详解】展开式的通项公式为T t+1＝5t C x 5﹣t （2y ）t ＝2t 5tC x 5﹣t y t ， ∵kx m y n （k 是实常数）是二项式（x ﹣2y ）5的展开式中的一项，∴m+n ＝5，又m ＝n+1，∴得m ＝3，n ＝2，则t ＝n ＝2，则k ＝2t 5t C =2225C =4×10＝40，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出m ，n 的值是解决本题的关键．4．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF+的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．【答案】A【解析】【分析】作PN 垂直准线于点N ，根据抛物线的定义，得到+=+PM PF PM PN ，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小，进而可得出结果.【详解】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ，显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小；因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.5．若曲线2y x mx n =++在点（0，n ）处的切线方程x-y+1=0，则（ ）A ．m 1=，n 1=B ．1m =-，n 1=C ．m 1=，n 1=-D ．m 1=-，n 1=-【答案】A【解析】【分析】根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率，再根据导数的几何意义列方程求解即可．【详解】 Q 曲线在点()0,n 处的切线方程是10x y -+=，010n ∴-+=，则1n =，即切点坐标为()0,1，切线斜率1k =，曲线方程为()21y f x x mx ==++， 则函数的导数()'2f x x m =+即()'001k f m ==+=，即1m =，则1m =，1n =，故选A ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题．应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.6．已知复数z 满足方程2iz ai =+，复数z 的实部与虚部和为1，则实数a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】分析：由复数的运算，化简得到z ，由实部与虚部的和为1，可求得a 的值．详解：因为2iz ai =+ 所以2222221ai i ai a i z a i i i ++-+====-- 因为复数z 的实部与虚部和为1即()21a +-=所以3a =所以选D点睛：本题考查了复数的基本运算和概念，考查了计算能力，是基础题．7．直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ）A ．74B ．94C ．4D ．2【答案】B【解析】直线4kx ﹣4y ﹣k=0可化为k （4x ﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（14，0） ∵抛物线y 2=x 的焦点坐标为（14，0），准线方程为x=﹣74， ∴直线AB 为过焦点的直线∴AB 的中点到准线的距离222FA FB AB +== ∴弦AB 的中点到直线x+12 =0的距离等于2+14=94. 故选B ．点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．8．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，那么表中m的值为（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．3【答案】D【解析】【分析】【详解】因为线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，过样本点的中心(,),x y3456 2.54 4.5114.5,444m mx y+++++++====，110.7 4.50.35,4m+=⨯+3m=，故选D. 9．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A．14B．15C．16D．17【答案】C【解析】试题分析：由三角形面积为12，31222|33xdx x==，所以阴影部分面积为211326-=，所求概率为11616P==考点：定积分及几何概型概率10．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a(13)i，i＝1，2，3，则a的值为( )A．1 B．913C．1113D．2713【答案】D【解析】【分析】根据分布列中所有概率和为1求a的值.【详解】因为P(X ＝i)＝a(13)i ，i ＝1，2，3，所以11127()1392713a a ++=∴=，选D. 【点睛】 本题考查分布列的性质，考查基本求解能力.11．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（）A ．－233B ．10C ．20D ．233【答案】A【解析】【分析】 对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案．【详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4，令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5；又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣1．故选A ．【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．12．若动点(),P x y 与两定点(),0M a -，(),0N a 的连线的斜率之积为常数()0k ka ≠，则点P 的轨迹一定不可能．．．是 （ ） A ．除,M N 两点外的圆B ．除,M N 两点外的椭圆C ．除,M N 两点外的双曲线D ．除,M N 两点外的抛物线【答案】D【解析】【分析】根据题意可分别表示出动点P 与两定点的连线的斜率,根据其之积为常数，求得x 和y 的关系式，对k 的范围进行分类讨论，分别讨论0,0k k ><且1k ≠-和1k =-时，可推断出点P 的轨迹.【详解】因为动点(),P x y 与两定点(),0M a -，(),0N a 的连线的斜率之积为常数k ，所以y y k x a x a⋅=+-，整理得222y kx ka -=-， 当0k >时，方程的轨迹为双曲线；当k 0<时，且1k ≠-方程的轨迹为椭圆；当1k =-时，点F 的轨迹为圆，∴抛物线的标准方程中，x 或y 的指数必有一个是1 ,故P 点的轨迹一定不可能是抛物线，故选D .【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =.本题就是利用方法①求动点P 的轨迹方程的. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．函数()ln f x x x =-的单调递增区间是 ．【答案】()1,+∞【解析】 试题分析：因为1()101f x x x'=->⇒>，所以单调递增区间是()1,+∞ 考点：导数应用14．函数()log (43)(0a f x x a =->且1)a ≠的图象所过定点的坐标是________.【答案】()1,0【解析】【分析】由log 10a =知431x -=，解出x ，进而可知图象所过定点的坐标【详解】由log 10a =可令431x -=，解得1x =，所以图象所过定点的坐标是()1,0【点睛】本题考查对数函数的性质，属于简单题．15．计算546101011C C C +-的结果为__________. 【答案】0.【解析】【分析】利用组合数的性质111k k k n n n C C C ++++=来进行计算，可得出结果.【详解】由组合数的性质可得5465655101011111111110C C C C C C C +-=-=-=，故答案为0.【点睛】本题考查组合数的计算，解题的关键就是利用组合数的性质进行计算，考查计算能力，属于中等题. 16．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为____________.【答案】【解析】【分析】由题意得到关于a,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆的短轴长度.【详解】 不妨设椭圆方程为：()222210x y a b a b +=>>，由题意可得155a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得105a c =⎧⎨=⎩，则椭圆的短轴长度为：2b ==故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的数学思想，椭圆短轴的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为2cos 2sin x m y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，m 为常数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－4π．若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围．【答案】22m -<+【解析】 分析：先求圆心C 到直线l 的距离d2<即得m 的范围. 详解：圆C 的普通方程为(x －m)2＋y 2＝1．直线l 的极坐标方程化为ρ (22cosθ＋22sinθ)＝2， 即22x ＋22y ＝2，化简得x ＋y －2＝2． 因为圆C 的圆心为C(m ，2)，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ＝2， 所以d ＝2＜2， 解得2－22＜m ＜2＋22．点睛：(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 判断直线与圆的位置关系常用的是几何法，比较圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系：①d r <⇔直线与圆相交；②d r =⇔直线与圆相切；③.d r >⇔直线与圆相离18．设数列的前n 项和为且对任意的正整数n 都有:.（1）求； （2）猜想的表达式并证明.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）分别代入计算即可求解；（2）猜想:，利用数学归纳法证明即可【详解】当当当（2）猜想:.证明：①当时，显然成立； ②假设当且时，成立. 则当时，由,得， 整理得. 即时,猜想也成立.综合①②得.【点睛】本题考查递推数列求值，数学归纳法证明，考查推理计算能力，是基础题 19．已知数列{}n x 满足1111,,21n nx x x +==+其中n *∈N . （Ⅰ）写出数列{}n x 的前6项；（Ⅱ）猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论.【答案】（Ⅰ）112x =，223x =，335x =，458x =，5813x =，61321x =（Ⅱ）猜想：数列2{}n x 是递减数列，证明见解析【解析】【分析】（I ）根据递推公式，依次求得23456,,,,x x x x x 的值.（II ）由（I ）猜想数列2{}n x 是递减数列.用数学归纳法证得结论成立.【详解】解：（Ⅰ）由121112,213x x x ===+得； 由232213,315x x x ===+得； 由343315,518x x x ===+得； 由454518,8113x x x ===+得； 由5658113,13121x x x ===+得；。
四川省绵阳市2019-2020学年数学高二下期末统考试题含解析
四川省绵阳市2019-2020学年数学高二下期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．参数方程3cos 1cos x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数）对应的普通方程为（ ）A ．310x y ++=B ．310x y +-=C ．()31024x y x +-=-≤≤D ．()31011x y x +-=-≤≤【答案】C 【解析】 【分析】将参数方程消参后，可得普通方程，结合三角函数值域即可判断定义域. 【详解】参数方程3cos 1cos x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消参后可得310x y +-=， 因为1cos 1α-≤≤ 所以24x -≤≤即()310,24x y x +-=-≤≤ 故选：C. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，注意自变量取值范围，属于基础题. 2．已知函数()2x ln(1)f x x =-，则此函数的导函数()f x '=A ．2x ln(1)x -B ．22ln(1)1x x x x -+-C ．21x x-D ．22ln(1)1x x x x---【答案】D 【解析】分析：根据对应函数的求导法则得到结果即可.详解：函数()()2x ln 1f x x =-，()()2212ln 12ln(1)11x f x x x x x x x x ⎛⎫=-+-=--⎪--⎝⎭' 故答案为：D.点睛：这个题目考查了具体函数的求导计算，注意计算的准确性，属于基础题目.3．在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ） A ．四边形1AEC F 一定为菱形B ．四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形 C ．四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC A D ．四边形1AEC F 不可能为梯形 【答案】D 【解析】对于A ，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形1AEC F 为菱形，故A 错误； 对于B, 四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影一定是正方形,故B 错误；对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形1AEC F 垂直于平面11ACC A ,故C 错误； 对于D ，四边形1AEC F 一定为平行四边形，故D 正确. 故选：D4．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.5．已知命题()0:0,p x ∃∈+∞，00122019xx +=；命题:q 在ABC ∆中，若sin sin A B >，则cos cos A B <．下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∨⌝D ．()p q ∧⌝【答案】C 【解析】 【分析】判断出命题p 、q 的真假，即可判断出各选项中命题的真假，进而可得出结论. 【详解】Q 函数()2x f x x =+在()0,+∞上单调递增，()()1012019f x f ∴>=>，即命题p 是假命题； 又sin sin A B >Q ，根据正弦定理知a b >，可得A B >，余弦函数cos y x =在()0,π上单调递减，cos cos A B ∴<，即命题q 是真命题． 综上，可知()()p q ⌝∨⌝为真命题，p q ∧、()p q ∨⌝、()p q ∧⌝为假命题. 故选：C. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题. 6．5(1)x -展开式3x 的系数是（ ） A ．-5 B ．10C ．-5D ．-10【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出（1﹣x ）5展开式x 3的系数． 【详解】解：根据（1﹣x ）5展开式的通项公式为T r+1＝r5C •（﹣x ）r ，令r ＝3，可得x 3的系数是﹣35C ＝﹣10， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过2)A ，(2)B -两点，点P 为该双曲线上除点A ，B 外的任意一点，直线PA ，PB 斜率之积为4，则双曲线的方程是（ ）A ．22134x y -=B ．22148x y -=C ．22136x y -=D ．221520x y -=【答案】D 【解析】分析：根据两条直线斜率之积为定值，设出动点P 的坐标，即可确定解析式。
