物理实验误差理论
大学物理：物理实验误差理论
仪器误差（Error of Instrument）
注明 或 最小分度值的一半
单次测量 结果的误差可以取仪器误差； 多次测量 比较其误差和仪器误差，取两者
中较大的为结果的误差。
相对误差（Relative Uncertainty）
平均绝对误差、标准偏差、极限误差、仪器误差等，都是
有单位的，都是绝对误差，现在用 代x 表。
大学物理：物理实验误差理论
实验一 关于测量的基本理论
Exp.1 Basic Knowledge about Measurement
课程任务（Goal of Experiment）
➢培养实践、理论两方面的科学素养
➢培养和提高科学实验能力：准备实验， 使用仪器设备，观察分析判断，记录、 处理、报告实验过程和结果
Standard Deviation，Limited Error
标准偏差：
x
n
2
(xi x)
i 1
n 1
n
(xi )2
i 1
n 1
平均值的标准偏差：
x
n
n
2
(xi x)
i 1
n(n 1)
n
(xi )2
i 1
n(n 1)
根据例1的数据，计算标准偏差
科学计数法：形式 a 10n 1 a 10
有效数字由 a 确定，单位的变化只是引起 n 的变化。 例如：地球的半径可表示为：
r 6.371103km 6.371106m
如何确定测量结果的有效数字?
误差本身也是有效数字，记录测量数据的有效数字的 最后一位应该到误差发生的一位。
L (15.3 0.5)mm
误差理论-绪论-附答案
绪论大学的物理实验课是高等院校理科的一门必修基础课程，是对学生进行科学实验基本训练，提高学生分析问题和解决问题能力的重要课程。
它与物理理论课具有同等重要的地位。
这里主要介绍测量误差理论、实验数据处理、实验结果表述等初步知识，这是进入大学物理实验前必备的基础。
物理实验可分三个环节：1）课前预习，写预习报告。
2）课堂实验，要求亲自动手，认真操作，详细记录。
3）课后进行数据处理，完成实验报告。
其中：预习报告的要求：1）实验题目、实验目的、实验原理（可作为正式报告的前半部分）。
2）画好原始数据表格，单独用一张纸。
实验报告内容：（要用统一的实验报告纸做）1)实验题目；2)实验目的；3)实验原理：主要公式和主要光路图、电路图或示意图，简单扼要的文字叙述；4)主要实验仪器名称、规格、编号5)实验步骤：写主要的，要求简明扼要；6) 数据处理、作图（要用坐标纸）、误差分析。
要保留计算过程，以便检查；7) 结论：要写清楚，不要淹没在处理数据的过程中；8) 思考题、讨论、分析或心得体会；9) 附：原始数据记录。
测量误差及数据处理误差分析和数据处理是物理实验课的基础，是一切实验结果中不可缺少的内容。
实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量结果的可信赖程度。
对低年级大学生，重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法。
一、测量与误差1、测量：把待测量与作为标准的量（仪器）进行比较，确定出待测量是标准量的多少倍的过程称为测量。
测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位。
2、测量的分类测量可以分为两类。
按照测量结果获得的方法来分，可分为直接测量和间接测量两类；而从测量条件是否相同来分，又可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。
如用米尺测量物体的长度，用电流表测量电流等。
间接测量是借助函数关系由直接测量的结果计算出的物理量。
大学物理实验-误差理论与数据处理综述
误差理论与数据处理
②依据测量的条件进行分类
※等精度测量:
