三角函数化简求值专题复习
三角函数化简求值专题复习
高考要求
1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）
3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 热点分析
1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.
2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题
3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.
【例1】求值：
?
+??
??+?+?80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.
解：原式的分子?
?
?+??+?=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2
??+?=20cos 10cos 20sin 2?
?
+?=
20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =?
?
?=??+?=
，
原式的分母＝
?
?
+?=
??+?80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()??+?+?=80sin 80cos 40cos 40cos ??
?+?=
80sin 20cos 60cos 240cos 310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =?
?
?=??+?=
，
所以，原式＝１．
【变式】1、求值
()
?
+??+?+?10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2
解：()()2
5cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 23
10cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=?
??=??+?=??-?+?=?
??
?
? ???+?+?=??+?+?=·原式 【变式】2、求0
020
210
sin 21
)140cos 1
140sin 3(
?-
。 分析：原式=
202020210sin 21140cos 140sin 140sin 140cos 3?
-
16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin 4
1200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(0
000002000
2000000=-=-=??-=?
-+-= 【例2】（三兄弟）已知23523sin cos π
απαα<
<=-，且，求α
α
αtan 1sin 22sin 2
-+的值
解：原式=α
αααααsin cos cos sin 2cos 2sin 2-+=()αααααsin cos sin cos 2sin -+
∵5
2
3αsin αcos =-，上式两边平方，得：2518α2sin 1=-
∴2572sin =
α；又∵2
3π
απ<< ∴0sin cos 0sin 0cos <+<<αααα，，
∴()()ααααααcos sin 4sin cos sin cos 22+-=+()25
322sin 2sin cos 2=+-=ααα ∴524sin cos -=+αα，∴原式5
2
3524257???? ??-
?=
7528-= 【变式】（05
天津）已知7
sin()24
1025
π
αα-
=
=
，求sin α及tan()3πα+． 【解析】：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
)cos (sin 2
2
)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα
①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
)sin (cos 5
7
)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51
sin cos -=+αα ②
由①和②式得53sin =α，5cos =α
因此，4
3
tan -=α，由两角和的正切公式
11325483
343344
33143
3tan 313tan )3tan(-=+-=+
-
=-+=+ααπα 【例3】（最值辅助角）已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2
π
]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。
解：f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1 =a (1－cos2x )－3a sin2x +a +b －1 =－2a sin 12)6
π2(-+++b a x
∵0≤x ≤
π2 ∴π6≤2x +π6≤π6
7 ∴1)6π
2sin(21≤≤+-x
∵a <0 ∴a ≤－2a sin ()26x +π
≤－2a
∴3a +b －1≤－2a sin ()26
x +π
+2a +b －1≤b －1
∵值域为[－3,1] ∴???-=-+=-31311b a b ∴??
???
=-=2
34b a 【变式】已知00
<α<β<900
，且sin α，sin β是方程-
+-020240cos x )40cos 2(x 2
1
=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。
解：由韦达定理得sin α+sin β=2cos400
，sin αsin β=cos 2
400
-2
1 ∴ sin β-sin α=)40cos 1(2sin sin 4)sin (sin )sin (sin 0222-=βα-β+α=α-β040sin 2= 又sin α+sin β=2cos400
∴ ???
