高考理科第一轮复习课件(6.1不等关系与不等式)
(A)a-b>1-b
(B)a-1>b-1
(C)a-1>1-b
(D)1-a>b-a
【解析】选C.由a>1知a-b>1-b,故A正确；由a>b知a-1>b-
1,故B正确;由1>b知1-a>b-a,故D正确，C项错误，如当a=3，
b=-3时，不成立.
3.x+y<2m的一个充分不必要条件是( )
(A)x<m或y<m
考向 1 用不等式（组）表示不等关系 【典例1】某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需 要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需 工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2 小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和 500.写出满足上述所有不等关系的不等式.
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（2）（2012·湖南高考）设a>b>1,c<0，给出下列三个结论：
① c＞ c； ②ac＜bc；③logb(a-c)>loga(b-c)，其中所有的正
ab
确结论的序号是( )
(A)①
(B)①②
(C)②③
(D)①②③
(3)已知-3<2x-1<1，则 2 1 的取值范围是________.
【思路点拨】首先引进变量，然后根据题目所述的条件逐一用
变量和不等式表示，再组成不等式组即可.
【规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则由题意可
x 2y 400,
知 2x y 500,
x N, y N.
【拓展提升】 1.不等关系的含义 (1)不等关系可以表示常量与常量之间的不等关系，如2>-4. (2)不等关系也可以表示变量与常量之间的不等关系，如2a≤5. (3)不等关系还可以表示函数与函数之间的不等关系，如 f(x)<g(x).
am
②假分数的性质：
a _＞__ a m ; a _＜__ a m (b-m＞0).
b bm b bm
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然 成立.( ) （2）同向不等式具有可加性和可乘性.( ) （3）若两个数的比值大于1，那么分子就大于分母.( ) （4）一个数越大，它的倒数不一定越小.( )
42 2sin( ) (1, 2),
4
即 a>1，故必有a>b.
b
【互动探究】本例题(2)中，若将θ的取值范围改为：θ∈( ,
4
)，那么a与b大小关系如何？
2
【解析】由于θ∈( ,)， 所以2θ∈( ,π)，
42
2
故a=cos 2θ<0，且cos θ<sin θ，所以b<0.
而 a cos 2 cos2 sin2
c
d
⇒_a_+_c_>_b_+_d_
同向同正 可乘性
可乘方性
可开方性
a b 0
c
d
0
⇒_a_c_>_b_d_
a>b>0⇒_a_n>_b_n_ (n∈N,n≥2) a>b>0⇒ n a n b (n∈N,n≥2)
特别 提醒
⇒
⇒
a，b同 为正数
3.不等式的其他性质
（1）不等式的倒数性质
①a＞b,ab＞0⇒ 1_＜__ 1 .
需最长边对的角是钝角即可，因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2，
故x应满足的不等关系如下：
55xx
0,
12
x
13
x,
5 x2 12 x2 13 x2 .
考向 2 比较大小
【典例2】（1）（2013·渭南模拟）设 m a a 5,
n a 2 a 3, 则有( )
【规范解答】（1）选C.∵m＞0,n＞0,
∴m2-n2=a 2 a a 5 a 5 (a 2 2 a 2a 3 a 3) 2 a a 5 2 a 2a 3.
∵a(a+5)-(a+2)(a+3)=-6＜0, ∴m2-n2＜0， ∴m＜n.
(2)由于θ∈ (0, 所）以，2θ∈
答案：（1）× （2）× （3）× （4）√
1.若a<0，-1<b<0，那么下列不等式中正确的是( )
(A)a<ab2<ab
(B)ab2<a<ab
(C)a<ab<ab2
(D)ab2<ab<a
【解析】选A.因为-1<b<0,所以b<0<b2<1,于是a<ab2<ab.
2.若a>1>b，下列不等式中不一定成立的是( )
3 2 7 6 1 ，而 3 2 7 6,
7 6 所以 1 1 ,即 3 2 7 6.