就是在一定的条件下，由同一测量者，操作同 一测量工具，采用同一方法，测量同一对象， 这样的测量称为等精度测量．即测量的一切条 件都是不变的，变化的因素很小时也可认为是 等精度测量．
不等精度测量 :
③依据测量可重复性进行分类
单次测量： ※多次测量：
误差理论与数据处理
①误差的绝对值有界 有界性 ②小误差出现的概率大于大误差出现 单峰性 的概率 对称性 ③n很大时，绝对值相等、符号相反的 误差，概率相等 ④n很大时，由于正负误差相互抵消， 抵偿性 各误差的代数和趋于零。 通过数学推导，可以得到随机误差的概率密度 分布函数
误差理论与数据处理
或者
一般难以控制，往往不可抗拒。
如：电磁场等的微扰，测量者的心理等。
误差理论与数据处理
•服从的规律： 服从数理统计规律。 •处理方法：
多次测量取平均值，也就是用最佳 估计的办法得近似真值。
③过失误差
由于实验者粗心大意或环境突发干扰而造成的, 该测量值不属于正常测量范围，在处理数据时 应予以剔除。
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
《大学物理实验》课程安排
本学期（8次课16学时）
（1）误差理论与数据处理 （2）实验项目7个 14学时 2学时
误差理论与数据处理
本次课程内容：
一、基本概念 二、随机误差的正态分布率 三、数据处理 *（重点）
四、实验常用的数据处理 方法 *（重点） 五、物理实验课的基本程 序和要求
准确度高 精密度低
准确度高 精密度高
精 确 度 高
误差理论与数据处理
4）误差的表示方法：
普通物理实验误差理论讲解课件
解：测得值的最佳估计值为
L L 250.09mm
3
测量列的标准偏差为
6
(Li L)2
S i1
0.03mm
61
7.仪器误差限－仪器的最大允许误差
长度测量工具取其最小分度值的一半(游标卡 尺，螺旋测微器有另外的约定)； 取天平的最小分度为仪器误差限；
取秒表的最小分度为仪器误差限；
4
水银、酒精温度计的仪器误差限取最小分度的值一半；
应取几位有效位数。
1.有效数字的概念
有效数字由准确数字和存疑数字组成。
20
读有效数字时要注意：
（1）一般在最小分度内估计一位(除特殊例外)； （2）有效数字的位数与小数点无关；
例: 0.0123 ——三位 12.3000 ——六位
（3）常用科学记数法。 例: 332.60m=0.33260km=3.3260×102m=3.3260×104cm
读得螺旋测微计的零位x0为：0.006, 单位mm，已知 螺旋测微计的仪器误差为Δ仪=0.004mm，请给出完整 的测量结果。
解：测得值的最佳估计值为
x x x0 0.250 0.006 0.244(mm)
6
测量列的标准偏差
( xi x)2
S i1
0.002mm
61
U
U
2 A
UB2
用计算器进行计算时,中间结果可不作修约或适当多取 几位(不能任意减少),但最后一定要修约。
5.测量结果表达式中的有效位数 总不确定度U的有效位数：一般取一位.前两位
都小于5时,可取两位.
例 ：估算结果 U=0.548mm时，取为U=0.6mm U=1.37 时， 取为U=1.4
27
6.测量结果表达式中的有效位数
高中物理实验数据处理中误差理论的应用研究
高中物理实验数据处理中误差理论的应用研究【摘要】本文围绕高中物理实验数据处理中误差理论的应用展开研究。
在介绍误差理论基础知识的探讨了高中物理实验中误差的来源和误差处理方法。
通过实验案例分析，揭示了误差理论在高中物理实验数据处理中的重要性。
结论部分强调了误差理论对高中物理实验数据处理的重要性，并展望了未来研究方向。
通过对误差理论的深入理解和应用，有助于提高实验数据的准确性和可靠性，推动物理实验教学的进步。
该研究为未来更深入的物理实验数据处理提供了参考和借鉴，对提高学生的实验能力和科学素养具有积极的意义。
