变质量相对运动动力学系统的对称性与守恒量
物理中的对称性与守恒定律
物理中的对称性与守恒定律对称性与守恒定律是物理学中的两个核心概念。
在研究自然界中的各种现象和规律时，科学家们发现，许多物理量在特定条件下保持不变。
通过研究这些对称性和守恒定律，我们可以深入理解自然界的行为规律，并从中揭示出许多有意义的结果。
对称性对称性是自然界中普遍存在的一种特征。
物理学中的对称性可以分为时空对称性、内禀对称性和运动对称性等多种形式。
时空对称性时空对称性是指物理系统在时间和空间上的表现保持不变。
根据相对论的原理和经验事实，我们知道自然界中的物理规律应该在任意惯性参考系下都具有相同的形式。
这就要求物理规律在时间和空间上具有一定的对称性，在不同时间和不同位置下保持一致。
内禀对称性内禀对称性是指物理系统在某些内部属性上保持不变。
例如，电荷守恒定律表明，在粒子相互作用过程中，总电荷数目保持不变。
这就是电荷守恒所基于的内禀对称性。
运动对称性运动对称性是指物理系统在某些运动操作下保持不变。
例如，当一个场被平移或旋转时，其物理效应保持不变。
这就是平移对称性和旋转对称性所基于的运动对称性。
守恒定律守恒定律是物理量在某些条件下保持不变的规律。
根据不同情况和背景，我们可以得到各种守恒定律，如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。
能量守恒定律能量守恒定律是自然界中最基本也最重要的一条守恒定律。
它表明在一个孤立系统中，能量总量保持不变。
能量可以在不同形式之间相互转化，但总能量保持恒定。
动量守恒定律动量守恒定律表明，在没有外力作用的封闭系统中，系统的总动量保持不变。
当一个物体受到一个力时，它会产生一个与力方向相反大小相等的反作用力，使得系统总动量保持不变。
角动量守恒定律角动量守恒定律是描述旋转系统行为规律的基本原理之一。
当一个物体绕着固定轴旋转时，其角动量大小和方向保持不变。
对称性与守恒定律关系对称性与守恒定律之间存在着密切的关系。
实际上，许多守恒定律都可以从对称性原理推导出来。
能量-时间对称性与能量守恒能量-时间对称性指出，在自然界中时间流逝方向无法区分，即物理规律在未来和过去具有相同的形式。
力学系统的对称性和守恒量的应用
(2.6)
ξ ξ ξ I N = L
0
+
∂L ∂q s
(
s − qs
)
0
+G
N
=常数
(2.7)
如果由 Noether 等式可找到生成元ξ 0，ξｓ和规范函数 GN =GN (t,q,q) ，那么便可由
式（2.5）找到守恒量。这类守恒量称为 Noether 守恒量。
英文版上发表。有的文章称形式不变性为 Mei 对称性。形式不变性的优点在
于从力学意义上较易理解。缺点在于由式（2.15），（2.16）找到相应的守恒量
（2.18）较困难。
由 Noether 和 Lie 对称性通过形式不变性可导出守恒量（2.18）；由形式
1992 年的工作，他既不用 Lagrange 函数也不用 Hamilton 函数来构造了一类
新守恒量。由他导出的守恒量被人称为 Hojman 型守恒量。
对 Lagrange 系统（2.1），将其展开为
qs= Fs (t, q, q)
Lie 对称性的确定性方程表为
ξs−q s ξ0−2ξ0Fs = X (1)(F s)
E s{X (1) (L)} = 0
11
(2.15)
如果存在规范函数 GF =GF (t,q,q) 满足结构方程
X~
(1)
(L)
dξ dt
0+
X~
(1){X~ (1) (L)}
+
d dt
GF
=
0
(2.16)
其中
ξ ξ ξ q X~ (1) = ∂ + ∂ + ( d − d ) ∂
44_守恒量与对称性的关系
前言
经典力学中的守恒量与对称性：
（1）空间平移不变性
（2）空间转动不变性
动量守恒.
角动量守恒.
（3）时间平移不变性
能量守恒.
在经典力学中, 借助守恒量, 可以使运动方 程的求解大为简化.