3 2 7 6
答案： 3 2 7 6
5.已知-2<a<-1,-3<b<-2,则a-b的取值范围是_________， a2+b2的取值范围是___________. 【解析】因为-2<a<-1,-3<b<-2,所以2<-b<3,于是0<ab<2. 又因为1<a2<4,4<b2<9,所以5<a2+b2<13. 答案：(0,2) (5,13)
①若a>b,则 alg 1 blg 1 ;
22
②若a>b>0,c>d>0,则 a2 d b2 c; ③若a>b,且a,b∈R,则 (1)a (1)b;
33
④若 ［ , 2 ］，则1-sin α>0.
3
【解析】由于 lg 1 所0,以①是错误的；由于a>b>0,c>d>0,所以
2
a2>b2>0,c d 所0,以 a2 c b2 d,故a2 d b2 c,
x
【思路点拨】（1）根据充分必要条件的定义进行判断，利用
不等式性质肯定一个结论，或取特殊值否定一个结论.
（2）可直接利用不等式的性质以及幂函数和对数函数的单调
性进行比较，也可以采用特殊值方法进行比较.
(3)先求出x的范围，再求 1的范围，从而求出 2的1取值范围.
x
x
【规范解答】（1）选B.由于c>d，所以-d>-c，因此当a>b时能
【变式训练】将一个三边长度分别为5，12，13的三角形的各
边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式（组）表示x应
满足的不等关系.
【解析】各边都缩短x后，长度仍然为正数，只要最短边大于
零即可，因此5-x>0.而要构成三角形，还要满足(5-x)+(12-x)
>13-x.当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只
2.作商法比较大小的注意事项
利用作商法比较大小要注意分清所研究变量的正负，然后根
据：若 a b1，>0,则a>b；若 a b1<，0,则a<b的原则进行判断.
b
b
【变式备选】设x>5， P x 4 x 5，Q x 2 x 3， 则P与Q的大小关系是___________.
【解析】P x 4 x 5
b cos sin cos sin
cos sin 2sin( ),
由于θ∈( ,)， 所以
4 ( , 3)，
42
4 24
故sin(θ+ )∈( ,1)2，
4
2
2sin(
4
)
即(1,
>21)，, 故必ab 有a<b.
【拓展提升】 1.作差法比较大小的方法步骤 （1）作差：有的可直接作差，有的需转化才可作差； （2）变形：目的是判断差的符号，通常进行通分、因式分解、 配方、分子（分母）有理化等变形，有时还要根据字母取值范 围进行讨论以判断差的符号； （3）定号：若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b等； （4）得结论.
b
b
2.不等式的基本性质
性质 对称性 传递性 可加性
可乘性
性质内容
a>b⇔_b_<_a_
a>b,b>c⇒_a_>_c_
a>b⇔_a_+_c_>_b_+_c_
a b
c
0
⇒_a_c_>_b_c_
a b
c
0
⇒_a_c_<_b_c_
特别 提醒 ⇔
⇒ ⇔
注意c 的符号
性质
性质内容
同向可加性
a b
够推出a-d>b-c，但不一定有a-c>b-d，如a=3,b=2,c=4,d=1.
但
当c>d且a-c>b-d时，必有a>1 b,1所，以是必要不充c分＞条c，件.故选B.
ab
ab
（2）选D.由不等式a>b>1知 又c<0，所以 ①正
确；根据幂函数y=xc在（0，+∞)上的单调性知②正确；由
a>b>1，c<0知a-c>b-c>1-c>1，由对数函数的图象与单调性知
第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式
1.两个实数比较大小的法则
关系 a>b a=b a<b
作差法则 _a_-_b_>_0_ a-b=0
_a_-_b_<_0_
法则 作商法则
a b
1 (a,b>0)或
a b
1
(a,b<0)
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高考数学一轮复习 第6章 不等式 6.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式课件 理
5．三个二次之间的关系
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)a＞b⇔ac2＞bc2.( × ) (2)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋ ∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是 x1 和 x2.( √ ) (3)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R.( × ) (4)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( × )
第6章 不等式
6．1 不等关系与不等式的 性质及一元二次不等式
基础知识过关
[知识梳理] 1．两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0⇔a ＞ b. (2)a－b＝0⇔a ＝ b. (3)a－b＜0⇔a ＜ b.