四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学(文科)试题 (解析版)
C．（0，1）
D．（1，2）
1
A．
B．
C．
D．
10．函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在区间[﹣1，0]上单调递增．若 A，B 是锐角三角
形的两个内角，则下列不等关系正确的是（ ）
A．f（sinA）＞f（cosB）
B．f（cosA）＞f（sinA）
C．f（sinA）＞f（cosA）
D．f（cosA）＞f（sinB）
（2）若直线 l 的参数方程为
（t 为参数），设直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，
求|AB|． [选修 4-5：不等式选讲] 21．已知函数 f（x）＝|2x﹣1|+|x+m|．
（1）若 m＝3，解关于 x 的不等式 f（x）≥x+6； （2）证明：对任意 x∈R，2f（x）≥|m+1|﹣|m|．
解：∵集合 M＝{x∈Z|1≤x≤3}＝{1，2，3}，
N＝{2，4，6}，
∴M∩N＝{2}．
故选：A．
2．“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是（ ）
A．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 C．∀x∈R，x2+x+1＞0
B．∃x0∈R，x02+x0+1≤0 D．∀x∈R，x2+x+1≤0
3
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 20、21 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 20．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已
知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝cosθ+sinθ． （1）求曲线 C 的平面直角坐标方程；
绵阳市高二数学下学期期末教学质量测试题31及答案
保密 ★ 启用前【考试时间： 7月3日上午10:10－11:50】绵阳市第二学年末教学质量测试数学试题(文科)本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卷共4页．满分100分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共48分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1．若空间两个角α 与β 的两边对应平行，当 α = 60︒ 时，则 β 等于A ．30︒B ．30︒ 或120︒C ．60︒D ．60︒ 或120︒2．某化工厂有职工320人，其中工人240人，管理人员48人，其余为后勤人员．在一次职工工作情况抽样调查中，如果用分层抽样的方法，抽得工人的人数是30人，那么这次抽样调查中样本的容量是A ．30B ．40C ．48D ．2403．若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足z y x ++=（x ，y ，z ∈R ），则x + y + z = 1是四点P ，A ，B ，C 共面的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．若A ( 2, －4, －1 )，B （－1，5，1），C （3，－4，1），令a =，b =，则a + b 对应的坐标为A ．（－5，9，－2）B ．（－5，－9，－2）C ．（－5，－9，2）D ．（5，－9，－2）5．在两个信封内装有6张分别写有数字0，1，2，3，4，5的卡片，现从每个信封中各任取1张卡片，则这两张卡片上的数字之和等于7的概率为 A ．31B ．61 C ．81 D ．916．已知（x 2 + 1）（2x －1）9 = a 0 + a 1x + … + a 11x 11，则a 1 + a 2 + … + a 11 的值为A ．3B ．2C ．1D ．－1 7．平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，与1AC 相等的是A ．111CC AD AB ++ B ．112-C ．1CAD ．11++8．已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC = 60°，PA ⊥底面ABCD ，PA = 1，则异面直线AB 与PD 所成的角的余弦值为 ABC ．46 D9．若样本x 1，x 2，…，x n 的平均数为6，方差为2，则对于样本2x 1 + 1，2x 2 + 1，…，2x n + 1，下列结论正确的是A ．平均数为12，方差为4B ．平均数为12，方差为8C ．平均数为13，方差为4D ．平均数为13，方差为810．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，若正四面体EFGH的表面积为T ，则ST等于 A ．94 B ．91 C ．41 D ．3111．已知球O 的表面积为4π，A 、B 、C 为球面上三点，面OAB ⊥面ABC ，A 、C 两点的球面距离为2π，B 、C 两点的球面距离为3π，则A 、B 两点的球面距离为 A ．3π B ．2πC ．23πD ．34π12．如图，△ADE 为正三角形，四边形ABCD 为正方形，平面ADE ⊥平面ABCD ．点P 为平面ABCD 内的一个动点， 且满足PE = PC ，则点P 在正方形ABCD 内的轨迹为A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共52分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上．2．答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卷题中横线上．13．统计某校高二800名学生的数学会考成绩， 得到样本频率分布直方图如右．规定不低于 60分为及格，不低于80分为优秀，则可估ABDCDABC计该校的及格率是 ，优秀人数 为 ．14．甲、乙、丙三名大学生同时到一个用人单位应聘，他们能被选聘中的概率分别为52，43，31，且各自能否被选聘中是无关的，则恰好有两人被选聘中的概率为 ． 15．正四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，已知AA 1 = 2，AB = AC = 1，则此正四棱柱的外接球的体积等于 ．16．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB所成线段的比为BCAC EB AE ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中（如图），平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是 ．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）某单位按性别比例在男女职工中抽取70人进行体重调查，其中男职工40（1）从体重在（75，85]的男职工中任取两名，求至少有一名男职工体重在（80，85]间的概率；（2）若男职工体重超过75千克，女职工体重超过60千克，则称为“体重偏胖”，计算该单位“体重偏胖”的职工比例；（3）若该单位再次随机组织100人进行体重测试，发现这100人中恰有5人上次已经做过体重测试，试估计该单位共有男、女职工各多少人？18．（本题满分10分）网络工程师是通过学习和训练，掌握网络技术的理论知识和操作技能的网络技术人员，他能够从事计算机信息系统的设计、建设、运行和维护工作．要获得网络工程师资格证书必须依次通过理论和操作两项考试，只有理论成绩合格时，才可继续参加操作的考试．已知理论和操作各只允许有一次补考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某人参加网络工程师证书考试，根据以往模拟情况，理论考试成绩每次合格的概率均为32，操作考试成绩每次合格的概率均为21，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．（1）求他不需要补考就可获得网络工程师证书的概率；（2）求他恰好补考一次就获得网络工程师证书的概率．EA19．（本题满分10分）如图，把棱长为1的正方体A1B1C1D1ABCD放在空间直角坐标系D－xyz中，P为线段AD1上一点，1PDλ=（λ＞0）．（1）当λ= 1时，求证：PD⊥平面ABC1D1；（2）求异面直线PC1与CB1所成的角；（3）求三棱锥D－PBC1的体积．20．（本题满分10分）如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1AA1 =2，AB = 1，E是DD1的中点．（1）求直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小；（2）求证：B1D⊥AE；（3）求二面角C－AE－D的大小．数学（第II卷）答题卷（文科）注意事项：答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上．13．，．14．．15．．16．．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算17．（本题满分10分）P18．（本题满分10分）19．（本题满分10分）20．（本题满分10分）第二学年末教学质量测试数学答案（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．DBCA DABA DBCA二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上．13．80%，160人14．602315．π616．BCDACDSSEBAE∆∆=三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）P =2426315CC-=．……………………4分（2）该单位“体重偏胖”的职工比例为（4 + 2 + 3 + 1）÷ 70 =17．…………7分（3）共有职工70 ÷5100= 1400人，其中男职工1400 ×47= 800人，女职工600人．……………………10分18．设“理论第一次考试合格”为事件A1，“理论补考合格”为事件A2；“操作第一次考试合格”为事件B1，“操作补考合格”为事件B2．……………………2分（1）不需要补考就获得证书的事件为A1 ·B1，注意到A1与B1相互独立，则P（A1 ·B1）= P（A1）·P（B1）=32×21=31．答：该同志不需要补考就获得网络工程师证书的概率为31．……………………6分（2）恰好补考一次的事件是211121BBABAA+，则P（211121BBABAA+）= P（121BAA）+ P（211BBA）=31×32×21+32×21×21=185．答：该同志恰好补考一次就获得网络工程师证书的概率为185．……………………10分19．（1）当λ= 1时，点P为线段AD1的中点，有PD⊥AD1，P（0，21，21），而B（1，1，0），∴ PD =（0，－21，－21），PB =（1，21，－21）． 则 PD · PB = 0×1 +（－21×21）+（－21）×（－21）= 0，因而 PD ⊥PB ，∴ PD ⊥平面ABC 1D 1． …………………… 4分 （2）∵1λ=（λ＞0），∴ P （0，λ+11，λλ+1）， 又 C 1（1，0，1），C （1，0，0），B 1（1，1，1）， ∴ PC 1 =（1，－λλ+1，1－λλ+1）=（1，－λ+11，λ+11CB 1 =（0，1，1）． ∵ PC 1 · CB 1 = 0×1 + 1×（－λ+11）+ 1×λ+11= 0， ∴PC 1⊥CB 1，即异面直线PC 1与CB 1所成的角为90︒． …………………… 7分 （3）∵ AD 1∥CB 1，P 为线段AD 1上的点， ∴ 三角形PBC 1的面积为221221=⋅⋅=S ． 又 ∵ CD ∥平面ABC 1D 1，∴ 点D 到平面PBC 1的距离为22=h ， 因此三棱锥D －PBC 1的体积为6122223131=⋅⋅=⋅⋅=h S V ．……………… 10分20．（1）连结A 1D ．∵ ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，∴ A 1B 1⊥平面A 1ADD 1， ∴ A 1D 是B 1D 在平面A 1ADD 1上的射影， ∴ ∠A 1DB 1是直线B 1D 和平面A 1ADD 1所成的角． 在RtΔB 1A 1D 中，tan ∠A 1DB 1 =3331111==D A B A ， ∴∠A 1DB 1 = 30°，即直线B 1D 和平面A 1ADD 1，所成的角30°． …………… 4分 （2）在Rt △A 1AD 和Rt △ADE 中， ∵21==DEADAD A A ，∴△A 1AD ∽△ADE ，于是 ∠A 1DA =∠AED ． ∴ ∠A 1DA +∠EAD =∠AED +∠EAD = 90°，因此 A 1D ⊥AE ．由（1）知，A 1D 是B 1D 在平面A 1ADD 1上的射影，根据三垂线定理，得 B 1D ⊥AE ．…………………… 7分（3）设A 1D ∩AE = F ，连结CF ．因为CD ⊥平面A 1ADD 1，且AE ⊥DF ，所以根据三垂线定理，得 AE ⊥CF ， 于是∠DFC 是二面角C －AE －D 的平面角． 在Rt △ADE 中，由 AD · DE = AE · DF ⇒ 31=⋅=AE DE AD DF ． 在Rt △FDC 中，tan ∠DFC =3=DFCD， ∴ ∠DFC = 60°，即二面角C －AE －D 的大小是60°． …………………… 10分另法 ∵ ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱， ∴ DA 、DC 、DD 1两两互相垂直．如图，以D 为原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），B 1（1，1，2）．…………………… 2分（1）连结A 1D ，则 A 1B 1⊥平面A 1ADD 1， ∴ A 1D 是B 1D 在平面A 1ADD 1上的射影，因此∠A 1DB 1是直线B 1D 和平面A 1ADD 1所成的角． ∵ A 1（1，0，2），∴ 1=（1，0，2），1=（1，1，2）， ∴ cos 23||||,111111=⋅<DB DA DB DA ，从而 ∠A 1DB 1 = 30°，即直线B 1D 和平面A 1ADD 1所成角的大小是30°．…………………… 5分（2）∵ E 是DD 1的中点，∴ E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0,0，∴ ,22,0,1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AE ∵ DB ·1=－1 + 0 + 1 = 0，∴ B 1D ⊥AE ．…………………… 7分（3）设A1D∩AE = F，连结CF．∵CD⊥平面A1ADD1，且AE⊥DF，则由三垂线定理得AE⊥CF，∴∠DFC是二面角C－AE－D的平面角．根据平面几何知识，可求得F ,32,0,31⎪⎪⎭⎫⎝⎛∴.32,1,31,32,0,31⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∴21||||,cos=⋅>=<FCFD，∴二面角C－AE－D的大小是60°．……………………10分资料来源:回澜阁教育免费下载天天更新。