量子力学中的守恒量与对称性 与经典力学相比, 量子力学关于对称性的 研究, 大大丰富了对体系的认识. 设体系的状态用 Schrö dinger方程 描述. 的演化遵守
1 6 1 7
Байду номын сангаас
1 8
即
R r δ r r
1 9
所以
R r rr δ r δ n r
r δ n r r
e x p δ n r r
1 i Q H Q t
3
1 与方程 1 比较，要求 Q H Q H，或表示成
Q, H 0
这就是体系在变换Q下的不变性的数学表达.
4
凡满足式(4)的变换,称为体系的对称性变换. 物 理学中的体系的对称性变换，总构成一个群，称为 体系的对称性群（symmetry group）. 考虑到概率守恒，要求
, Q , Q , Q Q , 5
则
Q 应为幺正算符，即
Q Q QQ I
6
对于连续变换, 可以考虑无穷小变换, 令
QI iF
0 , 是刻画无穷小变换的实参量.
Q Q I i FI i F
p, H 0
1 5
此即动量守恒的条件；源于空间平移不变性。
理论物理中对称性与守恒定律的关系
理论物理中对称性与守恒定律的关系在理论物理中，对称性与守恒定律是两个核心概念。
对称性描述了系统在某些变换下保持不变的性质，而守恒定律则说明了系统在各种变化中某些物理量的不变性。
这两个概念之间存在着密切的关系，对称性的存在导致了守恒定律的存在，反之亦然。
本文将深入探讨对称性与守恒定律的关系。
首先，让我们来了解对称性的概念。
对称性可以简单地理解为某种变换下系统保持不变的性质。
在物理学中，常见的对称性有平移对称性、旋转对称性、时间平移对称性和粒子对称性等。
平移对称性指的是系统在空间中的平移下保持不变，旋转对称性指的是系统在空间中的旋转下保持不变，时间平移对称性指的是系统在时间上的平移下保持不变，而粒子对称性指的是系统在粒子交换下保持不变。
对称性在物理学中起着非常重要的作用。
与对称性相关联的是守恒定律。
守恒定律描述了系统在各种变化中某些物理量守恒的性质。
守恒定律可以用数学表达式表示为：某一物理量的变化率等于该物理量进入与离开系统的流量之差。
根据对称性的不同，我们可以得到不同的守恒定律。
首先，根据时间平移对称性，我们可以得到能量守恒定律。
能量守恒定律指的是系统的能量在时间上保持不变。
这是因为系统的物理规律在时间上的不变性导致的。
无论系统中发生了怎样的能量转化，总能量的变化率始终为零，能量守恒得到维持。
其次，根据空间平移对称性，我们可以得到动量守恒定律。
动量守恒定律指的是系统的动量在空间上保持不变。
这是因为系统的物理规律在空间上的不变性导致的。
无论系统中的物体如何运动，总动量的变化率始终为零，动量守恒得到维持。
此外，根据空间旋转对称性，我们可以得到角动量守恒定律。
角动量守恒定律指的是系统的角动量在空间上保持不变。
这是因为空间旋转对称性导致的。
无论系统中的物体如何旋转，总角动量的变化率始终为零，角动量守恒得到维持。
最后，根据粒子对称性，我们可以得到电荷守恒定律。
电荷守恒定律指的是系统中的总电荷量在粒子交换下保持不变。
变质量完整系统Tzénoff方程的Lie对称性与其导出的守恒量
第 ２ 卷第 １ 期 ７ ２ ２１ ０ １年 ｌ 月 ２