2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔ b＜a . (2)传递性：a＞b，b＞c⇒ a＞c . (3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ ac＞bc ；a＞b，c＜0⇒
A.x－1＜x＜12
C．{x|－2＜x＜1}
B.xx＜－1或x＞12
D．{x|x＜Biblioteka 2 或 x＞1}解析 由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根．
由韦达定理 －1＋2＝－ba， －1×2＝2a
⇒ab＝ ＝－ 1. 1，
∴不等式 2x2＋bx＋a＜0，即 2x2＋x－1＜0.
解析 当 a＞1 时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0， ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x) ＝－loga(1－x2)＞0. 当 0＜a＜1 时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0， ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝ loga(1－x2)＞0. ∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
高考数学一轮总复习第6章6.1不等关系与不等式课件理159.ppt
延伸探究 1 将本例条件改为－1<x<y<3，求 x－y 的取 值范围．
解 ∵－1<x<3，－1<y<3， ∴－3<－y<1， ∴－4<x－y<4.① 又∵x<y，∴x－y<0，② 由①②得－4<x－y<0.故 x－y 的取值范围为(－4，0)．
延伸探究 2 若将本例条件改为“－1<x＋y<4,2<x－ y<3”，求 3x＋2y 的取值范围．
④中，因为 b<a<0，根据 y＝x2 在(－∞，0)上为减函数， 可得 b2>a2>0，而 y＝ln x 在其定义域上为增函数，
所以 ln b2>ln a2，故④错误． 由以上分析，知①③正确，故选 C.
解法二：因为1a<1b<0，故可取 a＝－1，b＝－2. 因为|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误； 因为 ln a2＝ln (－1)2＝0，ln b2＝ln (－2)2＝ln 4 >0，所以 ④错误． 综上所述，②④错误，选 C.
解法二：设xy34＝xy2m(xy2)n， 则 x3y－4＝x2m＋ny2n－m，
所以22mn－ ＋mn＝ ＝3－，4， 即mn＝ ＝－ 2，1. 又∵16 ≤xy22≤81，18≤(xy2)－1≤13， ∴2≤xy34≤27，故xy34的最大值为 27.
4．[2017·金版创新]设 c>0，则下列各式成立的是(
)
A．c>2c C．2c<12c
B．c>12c D．2c>12c
解析 c>0 时，2c>1，12c<1，所以 2c>12c.
板块二 典例探究·考向突破
2025届高中数学一轮复习课件《不等式与不等关系》ppt
B．2ba＜log2(a＋b)＜a＋1b
C．a＋1b＜log2(a＋b)＜2ba
D．log2(a＋b)＜a＋1b＜2ba
1 解析：令 a＝3，b＝13，则 a＋1b＝6，1＜log2(a＋b)＝log2130＜2，2ba＝233＝214，即 a＋1b＞
log2(a＋b)＞2ba.故选 B．
解析 答案
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第21页
方法二(作商法)：∵p＝a3a＋bb3＝a＋baa2－b ab＋b2， ∴pq＝a2－aabb＋b2≥2aba－b ab＝1， 应用基本不等式：a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时等号成立. 此题还有另一妙解：p＝ba2＋ ab2＝ba2＋a＋ab2＋b－(a＋b)≤2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝q. 当且仅当 a＝b 时等号成立． ∵q＜0，∴p≤q.故选 B．
解析 答案
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第14页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
第15页
题型 不等式简单性质的理解
典例 1(1)若 a，b 都是实数，则“ a－ b＞0”是“a2－b2＞0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出1a＜1b成立 的是________．
解析 答案
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4．“a＋b＞2c”的一个充分条件是( )
A．a＞c 或 b＞c
B．a＞c 且 b＜c
C．a＞c 且 b＞c
D．a＞c 或 b＜c
第13页
解析：对于 A，a＞c 或 b＞c，不能保证 a＋b＞2c 成立，故 A 错误；对于 B，a＞c 且 b＜c，不能保证 a＋b＞2c 成立，故 B 错误；对于 C，a＞c 且 b＞c，由同向不等式相加的 性质，可以推出 a＋b＞2c，故 C 正确；对于 D，a＞c 或 b＜c，不能保证 a＋b＞2c 成立， 故 D 错误．故选 C．
高考数学人教版理科一轮复习课件：6-1 不等关系与不等式
是( C )
A．6c<3a<4b B．6c<4b<3a C．3a<4b<6c D．4b<3a<6c (2)已知 a>b>0，P＝aa22－ ＋bb22，Q＝aa－ ＋bb，则 P，Q 的大小关系为
__P_>__Q___．
【解析】 (1)令 3a＝4b＝6c＝k，则 a＝log3k，b＝log4k，c ＝log6k，则34ab＝34lloogg34kk＝34llgg43＝llgg6841<1，则 3a<4b，又46bc＝23lloogg46kk＝ 23llgg46＝llgg3664<1，则 4b<6c，所以 3a<4b<6c，故选 C.