2022届四川省绵阳市高二下数学期末达标测试试题含解析
2022届四川省绵阳市高二(下)数学期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．()5111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为( )A ．-10B ．-5C ．5D ．02．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积 (结果保留π)为A ．242+πB ．244π+C ．24π+D ．24π- 3．已知是函数的导函数，将和的图象画在同一个平面直角坐标系中，不可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若圆22240x y x y ++-=关于直线l ：30x y a ++=对称，则直线l 在y 轴上的截距为（ ） A ．-lB ．lC ．3D ．-35．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为1102264264230C C C C C +的事件是( ). A ．没有白球 B ．至少有一个白球 C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球6．已知全集{1,3,5,7},{3,5}U A ==，则U C A =A ．{1}B ．{7}C ．{1,7}D ．{1357}，，， 7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.62c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<8．已知向量|a v b +v |=a b -v v ，且2a b ==v v ,则2a b -=vv （ ）A ．22B ．2C ．25D ．109．已知二次函数2()f x x ax b =--在区间[1,1]-内有两个零点，则22H a b =+的取值范围为（ ） A ．(0,2]B ．(0,2]C ．(0,1]D ．(0,3⎤⎦10．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ） 参考公式：0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．12人B ．18人C ．24人D ．30人11．若函数()ln (R)f x x kx k =-∈在定义域内单调，则k 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[0,)+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞12．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（ ） A ．349B ．198C ．197D ．350二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若向量()2,1a =-v与()1,b y =v 平行．则y =__．14．记122331909090(90)90k k n nn n n n n X C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-（n 为正奇数），则X 除以88的余数为______15．在半径为1的球面上，若A ，B 两点的球面距离为23π，则线段AB 的长|AB|＝_____． 16．在极坐标系中，已知圆C 经过点23,6P π⎛⎫⎪⎝⎭，圆心为直线sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，则圆C 的极坐标方程为__________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．知数列{}n a 的前n 项和3352n n nS +=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设13nn n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 18．已知函数223f x x x =+--（）. （I ）解不等式：2f x >（）； （II ）若函数f x （）的最大值为m ，正实数a b ，满足2a b m +=，证明：2185a b +≥ 19．（6分）已知函数，()32,1,ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩（1）求()f x 在区间(),1-∞上的极小值和极大值；（2）求()f x 在[]1,e -（e 为自然对数的底数）上的最大值．20．（6分）某市房地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y 关于x 的回归直线方程；（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价. 参考数据：5125,i ii x===∑515.36,i ii y===∑51()()0.64;i i i i x x y y ==--=∑参考公式：51521()()ˆ,()i iii i ii x x yy bx x ====--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 21．（6分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()2log 12f x x x m =++--. （Ⅰ）当5m =时，求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围.22．（8分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：附：2K 的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？请说明理由.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】 在)51x 的二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数分别等于2和1，求出r 的值，得到含2x 与x 的项，再与1x、与-1对应相乘即可求得展开式中x 的系数． 【详解】 要求x 的系数，则()51x +的展开式中2x 项与1x 相乘，x 项与-1相乘， ()51x +的展开式中2x 项为()4125C5x x =，与1x相乘得到5x ，()51x +的展开式中x 项为()235C 10x x =，与-1相乘得到10x -，所以x 的系数为1055-+=-.故选B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式及特定项的系数，属于基础题． 2．C 【解析】分析：上面为球的二分之一，下面为长方体．面积为长方体的表面积与半球的面积之和减去半球下底面面积.详解：球的半径为1，故半球的表面积的公式为2S 2πr 2π==，半球下底面表面积为π 长方体的表面积为24，所以几何体的表面积为242ππ24π+-=+． 点睛：组合体的表面积，要弄懂组合体的结构，哪些被遮挡，哪些是切口． 3．D 【解析】 【分析】 根据的正负与单调性间的关系，即可逐项判断出结果.【详解】 因为是函数的导数，时，函数单调递增；时，函数单调递减；A 中，直线对应，曲线对应时，能满足题意；B 中，轴上方曲线对应，轴下方曲线对应，能满足题意；C 中，轴上方曲线对应，轴下方曲线对应，能满足题意； D 中，无论轴上方曲线或轴下方曲线，对应时，都应该是单调函数，但图中是两个不单调的函数，显然D 不满足题意. 故选D 【点睛】本题主要考查函数与导函数图像之间的关系，熟记导函数与导数间的关系即可，属于常考题型. 4．A【解析】 【分析】圆22240x y x y ++-=关于直线l ：30x y a ++=对称,等价于圆心(1,2)-在直线l ：30x y a ++=上,由此可解出a .然后令0x = ,得1y =-,即为所求. 【详解】因为圆22240x y x y ++-=关于直线l ：30x y a ++=对称,所以圆心(1,2)-在直线l ：30x y a ++=上,即320a -++= ,解得1a =. 所以直线:310l x y ++=,令0x = ,得1y =-. 故直线l 在y 轴上的截距为1-. 故选A . 【点睛】本题考查了圆关于直线对称,属基础题. 5．B 【解析】1122644230C C C C +表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.故选B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 6．C 【解析】 【分析】根据补集定义直接求得结果. 【详解】由补集定义得：{}1,7U C A = 本题正确选项：C 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】由函数()y f x =为R 的偶函数，得出该函数在[)0,+∞上为减函数，结合性质()f x =()f x 得出()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，比较4log 7、2log 3、 1.62的大小关系，结合函数()y f x =的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系． 【详解】由函数()y f x =为R 的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，则该函数在[)0,+∞上为减函数，且有()()f x f x =，则()4log 7a f =，()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，()1.62c f =， 222442log 3log 3log 9log 7==>Q ，且2 1.622log 3log 222<=<，1.6242log 3log 7∴>>，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为减函数，所以，()()()1.6242log 3log 7f f f <<，因此，c b a <<，故选B ．【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较大小，考查中间值法比较指数式和对数式的大小关系，再利用函数单调性比较函数值大小时，要结合函数的奇偶性、对称性、周期性等基本性质将自变量置于同一单调区间，结合单调性来比较大小关系，考查分析问题的能力，属于中等题． 8．C 【解析】 【分析】由平面向量模的运算可得：a b r r ⋅=0，得2a b -=r r 【详解】因为向量|a b +r r |a b =-r r ，所以a b rr ⋅=0，又2a b ==rr ，所以2a b -==r r故选C ． 【点睛】本题考查了平面向量模的运算，熟记运算性质是 关键，属基础题． 9．A 【解析】 【分析】先求出二次函数2()f x x ax b =--在区间[1,1]-内有两个零点，所需要的条件，然后再平面直角坐标系内，画出可行解域，然后分析得出22Ha b =+的取值范围. 【详解】因为二次函数2()f x x ax b =--在区间[1,1]-内有两个零点，所以有：2(1)010(1)010*********f a b f a b a aa b ≥+-⎧⎧⎪⎪-≥--⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-<-<-<-<⎪⎪⎪⎪∆>+>⎪⎪⎩⎩……，对应的平面区域为下图所示：则令2211120102222m a b b a m m m =+∴=-+∴<≤∴<≤，则22H a b =+的取值范围为(0,2]，故本题选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程零点分布问题，正确画出可行解域是解题的关键. 10．B 【解析】 【分析】设男生人数为，女生人数为，完善列联表，计算解不等式得到答案.【详解】设男生人数为，女生人数为喜欢抖音 不喜欢抖音 总计男生女生总计男女人数为整数 故答案选B 【点睛】本题考查了独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11．A 【解析】 【分析】采用等价转化的思想，可得'()0f x ≥在()0,∞+恒成立，然后分离参数，对新函数的值域与k 比较，可得结果. 【详解】1'()f x k x=-Q ， 依题意可得：函数()f x 在定义域内只能单调递增，10k x ∴-≥恒成立，即1k x≤恒成立， 0x Q >， 0k ∴≤，故选：A 【点睛】本题考查根据函数单调性求参数范围，熟练使用等价转化以及分离参数的方法，属基础题. 12．A【解析】 【分析】由已知可知100件产品中有6件次品，94件正品，设“前两次抽到正品”为事件A ，“第三次抽到次品”为事件B ，求出()P A 和()P AB ，即可求得答案. 【详解】由已知可知100件产品中有6件次品，94件正品，设“前两次抽到正品”为事件A ，“第三次抽到次品”为事件B ； 则949394936(),()100991009998P A P AB =⨯=⨯⨯ ∴()63(|)()9849P AB P B A P A === 故选：A. 【点睛】本题是一道关于条件概率计算的题目，关键是掌握条件概率的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．12-【解析】 【分析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得y 的值． 