商 丘 师 范 学 院 学 报 Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ｈ Ｎ Ｑ Ｕ Ｔ Ａ ＨＥ Ｓ Ｃ Ｌ Ｅ Ｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＳ Ａ Ｇ Ｉ Ｅ Ｃ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ
Ｖｏ ． ７ １ ２ Ｎｏ １ ．２
Ｄｅ ． ｃ ２ １ ０１
ｄ ｒ ｅ ｒ ｍ ｈ ｔａ ｅｒ ｓ ａ ｃ ｅ ．Ｔ ｅ ｆ ｎ ｔ ｎ ｅ ｐ ｅ ｓｏ ｓｏ ｏ ｓ ｒ ｅ ｕ ｎ ｉ ｅ ｎ ｅ ｃ ｔｒ ｎ ｅ ｕ ｔ ｎ ｈ ｃ ｅ ｖｄｆ ｉ ｏ ｔ ａ ｒ ｅ ｅ ｒ ｈ ｄ ｈ ｕ ｃ ｉ ｘ ｒ ｓｉ ｎ ｆｃ ｎ ｅｖ ｄ ｑ ａ ｔ ｉｓａ ｄ ｔ ｒ ｅ ｉ ｑ ａｉ ｓｗ ｉ ｈ ｏ ｔ ｈ ｉ ｏ ｏ ｄ ｄ ｃ ｈ ｓ ｏ ｓ ｒ ｅ ｕ ｎ ｉ ｅ ｒ ｒ ｓ ｎ ｅ ．Ｆ ｎ ｌ ，ｔ ｅ ａ ｐ ｉａｉ ｎ ｏ ｅ ｎ ｗ ｒ ｓ ｈ ｉ ｓ ｏ ｄ ｂ ｒ ｃｉ ａ ｅ ｕ ｅ ｔ ｅ ｅ ｃ ｎ ｅ ｖ ｄ ｑ ａ ｔ ｉ ｓａ ｅ ｐ ｅ ｅ ｔｄ ｔ ｉ ａｌ ｈ ｐ ｌ ｔ ｆ ｈ ｅ ｅ ｕ ｓ ｈ ｗｅ ｙ ａ ｐ ａ ｔ ｌ ｙ ｃ ｏ ｔ ｃ
变质量完整系统 Ｔ￣ｏ 方程的 Ｌｅ ｚｎｆ ｉ对称性与其导出的守恒量
郑世 旺 王建波 解加芳 ， ，
（．商丘师范学院 物理与信息工程系 ， １ 河南 商丘 ４ ６０ ２ ７ ００，．北京工业大学 理学院 ， 京 １０４ ） 北 ０ １４ 摘 要 ： 究了变质量 完整力 学系统 Ｔｒｏ 方程的 Ｌｅ对称 性及其 所导 出的 守恒量 ， 出 了这种 守恒量 的函 研 ｚｎｆ ｉ 给
对称性和守恒律
对称性和守恒律概念及其重要性对称性(Symmetry)与守恒律(Conservation Law)是物理学中最重要的概念之一，它们有助与我们理解和描述这个宇宙的运行机制。
对称性是物理学上的一种基本假设，指的是存在着外界因素（如时间、空间、组织、排列、颜色）的变化，使得一个模式具有重叠性，称为对称性。
而守恒律指的是一个物理量的大小是不变的，只有根据特定的定律允许存在一定的变化，而不存在消失或诞生的情况。
质量守恒律质量守恒律是物理变换过程中最重要的守恒律之一，它表明量子物理中物质的平衡性，即物质总量保持不变，任何形式的物质是可以通过相互转换得到的。
质量守恒的定义是：质量的总量在物理变换的过程中不会变化，因此在化学反应中反应前后物质的总量是一致的。
电量守恒律电量守恒律是物理变化过程中另一个重要的守恒律，其定义是：在带电粒子运动的物理变化过程中，电子、正电子等电荷总量保持不变，不发生增减。
换言之，任何形式的电荷，只要经过合理计算，都是可以表示为电荷量的，从而可以被计算出来。
动量守恒律动量守恒律是物理变换过程中的另一个守恒律，其定义是：在物理变化的过程中，物质所携带的动量是守恒的，即动量总量保持不变。
动量守恒律是物理变换中最重要的守恒律之一，它表明，在无外力作用的情况下，物体的运动状态是恒定的，物质的动量不会发生变化。
