十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题03 函数 (含解析)

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题03函数1.(2019•天津•理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1,x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( )A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e] 【答案】C【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2-2a 2+2a ≥0.a 2-2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-ax =x -a x>0此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a ≤1.(2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立. 此时f'(x)=x -a x,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增.需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知1<a ≤e. 由(1)(2)可知,a ∈[0,e],故选C.2.(2019•天津•文T8)已知函数f(x)={2√x ,0≤x ≤1,1x,x >1.若关于x 的方程f(x)=-14x+a(a ∈R)恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为( ) A.54,94B.54,94 C.54,94∪{1} D.54,94∪{1}【答案】D【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=54. 当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=94. 故当54≤a≤94时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x 0)=-1x 02=-14,x 0=2.此时切点为2,12,此时a=1.故选D.3.(2019•浙江•T9)设a,b ∈R,函数f(x)={x ,x <0,13x 3-12(a +1)x 2+ax ,x ≥0.若函数y=f(x)-ax-b 恰有3个零点, 则( )A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0 【答案】C【解析】当x<0时,由x=ax+b,得x=b1-a ,最多一个零点取决于x=b1-a 与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程13x 3-12(a+1)x 2+ax=ax+b 的解的个数,令b=13x 3-12(a+1)x 2=13x 2x-32(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系.①若32(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b 最多只能有一个交点,不符合题意.②若32(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.③若32(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b 可以有两个交点,且此时要求x=b1-a <0,故-1<a<1,b<0,选C.4.(2019•北京•文T3)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=x 12B.y=2-xC.y=lo g 12xD.y=1x【答案】A【解析】函数y=2-x,y=lo g 12x,y=1x 在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=x 12在区间(0,+∞)上单调递增,故选A.5.(2019•全国1•理T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(π2,π)内单调递增 ③f(x)在[-π,π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④B.②④C.①④D.①③ 【答案】C【解析】因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确;当π2<x<π时,f(x)=2sin x,它在区间(π2,π)内单调递减,故②错误;当0≤x ≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点0和π;当-π≤x ≤0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;当x ∈[2k π,2k π+π](k ∈N *)时,f(x)=2sin x;当x ∈(2k π+π,2k π+2π](k ∈N *)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确; 综上可知①④正确,故选C.6.(2019•全国3•理T11文T12)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( ) A.f (log 314)>f(2-32)>f(2-23) B.f (log 314)>f(2-23)>f(2-32) C.f(2-32)>f(2-23)>f (log 314)D.f(2-23)>f(2-32)>f (log 314) 【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的偶函数, ∴f (log 314)=f(-log 34)=f(log 34). 又y=2x在R 上单调递增, ∴log 34>1=20>2-23>2-32.又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减, ∴f(log 34)<f(2-23)<f(2-32), ∴f(2-32)>f(2-23)>f (log 314).故选C.7.(2019•全国1•理T3文T3)已知a=log 20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( ) A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a 【答案】B【解析】因为a=log 20.2<0,b=20.2>20=1, 又0<c=0.20.3<0.20<1, 所以a<c<b.故选B.8.(2019•天津•理T6)已知a=log 52,b=log 0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A【解析】∵a=log 52<log 5√5=12, b=log 0.50.2>log 0.50.5=1,c=0.50.2=（12）0.2>（12）1,∴b>c>a.