【关键词】高中物理实验, 数据处理, 误差理论, 应用研究, 实验案例, 重要性, 研究方向, 总结1. 引言1.1 研究背景高中物理实验数据处理是物理实验教学的重要环节，通过实验可以让学生深入理解物理知识，培养学生的观察、实验和推理能力。
在进行实验数据处理时，会存在一定的误差，这些误差会对实验结果的准确性和可靠性产生影响。
如何正确处理实验数据中的误差，成为了教学和研究中的重要课题。
1.2 研究目的研究目的是为了探讨在高中物理实验数据处理中误差理论的应用，以提高实验数据的准确性和可靠性。
通过深入了解误差理论的基础知识和高中物理实验中误差的来源，我们可以更好地掌握误差处理方法，从而有效地改善实验数据的质量。
在实验案例分析中，我们将具体分析不同类型的误差在实验数据中的影响，并探讨如何利用误差理论来进行数据处理和结果分析。
通过这项研究，我们希望能够揭示误差理论在高中物理实验中的重要性，为今后的教学和研究工作提供有益的参考和指导。
我们还将展望未来的研究方向，为完善误差理论在高中物理实验数据处理中的应用提供新的思路和方法。
通过对这一主题的深入研究，我们可以更好地理解和应用误差理论，为物理实验数据处理和结果分析提供更加科学和可靠的支持。
2. 正文2.1 误差理论基础知识的介绍误差理论是物理实验数据处理中不可忽视的重要内容。
大学物理实验误差理论ppt课件
（5）.精密度、准确度和精确度
误差 = 随机误差 + 系统误差
精密度－随机误差； 准确度－系统误差； 精确度－随机误差与系统误差综合大小。
25 精选PPT课件
(a) 精密度？准确度？ (b) 精密度？准确度？
(精c选)PP精T课件密度？ 准确度？
(d) 精密度？准确度？ 26
计算时，先将文字公式化简，再代入数值进行 运算。误差估算要预先写出误差公式，并把数 据代入。
结果：按标准形式写出实验的结果。在必要时， 注明结果的实验条件。
8 精选PPT课件
三、实验报告
（三）数据处理与计算
讨论：对实验中出现的问题进行说明和 讨论，或写出实验心得和建议等。
作业题：完成教师指定的作业题，思考 题选做。
x 范围内的概率为P。当 x时，P为
68.3%。
相对误差 E 100%
精选PPT课件
x
40
2．不确定度的分类
按不确定度值的计算方法分为A类不确定 度和B类不确定度。
A类分量是在一系列重复测量中，用统计学
方法计算的分量△A。
如： B n I 0 螺线管为无限长，管壁磁漏可
忽略。
20 精选PPT课件
公式 h 1（g忽t 2略了空气阻力等）
2
精选PPT课件
意大利科学 家伽利略在比 萨斜塔上做的 铁球落地实验 。两个不同重 量的铁球从高 处落下，同时 着地。说明理 论在一般情况 下都能较准确 地反映物体真 实的运动规律
实验报告要求同学努力做到书写清晰， 字迹端正，数据记录整洁，图表合格， 文理通顺，内容简明扼要。
实验报告一律用专用的物理实验报告册 书写。
9 精选PPT课件
实验误差理论实验报告物理
实验误差理论实验报告物理实验误差理论实验报告引言：实验误差是科学实验中不可避免的现象，它由于各种因素的干扰而导致实验结果与理论值之间的差异。
在物理学中，误差的存在会对实验结果的可靠性和准确性产生影响。
本次实验旨在通过测量重力加速度的实验，探讨实验误差的产生原因，并提出相应的误差分析方法。
实验步骤：1. 实验仪器准备：准备一根长直的细线、一个小铅球、一个支架和一个计时器。
2. 实验装置搭建：将细线固定在支架上，将小铅球系在细线的下端。
3. 实验测量：将小铅球释放，用计时器记录它从静止到下落经过的时间。
4. 实验重复：重复上述步骤多次，取平均值。
实验数据：通过多次实验测量，我们得到了如下数据：第一次实验：t1 = 1.23s第二次实验：t2 = 1.25s第三次实验：t3 = 1.24s......数据处理：1. 计算平均值：将所有测量结果相加，再除以实验次数，得到平均值。