这个定律是有“动量守恒定律”这一名称的，它通常也被称为“牛顿拉普拉斯定律”。
结论由上文可以得出，对称性与守恒律是物理学中不可或缺的重要概念，其中，质量守恒律、电量守恒律和动量守恒律是最为重要的。
这些守恒律在影响物理变换过程中产生了重要的作用，对我们对物质和能量的理解和认识极为重要，它们是理解宇宙现象的基础科学。
相对运动动力学系统的Lie对称与守恒量(英文)
相对运动动力学系统的Lie对称与守恒量(英文)
刘荣万;傅景礼;梅凤翔
【期刊名称】《北京理工大学学报：英文版》
【年(卷),期】1998(0)3
【摘要】目的研究完整力学系统相对运动动力学方程的Lie对称与守恒量．方法应用常微分方程在无限小变换下的不变性的Lie方法．结果与结论建立相对运动动力学方程的Lie对称确定方程，得到Lie对称结构方程和守恒量的形式．举例说明结果的应用．
【总页数】5页(P221-225)
【关键词】分析力学;相对运动动力学;Lie对称;守恒量
【作者】刘荣万;傅景礼;梅凤翔
【作者单位】韶关大学;商丘师专;北京理工大学应用力学系
【正文语种】中文
【中图分类】O316
【相关文献】
1.非完整相对运动动力学系统的 Lagrange对称性与守恒量 [J], 李良伟;周洁
2.相对运动变质量力学系统Appell方程的广义Lie对称性导致的广义Hojman守恒量 [J], 贾利群;孙现亭;张美玲;张耀宇;韩月林
3.Chetaev型约束的相对运动动力学系统Nielsen方程的Noether对称性与Noether守恒量 [J], 王肖肖;孙现亭;张美玲;解银丽;贾利群
4.Chetaev型非完整约束相对运动动力学系统Nielsen方程的Mei对称性和Mei 守恒量 [J], 王肖肖;张美玲;韩月林;贾利群
5.相对运动动力学系统Nielsen方程的Lie对称性与Hojman守恒量 [J], 解银丽;贾利群;杨新芳
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§5.4 守恒量与对称性的关系
λ＝1对应的本征态为：
P (r ) (r ) (r )
称为偶宇称态。
λ＝－1对应的本征态为：
15
P (r ) (r ) (r )
称为奇宇称态。 11
（4）宇称为守恒量的条件 设一体系具有空间反射不变性，即
PHP1 H 或 P, H 0
宇称为守恒量。
注意： A.若体系的能量本征态不简并，则该能量本征态必有确定宇称。
R( )
exp
exp
i Lˆz
式中
Lˆz i
即角动量的z分量算符。
现考虑三维空间中绕某方向n(单位矢)的无穷 小旋转.在此变换下，标量波函数变化如下
即
15
R , (r) (r ) R (r r ) (r )
r r r r
8
所以 R (r ) (r r ) (r n r ) (r ) (n r ) (r ) e (nr ) (r )
故15F就是体系的一个守恒量.
4
2.平移不变性与动量守恒
D
考虑体系沿X轴方向的
无限小平移
x x x x
描述体系状态的波函数变
x
x x x
化如下：
D
显然
(x) (x)
即 D (x x) (x)
将上式中的x换成x-δx，则有
D (x) (x x) (x) x
例子：
一维谐振子的能量本征态Ψn(x) 不简并，而宇称又为守恒量，