故选A.9.(2019•天津•文T5)已知a=log 27,b=log 38,c=0.30.2,则a,b,c 的大小关系为( ) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b命题点比较大小,指、对数函数的单调性. 解题思路利用指、对数函数的单调性比较. 【答案】A【解析】a=log 27>log 24=2. b=log 38<log 39<2,且b>1. 又c=0.30.2<1,故c<b<a,故选A.10.(2019•全国1•T5)函数f(x)=sinx+xcosx+x 2在[-π,π]的图像大致为( )【答案】D【解析】由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除A. 又f (π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f(π)=π-1+π2>0,排除B,C.故选D.11.(2019•全国3•理T7)函数y=2x 32x +2-x 在[-6,6]的图像大致为( )【答案】B【解析】设y=f(x)=2x 32x +2-x ,则f(-x)=2(-x )32-x +2x=-2x 32x +2-x=-f(x),故f(x)是奇函数,图像关于原点对称,排除选项C. f(4)=2×4324+2-4>0,排除选项D. f(6)=2×6326+2-6≈7,排除选项A. 故选B.12.(2019•浙江•T6)在同一直角坐标系中,函数y=1a x ,y=log a x+12(a>0,且a ≠1)的图象可能是 ( )【答案】D【解析】当0<a<1时,函数y=a x的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=1a x 的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=log a （x+12）的图象过定点（12,0）且单调递减,D 选项符合;当a>1时,函数y=a x 的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1a x 的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=log a （x+12）的图象过定点（12,0）且单调递增,各选项均不符合.故选D.13.(2019•全国2•理T12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x ∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x ∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m 的取值范围是( ) A.-∞,94B.-∞,73C.-∞,52 D.-∞,83【答案】B【解析】∵f (x+1)=2f(x),∴f (x)=2f(x-1). ∵当x ∈(0,1]时,f(x)=x(x-1), ∴f (x)的图象如图所示.∵当2<x ≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3), ∴令4(x-2)(x-3)=- , 整理得9x 2-45x+56=0, 即(3x-7)(3x-8)=0, 解得x 1=73,x 2=83.∵当x ∈(-∞,m]时,f(x)≥-89恒成立,即m≤73,故m ∈-∞,73.14.(2018•全国1•文T12)设函数f(x)={2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f(x+1)<f(2x)的x 的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)【答案】D【解析】画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知:①当x+1≥0且2x ≥0,即x ≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意; ②当x+1>0且2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)显然成立;③当x+1≤0时,x ≤-1,此时2x<0,若f(x+1)<f(2x),则x+1>2x,解得x<1.故x ≤-1. 综上所述,x 的取值范围为(-∞,0).15.(2018•全国2•理T11文T12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( ) A.-50 B.0 C.2 D.50 【答案】C【解析】∵f(-x)=f(2+x)=-f(x), ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. ∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.16.(2018•全国3•文T7)下列函数中,其图像与函数y=ln x 的图像关于直线x=1对称的是( ) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 【答案】B【解析】设所求函数的图像上点P(x,y)关于x=1对称的点为Q(2-x,y),由题意知Q 在y=ln x 上, ∴y=ln(2-x),故选B.17.(2018•上海•T16)设D 是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D 上的函数.若f(x)的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( ) A.√3 B.√32C.√33D.0【答案】B【解析】若f(1)=√3,则f(√3)=1,f(1)=-√3,与函数的定义矛盾,舍去; 若f(1)=√33,则f (2√33)=0,f(1)=-√33,与函数的定义矛盾,舍去; 若f(1)=0,则f (12)=√32,f (12)=-√32,与函数的定义矛盾,舍去. 因此f(1)的可能取值只能是√32,故选B.18.(2018•全国3•理T12)设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( ) A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b 【答案】B【解析】∵a=log 0.20.3>0,b=log 20.3<0,∴ab<0. 又a+b=lg0.3lg0.2+lg0.3lg2=lg3-1lg2-1+lg3-1lg2=(lg3-1)(2lg2-1)(lg2-1)•lg2而lg 2-1<0,2lg 2-1<0,lg 3-1<0,lg 2>0, ∴a+b<0.a+b ab=1b +1a =log 0.32+log 0.30.2=log 0.30.4<log 0.30.3=1.∴ab<a+b.故选B.19.(2018•天津•理T5)已知a=log 2e,b=ln 2,c= lo g 1213,则a,b,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】D【解析】因为c=lo g 1213=log 23,a=log 2e,且y=log 2x 在(0,+∞)上单调递增,所以log 23>log 2e>log 22=1,即c>a>1.