【详解】由题意，向量()2,1a =-r 与()1,b y =r 平行，所以210y +=，解得12y =-．故答案为12-． 【点睛】本题主要考查了两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 14．87 【解析】 【分析】由组合数的性质知：()1223318888888888k k n nn n n n n X C C C C C =-++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+，由此能求出结果. 【详解】解:由组合数的性质知：122331909090(90)90k k n nn n n n n X C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-()()()()1230012390909090(90)90nk k nn n n n n nC C C C C C =+-+-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- ()()()1223319018818888888888nnk k n nn n n n n C C C C C =-=-+=-++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+则X 除以88的余数为18887-+=. 故答案为：87. 【点睛】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用.15【解析】 【分析】根据球面距离的概念得弦AB 所对的球心角，再根据余弦定理可求得结果. 【详解】设球心为O ，根据球面距离的概念可得23AOB π∠=， 在三角形AOB 中，由余弦定理可得2222||||||2||||cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅ 111211()32=+-⨯⨯⨯-=，所以||AB =. 【点睛】本题考查了球面距离的概念，考查了余弦定理，关键是根据球面距离求得球心角，属于基础题. 16．4cos ρθ= 【解析】 【分析】根据题意，令0θ=，可以求出圆C 的圆心坐标，又因为圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，则圆的半径为C ，P 两点间的距离，利用极坐标公式即可求出圆的半径，则可写出圆的极坐标方程. 【详解】在πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭中，令0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心坐标为()2,0．因为圆C 经过点π6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以圆C 的半径2r ==，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=． 【点睛】本题考查用极坐标公式求两点间的距离以及求点的坐标，考查圆的极坐标方程，考查了学生的计算能力，属于基础题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）31n a n =+；（2）34(34)nn +。
四川省绵阳市高二下期末数学试卷文科
2015-2016学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．已知命题p：∀x∈R，lgx=2，则￢p是（）A．∀x∉R，lgx=2 B．∃x0∈R，lgx0≠2 C．∀x∈R，lgx≠2 D．∃x0∈R，lgx0=22．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞3．已知i是虚数单位，若复数z满足i•z=1+i，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i4．函数y=x+在（1，+∞）上取得最小值时x的取值为（）A．B．C．2 D．35．设a=lge，b=（lge）2，c=lg，其中e为自然对数的底数，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．下列说法正确的是（）A．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件B．“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要不充分条件C．命题“若a∈M，则b∉M”的否命题是“若a∉M，则b∈M”D．命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a、b都不是奇数”7．已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式（x﹣1）f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，）∪（1，2）B．（﹣1，1）∪（1，3）C．（﹣1，）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）8．关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0有两个不相等正根的充要条件是（）A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜0 D．0＜a＜19．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．10．已知xy＞0，若+＞m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥﹣1或m≤﹣4 B．m≥4或m≤﹣1 C．﹣4＜m＜1 D．﹣1＜m＜411．已知函数f（x）=在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤B．a C．＜a≤D．a≥12．函数f（x）=a x﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜e B．1＜a＜eC．0＜a＜e D．e＜a＜e二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知函数f（x）=13﹣8x+x2，且f′（x0）=4，则x0的值为．14．若复数z=（m2﹣m）+mi是纯虚数，则实数m的值为．15．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，则瓶子半径为cm时，每瓶饮料的利润最小．16．设x＞0，y＞0，且+=2，则2x+y的最小值为．三、解答题（共3小题，满分30分）17．设p：对任意的x∈R，不等式x2﹣ax+a＞0恒成立，q：关于x的不等式组的解集非空，如果“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=﹣x4+ax3+bx2的单调递减区间为（0，），（1，+∞）．（1）求实数a，b的值；（2）试求当x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值．19．已知f（x）=﹣x2﹣lnx，设曲线y=f（x）在x=t（0＜t＜2）处的切线为l．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）求切线l的倾斜角θ的取值范围；（3）证明：当x∈（0，2）时，曲线y=f（x）与l有且仅有一个公共点．以下是选做题，考生只需在第20、21、22题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
2016-2017学年四川省绵阳市高二(下)期末数学试卷及答案(文科)
2016-2017学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（4分）与命题“若a∈M，则b∈M”等价的命题是（）A．若a∈M，则b∉M B．若b∈M，则a∉MC．若b∉M，则a∈M D．若b∉M，则a∉M3．（4分）已知a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．＜C．a2＞ab D．a2+b2＞2ab 4．（4分）设f（x）＝，则f（f（4））＝（）A．﹣1B．C．D．5．（4分）设a＝0.91.1，b＝1.10.9，c＝log0.91.1，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b6．（4分）函数f（x）＝﹣log3x的零点所在的区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（1，3）D．（3，4）7．（4分）设p：x2﹣x﹣20≤0，q：≥1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）若变量x，y满足，则2x﹣y的最大值是（）A．﹣2B．3C．7D．99．（4分）设f（x）＝sin x﹣x，则下列说法正确的是（）A．f（x）是有零点的偶函数B．f（x）是没有零点的奇函数C．f（x）既是奇函数又是R上的增函数D．f（x）既是奇函数又是R上的减函数10．（4分）已知函数y＝xf′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数）的图象如图所示，则y＝f（x）的大致图象可能是（）A．B．C．D．11．（4分）当x∈（0，3）时，关于x的不等式e x﹣x﹣2mx＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（，+∞）C．（﹣∞，e+1）D．（e+1，+∞）12．（4分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣1）＝0，且当x＞0时，f（x）＞xf′（x），则下列关系式中成立的是（）A．4f（）＞f（2）B．4f（）＜f（2）C．f（）＞4f（2）D．f（）f（2）＞0二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）lg+lg6＝．14．（3分）已知i是虚数单位，复数z满足zi＝1+i，则z＝．15．（3分）已知关于x的不等式tx2﹣5x﹣t2+5＜0的解集为{x|1＜x＜m}，则m+t＝．16．（3分）过原点作曲线y＝e x（其中e为自然对数的底数）的切线l，若点M（，a+2b））（a≥0，b≥0）在切线l上，则a+b的最小值为．三、解答题17．（10分）设二次函数f（x）＝mx2﹣nx（m≠0），已知f（x）的图象的对称轴为x＝﹣1，且f（x）的图象与直线y＝x只有一个公共点．（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式e f（x）＞在x∈R时恒成立（其中e为自然对数的底数），求实数t的取值范围．18．（10分）为了减少能源损耗，某工厂需要给生产车间建造可使用20年的隔热层．已知建造该隔热层每厘米厚的建造成本为3万元．该生产车间每年的能源消耗费用M（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：厘米）满足关系：M（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为7.5万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用只和．（1）求k的值及f（x）的表达式；（2）试问当隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最少？并求出最少费用．19．（10分）已知函数f（x）＝（1﹣2a）lnx+ax+，其中a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的极值；（2）记函数g（x）＝f（x）+（2a﹣3）lnx﹣，若g（x）在区间[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．四、选修4-4：坐标系与参数方程20．（10分）在直角坐标系xOy中，设直线l：（t为参数）与曲线C：（φ为参数）相交于A、B两点．（1）若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，求直线l的极坐标方程；（2）设点P（2，），求|P A|+|PB|的值．五、选修4-5：不等式选讲21．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|的最小值为m（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，求证：a2+b2+c2≥12．2016-2017学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：由B中不等式解得：﹣1＜x＜2，即B＝{x|﹣1＜x＜2}，∵A＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{0，1}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】21：四种命题．【解答】解：命题“若a∈M，则b∈M”的逆否命题是：“若b∉M，则a∉M”，原命题与逆否命题是等价命题，∴命题“若a∈M，则b∈M”等价的命题是“若b∉M，则a∉M”．故选：D．【点评】本题考查命题的等价命题的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意原命题与逆否命题是等价命题的合理运用．3．【考点】71：不等关系与不等式．【解答】解：A．取a＝1，b＝﹣2，满足a＞b，可得a2＜b2，因此A不正确；B．取a＝1，b＝﹣2，满足a＞b，可得＞，因此B不正确；C．取a＝﹣1，b＝﹣2，满足a＞b，可得a2＜ab，因此C不正确；D．∵a＞b，∴a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＞0，∴a2+b2＞2ab，因此D正确．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．【考点】3T：函数的值．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（4）＝1﹣＝﹣1，f（f（4））＝f（﹣1）＝2﹣1＝．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5．【考点】4M：对数值大小的比较．【解答】解：∵a＝0.91.1∈（0，1），b＝1.10.9＞1，c＝log0.91.1＜0，则b＞a＞c，故选：A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：∵f（）＝4＞0，f（1）＝2＞0，f（3）＝＜0，f（1）f（3）＜0，一定有零点，故选：C．【点评】本题主要考查零点的判定定理．属基础题．7．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：p：x2﹣x﹣20≤0，解得﹣4≤x≤5，∴x∈[﹣4，5]＝A．q：≥1，解得﹣4＜x≤5．∴x∈（﹣4，5]．