由此可断定Ψn (x)必有确定宇称。事实上，
，
宇称P为 n (x) 。 n (x) (1)n n (x)
(1)n
B.当能级有简并，则能量本征态不一定有确定宇称。但总可
以把诸简并态适当线性叠加，构成宇称的本征态。
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（０ １）
其 中
释
”啬 毒＋一 寺 《 （ 毒 口
（， ，） 足 结构方 ｚｇ口 满
则 这种不 变性称 为变 质量 相对运 动动力 学 系统 的 Ｌｅ 称 性 。 ｉ对
定理 ２ 如果无 限小 变换 的生 成元 ， 足确定 方 程 （０ ， 存 在规 范 函数 Ｇ ￡满 】 ）且
Ｑ
３ 系统 的 Ｌ ｅ对 称性 与守 恒 量 ｉ
Ｌｅ 称性是 微分 方程 在无 限小变换 Ｆ ｉ对 的不变性 。由微分 方程 在无 限小变 换 下的不 变性 理论 可知 。 如果 无 限小变换 的生 成元 ， 毒满 足如下 确定 方程
轴 龇 ＝ （？ ０， ｏ， （ｒ ￣） Ｏ － ０ 《 ＋ ０ ｏｏ， ｅ 一 ｏ ｏ
证 明
，
岳
楠等 ： 变质量 相对 运动 动 力学 系统 的对称性 与 守恒量
２ １
０ （ 口） （Ｏ－ｏ㈣ ） ｜ ＋ ￡ ＋ 一 ＋ ￡ｇｔ－ （一” ）一 ） ｓ 軎 一ｏ２ 厶（＋ ＋（亩＝ — ） Ｘ Ｑ （口（ 一ｒＩ — 。 毒 軎 —一 ） －） Ｏ Ｑ 一＝ ” Ｌ
１ 口 ２
。 ，＝ ， 一 ，２， ＿ ＝， ＝２， ＋ ） ， ＿ ０ 口 １删 ２ ０ （１） ， ｓ，
（３ ２）
Ｑｌ Ｑ”￡ｑ亩，：，Ｑ ＝ ２ｇ ， ” － ，，・口） 口十 １ ＝ （ 口 其 中 ｍ ，［ ｇபைடு நூலகம்常数 。试研 究 系统 的对 称性 与守恒 量 。 ｏ０， ∞，
Ｌ 。 ‘（，＋ Ｑ” ＋ ）￡ 口 。＋ ＾０ ，＋ Ｌ） （ 。 ＋ ＋ （ 一 ）ｅ
则 变质 量相对运 动 动力学 系统 的 Ｌｅ 称性 导致 守恒 量 ． 如 ｉ对 形
（ 口 ） Ｇ 。 ｓ 一 ＋ ｃｎｔ ．
ｄ 。 ｑ
（ １） １
（２ １）
第 １期
系统 相对 于非 惯性 系 的最 小作 用量原 理旧； 志新 【研 究 了变 质量 完整 力 学系 统 的非 Ｎ ｅ ｅ 守恒 量 等 。笔 许 ３ ］ ｏｔ ｒ ｈ
者试 图研 究变 质量 完 整系 统相 对于非 惯性 系 的 Ｎｏｔｅ 对 称性 、ｉ ｅｈ ｒ Ｌｅ对称性 与守 恒 量 。
ＯＬ ２
…
—
（ ８ １）
假设
ｄ ｔ‰ ） ｄｔ ｅ（ ＝ ｅ 则 由方程 （８ 解 得 １）
：
ｒ
一
） ≠ 。
，
（９ １）
旦
ｄ
（： １
，
…
几 ）
（０ ２）
其 中 五 。 ＆
（ １ ２）
再令 积分 （３ 等 于守恒 量 （ ２ ， １） １ ） 即 廓＋ Ｌ 。Ｇ ＝ 生 ＋ ＮＩ
引入 时 Ｉ 司和广义 坐标 的无 限小变换
ｔ ｔＡ ， （ 一 ） △ ｜ （＝ ， ， ） Ｌ＋ ｔ ＝ ） ｇ（ ＋ ｇ ｓ ｌ … ｎ 其展 开式 为
（） ５
ｔ ｆ （，，）ｇ’ ＝ ｔ＋ ￡（， ，） （＝ ， ， ＋ ￡ｇ圣 ， （ ｇ（）占 ｚｑ圣 ＝ ） ｓ ｌ… ） 其 中 为无 限小参 数 ， ， ￡为无 限小生 成元 。