????=-=α=+=β0
000005sin )40sin 240cos 2(21sin 85sin )40sin 240cos 2(21sin
∵ 00<α<β< 90
∴ ?????=α=β005
85 ∴ sin(β-5α)=sin600
=
23
【例4】（最值二次型）已知 αβαβαπ
βπ
2222sin 2
1
sin sin 2sin 2sin 34
6
-
=-<
≤-
，试求，的最值。 解：∵4πβ6π<≤-
∴-2
2
sin 21<
≤β，21sin 02<≤β ∴1sin 202<≤β ∵23222sin sin sin βαα=- ∴03212≤- ?<<-≤≤≤??????<--≥-1 sin 3 10sin 1sin 3 2 01sin 2sin 30sin 2sin 322 ααααααα或 ∴ 1αsin 3 2 0αsin 31<≤≤<-或 y=4 1)21(sin sin 21)sin 2sin 3(21sin 21sin 22222--=--=-αααααβ 当sin α∈[ 32，1]时函数y 递增，∴当sina=23 时 y min =92-； 当sin α∈(31- ，0)时，函数y 递减，∴当sin α=0时，y min =2 1 ∴ 故当)sin 2 1(sin ,92)sin 21(sin 32sin 22min 22αβαβα--=-=时，无最大值 【变式】设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2 1 的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值. 解：由y =2(cos x －2a )2－2 2 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )?? ? ????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122) 2( 12a a a a a a ∵f (a )= 21,∴1－4a =21?a =81 ?［2,+∞) 故－22a －2a －1=2 1，解得：a =－1，此时， y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5. 【例5】（角的变换）已知 2π＜β＜α＜4π3,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－5 3 ,求sin2α的值_________. 解：∵ 2π＜β＜α＜4π3,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜4 π 3, ∴sin(α－β)=.5 4 )βα(sin 1)βαcos(,135)βα(cos 122-=+--=+= -- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］ =sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) .6556)53(1312)54(135-=-?+-?= 【变式】（1）已知8cos(2α+β)+5cos β=0，求tan(α+β)·tan α的值； （2）已知 5cos 3sin cos sin 2-=θ -θθ +θ，求θ+θ2sin 42cos 3的值。 解：（1）从变换角的差异着手。 ∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得：13cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α=0 同除以cos(α+β)cos α得：tan(α+β)tan α=3 13 （1）以三角函数结构特点出发 ∵ 3tan 1tan 2cos 3sin cos sin 2-θ+θ=θ-θθ+θ ∴ 53 tan 1 tan 2-=-θ+θ ∴ tan θ=2 ∴ 5 7 tan 1tan 8tan 33cos sin cos sin 8)sin (cos 32sin 42cos 3222222=θ +θ +θ-= θ +θθ θ+θ-θ= θ+θ 【例6】已知奇函数f (x )的定义域为实数集,且f (x )在[0,)+∞上是增函数，当02 π θ≤≤ 时，是否存在这样的实数m ， 使2(42cos )(2sin 2)(0)f m m f f θθ--+>对所有的[0,]2 π θ∈均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ； 若不存在，说明理由。 解：()f x 为奇函数，()()()(0)0f x f x x R f ∴-=-∈∴= 2(42cos )(2sin 2)0f m m f θθ--+> 2(42cos )(2sin 2)f m m f θθ∴->+ 又()f x 在[]0,+∞上是增函数，且()f x 是奇函数 ()f x ∴是R 上的增函数， 22 42cos 2sin 2 cos cos 220 m m m m θθθθ∴->+∴-+-> []0,,c o s 0,12πθθ?? ∈∴∈???? ，令 []cos (0,1)l l θ=∈ ∴满足条件的m 应该使不等式2220l mt m -+->对任意[]0,1m ∈均成立。 设 2 2()22()222 m g t l mt m l m =-+-=-+-，由条件得 02(0)0 m g ??或 012()02 m m g ?≤≤??? ?>??或 12(1)0 m g ?>???>? 解得，42m -≤或2m > 即m 存在，取值范围是(4)-+∞ 【变式】已知函数3 2 1()43cos ,32f x x x θ=-+ 其中,x R θ∈为参数，且0.2 π θ≤≤ （1）当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值； （2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围； （3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21,)a a -内都是增函数，求实数a 的取值范围。 解：（1）当cos 0θ=时31()4,32 f x x =+则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数，故无极值。 （2）2'()126cos ,f x x x θ=-令'()0,f x =得 12cos 0,.2 x x θ == 由02 π θ≤≤ 及（I ），只需考虑cos 0θ>的情况。 当x 变化时，'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表： 因此，函数()f x 在cos 2x θ= 处取得极小值cos ( ),2f θ且3cos 11 ()cos .2432 f θθ=-+ 要使cos ()0,2f θ>必有311cos 0,432θ-+>可得10cos ,2θ<<所以32 ππ θ<< （3）由（2）知，函数()f x 在区间(,0)-∞与cos (,)2 θ +∞内都是增函数。 由题设，函数()f x 在(21,)a a -内是增函数，则a 须满足不等式组 210a a a - ≤? 或21121cos 2 a a a θ- ?-≥?? 由（II ），参数( ,)32ππ θ∈时，10cos .2θ<<要使不等式121cos 2a θ-≥关于参数θ恒成立，必有1 21.4a -≥综上，解得0a ≤或5 1.8a ≤<所以a 的取值范围是5 (,0][,1).8 -∞ 练习： 一、选择题 1.已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2 π,2π)，则tan 2β α+的值是( ) A. 2 1 B.