则p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，设z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，当此直线经过图中B时，在y轴的截距最小，z最大，由得到B（3，﹣1），∴2x﹣y的最大值为6+1＝7；故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．9．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断；51：函数的零点．【解答】解：根据题意，对于函数f（x）＝sin x﹣x，有f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣（sin x﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）＝cos x﹣1≤0，即函数f（x）为减函数，对于函数f（x）＝sin x﹣x，有f（0）＝0﹣0＝0，则函数f（x）存在零点；分析选项可得：D符合；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，涉及函数零点的判定，注意掌握函数的奇偶性、单调性以及零点的判定方法．10．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：根据题意，设函数y＝xf′（x）与x轴负半轴交于点M（m，0），且﹣2＜m＜﹣1；与x轴正半轴交于点N（1，0），当x＜m时，x＜0而y＝xf′（x）＜0，则有y＝f′（x）＞0，函数y＝f（x）在（﹣∞，m）上为增函数；当m＜x＜0时，x＜0而y＝xf′（x）＞0，则有y＝f′（x）＜0，函数y＝f（x）在（m，0）上为减函数；当0＜x＜1时，x＞0而y＝xf′（x）＜0，则有y＝f′（x）＜0，函数y＝f（x）在（0，1）上为减函数；当x＞1时，x＞0而y＝xf′（x）＞0，则有y＝f′（x）＞0，函数y＝f（x）在（1，+∞）上为增函数；分析选项可得：C符合；故选：C．【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的图象以及单调性，关键是分析出导数的符号．11．【考点】3R：函数恒成立问题；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：当x∈（0，3）时，关于x的不等式e x﹣x﹣2mx＞0恒成立，即为2m+1＜在（0，3）的最小值，由f（x）＝的导数为f′（x）＝，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得f（x）在x＝1处取得最小值e，即有2m+1＜e，可得m＜．故选：A．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数求出单调区间和最值，考查运算能力，属于中档题．12．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：当x＞0时，f（x）＞xf′（x），[]′＝＜0，即x＞0时是减函数，所以，即：4f（）＞f（2）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数单调性与导数的关系，考查构造法的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．【考点】4H：对数的运算性质．【解答】解：lg+lg6＝lg5﹣lg3+lg2+lg3＝lg5+lg2＝lg10＝1．故答案为：1．【点评】本题考查对数的应用，考查计算能力．14．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：由zi＝1+i，得．故答案为：1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．15．【考点】7E：其他不等式的解法．【解答】解：由题意，方程tx2﹣5x﹣t2+5＝0的两根为1，m，所以，解得，所以m+t＝5；故答案为：5．【点评】本题关键是明确一元二次不等式的解集与对应二次方程的关系；利用韦达定理得到关于m，t的方程组解之．16．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：设切点为P（），则，∴过切点的切线方程为y﹣＝．把原点坐标代入，可得，则x0＝1．∴切线方程为y＝ex．∵点M（，a+2b））（a≥0，b≥0）在切线l上，∴a+2b＝e•＝2﹣ab．则a+2b＝2﹣ab，即a＝．∴a+b＝．令g（b）＝（0≤b≤1）．则g′（b）＝≤0在[0，1]上恒成立．∴g（b）＝（0≤b≤1）为减函数．则g（b）min＝g（1）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．三、解答题17．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3R：函数恒成立问题．【解答】解：（1）∵由f（x）＝mx2﹣nx（a≠0）的对称轴方程是x＝﹣1，∴n＝﹣2m；∵函数f（x）的图象与直线y＝x只有一个公共点，∴有且只有一解，即mx2﹣（n+1）x＝0有两个相同的实根；故△＝（n+1）2＝0，解得n＝﹣1，m＝∴f（x）＝x2+x．（2）∵e＞1，不等式e f（x）＞在x∈R时恒成立∴f（x）＞tx﹣2．∵x2+x＞tx﹣2在x∈R时恒成立，∴tx＜x2+x+2，当x＞0时，t＜++1，∵++1≥2+1＝3，当且仅当x＝2时取等号，∴t＜3，当x＜0，t＞++1，∵++1＝﹣（﹣﹣）+1≤﹣2+1＝﹣1，当且仅当x＝﹣2时取等号，∴t＞﹣1，当x＝0时，恒成立，综上所述t的取值范围为（﹣1，3）．【点评】本题考查了二次函数解析式的求法以及函数恒成立问题．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．18．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：（1）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为M（x）＝（0≤x≤10），再由M（0）＝7.5，得k＝15，因此M（x）＝．而建造费用为M1（x）＝3x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x）＝20M（x）+M1（x）＝20×+3x＝+3x（0≤x≤10）；（2）f′（x）＝3﹣，令f'（x）＝0，解得x＝8，或x＝﹣12（舍去）．当0＜x＜8时，f′（x）＜0，当8＜x＜10时，f′（x）＞0，故x＝8是f（x）的最小值点，对应的最小值为f（8）＝．故当隔热层修建8cm厚时，总费用达到最小值为54万元．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．19．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：（1）：当a＝1时，f（x）＝﹣lnx+x+，x＞0，∴f′（x）＝﹣+1﹣＝＝，令f′（x）＝0，解得x＝2，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＝2时，函数f（x）有极小值，即为f（1）＝3，无极大值；（2）函数g（x）＝f（x）+（2a﹣3）lnx﹣＝（1﹣2a）lnx+ax++（2a﹣3）lnx﹣＝﹣2lnx+ax﹣，∴g′（x）＝﹣+a+＝，设h（x）＝ax2﹣2x+（3a﹣2）∵g（x）在区间[1，4]上单调递减，∴h（x）≤0，在[1，4]上恒成立，当a＝0时，h（x）＝﹣2x﹣2＜0在[1，4]上恒成立，满足题意，当a≠0时，∴或即，解得a≤﹣或0＜a≤，综上所述a的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[0，]【点评】本题考查了导数和函数的极值和单调性的关系，以及函数与方程根的关系，考查了转化思想，以及分类讨论的思想，属于中档题．四、选修4-4：坐标系与参数方程20．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程．【解答】解：（1）直线l：（t为参数），可得：x﹣y﹣＝0，可得极坐标方程：﹣ρsinθ﹣＝0；（2）曲线C：（φ为参数），化为普通方程：＝1．把直线l：（t为参数）代入椭圆方程可得：13t2+56t+48＝0，可得：t1+t2＝﹣，t1t2＝，∴|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲21．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x≥5时，f（x）＝x+1+x﹣5＝2x﹣4，此时f（x）的最小值是6，﹣1≤x≤5时，f（x）＝x+1﹣x+5＝6，x≤﹣1时，f（x）＝﹣x﹣1﹣x+5＝﹣2x+4，此时f（x）的最小值是6，故f（x）的最小值是6，故m＝6；（2）由（1）得a+b+c＝6，因为a，b，c均为正实数，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2＝36，当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立，∴a2+b2+c2 的最小值为12．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查柯西不等式的应用，是一道中档题．。
2020年绵阳市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2020年绵阳市数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】 【分析】由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半． 【详解】由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半，即为12⨯2×2×2＝1． 故选B ．【点睛】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键． 2．,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3sin 5α=-，则()cos α-的值为（ ）A ．45-B ．45C ．35D ．35-【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系计算出cos α的值，再利用诱导公式可得出()cos α-的值. 【详解】,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q ，cos 0α∴>，且2234cos 1sin 155αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭， 由诱导公式得()4cos cos 5αα-==，故选B. 【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系，同时也考查了诱导公式的应用，在利用同角三角函数基本关系求值时，先要确定角的象限，确定所求三角函数值的符号，再结合相应的公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.3．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=1． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．4．已知函数()()f x x R ∈满足()()=f x f a x -，若函数25y x ax =--与()y f x =的图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，且12mi i x m ==∑，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】求出f （x ）的对称轴，y=|x 2-ax-5|的图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求和，解方程可得所求值． 【详解】∵f （x ）=f （a-x ），∴f （x ）的图象关于直线x=2a对称， 又y=|x 2-ax-5|的图象关于直线x=2a对称，当m 为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=2a对称，∴x 1+x 2+x 3+…+x m =2m•a=2m ，解得a=1． 当m 奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=2a 对称，另一个交点在对称轴x=2a上， ∴x 1+x 2+x 3+…+x m =a•-12m +2a=2m ． 解得a=1． 故选D ． 【点睛】本题考查了二次型函数图象的对称性的应用，考查转化思想以及计算能力． 5．函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）A ．关于直线对称B ．关于直线对称C ．关于点对称D ．关于点对称【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可． 【详解】函数f （x ）＝2sin （ωx）（ω＞0）的最小正周期为，可得ω＝4，函数f （x ）＝2sin （4x ）．由4x kπ+，可得x ，k ∈Z ．当k ＝0时，函数的对称轴为：x ．故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，周期的求法，考查计算能力，是基础题 6． “不等式101x x +≤-成立”是“不等式()()110x x -+≤成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【分析】 分别求解不等式101x x +≤-与()()110x x -+≤再判定即可. 【详解】101x x +≤-可得()()11010x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩,解得11x -≤<.又()()110x x -+≤解得11x -≤≤. 故“不等式101x x +≤-成立”是“不等式()()110x x -+≤成立”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式与二次不等式的求解以及充分必要条件的判定.属于基础题. 7．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若,m m αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβ C ．若//,//m m αβ，则//αβ D ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥【答案】D 【解析】A 不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；B 不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；C 平行于同一条直线的两个平面平行或相交；D 正确.8．