平均值 = (t1 + t2 + t3 + ... + tn) / n2. 计算标准偏差：标准偏差是用来衡量一组数据的离散程度的指标，它表示测量值与平均值之间的差异。
标准偏差= √((Σ(xi - x)^2) / (n-1))3. 计算相对误差：相对误差是用来衡量测量结果与理论值之间差异的指标。
相对误差 = (平均值 - 理论值) / 理论值 * 100%结果分析：通过上述数据处理步骤，我们得到了实验重力加速度的平均值和相对误差。
然而，我们需要进一步分析误差的来源和影响因素。
1. 人为误差：实验者的操作技巧、观察精度等都会对实验结果产生影响。
为减小人为误差，我们应该提高实验技能，并进行多次实验取平均值。
2. 仪器误差：实验仪器的精度和灵敏度也会对实验结果产生影响。
为减小仪器误差，我们应该选择精度更高、质量更好的实验仪器。
3. 环境误差：实验环境的温度、湿度等因素也会对实验结果产生影响。
为减小环境误差，我们应该在恒定的实验环境中进行实验。
大学物理实验误差理论讲解
2 (x)2
方差
(x)2
标准误差
由误差理论，可以证明算术平均值的实验标准偏差
x
n
2
xi x
i 1
nn 1
37 2019/6/10
如果我们把测量结果表示为
x x x
则表示在（x x）范围内包含真值 x 的
可能性是68.3%
38 88522
1
0
30 2019/6/10
算术平均值 ＝（1.01+1.02+2*1.03+8*1.04+8*1.05+ 5*1.06+2*1.07+2*1.08+1.09)/30=1.05
偏差Δxi -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
17 2019/6/10
仪器误差
天平不等臂所造成的 系统误差
18 2019/6/10
aA
a A
bB
O
b
B
转轴与几何中心重合
，由于 aa bb
所以可用弧长反映角
度的大小。
由于偏心，使之用
弧长反映角度 时产
生的系统误差。如： AABB 这是由偏心
造成的。
19 2019/6/10
在一组等精度的重复测量
f(Δx)
中，其偏差位于(, )
范围内的概率为100%。
0
Δx
34 2019/6/10
f (x)
1
e
x
2
2
2
2
σ：（1）常数，（2）误差（从量纲的角度来 判断）如图所示，可以证明：
f(Δx)
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的影响，为合理选用仪器和实验方法提供依 据。
第三章 数据处理
一、不确定度与测量结果表达 二、有效数字、简算方法与数字取舍规则 三、数据处理方法
一、不确定度与测量结果表达
1：不确定度
测量结果的标准形式
X=xU（单位）
其中x为测量值，或多次测量的算术平均 值；U为不确定度 例如：基本电荷
区间内的概率是68.3%。
值得注意的是，用式（1－7）和式（1－8） 来估算随机误差，理论上都要求测量次数相当多 。但在我们目前的实验中，往往受到教学时间的 限制，重复测量的次数不可能很多，所以，用这 两个式子估算出来的随机误差带有相当程度的近 似性。另外，在测量次数较少时（n<10）， 随着测量次数n 的增加而明显地减小，以后，随 着测量次数n的继续增加， 的减小愈来愈不 明显而逐渐趋近于恒定值。由此可见，过多地增 加测量次数，其价值并不太大。根据我们的实际 情况，如果需要多次重复测量，一般测量次数取 5~10次为宜。
2、对于乘或除的函数关系，函数N的相对误 差 。 σNE建=NN议都·E先是N 计各计算直算出接绝N测的对量相误值对差相误σ对N差。误E差N,再的按“方照和公根式”
误差传递公式除了可以用来估算间接测量值N 的误差以外，还有一个重要的功能，就是可
以用它来分析各直接测量值的误差对最后结
果误差的影响大小。对于那写些影响大的直
3、直接测量量的结果表示
X=X佳UX（单位）
它表示被测量的真值具有一定的概率落 在（X- U，X+ U）区间内