又 3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6， 所以 6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10， 即 f(－2)的取值范围是[6,10]．因为二次函数 y＝f(x)的图象 过 原 点 ， 所 以 设 y ＝ f(x) ＝ ax2 ＋ bx(a≠0) ， 由 题 意 知 1≤f－1＝a－b≤2， 3≤f1＝a＋b≤4. 解法 1：(待定系数法)由题意知 f(－2)＝4a－2b，设存在实数 x，y，使得 4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即 4a－2b＝(x＋y)a＋(x －y)b，所以xx－ ＋yy＝ ＝－ 4，2， 解得xy＝ ＝13， ，
6．可开方：a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)．
3．(2019·南宁、柳州联考)设 a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确
的是( C )
A．ac2>bc2
B．ab>1
C．a－c>b－c D．a2>b2
解析：a>b，若 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A 错；a>b，若 b<0， 则ab<1，故 B 错；a>b，不论 c 取何值，都有 a－c>b－c，故 C 正 确；a>b，若 a，b 都小于 0，则 a2<b2，故 D 错．于是选 C.
A．6c<3a<4b B．6c<4b<3a C．3a<4b<6c D．4b<3a<6c (2)已知 a>b>0，P＝aa22－ ＋bb22，Q＝aa－ ＋bb，则 P，Q 的大小关系为
__P_>__Q___．
【解析】 (1)令 3a＝4b＝6c＝k，则 a＝log3k，b＝log4k，c ＝log6k，则34ab＝34lloogg34kk＝34llgg43＝llgg6841<1，则 3a<4b，又46bc＝23lloogg46kk＝ 23llgg46＝llgg3664<1，则 4b<6c，所以 3a<4b<6c，故选 C.
又 3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6， 所以 6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10， 即 f(－2)的取值范围是[6,10]．因为二次函数 y＝f(x)的图象 过 原 点 ， 所 以 设 y ＝ f(x) ＝ ax2 ＋ bx(a≠0) ， 由 题 意 知 1≤f－1＝a－b≤2， 3≤f1＝a＋b≤4. 解法 1：(待定系数法)由题意知 f(－2)＝4a－2b，设存在实数 x，y，使得 4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即 4a－2b＝(x＋y)a＋(x －y)b，所以xx－ ＋yy＝ ＝－ 4，2， 解得xy＝ ＝13， ，
6．可开方：a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)．
3．(2019·南宁、柳州联考)设 a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确
的是( C )
A．ac2>bc2
B．ab>1
C．a－c>b－c D．a2>b2
解析：a>b，若 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A 错；a>b，若 b<0， 则ab<1，故 B 错；a>b，不论 c 取何值，都有 a－c>b－c，故 C 正 确；a>b，若 a，b 都小于 0，则 a2<b2，故 D 错．于是选 C.
高三数学一轮复习 6.1不等关系与不等式课件
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6.已知-2<a<-1,-3<b<-2,则a-b的取值范围是
,a2+b2的
取值范围是
.
【解析】因为-2<a<-1,-3<b<-2,所以2<-b<3,
于是0<a-b<2.
又因为1<a2<4,4<b2<9,所以5<a2+b2<13.
答案:(0,2) (5,13)
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考点1 用不等式(组)表示不等关系 【典例1】(1)已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:
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【规律方法】用不等式(组)表示不等关系的常见类型及解题策 略 (1)常见类型: ①常量与常量之间的不等关系; ②变量与常量之间的不等关系; ③函数与函数之间的不等关系; ④一组变量之间的不等关系.