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，()1()12x f x =-，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰好有三个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A ．()2,+∞B ．()1,2C ．)2D ．2]【答案】D 【解析】由f(x−2)=f(x+2),可得函数的周期T=4,当x ∈[−2,0]时,()1 12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴可得(−2,6]的图象如下：从图可看出,要使f(x)的图象与y=log a (x+2)的图象恰有3个不同的交点， 则需满足()()log 223log 623a a ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩，求解不等式组可得a 的取值范围是34,2⎤⎦.本题选择D 选项.9．设f （x ）＝2x ＋x ﹣4，则函数f （x ）的零点位于区间（ ） A ．（﹣1，0） B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）【答案】C 【解析】 【分析】根据零点的判定定理，结合单调性直接将选项的端点代入解析式判正负即可． 【详解】∵f （x ）＝2x +x ﹣4中，y ＝2x 单增，y=x-4也是增函数，∴f （x ）＝2x +x ﹣4是增函数，又f （1）＝﹣1＜0，f （2）＝2＞0， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用，考查了函数单调性的判断，属于基础题． 10．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R ，则（ ） A ．00a >⎧⎨∆>⎩B ．0a >⎧⎨∆<⎩C ．0a <⎧⎨∆>⎩D ．0a <⎧⎨∆<⎩【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数之间的关系，可得出一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R 的等价条件.【详解】由于关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R ，则二次函数2y ax bx c =++的图象恒在x 轴的下方，所以其开口向下，且图象与x 轴无公共点，所以a <⎧⎨∆<⎩，故选：D. 【点睛】本题考查一元不等式在实数集上恒成立，要充分利用二次函数的开口方向和与x 轴的位置关系进行分析，考查推理能力，属于中等题.11．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X ，则（ ） A ．(5,1)X B : B ．(0.5,5)X B : C ．(2,0.5)X B : D ．(5,0.5)X B :【答案】D 【解析】分析：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数152X B ～（，） ，由此能求出正面向上的次数X 的分布列详解：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数152X B ～（，）. 故选D.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．12．已知30.2a =，0.2log 3b =，0.23c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】30.2a =Q ，300.21∴<<0.230b log =< 0.231c =>b ac ∴<<故答案选C二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．要设计一个容积为π的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径R =_______时，造价最低．【答案】5R =. 【解析】 【分析】根据造价关系，得到总造价y ，再利用导数求得y 的最大值. 【详解】设圆柱的高为h ，圆柱底面单位面积造价为1，总造价为y ，因为储油罐容积为π，所以234132R h R πππ+⋅=，整理得：322130Rh R -=>， 所以2211124224y R Rh R πππ=++251()6R Rπ=+， 令2516u R R =+，则'2513u R R=-，当'0u >5R >>，当'0u <得05R <<，所以当5R =时，u 取最大值，即y 取得最大值. 【点睛】本题考查导数解决实际问题，考查运算求解能力和建模能力，求解时要把相关的量设出，并利用函数与方程思想解决问题.14．设()()()()()8210201210142212121x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ,则1210a a a +++=L ________.【答案】512 【解析】 【分析】因为()()()()()8210201210142212121x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ,分别令1x =和12x =,即可求得答案. 【详解】Q ()()()()()8210201210142212121x x a a x a x a x +-=+-+-++-L令1x =.∴原式化为9012102a a a a =++++L .令12x =,得00a =, ∴9121020512a a a +++=-=L .故答案为:512. 【点睛】本题主要考查了多项式展开式系数和,解题关键是掌握求多项式系数和的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15．下表提供了某学生做题数量x （道）与做题时间y （分钟）的几组对应数据：根据上表提供的数据，得y 关于x 的线性回归方程为0.7.3,ˆ05yx =+则表中t 的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】现求出样本的中心点，再代入回归直线的方程，即可求得t 的值. 【详解】 由题意可得3456 2.54 4.5114.5,444t tx y +++++++====，因为y 对x 的回归直线方程是ˆ0.70.35yx =+， 所以11 3.150.354t+=+，解得3t =. 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，代入求解，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________． 【答案】(17,15) 【解析】根据归纳推理可知，每对数字中两个数字不相等，且第一组每一对数字和为3，第二组每一对数字和为4，第三组每对数字和为5,......，第30组每一对数字和为32， ∴第30组第一对数为()1,31，第二对数为()2,30,.......，第15对数为()15,17，第16对数为()17,15，故答案为()17,15.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知正项数列{a n } 为等比数列，等差数列{b n } 的前n 项和为S n （n ∈N * ），且满足：S 11=208，S 9﹣S 7=41，a 1=b 2，a 1=b 1．（1）求数列{a n }，{b n } 的通项公式；（2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n （n ∈N * ），求T n ； （1）设,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数，为偶数，是否存在正整数m ，使得c m ·c m +1·c m +2+8=1（c m +c m +1+c m +2）．【答案】（1）12,35n n n a b n -==-；（2）(38)28nn T n =-⋅+；（1）存在，m=2．【解析】分析：（1）先根据已知条件列方程求出b 1=﹣2，d=1,得到等差数列{b n }的通项，再求出1,a q ，即得等比数列{a n }的通项.(2)利用错位相减法求T n .(1)对m 分类讨论，探究是否存在正整数m ，使得c m ·c m +1·c m +2+8=1（c m +c m +1+c m +2）．详解：（1）等差数列{b n } 的前n 项和为S n （n ∈N * ），且满足：S 11=208，S 9﹣S 7=41，即137979813208,41S b S S b b ==⎧⎨-=+=⎩解得b 7=16，公差为1，∴b 1=﹣2，b n =1n ﹣5，∵a 1=b 2=1，a 1=b 1=4，数列{a n } 为等比数列， ∴a n =2n ﹣1，n ∈N*（2）T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =﹣2×1+1×2+…+（1n ﹣5）2n ﹣1，① ∴2T n =﹣2×2+1×22+…+（1n ﹣5）2n ，②①﹣①得﹣T n =﹣2+1（2+22+…+2n ﹣1）﹣（1n ﹣5）2n =（8﹣1n ）2n ﹣8， ∴T n =（1n ﹣8）2n +8，n ∈N *（1）∵设12,35,n n n c n n -⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数，当m=1时，c 1•c 2•c 1+8=1×1×4+8=12，1（c 1+c 2+c 1）=18，不相等， 当m=2时，c 2•c 1•c 4+8=1×4×7+8=16，1（c 2+c 1+c 4）=16，成立， 当m ≥1且为奇数时，c m ，c m +2为偶数，c m +1为奇数， ∴c m •c m +1•c m +2+8为偶数，1（c m +c m +1+c m +2）为奇数，不成立， 当m ≥4且为偶数时，若c m •c m +1•c m +2+8=1（c m +c m +1+c m +2）， 则（1m ﹣5）•2m •（1m +1）+8=1（1m ﹣5+2m +1m +1）， 即（9m 2﹣12m ﹣8）2m =18m ﹣20，（*）∵（9m 2﹣12m ﹣8）2m ≥（9m 2﹣12m ﹣8）24＞18m ﹣20， ∴（*）不成立，综上所述m=2．点睛：（1）本题主要考查等差等比数列的通项的求法，考查错位相减法求和，考查数列的综合应用，意在考查对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力基本运算能力.(2)本题的难点是第1问，关键是对m 分m=1,m=2,m ≥1且为奇数, m ≥4且为偶数四种情况讨论.18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P的坐标为，求PA PB +．【答案】（1）直线l的普通方程为3y x =-++C的直角坐标方程为22(5x y +=；（2）【解析】 【分析】（1）由直线的参数方程消去参数可直接得到普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式，可直接得到圆的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，结合韦达定理，根据参数的方法，即可求出结果. 【详解】(1)由直线l的参数方程322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)得直线l的普通方程为3y x =-++由ρθ=,得220x y +-=,即圆C的直角坐标方程为22(5x y +-=． (2)将直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3)()522t -+=，即240t -+=，由于2440∆=-⨯＞>0, 故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l 过点，故1212t t t t PA PB +=+=+= 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.19． “微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：（Ⅰ）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？ （Ⅱ）从具有“运动达人”称号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为X ，写出X 的分布列并求出数学期望()E X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）计算2,K 比较3.841即可得到答案；（2）计算出男教师和女教师人数，X 的所有可能取值有0,1,2,3，分别计算概率可得分布列，于是可求出数学期望. 【详解】（1）根据列联表数据得：22140(60204020) 1.167 3.841806010040K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关（2）根据分层抽样方法得：男教师有60106100⨯=人，女教师有40104100⨯=人 由题意可知，X 的所有可能取值有0,1,2,3则()36310106C P X C ===；()2164310112C C P X C ===；()12643103210C C P X C ===；()343101330C P X C === X ∴的分布列为：()01236210305E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题主要考查独立性检验统计思想，超几何分布的分布列与数学期望，意在考查学生的分析能力，计算能力.20．在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目. （Ⅰ）3名女生相邻，有多少种不同的站法？（Ⅱ）女生甲不能站在最左端，有多少种不同的站法？ 【答案】（Ⅰ）720种；（Ⅱ）4320种 【解析】 【分析】（Ⅰ）相邻问题用“捆绑法”；（Ⅱ）有限制元素采取“优先法”. 【详解】解：（Ⅰ）3名女生相邻可以把3名女生作为一个元素，和4名男生共有5个元素排列，有55120A =种情况，其中3名女生内部还有一个排列，有336A =种情况，∴一共有1206720⨯=种不同的站法.（Ⅱ）根据题意，女生甲不能站在最左端，那么除最左端之外，甲有166C =种站法， 将剩余的6人全排列，安排在剩余的位置，有66720A =种站法，∴一共有67204320⨯=种不同的站法. 【点睛】本题主要考查排列的应用，较基础.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>且过点⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点()4,2P ，点M 在x 轴上，过点M 的直线交椭圆C 交于A ，B 两点． ①若直线AB 的斜率为12-，且52AB =，求点M 的坐标；②设直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在定点M ，使得1232k k k +=恒成立？