X佳——多次测量=平均值；单次=测量 值
4、间接测量量的结果表示
X=XU（单位）
X——各直接量的X佳按有效数字运算规 则算出
U——各直接量的U 和X佳代入不确定度 计算式算出
5、不确定度的传递
误差计算主要是估算随机误差，泛称为 精度。
4. 绝对误差、相对误差和百分差
(1)绝对误差
:表示测量结果与真值之间的差值以一 定的概率出现的范围，即真值以一定 的概率出现在
(2)相对误差
: 表示绝对误差在整个物理量中所占的
比重，一般用百分比表示。
(3)百分差:
绝对误差、相对误差和百分差通常只取 1～2个数字来表示。
有时会遇到测量对象本身不均匀的情况 。
例如，测量一根钢丝的直径。由于它各 处的直径略有微小差异，以致直径的真值 各处不完全一致，所测得的各处测量值取 其平均值只是反映了钢丝直径的平均大小 。多次测量不可能减小钢丝直径的不均匀 性，所以，计算平均值的误差实属没有必 要。而计算得到的任意一次直径测量值的 标准偏差则反映出钢丝直径的不均匀程度 。
很明显，这样做会导致测量结果误差偏大。 相对误差为
式（1－12）和式（1－13）称为误差的一般传递公式 ，或称为误差算术合成。
2.标准误差的传递公式
若各个独立的直接测量值的绝对误差分 别为标准偏差σA，σB，σC，…，σH 等， 则间接测量值N的误差估算需要用误差的方和 根合成，即绝对误差为
相对误差为
第五章 间接测量值误差的估算——误差 传递公式
1.误差的一般传递公式
2.标准误差的传递公式 间接测量值不可避免地有误差存在，显然，由直接
测量值根据一定的函数关系，经过运算而得到的间接 测量值也必然有误差存在。
怎样来估算间接测量值的误差，实质上是要解决一 个误差传递的问题，即求得估算间接测量值误差的公 式。这种公式称之为误差传递公式。
和计算顺序，力求简明、齐全、有条 理。
国际单位制（SI）基本单位
主要物理量的SI制单位名称及代号
(3)测量可分为两类：
一类是直接测量，如用尺量长度，以表计
时间，天平称质量等；
另一类是间接测量，是根据直接测量得到
的数据，根据一定的公式，通过运算，得 出所需要的结果。例如：
测量方式的不同引起误差研究方式的不同 。
2.误差：测量值与真值的差值
由于△A，△B，△C，…，△H分别相对 于A，B，C，…，H是一个很小的量，将式（ 1－10）中的dA,dB,dC, …,dH用△A，△B， △C，…，△H代替，则
由于上式右端各项分误差的符号正负不定， 为谨慎起见，作最不利情况考虑，认为各项分误 差将累加，因此，将上式右端各项分别取绝对值 相加，即
二、随机误差的高斯分布与标准误差
1.高斯分布的特征与数学表达
随机误差的正态分布曲线
服从高斯分布规律的随机误差具有以下 特征：
(1)对称性：大小相等的正误差和负误差
出现的机会均等，对称分布于真值的两 侧。
(2)抵偿性：当测量次数非常多时，误差
的代数和趋向于零。
概率密度分布函数的数学表达 ：
如果进行单位换算，则只需将10的方幂改变。
例如：
不确定度有效数字位数的取法：不确定 度的首位数对应结果中有效数字的末位 数。
例如：
2.简算方法与数字取舍规则
（1）加减运算： 几个数相加减时，最后 结果的可疑数字与各数值中最先出现的 可疑数字对齐。 例如：
简化为
数字取舍规则：四舍六入五凑偶 1.欲舍去数字的最高位为4或4以下的数，则“舍
1.任意一次测量值的标准偏差
某一次测量xi 的误差 δi是指测量值 xi与真值 Tｘ的差值。
但在实验测量中，有些测量对象的 真值是未知的，误差无法计算。
因而，按照式（１－２） ，标准误
差σ也无从估算。
根据算术平均值是近似值的结论，在实 际估算时可以采用算术平均值代替真值Tｘ ，用各次测量值与算术平均值的差值
去”；若为6或6以上的数，则“入”。 2.被舍去数字的最高位为5时，若前一位数为