（） ６
Ｎ ｅｈｒ 称性是 Ｈ ｍｌｎ作 用量 在群 的无 限小 变换 下 的一 种不 变性 。根 据 Ｎ ｅｈｒ 论 可 以得 到 ， ｏｔｅ 对 ａ ｉｏ ｔ ｏｔｅ 理 如
果存在规范函数 Ｇ ．ｔ ，） Ｇ （， 圣 使得无限小生成元 ， 一 ｑ ｖ ￡满足 Ｎ ｅ ｅ 等式 ｏｔ ｒ ｈ
第 ２ 卷 第 １期 ８
２ １ 年 ３月 ０１
苏 州 科 技 学 院 学 报 （ 然 科 学 版） 自
Ｊｕｎｌ ｆ ｕｈ ｕＵ ｉ ｒｉ ｆ ｃｅｃ ｎ ｅｈ ｏｏｙ（ ａ ｒｌ ｃｅ ｃ ） ｏｒａ ｚｏ ｎｖ ｓｙｏ ｉ ｅａｄＴ ｃｎ ｌ ｏＳ ｅ ｔ Ｓ ｎ ｇ Ｎ ｔ ａ ｉｎｅ ｕ Ｓ
［ 基金项 目］江苏 省高校 自然科学基金 资助项 目（ ８ Ｊ １０ ０ ） ０ Ｋ Ｂ ３ ０ ２
［ 者 简 介】 作 岳 楠 （９ ６ ）男 ， 苏 苏 州 人 ， 究 方 向 ： 析力 学 。 １８ 一 ， 江 研 分
苏 州科技 学院 学报 （ 自然科 学版 ）
２１ ０ １年
２ 系统 的 Ｎｏ ｔ ｅ 称 性 与 守恒 量 ｅｈ ｒ对
口 Ｏ《 ＋ Ｌ 等砖Ｌ（ ） ｒ Ｏ ，
则 这种 不变性称 为 变质量 相对运 动动 力学 系统 的 Ｎ ｅ ｅ 对 称 性 。 ｏｔ ｒ ｈ
－ 口
（ ７ ）
判 断 Ｎ ｅ ｅ 对称性 的另 一种方 法是 Ｋ ｌｎ 方 程有解 。变质量 相对 运动 动力学 系统 的 Ｋｌｎ 方 程为 ｏｔ ｒ ｈ ｉｉｇ ｌ ｉｉｇ ｌ
Ｖ０ ． Ｎｏ １ １ ２８ ． Ｍａ ． ２ １ ｒ ０１
变质量相对运动动力学系统的 对称性与守恒量
岳 楠 ．张 毅
（ 苏州 科 技 学 院 土 木 工 程 学 院 ， 苏 苏 州 ２５ １ ） 江 １０ １ 摘 要 ： 究 了 变质 量 相 对 运 动动 力 学 系统 的 Ｎ ｅ ｅ 对 称 性 、ｉ 对 称 性 与 守 恒 量 ， 出 了对 称 性 导 致 守 恒 量 的 条 研 ｏｔ ｒ ｈ Ｌｅ 给
軎 ＝『 十 。 一，５ （ Ｏ Ｑ Ｌ ， 十
（ １ ）
其 中 ＝ Ｖ ｏＶ … Ｖ 为 系 统 相 对 运 动 的 Ｌｇａｇ ａｒｎｅ函 数 ； 非 势 广 义 力 ； 为 系 统 相 对 运 动 动 能 ， Ｑ” 为 ＝
ｍ：；０ （＋Ｘ）／ 平动 ｉ２ ＿ １￣Ｐ ． 即 运动的广义 Ｊ ；－ ｏｒ ｉ ｔ ｏＯ 惯性力场势能； 一 ． 为离心力势能； 一∑（ｘ ． Ｑ ｗ
Ｒ 产
）（ ２ 】 ’ ’ …
（ ２ ）
（） ３
而 为微 粒相 对 第 ｉ 个质 点 的相对速 度 。假设 系 统 非奇 异 ， 由方 程 （ ） 则 １可解 出所有 广义 加 速度 ， 记作
＝
（， 圣 （＝ ， ， ） ｔｑ，） ｓ ｌ … ｒ ｔ
（） ４
【 稿 日期】 ０ ８ １－ ９ 收 ２ ０ － ０ １
（ ） ｒ毒 － 口
它 如解 有 下
方程 （ １ ， 所得对 称 性是 系统 的 Ｌｅ 称性 。 １）则 ｉ 对
苏州科技 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
２ｌ ０ １年
５ 算例
例 １ 巴 卿 网 目 由度 ， 质 量 相 对 运 动 动 力 学 系 统 为 爻