因为y=ln x 在(0,+∞)上单调递增,且b=ln 2, 所以ln 2<ln e=1,即b<1. 综上可知,c>a>b.故选D.20.(2018•天津•文T5)已知a=log 372,b=(14)13,c=lo g 1315,则a,b,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】D【解析】∵c=lo g 1315=log 35>log 372>log 33=1,∴c>a>1.又b=（14） 13<（14）0=1,∴c>a>b.21.(2018•全国2•T3)函数f(x)=e x -e -x x 2的图像大致为( )【答案】B 【解析】∵f(-x)=e -x -e x x 2=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=e 10-1e 10100>1,排除C 、D,故选B.22.(2018•全国3•理T7文T9)函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为( )【答案】D【解析】当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=12时,y=-(12)4+(12)2+2>2.排除C.故选D. 23.(2018•浙江•T5)函数y=2|x|sin 2x 的图象可能是( )【答案】D【解析】因为在函数y=2|x|sin 2x 中,y 1=2|x|为偶函数,y 2=sin 2x 为奇函数, 所以y=2|x|sin 2x 为奇函数.所以排除选项A,B.当x=0,x=π2,x=π时,sin 2x=0,故函数y=2|x|sin 2x 在[0,π]上有三个零点,排除选项C,故选D.24.(2018•全国1•理T9)已知函数f(x)={e x ,x ≤0,lnx ,x >0,g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是( ) A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞) 【答案】C【解析】要使得方程g(x)=f(x)+x+a 有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a 有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a 的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a 位于直线y=-x+1的下方,所以-a ≤1,即a ≥-1.故选C.25.(2017•山东•理T1)设函数y=√4-x 2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A ∩B=( ) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1)【答案】D【解析】由4-x 2≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A ∩B=[-2,1).故选D.26.(2017•山东•文T9)设f(x)={√x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1.若f(a)=f(a+1),则f (1a )=( )A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】由x≥1时,f(x)=2(x-1)是增函数可知,若a≥1,则f(a)≠f(a+1),所以0<a<1,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得√a =2(a+1-1),解得a=14,则f1a=f(4)=2(4-1)=627.(2017•全国1•理T5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3] 【答案】D【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x ≤3.所以x 的取值范围是[1,3].28.(2017•天津•理T6)已知奇函数f(x)在R 上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log 25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a 【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的奇函数, ∴g(x)=xf(x)是R 上的偶函数. ∴g(-log 25.1)=g(log 25.1). ∵奇函数f(x)在R 上是增函数, ∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立, ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.∵2<log 25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log 25.1<3. 结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.29.(2017•北京•理T5)已知函数f(x)=3x-(13)x,则f(x)( ) A.是奇函数,且在R 上是增函数 B.是偶函数,且在R 上是增函数 C.是奇函数,且在R 上是减函数 D.是偶函数,且在R 上是减函数 【答案】A【解析】因为f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-(13)-x=(13)x-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.又y=3x和y=-(13)x在R 上都是增函数,所以函数f(x)在R 上是增函数.故选A.30.(2017•全国1•理T11)设x,y,z 为正数,且2x=3y=5z,则( ) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 【答案】D【解析】由2x=3y=5z,同时取自然对数,得xln 2=yln 3=zln 5.由2x 3y =2ln33ln2=ln9ln8>1,可得2x>3y;再由2x 5z =2ln55ln2=ln25ln32<1,可得2x<5z;所以3y<2x<5z,故选D.31.(2017•全国2•文T8)函数f(x)=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 【答案】D【解析】由题意可知x 2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x 2-2x-8在(-∞,-2)内单调递减,在(4,+∞)内单调递增.因为y=ln t 在t ∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D. 32.(2017•全国1•文T9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( ) A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 【答案】C【解析】f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x 2+2x),x ∈(0,2).