奇数，则“入”；若前一位数为偶数，则“舍” 。 这样使得“入”和“舍”的数字服从概率数理统计 规律。 举例如下：
8.0861——8.09
8.0845——8.08
8.0850——8.08
8.0754——8.08
（2）乘除运算：计算结果的有效数字 位数与各数值中有效数字位数最少的一 个相同。
（3）乘方运算：结果的有效位数与其 底数相同。
（4）对数、三角函数和n次方运算：先 计算出不确定度，结果最后一位数字与 不确定度对齐。
三、数据处理方法
列表法 作图法 逐差法 直线拟合法（最小二乘法）——曲
线直线化
1、列表法
注意以下几点：
各栏目都要注明名称和单位。 栏目的顺序应充分注意数据间的联系
以上两式称为标准误差的传递公式或称为 误差的方和根合成。
几种常用的标准公式列于表1－1中，供计算 误差使用。
从表1－1中可见
1、对于和或差的函数关系，函数N的绝对误 差都是直接测量值标准偏差的“方和根”。所以 ， 式建 EN议= σ先N计/N算计出算NN的的绝相对对误误差差σENN。,然后按照公
2.平均值的标准偏差 误差理论证明，平均值的标准偏差为
(1－8)
上式说明，平均值的标准偏差是n次 测量中任意一次测量值标准偏差的 倍 。
小于σx ，这个结果的合理性是显而易 见的。因为算术平均值是测量结果的最 佳值，它比任意一次测量值xi 更接近真 值，误差要小。 的物理意义是，在多次测量的随机误差 遵从高斯分布的条件下，真值处于
(2)随机误差，又称偶然误差：在相同条
件下，对同一物理量进行多次重复测量 ，即使系统误差减小到最小程度之后， 测量值仍然会出现一些难以预料和无法 控制的起伏，而且测量值误差的绝对值 和符号在随机变化。
但是，如果测量次数足够多的话，就会 发现随机误差遵循一定的统计规律，可 用概率理论估算。
(3)过失误差：测量中出现一些错误，如
是一个与实验条件有关的常数，称 为标准误差，其值为 ：
三、近真值——算术平均值
误差理论可以证明，如果对一个物理量测 量了相当多次，算术平均值就是接近真值 的最佳值。
第四章 标准误差的估算——标准偏差
1.任意一次测量值的标准偏差
2.平均值的标准偏差 一个完整的测量结果应该包括测量值和误差两个 部分，计算误差是实验的一个重要环节。标准误差 是误差的重要形式之一。 它又可分为两种： 任意一次测量值的标准偏差 平均值的标准偏差。
1.有效数字的概念、性质和位数
有效数字的定义：数值中的可靠数字与 一位可疑数字统称为有效数字。
可靠数字是从测量工具上的刻度准确读出的。 可疑数字是在测量工具的最小刻度之间估计读出的。 若正好与某刻度对齐，则在估读位上记为“0”。
有效数字的性质：与单位无关。 有效数字的位数：从第一个不是零的数
字开始，到最后一位数字，有几个数字 就称为有几位有效数字。
非零数字中间或数据末尾的“0”是有效 数字。
例如：0.2050m有2、0、5、0总共4位有 效数字。2前面的0只表示小数点的位置 ，不是有效数字。
单位换算过程中有效数字的位数不变。
为避免出错，建议采用科学计数法作为标准形 式，即用10的方幂来表示其数量级，前面为有 效数字，小数点前取一位数字。
误差的种类：按其产生的原因与性质可分
为系统误差、随机误差和过失误差三类。 (1)系统误差：有规律性的，测量结果都大
于或者都小于真值。在测量条件改变时， 也按一定规律在变化。 来源：测量仪器、实验理论和实验方法、 实验者生理或心理特点。
系统误差的消除或减小是实验技能问题，采取 各种措施将它降低到最小程度。
物理实验误差理论
一、测量与误差
1.测量：测量是将代测物与一个作为标准的同类 量进行比较，得出它们之间的倍数关系。
(1)选来作为标准的同类量称为单位。倍数称为 测量数值。
测量值＝测量数值 X 单位
(2)以国际单位制（SI制）为国家法定计量单位 ，以米、千克、安培、开尔文、摩尔和坎德拉
作为基本单位，其他量都由以上七个单位导出， 称为国家单位制的导出单位。