若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y += （2）①()3,0M ± ②存在，()1,0M ；【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率及过点，建立,,a b c 方程组，求解即可（2）①设直线AB 的方程为：2x y m =-+,联立椭圆方程，利用弦长公式即可求出m,得到点M 的坐标②直线AB 分斜率为0与不为0两种情况讨论，斜率为0时易得存在()1,0M ，斜率不为0时，联立直线与椭圆方程，利用1232k k k +=恒成立，可化简知存在定点()1,0M . 【详解】（1）∵椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>322,⎭． ∴2222223221112c ab a b a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎪=+⎪⎪⎩，24a =， ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ， ①设直线AB 的方程为：2x y m =-+．22222844044x y my my m x y =-+⎧⇒-+-=⎨+=⎩．()2221632408m m m ∆=-->⇒<．124m y y +=，21248m y y -⋅=．5482AB ==⨯，解得m =∴()M ．②当直线AB 的斜率为0时，()2,0A -，()2,0B ，(),0M t .由1232k k k +=可得222242424t+=⨯+--，解得1t =，即()1,0M . 当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为x my t =+．由()22222424044x my tm y mty t x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩. 12224mt y y m -+=+，212244t y y m -⋅=+．由1232k k k +=可得12122222444y y x x t--+=⨯---， ()()()12122212122428164(4)8164my y t m y y t m y y mt m y y t t t+--+-+⇒=+-++-+-，()()2222222242242416444424481644t mt m t m t m m t mt t m mt m t t m m--⋅+--⋅-+++==---⋅+-⋅+-+++. 222228138164tm m t t t m m t-+-+=+-+-. ()()2254220m t t m t --+-=，∴当1t =时，上式恒成立，存在定点()1,0M ，使得1232k k k +=恒成立． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，定点问题，属于难题. 22．为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体. （1）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品，从设备M 的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ；（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）：①()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级并说明理由. 【答案】（1）9()50E Y =；（2）设备M 的性能为丙级别.理由见解析 【解析】 【分析】（1）对于次品个数Y 的数学期望()E Y 的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合条件的次品数/样本总数，次品可通过寻找直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件个数求得，再根据该分布符合3~3,50Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，进行期望的求值 （2）根据（2）提供的评判标准，再结合样本数据算出在每个对应事件下的概率，通过比较发现80()0.800.6826100P X μσμσ-<≤+==>， 94(22)0.940.9544100P X μσμσ-<≤+==<，98(33)0.980.9974100P X μσμσ-<≤+==<，三个条件中只有一个符合，等级为丙 【详解】解：（1）由图表知道：直径小于或等于2μσ-的零件有2件，大于2μσ+的零件有4件，共计6件，从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为6310050=，依题意3~3,50Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故39()35050E Y =⨯=； （2）由题意知，62.8μσ-=，67.2μσ+=，260.6μσ-=，269.4μσ+=，358.4μσ-=，371.6μσ+=，所以由图表知道：80()0.800.6826100P X μσμσ-<≤+==>， 94(22)0.940.9544100P X μσμσ-<≤+==<，98(33)0.980.9974100P X μσμσ-<≤+==<，所以该设备M 的性能为丙级别. 【点睛】对于正态分布题型的数据分析，需要结合μσ，的含义来进行理解，根据题设中如()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥来寻找对应条件下的样品数，计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须够保证数据的准确性，特别是统计个数和计算μσ-，μσ+等数据时。
四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学试题 文(含答案)
四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试文科数学 参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．1~5 ACACB 6~10 ADBBD 11~12 CA二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13．1-i 14．[1，+∞) 15．11.5 16．1()8+∞， 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．17．解：（1）由图1，得11.80.45k =，解得10.25k =，∴()0.25f x x =． ················································································ 2分 由图2，得22 2.5k =，解得254k =，∴()g x = ················································································· 4分 （2）设最大收益为y 万元，投资餐馆资金为100-x 万元，投资运输运营x 万元．由题意得0.25(100)y x =−+≤x ≤100)． ············································ 6分∴ 14y '=−=， 由0y '>，解得2504x ≤≤， 由0y '<，解得251004x ≤≤， ······························································ 8分 ∴ 当254x ==6.25时，max 62516y ==156.25． ∴ 投资餐馆资金为93.75万元，投资运输运营6.25万元，才能使投资获得最大收益，其最大收益为156.25万元． ································································ 10分18．解：（1）函数f (x )的导函数为2()32f x x ax b '=++，由题意得(2)0(1)1f f '−=⎧⎨'−=−⎩，， 即41224a b a b −=⎧⎨−=⎩，， 解得44.a b =⎧⎨=⎩， ∴ 32()441f x x x x =+++． ································································· 5分（2）由（1）得2()384(32)(2)f x x x x x '=++=++．当-3≤x ≤0时，由()0f x '>，得-3≤x ≤-2或203≤≤x −； 由()0f x '<，得-2≤x ≤23−． ·································································· 8分 ∴ 函数()f x 在x =-2处取得极大值，在23x =−处取极小值， ∴ (3)2f −=−，(2)1f −=，25()327f −=−，(0)1f =， ∴ 函数()f x 在区间[-3，0]上的最小值为-2，最大值为1． ·························· 10分19．解：（1）()e (0)x f x a x '=−>． ······························································1分①当a ≤1时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0)，+∞上单调递增；································································· 2分 ②当1a >时，令()=0f x '，则ln x a =，当0ln x a <<时，()<0f x '，()f x 单调递减； ············································ 3分 当ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递． ·················································· 4分综上，当a ≤1时，()f x 在(0)，+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(0ln )a ，上单调递减，在(ln )a +∞，上单调递增. ······· 5分 （2）要使2()e ln ≥x f x ax x x =−在(0)，+∞上恒成立，即使2e ln 0≥x a x x x−−在(0)，+∞上恒成立，·············································· 6分 令2e ()ln (0)x a h x x x x x=−−>， 则32(2)e 1()x x a h x x x x−'=+− 3(2)e ()x x x a x x −−−=． ······························································ 7分 ①当2a =时，3(2)(e )()x x x h x x −−'=， 由e x x >知()h x 在(02)，单减，在(2)+∞，单增.∴ 2min e ()(2)ln 2104h x h ==−−> ， ∴ 2a =时满足题意. ·········································································· 8分 ②当2a >时，考查2a x >>时，函数()h x 的取值情况：∵ 2a x >>，∴ 200，x x a −>−<．又e x x >，∴ (2)e ()x x x a x −>−，即'()0h x >，∴ 当2a >时，()h x 在(2)，a 上单调递增. ···············································9分 取3a =，则函数()h x 在(23)，上单增，∵ 2<e<3， 且e 23(e)e 10eh −=−−<， ∴ ()0≥h x 不能恒成立．综上，a 的最大正整数值为2． ···························································· 10分20．解：（1）∵ 曲线C 的极坐标方程为cos sin ρθθ=+，∴ 2cos sin ρρθρθ=+，∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴ 22x y x y +=+， 即22111()()222x y −+−=． ····································································5分 （2）将直线l 的参数方程曲线C 的直角坐标方程，即22111(1))222−+−=，整理得21022t −=， ········································································ 7分解得t 1=0或2t = …………………………………………………………………4分∴ 12AB t t =−． ····································································· 10分21．解：（1）当m =3时，()f x =｜2x -1｜+｜x +3｜．当x ≤-3时，f (x )=-3x -2≥x +6，解得x ≤-2，综合得x ≤-3； ································ 2分 当12x ≥时，f (x )=3x +2≥x +6，解得x ≥2，综合得x ≥2； 当-3<x <12时，f (x )=-x +4≥x +6，解得x ≤-1，综合得-3<x ≤-1； ∴ 综上所述，不等式()f x ≥x +6的解集为(1][2)−∞∞，-，+． ························· 5分 （2）∵ ()f x =｜2x -1｜+｜x +m ｜，∴ 2()f x =2｜2x -1｜+2｜x +m ｜=｜2x -1｜+｜2x -1｜+2｜x +m ｜，∵ ｜2x -1｜≥0，∴ 2()f x ≥｜2x -1｜+｜2x +2m ｜≥｜(2x -1)-(2x +2m )｜································································· 8分 =｜2m +1｜=｜m +m +1｜≥｜m +1｜-｜m ｜，∴ 对任意x ∈R ，2()f x ≥｜m +1｜-｜m ｜． ············································ 10分。
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四川省绵阳市北川职高高二数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）
A．充分条件B．必要条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
参考答案：
A
2. 已知函数f(x)=log 2 (x 2 -ax+3a)在［2,+∞］上是增函数,则实数a的取值范围是( )
a.(-∞,4)
b.(-4,4)
c.(-∞,-4)∪［2,+∞］
d.［-4,4)
参考答案：
B
解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.