当x ∈(0,1)时,x 增大,-x 2+2x 增大,ln(-x 2+2x)增大,当x ∈(1,2)时,x 增大,-x 2+2x 减小,ln(-x 2+2x)减小,即f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.33.(2017•山东•理T7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ) A.a+1b <b2a <log 2(a+b) B.b 2a <log 2(a+b)<a+1b C.a+1b <log 2(a+b)<b2aD.log 2(a+b)<a+1b <b2a【答案】B【解析】不妨令a=2,b=12,则a+1b=4,b 2a=18,log 2(a+b)=log 252∈(log 22,log 24)=(1,2),即b 2a <log 2(a+b)<a+1b.故选B.34.(2017•浙江•理T5)若函数f(x)=x 2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a 有关,且与b 有关 B.与a 有关,但与b 无关 C.与a 无关,且与b 无关 D.与a 无关,但与b 有关 【答案】B【解析】因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f (-a2)=b-a 24中取,所以最值之差一定与a 有关,与b 无关,故选B.35.(2017•全国1•文T8)函数y=sin2x1-cosx 的部分图象大致为( )【答案】C 【解析】令f(x)=sin2x 1-cosx,因为f(-x)=sin (-2x )1-cos (-x )=-sin2x1-cosx=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除选项B;因为f(π)=sin2π1-cosπ=0,故排除选项D;因为f(1)=sin21-cos1>0,故排除选项A.故选C.36.(2017•全国3•文T7)函数y=1+x+sinx x 2的部分图象大致为( )【答案】D【解析】当x=1时,y=1+1+sin 1=2+sin 1>2,故排除A,C;当x →+∞时,y →+∞,故排除B,满足条件的只有D,故选D.37.(2017•山东•理T10)已知当x ∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=√x +m 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[2√3,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,√2]∪[2√3,+∞)D.(0,√2]∪[3,+∞)【答案】B【解析】在同一直角坐标系中,分别作出函数f(x)=(mx-1)2=m 2（x-1m ）2与g(x)=√x +m 的大致图象.分两种情形:(1)当0<m≤1时,1m ≥1,如图①,当x ∈[0,1]时, f(x)与g(x)的图象有一个交点,符合题意;(2)当m>1时,0<1m <1,如图②,要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需g(1)≤f(1), 即1+m≤(m -1)2,解得m≥3或m≤0(舍去). 综上所述,m ∈(0,1]∪[3,+∞).故选B.38.(2017•天津•文T8)已知函数f(x)={|x |+2,x <1,x +2x,x ≥1.设a ∈R,若关于x 的不等式f(x)≥|x2+a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[-2√3,2] C.[-2,2√3] D.[-2√3,2√3]【答案】A【解析】若a=2√3,则当x=0时,f(0)=2,而x 2+a =2√3,不等式不成立,故排除选项C 、D.若a=-2√3,则当x=0时,f(0)=2,而x 2+a =2√3,不等式不成立,故排除选项B.故选A.39.(2017•全国3•理T11文T12)已知函数f(x)=x 2-2x+a(e x-1+e -x+1)有唯一零点,则a=( )A.-12 B.13C.12D.1【答案】C【解析】∵f (x)=x 2-2x+a(e x-1+e -x+1),∴f (2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e -(2-x)+1)=x 2-4x+4-4+2x+a(e 1-x +e x-1) =x 2-2x+a(e x-1+e-x+1),∴f (2-x)=f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴. ∵f (x)有唯一零点,∴f (x)的零点只能为1, 即f(1)=12-2×1+a(e 1-1+e-1+1)=0,解得a=12.40.(2017•北京•理T8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.1093【答案】D【解析】设MN =x=33611080,两边取对数,得lg x=lg 33611080=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x ≈1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D. 41.(2016•全国2•文T10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 ( )A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=√x【答案】D 【解析】y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞).y=x 的定义域和值域均为R;y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R; y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞); y=√x 的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.42.(2016•北京•文T4)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) A.y=11-x B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x【答案】D【解析】选项A,y=11-x 在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数,故在(-1,1)上为增函数; 选项B,y=cos x 在(-1,1)上先增后减; 选项C,y=ln(x+1)在(-1,+∞)上递增, 故在(-1,1)上为增函数;选项D,y=2-x =12x在R 上为减函数,故在(-1,1)上是减函数.43.(2016•山东•文T9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x 3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,f (x +12)=f (x -12),则f(6)= ( )A.