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(2)解题策略:①分析题目中有哪些未知量; ②选择其中起关键作用的未知量,设为x,再用x来表示其他未知 量; ③根据题目中的不等关系列出不等式(组). 提醒:在列不等式(组)时要注意变量自身的范围,解题时极易忽 略,从而导致错解.
可乘性
a c
b
0
⇒_a_c_>_b_c_
a c
b 0
⇒_a_c_<_b_c_
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特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
注意c 的符号
4
性质 同向可加性
同向同正 可乘性
可乘方性 可开方性
性质内容
a c
b
d
⇒_a_+_c_>_b_+_d_
a b 0
c
d
高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.1 不等关系与不等式课件
加性
a>b>0
ac>bd
同向同
c>d>0
正
an>bn⇒
⇒
可乘性
n a>n b
可乘方 a>b>0⇒
性
(n∈N，n≥1) a，b
答案
不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒1a
<
1 b.
②a<0<b⇒1a
<
1 b.
③a>b>0,0<c<d⇒ac
>
b d.
④0<a<x<b
或
a<x<b<0⇒1b
<
1 x
<
1a.
知识拓展
答案
(2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 ①ba<ba＋＋mm；ba>ba－－mm(b－m>0). ②ab>ab＋＋mm；ab<ab－－mm(b－m>0).
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a>b⇔ac2>bc2.( × ) (2)1a>1b⇔a<b(ab≠0).( × ) (3)a>b，c>d⇒ac>bd.( × ) (4)若1a<1b<0，则|a|>|b|.( × ) (5)若 a3>b3 且 ab<0，则1a>1b.( √ )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c
思维升华
解析答案
高三数学一轮复习 第六章 第一节 不等关系与不等式课件 理 新人教A版
【答案(dáàn)】 (2)(3)(4)
第十九页，共40页。
1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生 有”自造性质导致推理判定失误．
2．对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等 式性质包括 “单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于 证明不等式，双向性是解不等式的依据(yījù)，因为解不等式 要求的是同解变形．
第二十八页，共40页。
1.运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件，切忌弱化 (ruòhuà)或强化性质成立的条件．
2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立 待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量 范围．
第二十九页，共40页。
作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小(dàxiǎo) 的两种基本方法，其中变形是关键．
(6)开方法则：a>b>0⇒n a__>__n b(n∈N，n≥2)；(单向 性)
(7)倒数性质：设ab＞0，则a＜b⇔1a＞1b.(双向性)
第七页，共40页。
1．(1)a>b，c>d⇒a－c>b－d成立吗？ (2)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd对吗？ 【提示】 (1)不一定成立，但a－d>b－c一定 成立． (2)不一定成立，但da>bc一定成立．
2．a>b⇒an>bn(n∈N，且n>1)对吗？ 【提示】 不对，若n为奇数，成立，若n为偶数(ǒu shù)，则不一定成立．
第八页，共40页。
1．(人教A版教材习题改编)对于实数(shìshù)a，b，c，“a ＞b”是“ac2＞bc2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
第十九页，共40页。
1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生 有”自造性质导致推理判定失误．
2．对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等 式性质包括 “单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于 证明不等式，双向性是解不等式的依据(yījù)，因为解不等式 要求的是同解变形．
第二十八页，共40页。
1.运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件，切忌弱化 (ruòhuà)或强化性质成立的条件．
2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立 待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量 范围．
第二十九页，共40页。
作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小(dàxiǎo) 的两种基本方法，其中变形是关键．
(6)开方法则：a>b>0⇒n a__>__n b(n∈N，n≥2)；(单向 性)
(7)倒数性质：设ab＞0，则a＜b⇔1a＞1b.(双向性)
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1．(1)a>b，c>d⇒a－c>b－d成立吗？ (2)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd对吗？ 【提示】 (1)不一定成立，但a－d>b－c一定 成立． (2)不一定成立，但da>bc一定成立．
2．a>b⇒an>bn(n∈N，且n>1)对吗？ 【提示】 不对，若n为奇数，成立，若n为偶数(ǒu shù)，则不一定成立．
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1．(人教A版教材习题改编)对于实数(shìshù)a，b，c，“a ＞b”是“ac2＞bc2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件