，＝ ｏＺ叫） 口 一；一 ｌ ｑ ，ｍ （一 ， ＝ Ｊ ｑ －ｄ， ｌ ＝ ｉ
动动 力学 系统 的 Ｎ ｅ ｅ 对 称性 导致 守恒 量 ． ｏｔ ｒ ｈ 形如
，
孝＋ ０
（一 ｇ ）Ｇ 。ｓ 毒 Ｏ ｏ＋ ｃｎｔ ．
（） ９
ｏｓ ｑ
证明
利用 方程 （ ）有 １，
誓＝ 妇 （ｑ０） （ 一 １ ￡ ｇ２ 軎 Ｌ ） －ｏ。 －＋ 善 （
（ 一 ） Ｏ， Ｌ 一 ｜ 一 ）０ ￡ 口 （ｄ 一Ｏ， Ｑ Ｌ 一 — ＝ 于是 ， 系统存 在守 恒量 （ ） ９ 。证毕 。
． ． ．
Ｎ ｅｈ ｒ ｏｔｅ 等式 （ ） 出 ７给
（ ２ ）鹄争 】 争 （口 １ －＋ 一 ， 砉［ｍ２ ） １ ＋ｍ ｏ 口 ： 口 ２ ＋ 寸 一 舢ｑ ＋ ２ 】
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ｓ
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（ ８ ）
定理 １ 如 果无 限小 变换 的生成元 ， ￡满 足 Ｎ ｅ ｅ 等式 （ ） 或 Ｋ ｌｎ 方 程 （ ） ｏｔ ｒ ｈ ７ ， ｉｉｇ ｌ ８ 有解 ， 变质量 相对 运 则
ｄｓ 口
（ ２ ２）
于是 有
定 理 ５ 对 于变 质 量 相对 运 动 动力 学 系 统 ， 由方 程 （０ 、２ ） 定 的无 限小 生 成 元 ， 应 于 系统 的 ２ ） （２ 确 ￡相
Ｎｏｔｅ 对 称性 。 ｅｈ ｒ 定 理 ６ 对 于变 质 量相 对 运 动 动力 学 系统 ， 如果 由方 程 （０ 、 ２ ） ２ ） （ ２ 确定 的无 限 小生 成 元 ， 满足 确 定 ￡
动力 学 系统 的对 称 性 与守 恒量 的研 究 不仅 具有 数 学 意义 ， 而且 有更 为重 要 的 物理 意 义 。利 用对 称 性 寻 求守 恒量 的方法 主 要 有 ： ｏｔｅ 对 称 性口１ ｉ 对 称性 ［删 Ｍｅ 对 称性Ｉ ｏ 由于 空 间技 术 以及 其他 工 业技 Ｎｅ ｒ ｈ －、 ｅ ４Ｌ ５和 ＿ 】 ｉ ４／ 一。 术 的发展 。 变质 量 系统 动力 学 的研究 显 得越 来 越重 要 。梅凤 翔 【研究 了变质 量 完 整 系统 的 Ｎ ｅ ｅ 对称 性 、 Ｏ ｌ ｏｔ ｒ ｈ Ｌｅ对称 性 与守恒 量 ： 绍凯建 立 了变质 量高 阶非 完 整 系统相 对于非 惯性 系 的 Ｎ ｅ ｅ 理 论【 ， 出 了变质 量 ｉ 罗 ｏｔ ｒ ｈ １给 ”
件 以及 守恒 量 的形 式 。 后举 例 说 明结 果 的 应 用 。 最
关 键词 ：分 析 力 学 ； 变质 量 ； 对运 动 ； 相 对称 性 ； 恒 量 守 中 图分 类号 ：０ １ ３６ 文 献 标识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：１７ － ６ ７２ １ ）１ ０ １－ ５ ６ ２ ０ ８ （０ １０ － ０ ９ ０
由式 （ ） ２ 知 在一 般情 形下 对茸 是线性 的 ， 记作 （， ，）＾ （， 圣 ｔｇ圣 ＋ ｔｑ，） 将 式 （４ 和式 （ ６ 相 加 ， 出含讥 的项 ， １） １） 分 令其 系 数为零 ， 得