-2B.-1C.0D.2【答案】D【解析】由题意可知,当-1≤x ≤1时,f(x)为奇函数; 所以f(6)=f(5×1+1)=f(1). 而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2. 所以f(6)=2.故选D.44.(2016•全国1•文T8)若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c<b cD.c a>c b【答案】B【解析】对于A,log a c=lgclga ,log b c=lgc lgb,∵0<c<1,∴lg c<0,而a>b>0,∴lg a>lg b,但不能确定lg a,lg b 的正负,故log a c 与log b c 大小不能确定,A 不正确; 对于B,在lg a>lg b 两边同乘以一个负数1lgc ,不等号改变,得log c a<log c b,B 正确;对于C,∵0<c<1,∴幂函数y=x c在(0,+∞)上为增函数. ∵a>b>0,∴a c>b c ,故C 不正确;对于D,∵0<c<1,∴指数函数y=c x在R 上为减函数.∵a>b>0,∴c a<c b,故D 不正确. 45.(2016•全国1•理T8)若a>b>1,0<c<1,则( ) A.a c<b cB.ab c<ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c 【答案】C【解析】特殊值验证法,取a=3,b=2,c=12, 因为√3>√2,所以A 错;因为3√2=√18>2√3=√12,所以B 错;因为log 312=-log 32>-1=log 212,所以D 错;因为3log 212=-3<2log 312=-2log 32,所以C 正确.故选C.46.(2016•全国3•理T6)已知a=243,b=425,c=2513,则( ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A【解析】因为a=243=423>425=b,c=2513=523>423=a, 所以b<a<c.47.(2016•全国3•文T7)已知a=243,b=323,c=2513,则( ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A【解析】因为a=243=423,c=2513=523,b=323, 且函数y=x 23在[0,+∞)内是增函数, 所以323<423<523,即b<a<c.故选A.48.(2016•全国2•文T12)已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x 2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1mx i =( )A.0B.mC.2mD.4m【答案】B【解析】由题意可知,y=f(x)与y=|x 2-2x-3|的图象都关于x=1对称,所以它们的交点也关于x=1对称. 当m 为偶数时,∑i=1mx i =2×m2=m;当m 为奇数时,∑i=1m x i =2×m -12+1=m,故选B.49.(2016•全国1•T9)函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )【答案】D【解析】特殊值验证法,取x=2,则y=2×4-e 2≈8-2.7182≈0.6∈(0,1),排除A,B;当0<x<2时,y=2x 2-e x,则y'=4x-e x,由函数零点的判定可知,y'=4x-e x在(0,2)内存在零点,即函数y=2x 2-e x在(0,2)内有极值点,排除C,故选D. 50.(2016•浙江•文T3)函数y=sin x 2的图象是( )【答案】D【解析】∵f (-x)=sin(-x)2=sin x 2=f(x), ∴y=sin x 2的图象关于y 轴对称,排除A,C; 又当x=±π2时,sin π24≠1,∴排除B,故选D.51.(2016•浙江•文T7)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|,且f(x)≥2x,x ∈R.( ) A.若f(a)≤|b|,则a ≤b B.若f(a)≤2b,则a ≤b C.若f(a)≥|b|,则a ≥b D.若f(a)≥2b ,则a ≥b 【答案】B【解析】∵f (x)≥|x|且f(x)≥2x,∴f (x)表示的区域如图阴影部分所示.∵对于选项A 和选项C 而言,无论f(a)≤|b|还是f(a)≥|b|,均有a ≤b 或a ≥b 都成立,∴选项A 和选项C 均不正确;对于选项B,若f(a)≤2b,只能得到a ≤b,故选项B 正确;对于选项D,若f(a)≥2b,由图象可知a ≥b 与a ≤b 均有可能,故选项D 不正确. 52.(2015•湖北•文T7)设x ∈R,定义符号函数sgnx={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则( )A.|x|=x|sgn x|B.|x|=xsgn |x|C.|x|=|x|sgn xD.|x|=xsgn x 【答案】D【解析】利用排除法逐项验证求解.当x<0时,|x|=-x,x|sgn x|=x;xsgn|x|=x,|x|sgn x=(-x )•(-1)=x,故排除A,B,C 项,选D.53.(2015•重庆•文T3)函数f(x)=log 2(x 2+2x-3)的定义域是( ) A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 【答案】D【解析】要使函数有意义,应满足x 2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,故函数的定义域是(-∞,-3)∪(1,+∞). 54.(2015•湖北•文T6)函数f(x)= √4-|x |+lg x 2-5x+6x -3的定义域为( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6] 【答案】C【解析】要使函数有意义,需{4-|x |≥0,x 2-5x+6x -3>0,即{-4≤x ≤4,x >2且x ≠3,即2<x<3或3<x≤4. 故函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4].55.(2015•全国1•文T10)已知函数f(x)={2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f(a)=-3,则f(6-a)=( )A.-74B.-54C.-34D.-14【答案】A【解析】当a ≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立. 当a>1时,f(a)=-log 2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7. ∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-74.56.(2015•陕西•文T4)设f(x)={1-√x ,x ≥0,2x,x <0,则f(f(-2))=( )A.-1B.14C.12D.32【答案】C【解析】f(f(-2))=f (14)=1-√14=12.57.