－2 C. 3 4 D. 2 1 或－2 二、填空题 2.已知3sin 5α=，),2(ππα∈，1 tan()2πβ-=，则tan(2)αβ-=_________. 3.设α∈( 43, 4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=5 3，sin(43π+β)=135 ，则sin(α+β)=_________. 三、解答题 4.不查表求值: .10cos 1) 370tan 31(100sin 130sin 2? +?+?+? 5.已知cos(4π +x )=53，(12 17π＜x ＜47π )，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 6.已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求 )4β 4π(sin 42 αsin 2αcsc )απcos(12-----的最大值及最大值时的条件. 7、已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10 43 2log 2 1 ++x x 的最小值，并求取得最小 值时x 的值. 参考答案 一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0. tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－ 2π,2π)∴α、β∈(－2 π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+ β)= 342 tan 12tan 2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2 =β+α-β +α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 2 22β αtan 32βα-+++=0.解得tan 2 βα+=－2. 答案：B 2.解析：∵sin α= 5 3,α∈(2π,π),∴cos α=－54 则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21, .34)2 1(1) 21 (2t a n 1t a n 22t a n 2 2 -=---?=-=βββ 247)3 4()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(2 = -?-+---=?+-=-βαβαβα 答案：247 3.解析：α∈( 4 π 3, 4π),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π)=53. 6556 )sin(. 6556 13554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()] 4 3()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.13 12 )43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(= +=?+-?-=+?-++?--=++--=-++-=+∴-=+∴=+∈+∴∈= - ∴βαβππαβππαβπ παπβππαβαβπβπππβππβπ α即 三、4.答案：2 75285 3)54(25 7) 4πcos() 4π sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 5 4)4πsin(,π24π3π5,π4712π17. 25 7 )4π(2cos 2sin ,53)4πcos(:.522=-?=++=-+=- +=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 又解 )2sin 2121(42 cos 2cos 22sin 2)22cos(14 2 sin 1) cos 1(2 sin ) 4 4 ( sin 42 sin 2 csc )cos(1:.62 2 2 2βαα α βπα αα β π α α απ--?=----+= - ----= t 令解 2 )3 22sin(22)21()322sin(4.32243824,382 2cos 2sin 42)2 sin 2 (sin 2---=--?-=∴-=-= -∴=---+=-+=π απαπαπαβαπβαβ αβ αβ α t π≠αk （k ∈Z ）,3 22322π - π≠π-α∴ k （k ∈Z ） ∴当 ,2ππ23π22α-=-k 即3ππ4α+=k （k ∈Z ）时,)π3 2 2αsin(-的最小值为－1. 7.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－ 1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =2 3 2-t . .2 1 ,232,2,258log 2log 82log ,0log .82,2,42. 82 24142142104325.05.05 .0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+ =+=++= ∴x x t y M M y M t t t t t t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当 2011突破难点 （十六）三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知 2 π ＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2 α的值_________. ●案例探究 ［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =2 1 (1－cos40°)+2 1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+ 3sin20° (cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－2 1cos40°－4 1cos40°－ 43sin40°+43sin40°－2 3sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2 1的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值. 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等. 解：由y =2(cos x －2a )2－22 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )??? ????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122 ) 2( 12a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a = 21?a =8 1 ?［2,+∞) 故－22a －2a －1=2 1 ，解得：a =－1，此时， y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5. ［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3 π )－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期； 【知识要点】 利用同角三角函数的基本关系式——平方关系、商数关系、倒数关系和两角和差倍半角公式来化简求值. 