令u(x)=x 2 -ax+3a,其对称轴x= .
由题意有解得-4＜a≤4.
3. 如图，在圆心角为的扇形中以圆心Ｏ为起点作射线OC,
则使得与都不大于的概率是
(A)3/4/ (B)2/3 (C)1/2 (D)1/3
参考答案：
D
4. 不等式的解集是（）A. B. C. D.
参考答案：
A
略
5. 如果直线l, m与平面α, β, γ满足: β∩γ=l, l∥α, mα且m⊥γ, 那么必有( )
A.α⊥γ且l⊥m
B.α∥β且α⊥γ
C.α⊥γ且m∥β
D.m∥β且l∥m
参考答案：
A
略
6. 若方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（）
A．
B． C．
D．
参考答案：
B
7. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，有下列四个命题：
①②③
④其中为真命题的是（）
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
参考答案：
C
略
8. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）
与
参考答案：
D
9. “AB>0”是“方程表示椭圆”的 （ ）
A.必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A
10. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数为，向量
对应的复数为
，向量
对应
的复数为
，则点C
对应的复数是
▲
参考答案：
由
得
，同理
，所以
点对应的复数是
.
12. 已知函数，则 ▲ ．
参考答案：
略
13. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率
是 ▲ .
参考答案：
略
14. 已知函数
（e 是自然对数的底数）在
处的切线斜率为0，则
的值为_________________。
参考答案：
略
15. 如图是y ＝f(x)的导函数的图象，现有四种说法：
(1)f(x)在(－3,1)上是增函数； (2)x ＝－1是f(x)的极小值点； (3)f(x)在(2,4)上是减函数， 在(－1,2)上是增函数； (4)x ＝2是f(x)的极小值点；
以上正确的序号为________．
参考答案：
②
16. 若复数
是纯虚数，则实数m 的值为____．
参考答案：
－
【分析】
由纯虚数的定义，可以得到一个关于的等式和不等式，最后求出的值.
【详解】因为复数是纯虚数，所以有，
.故答案为.
【点睛】本题考查了纯虚数的定义，解不等式和方程是解题的关键.
17. 给出下列四个命题：
（1）动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆；
（2）双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；
（3）点M与点F（0，﹣2）的距离比它到直线l：y﹣3=0的距离小1的轨迹方程是x2=﹣8y；（4）方程为+=1（a＞b＞0）的椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F1、F2，D是它短轴的一个顶点．若2﹣=，则该椭圆的离心率为．
其中正确命题的序号．
参考答案：
（2），（3），（4）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．
【分析】（1）根据椭圆的定义可判断；
（2）根据圆锥曲线焦点的公式可判断；
（3）利用第二定义或设点列方程的方法求曲线方程都可以；
（4）利用向量的坐标运算可得出﹣2c=a+c．【解答】解：（1）若点M到F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，故错误；
（2）根据定义可知，双曲线﹣=1与椭圆+y2=1中c2=34，且在x轴上，故有相同的焦点，故正确；
（3）法1：点M与点F（0，﹣2）的距离比它到直线l：y﹣3=0的距离小1，
∵点M到点F（0，﹣2）的距离比它到直线l：y﹣3=0的距离小1，
设M（x，y），依题意得
∴由两点间的距离公式，得
=|y﹣3|﹣1，
根据平面几何原理，得y＜3，原方程化为=2﹣y
两边平方，得x2+（y+2）2=（2﹣y）2，整理得x2=﹣8y
即点M的轨迹方程是x2=﹣8y，故正确．
法2：也可根据第二定义可知点M与点F（0，﹣2）的距离与它到直线l：y﹣2=0的距离相等，可得焦准距为8，
可得x2=﹣8y．
（4）方程为+=1（a＞b＞0）的椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F1、F2，D是它短轴的一个顶点．
∴D（0，b），A（a，0），F1（﹣c，0）F2（c，0），
2﹣=，
∴2（﹣c，﹣b）=（c，﹣b）+（a，﹣b），
∴﹣2c=a+c，
∴该椭圆的离心率为，故正确．
故答案为（2），（3），（4）．
【点评】考查了圆锥曲线的定义和向量的坐标运算，属于基础题型，应熟练掌握．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．
（Ⅰ）分别求出两人得分的平均数与方差；
（Ⅱ）请对两人的训练成绩作出评价．
参考答案：
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】（Ⅰ）由茎叶图列出甲、乙近期的五次测试成绩得分，由此能求出两人得分的平均数与方差．
（Ⅱ）甲、乙二人的平均成绩相等，但乙比甲的成绩更稳定．
【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲近期的五次测试成绩得分分别为：
10，13，12，14，16，
∴甲得分的平均数为： =（10+13+12+14+16）=13，
方差为： = [（10﹣13）2+（13﹣13）2+（12﹣13）2+（14﹣13）2+（16﹣13）2]=4，
乙近期的五次测试成绩得分分别为：
13，14，12，12，14，
∴乙得分的平均数为： =（13+14+12+12+14）=13，
方差为： = [（13﹣13）2+（14﹣13）2+（12﹣13）2+（12﹣13）2+（14﹣13）2]=0.8．（Ⅱ）∵，，
∴甲、乙二人的平均成绩相等，但乙比甲的成绩更稳定．
19. （本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线y=f(x)在原点O(0,0)处的切线方程；
（2）求函数y=f(x)的单调区间及最大值；
（3）证明：．参考答案：
（1）所求切线的斜率
从而曲线在原点处的切线方程为
（2）
由得；由得
的递增区间为，递减区间为，函数最大值是
（3）由（2）可知：仅当时取等号别取得
以上不等式两边相加即得所证不等式
20. 已知开口向上的二次函数f(x)，对任意，恒有成立，设向量a=，b=(1,2)。
求不等式f(a·b)<f(5)的解集。
参考答案：
由题意知f(x)在上是增函数，
a·b=
f(a·b)<f(5)a·b<5(*)
①当时，不等式(*)可化为，
此时x无解；
②当时，不等式(*)可化为
此时；
③当时，不等式(*)可化为，
此时。
综上可知：不等式f(a·b)<f(5)的解集为。
21. 在中，已知.
（1）求角和角的大小；（2）求的面积.
参考答案：
解：（1）由，得.
所以或；（4分）
（2）或. （8分）
略
22. 椭圆C：过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点M的坐标为（2,0），设直线AM与BM斜率分别为，求证:.
参考答案：
解：（Ⅰ）因为椭圆：过点，所以.①
又因为离心率为，所以，所以.②
解①②得，.
所以椭圆的方程为. ………………5分
法一：（Ⅱ）当直线斜率不存在时，因为，所以
当直线斜率存在时，设直线，设与椭圆交点，
联立得
即，
，………………8分
=
因为
综上：命题得证.…………12分
法二：（Ⅱ）当直线斜率为0时，因为，所以
当直线斜率不为0时，
设直线，设与椭圆交点，
联立得
即，
，………………8分综上：命题得证.…………12分。