(2015•山东•文T10)设函数f(x)={3x -b ,x <1,2x ,x ≥1.若f (f (56))=4,则b=( )A.1B.78C.34D.12【答案】D【解析】∵f (56)=3×56-b=52-b,∴f (f (56))=f (52-b). 当52-b<1,即b>32时,f (52-b)=3×(52-b)-b=4,∴b=78(舍去).当52-b≥1,即b≤32时,f (52-b)=252-b =4,即52-b=2,∴b=12. 综上,b=1258.(2015•全国2•文T12)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x ,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 的取值范围是( )A.(13,1)B.(-∞,13)∪(1,+∞) C.(-13,13)D.(-∞,-13)∪(13,+∞) 【答案】A【解析】函数f(x)的定义域为R,又由题意可知f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数. 当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+x 2,因为y 1=ln(1+x)单调递增,y 2=-11+x 2亦为单调递增,所以f(x)在(0,+∞)为增函数.由f(x)>f(2x-1)⇔f(|x|)>f(|2x-1|),得|x|>|2x-1|,解得x ∈(13,1).59.(2015•北京•文T3)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=x 2sin x B.y=x 2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x【答案】B【解析】A 选项中函数为奇函数,B 选项中函数为偶函数,C 选项中函数定义域为(0,+∞)不具有奇偶性,D 选项中函数既不是奇函数也不是偶函数.故选B.60.(2015•天津•文T7)已知定义在R 上的函数f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为偶函数.记a=f(log 0.53),b=f(log 25),c=f(2m),则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 【答案】B 【解析】∵f (-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)为偶函数,∴2|x+m|-1=2|x-m|-1对任意的x ∈R 恒成立,解得m=0.∴f (x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数.∵a=f (log 0.53)=f(-log 23)=f(log 23),c=f(2m)=f(0),且0<log 23<log 25, ∴f (0)<f(log 23)<f(log 25),即c<a<b.61.(2015•全国2•理T5)设函数f(x)={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1, x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.12 【答案】C【解析】∵f (-2)=1+log 24=3,f(log 212)=2log 212-1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f(log 212)=9.62.(2015•全国2•理T10文T11)如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )【答案】B【解析】当x ∈0,π4时,f(x)=tan x+√4+tan 2x ,图象不是线段,从而排除A,C; ∵fπ4=f34π=1+√5,f π2=2√2,2√2<1+√5,∴f π2<f π4=f 34π,从而排除D.故选B.63.(2015•安徽•文T10)函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 【答案】A【解析】由图象可知f(0)=d>0,f'(x)=3ax 2+2bx+c,x 1,x 2为方程3ax 2+2bx+c=0的两根,因此x 1+x 2=-2b 3a ,x 1•x 2=c3a .由图象可知x ∈(-∞,x 1)时,f'(x)>0,所以a>0.而由图象知x 1,x 2均为正数,所以-2b3a >0,c3a >0,由此可得b<0,c>0,故选A.64.(2015•浙江•文T5)函数f(x)=(x -1x )cos x(-π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )【答案】D【解析】因为f(-x)=-x+1x cos(-x)=-x-1x cos x=-f(x),所以f(x)为奇函数.排除A,B;又f(π)=(π-1π)cos π=-π+1π<0,排除C,故选D.65.(2015•天津•文T8)已知函数f(x)={2-|x |,x ≤2,(x -2)2,x >2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A【解析】因为f(x)={2+x ,x <0,2-x ,0≤x ≤2,(x -2)2,x >2,所以f(2-x)={2+(2-x ),2-x <0,2-(2-x ),0≤2-x ≤2,(2-x -2)2,2-x >2⇒f(2-x)={x 2,x <0,x ,0≤x ≤2,4-x ,x >2,f(x)+f(2-x)={x 2+x +2,x <0,2,0≤x ≤2,x 2-5x +8,x >2,所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)={x 2+x -1,x <0,-1,0≤x ≤2,x 2-5x +5,x >2.其图象如图所示.显然函数图象与x 轴有2个交点,故函数有2个零点.66.(2015•北京•理T7)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log 2(x+1)的解集是 ( ) A.{x|-1<x ≤0} B.{x|-1≤x ≤1} C.{x|-1<x ≤1} D.{x|-1<x ≤2} 【答案】C【解析】如图,作出函数f(x)与y=log 2(x+1)的图象.易知直线BC 的方程为y=-x+2,由{y =-x +2,y =log 2(x +1)得D 点坐标为(1,1).由图可知,当-1<x ≤1时,f(x)≥log 2(x+1),所以所求解集为{x|-1<x ≤1}.67.(2014•江西•理T3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R),若f[g(1)]=1,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1【答案】A【解析】由题意可知f[g(1)]=1=50,得g(1)=0,代入g(x),则a-1=0,即a=1.故选A. 68.(2014•山东•理T3)函数f(x)=√(log 2x )-1的定义域为( )A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞)【答案】C【解析】要使函数有意义,应有(log 2x)2>1,且x>0,即log 2x>1或log 2x<-1,解得x>2或0<x<12.