和差化积、积化和差公式： sin sin 2sin cos 22αβ αβαβ+-+= sin sin 2sin cos 22 αβαβαβ-+-= cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+= cos cos 2sin sin 22 αβαβαβ+--= 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++- 1cos sin [sin()sin()]2 αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=+-- 【典型例题】 例1求234cos cos cos cos 9999 π πππ的值. 例2化简下列各式： （1）2sin10cos 20sin 20?-?? （2）22sin sin cos sin cos tan 1x x x x x x +---（3）66441sin cos 1sin cos θθθθ---- 例3已知tan 2α=，求：（1） 4sin 2cos 5sin 3cos αααα -+；（2）223sin 3sin cos 2cos αααα+-. 例4已知sin()410πα- =，7cos 225α=，求sin α及tan()3πα+的值. 例5已知α为第二象限内的角，3sin 5α= ，β为第一象限内的角，5cos 13 β=，求tan （2α-β）的值. 【课堂练习】 1.若sin cos 2sin cos x x x x +=-，则sin cos x x =（ ）. 三角函数诱导公式专项练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（） A． B． C． D． 2．的值为（） A． B． C． D． 3．已知，则cos（60°–α）的值为 A． B． C． D．– 4．已知，且，则（）A． B． C． D． 5．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A． B．－ C．± D． 6．已知，则=( ) A． B． C． D． 7．已知，，则（） A． B． C． D． 8．已知，则（） A． B． - C． D． - 9．如果，那么 A． - B． C． 1 D． -1 10．已知，则（） A． B． C． D． 11．化简的值是（） A． B． C． D． 12．的值是（） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，则的值等于 A． B． C． D． 14．已知，则（） A． B． C． D． 15．已知的值为（）A． B． C． D． 16．已知则（） A． B． C． D． 17．已知，且是第四象限角，则的值是( ) A． B． C． D． 18．已知sin＝，则cos＝( ) A． B． C．－ D．－ 19．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( ) A．－ B． C．± D．－k 20．＝( ) A． sin 2－cos 2 B． sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D． cos 2－sin 2 21．的值为 A． B． C． D． 22．（） A． B． C． D． 三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 已知 2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=13 12,sin(α+β)=－53 ,求sin2α的值_________. ● 案例探究 ［例1］ 不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° = 21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21 cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20° －sin60°sin20°) =1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－2 3sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°= 2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y = 41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1. 高考 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的 重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知 2 π ＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.● 案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体 会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°= 21 (1－cos40°)+2 1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－2 1 cos40° +2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－4 3 (1－ cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－ 3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°= －2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x =y =4 1 ，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° =41.［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座 等.解：由y =2(cos x －2 a )2－22 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )?? ? ????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122) 2( 12 a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a =21?a =81?［2,+∞)故－ 22a －2a －1= 21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x + 3 π )－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(3)若当x ∈［12 π，127π ］时，f (x )的反函数 第三讲 一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧 1、网络 2、三角函数变换的方法总结 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。 练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。 2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。