所以函数f(x)的定义域为(0,12)∪(2,+∞). 69.(2014•江西•文T4,)已知函数f(x)= {a •2x ,x ≥0,2-x ,x <0 (a ∈R),若f[f(-1)]=1,则a=( )A.14B.12 C.1 D.2【答案】A【解析】由题意可知f(-1)=21=2,则f[f(-1)]=f(2)=a •22=4a=1.故a=1470.(2014•全国1•理T3文T5)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C【解析】由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 对于A 选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x), f(x)g(x)为奇函数,故A 错误;对于B 选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x), |f(x)|g(x)为偶函数,故B 错误; 对于C 选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|, f(x)|g(x)|为奇函数,故C 正确; 对于D 选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x )•g(x)|, |f(x)g(x)|是偶函数,故D 错误.71.(2014•北京•文T6)已知函数f(x)=6x -log 2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 【答案】C【解析】由题意知f(1)=61-log 21=6>0,f(2)=62-log 22=3-1=2>0,f(4)=64-log 24=32-2=-12<0.故f(2)•f(4)<0.由零点存在性定理可知,包含f(x)零点的区间为(2,4).72.(2013•全国1•理T11)已知函数f(x)={-x 2+2x ,x ≤0,ln (x +1),x >0.若|f(x)|≥ax,则a 的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]【答案】D【解析】由y=|f(x)|的图象知:①当x>0时,y=ax 只有a ≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C. ②当x ≤0时,y=|f(x)|=|-x 2+2x|=x 2-2x. 故由|f(x)|≥ax 得x 2-2x ≥ax. 当x=0时,不等式为0≥0成立. 当x<0时,不等式等价于x-2≤a. ∵x -2<-2, ∴a≥-2.综上可知,a ∈[-2,0].73.(2013•全国2•文T12)若存在正数x 使2x(x-a)<1成立,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) 【答案】D【解析】由题意可得,a>x-(12)x(x>0).令f(x)=x-(12)x,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故a>-1时,存在正数x 使原不等式成立.74.(2013•全国2•理T8)设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 【答案】D【解析】根据公式变形,a=lg6lg3=1+lg2lg3,b=lg10lg5=1+lg2lg5,c=lg14lg7=1+lg2lg7,因为lg 7>lg 5>lg 3,所以lg2lg7<lg2lg5<lg2lg3,即c<b<a.故选D.75.(2013•全国2•文T8)设a=log 32,b=log 52,c=log 23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b【答案】D【解析】∵a=log 32>log 3√3=12,∴a ∈（12,1）. ∵b=log 52<log 5√5=12,∴b ∈（0,12）. ∵c=log 23>log 22=1,即c>1,∴c>a>b.76.(2013•全国1•文T9)函数f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π,π]的图象大致为( )【答案】C【解析】由f(x)=(1-cos x)sin x 知其为奇函数.可排除B.当x ∈(0,π2]时,f(x)>0,排除A. 当x ∈(0,π)时,f'(x)=sin 2x+cos x(1-cos x)=-2cos 2x+cos x+1. 令f'(x)=0,得x=23π.故极值点为x=23π,可排除D,故选C.77.(2013•北京•理T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x关于y 轴对称,则f(x)=( ) A.e x+1B.e x-1C.e-x+1D.e-x-1【答案】D【解析】依题意,f(x)向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e -x,于是f(x)相当于y=e -x向左平移1个单位的结果,∴f (x)=e-x-1,故选D.78.(2012•全国•文T11)当0<x≤12时,4x<log a x,则a 的取值范围是( ) A.(0,√22) B.(√22,1)C.(1,√2)D.(√2,2)【答案】B【解析】由0<x≤12,且log a x>4x>0,可得0<a<1,由412=log a 12可得a=√22.令f(x)=4x,g(x)=log a x,若4x<log a x,则说明当0<x≤12时,f(x)的图象恒在g(x)图象的下方(如下图所示),此时需a>√22.综上可得a 的取值范围是(√22,1).79.(2012•全国•理T10)已知函数f(x)=1ln (x+1)-x,则y=f(x)的图象大致为( )【答案】B【解析】当x=1时,y=1ln2-1<0,排除A;当x=0时,y 不存在,排除D;f'(x)=[1ln (x+1)-x]'=x x+1[ln (x+1)-x ]2,因定义中要求x>-1,故-1<x<0时,f'(x)<0,故y=f(x)在(-1,0)上单调递减,故选B.80.(2012•湖北•文T6)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为( )【答案】B 【解析】y=f(x)y=f(-x)y=f[-(x-2)]=f(2-x)y=-f(2-x),故选B.81.(2012•全国•理T12)设点P 在曲线y=12e x上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为 ( )A.1-ln 2B.√2(1-ln 2)C.1+ln 2D.√2(1+ln 2)【答案】B【解析】由题意知函数y=12e x与y=ln(2x)互为反函数,其图象关于直线y=x 对称,两曲线上点之间的最小距离就是y=x 与y=12e x最小距离的2倍,设y=12e x上点(x 0,y 0)处的切线与y=x 平行,有12e x 0=1,x 0=ln 2,y 0=1,∴y=x与y=12e x的最小距离是√22(1-ln 2),∴|PQ|的最小值为√22(1-ln 2)×2=√2(1-ln 2).82.