练习已知，求的值 【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α ＋β）＝ 提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） （3）以式代值 利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。 【例4】化简： （4）和积互化 积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。 【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x 三角函数化简求值专题复习 高考要求 1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。 2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式） 3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至20XX 年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题 3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 【例1】求值： ? +?? ??+?+?80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2. 解：原式的分子? ? ?+??+ ?=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2 ? ?+ ?=20cos 10cos 20sin 2?? +?=20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =? ? ?=??+?= ， 原式的分母＝ ? ? +?=??+?80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()??+?+?=80sin 80cos 40cos 40cos ?? ?+?=80sin 20cos 60cos 240cos 310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =? ? ?=??+?= ， 所以，原式＝１． 【变式】1、求值 () ? +??+?+?10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2 解：()()2 5cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 23 10cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=? ??=??+?=??-?+?=? ?? ? ? ???+?+?=??+?+?=·原式 【变式】2、求00 20 210sin 21)140 cos 1140sin 3( ?- 。 分析：原式= 202020210sin 21 140cos 140sin 140sin 140cos 3? - 专题12 三角函数的化简与求值 一、复习目标 1．掌握三角函数恒等变形的一般思路与方法； 2．能利用恒等变形进行三角函数式的化简与求值． 二、基础训练 1．=-15cot 15tan ( ) A ．2 B ．32+ C ．4 D ．32- 2．3,(2),2 P π απ=<<若 则化简P 可得 （ ） A ．2 cos α - B ．2 cos α C ．2 sin α- D ．2 sin α 3． 若α为锐角，且,3 1 )6sin(=- π α则=αcos ． 42 cos 1010)1cos 10170 --= ． 三、典型例题 1．（1）若等于则θ θ θ2sin 12cos ,21tan +- = （ ） A ．2- B ．2 1 - C ．3- D ．3 （2）若71cos = α，??? ??∈2,0πα，则??? ? ? +3cos πα=__________。 2．已知)3 tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π +αα=α=π-α及求 3．化简：2 2221sin sin cos cos cos 2cos 22 αβαβαβ?+?-? ． 4．已知1 0,sin cos 25 x x x π - <<+= ． （Ⅰ）的值求x x cos sin -； （Ⅱ）求2 23sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x -++的值． 四、课堂练习 1． 对任意的锐角βα，，下列不等关系中正确的是 （ ） A ．sin()sin sin αβαβ+>+ B ．sin()cos cos αβαβ+>+ C ．cos()sin sin αβαβ+<+ D ．cos()cos cos αβαβ+<+ 2． 已知,16 3,16π βπ α= = 则 =+?+)tan 1(tan 1βα）（ ． 3． 已知α为第二象限的角，53sin =α，β为第一象限的角，13 5 cos =β，求) 2tan(βα-的值． 五、巩固练习 1．已知=-=+= +)4 tan(,223)4tan(,52)tan(π βπαβα那么 （ ） A ．51 B ．41 C ．1813 D ．2213 2．若=+=-)232cos(,31)6sin(απ απ则 （ ） A ．97- B ．31- C ．31- D ．9 7 3．若βα，均是锐角，且2 sin cos(),ααβ=-则的关系是与βα （ ） A ．αβ> B ．αβ< C ．βα= D ．2 π αβ+> 4．函数x x x x f cos )cos 4sin 3()(-=的最小正周期为 ． 5．已知α为锐角，且2 2 sin sin cos 2cos 0,αααα--=则αtan = ， 1. 已知3,1616 π παβ==,则(1tan )(1tan )αβ++（1+tanα）的值为 。 2. 已知5sin 5α=,10sin 10 β=,且,αβ为锐角，则αβ+的值是 。 3. 若cos 222sin() 4απα=--，则sin cos αα+的值为 。 4. 已知()4 3sin 2,,252π πααπ??-=∈ ???,则sin cos sin cos αα αα+-等于 。 5. 若23 5cos 2,3252x x π π=<<,则sin 2x 和tan 2x 的值分别是 。 6. sin50(13tan10)+=___________________。 7. 44sin 22.5cos 22.5-=______________________。 8. 化简22cos() cos()23cos 2tan ()cos ()sin() 2π θθπ ππθθθ+--=?-+?-___________。 9. 已知向量(c o s ,s i n )a b ααββ==，25 5a b -=, 若0,022π παβ<<-<<，且5 sin 13β=-,则sin α的值为_______。 10. 已知23cos ()5cos()12x x π π++-=，求226sin 4tan 3cos ()x x x π+--的值． 11. 已知方程sin(3)2cos(4)απαπ-=-，求) sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπ απαπ----+-的值。 12. 已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+，且(0)8,()126f f π == （Ⅰ）求实数,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值. 