(2011•全国•理T2文T3)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) A.y=x 3B.y=|x|+1C.y=-x 2+1D.y=2-|x|【答案】B【解析】A 中y=x 3是奇函数不满足题意;由y=|x|+1的图象可知B 满足题意;C 中y=-x 2+1在(0,+∞)上为减函数,故不满足题意;D 中y=2-|x|在(0,+∞)上为减函数,故不满足题意,故选B.83.(2011•全国•文T10)在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为( ) A.(-14,0) B.(0,14)C.(14,12)D.(12,34)【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的增函数且图象是连续的,且f (14)=e 14+4×14-3=e 14-2<0,f (12)=e 12+4×12-3=e 12-1>0, ∴f(x)在(14,12)内存在唯一零点.84.(2011•全国•理T12)函数y=11-x 的图象与函数y=2sin πx(-2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A.2B.4C.6D.8 【答案】D【解析】由题意知y=11-x =-1x -1的图象是双曲线,且关于点(1,0)成中心对称.又y=2sin πx 的周期为T=2ππ=2,也关于点(1,0)成中心对称,因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称,如图所示,可知两个图象在[-2,4]上有8个交点,因此8个交点的横坐标和x 1+x 2+…+x 8=4×2=8.85.(2011•全国•文T12)已知函数y=f(x)的周期为2,当x ∈[-1,1]时f(x)=x 2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.1个【答案】A【解析】根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下:可验证当x=10时,y=|lg 10|=1;0<x<10时,|lg x|<1; x>10时|lg x|>1.结合图象知y=f(x)与y=|lg x|的图象交点共有10个.86.(2010•全国•理T8)设偶函数f(x)满足f(x)=x 3-8(x ≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ) A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2} 【答案】B【解析】f(x-2)>0等价于f(|x-2|)>0=f(2), 又∵f(x)=x 3-8(x ≥0)为增函数, ∴|x-2|>2.解得x>4或x<0.87.(2010•全国•文T9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x ≥0),则{x|f(x-2)>0}等于( ) A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2} 【答案】B【解析】f(x)={2x -4,x ≥0,12x-4,x <0,f(x-2)={2x -2-4,x ≥2,12x -2-4,x <2,令f(x-2)>0⇒x>4或x<0.88.(2010•全国•理T11文T12)已知函数f(x)={|lgx|,0<x≤10,-12x+6,x>10.若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【答案】C【解析】因为-lg a=lg b⇒ab=1,所以abc=c,也就是说只需要求出c的取值范围即可,如下图所示,绘制出图象,平移一条平行于x轴的直线,可以发现c的取值范围是10<c<12,因此10<abc<12.89.(2019•全国2•理T14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则a= .【答案】-3【解析】∵ln 2∈(0,1),f(ln 2)=8,f(x)是奇函数,∴f(-ln 2)=-8.∵当x<0时,f(x)=-e ax,∴f(-ln 2)=-e-aln 2=-8,∴e-aln 2=8,∴-aln 2=ln 8,∴-a=3,∴a=-3.90.(2019•北京•T14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为. 【答案】（1）130（2）15【解析】(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,y<120元时,李明得到的金额为y•80%,符合要求.y≥120元时,有(y-x)•80%≥y•70%成立,即8(y-x)≥7y,x≤y8,即x≤(y8)min=15.所以x 的最大值为15.91.(2019•北京•理T13)设函数f(x)=e x +ae -x(a 为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R 上的增函数,则a 的取值范围是 . 【答案】-1 (-∞,0]【解析】若函数f(x)=e x+ae -x为奇函数, 则f(-x)=-f(x),e -x+ae x=-(e x+ae -x), (a+1)(e x+e -x)=0对任意的x 恒成立,则a=-1. 若函数f(x)=e x+ae -x是R 上的增函数,则f'(x)=e x-ae -x≥0恒成立,即a ≤e 2x,故a ≤0.92.(2018•全国3•文T16)已知函数f(x)=ln(√1+x 2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)= . 【答案】-2【解析】令g(x)=ln(√1+x 2-x),g(-x)=ln(√1+x 2+x),∴g(x)+g(-x)=ln(1+x 2-x 2)=0,∴g(x)为奇函数.∴f(x)=g(x)+1.∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2. ∴f(-a)=-2.93.(2018•江苏•T9)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x ∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)={cos πx2,0<x ≤2,|x +12|,-2<x ≤0,则f(f(15))的值为 .【答案】√22【解析】由f(x+4)=f(x),得函数f(x)的周期为4, 所以f(15)=f(16-1)=f(-1)=|-1+12|=12.因此f(f(15))=f (12)=cos π4=√22. 94.(2018•全国1•文T13)已知函数f(x)=log 2(x 2+a),若f(3)=1,则a= . 【答案】-7【解析】因为f(3)=log 2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7.95.(2019•浙江•T16)已知a ∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t ∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是_______________。