三角函数与解三角形知识拓展 (1) 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限． (2)同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cosα)2＝1±2sin αcosα； (sin α＋cosα)2＋(sin α－cosα)2＝2； (sin α＋cosα)2－(sin α－cosα)2＝4sin αcosα. (3)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α 2 ,sin2α＝ 1－cos 2α 2 . (4)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α,1－cos 2α＝2sin2α. 题型分析 (一) 三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果. 【例1】【江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中】已知 π tan2 4 α?? -= ? ?? ,则cos2α的 值是_____． 【答案】 4 5 - 【解析】因为 π tan2 4 α?? -= ? ?? , 所以cos2α= π sin2 2 α ?? -- ? ?? = 22 ππ 2sin cos 44 ππ sin cos 44 αα αα ???? -- ? ? ???? - ???? -+- ? ? ???? = 2 π 2tan 4 π tan1 4 α α ?? - ? ?? - ?? -+ ? ?? = 4 5 - 【点评】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝α＋β 2 － α－β 2,α＝ α＋β 2 ＋ α－β 2 , α－β 2 ＝(α＋ β 2 )－( α 2 ＋β)等． 三角函数公式练习题（答案） 1．1．29 sin 6 π=（ ） A ．2- ．12- C ．12 D ．2 【答案】 【解析】C 试题分析：由题可知，2 165sin )654sin(629sin ==+=ππππ； 考点：任意角的三角函数 2．已知1027)4 (sin = -π α，25 7cos2=α，=αsin （ ） A ． 54 B ．54- C ．5 3- D ．53 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 ： 由 7 sin()sin cos 4105 πααα-=?-= ①， 2277cos2cos sin 2525 ααα= ?-= 所以()()7cos sin cos sin 25αααα-+=②，由①②可得1 cos sin 5 αα+=- ③， 由①③得，3 sin 5α= ，故选D 考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式 点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式 3．cos690=o （ ） A ． 21 B ．2 1- C ．23 D ．23- 【答案】C 【解析】 试题分析：由( )()cos 690cos 236030 cos 30cos30 =?-=-== o o o o o ，故选C 考点：本题考查三角函数的诱导公式 点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值 4．π3 16 tan 的值为 A.33- B.3 3 C.3 D.3- 【答案】 C 【解析】 试题分析tan π=tan（6π﹣）=﹣tan =． 考点：三角函数的求值，诱导公式． 点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值． 5．若2 02παβπ<<<<- ，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-= cos()2β α+= A ． 33 B ．33- C ．935 D ．9 6 - 【答案】C ． 【解析】 试题分析：因为202παβπ<<<<- ，1cos()43πα+=，所以4 344π αππ< +<，且322)4 sin( = +απ ；又因为3cos()42πβ-=，且02 <<-βπ，所以2 244π βππ<-<，且36)24sin(= -βπ．又因为)24()4(2βπαπβα--+=+，所以) 2 4sin()4sin()24cos()4cos()]24()4cos[()2cos(β παπβπαπβπαπβ α-++-+=--+=+ 9 35363223331=?+?= ．故应选C ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式． 6．若角α的终边在第二象限且经过点(13)P -，则sin α等于 A ． 32 B ．32- C ．12- D ．1 2 【答案】A 【解析】 试题分析：由已知2 3sin 2,3,1== ?=∴= -=r y r y x α，故选A ． 考点：三角函数的概念． 7．sin70Cos370- sin830Cos530 的值为（ ） A ．21- B ．21 C ．2 3 D ．23- 【答案】A 【解析】 试题分析： sin70Cos370- sin830Cos530 ()() ο οοοοο3790sin 790cos 37cos 7sin ---= 三角函数诱导公式练习题 一、选择题(共21小题) 1、已知函数f(x)=sin,g(x)=tan(π﹣x),则( ) A、f(x)与g(x)都就是奇函数 B、f(x)与g(x)都就是偶函数 C、f(x)就是奇函数,g(x)就是偶函数 D、f(x)就是偶函数,g(x)就是奇函数 2、点P(cos2009°,sin2009°)落在( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、已知,则=( ) A、B、C、D、 4、若tan160°=a,则sin2000°等于( ) A、B、C、D、﹣ 5、已知cos(+α)=﹣,则sin(﹣α)=( ) A、﹣ B、 C、﹣ D、 6、函数得最小值等于( ) A、﹣3 B、﹣2 C、 D、﹣1 7、本式得值就是( ) A、1 B、﹣1 C、 D、 8、已知且α就是第三象限得角,则cos(2π﹣α)得值就是( ) A、B、C、D、 9、已知f(cosx)=cos2x,则f(sin30°)得值等于( ) A、B、﹣C、0 D、1 10、已知sin(a+)=,则cos(2a﹣)得值就是( ) A、B、C、﹣D、﹣ 11、若,,则得值为( ) A、B、C、D、 12、已知,则得值就是( ) A、B、C、D、 13、已知cos(x﹣)=m,则cosx+cos(x﹣)=( ) A、2m B、±2m C、 D、 14、设a=sin(sin20080),b=sin(cos20080),c=cos(sin20080),d=cos(cos20080),则a,b,c,d 得大小关系就是( ) A、a＜b＜c＜d B、b＜a＜d＜c C、c＜d＜b＜a D、d＜c＜a＜b 15、在△ABC中,①sin(A+B)+sinC;②cos(B+C)+cosA;③tantan;④,其中恒为定值得就是( ) A、②③ B、①② C、②④ D、③④ 16、已知tan28°=a,则sin2008°=( ) A、B、C、D、 17、设,则值就是( ) A、﹣1 B、1 C、 D、 18、已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a,b,α,β为非零实数),f(2007)=5,则f(2008)=( ) A、3 B、5 C、1 D、不能确定 19、给定函数①y=xcos(+x),②y=1+sin2(π+x),③y=cos(cos(+x))中,偶函数得个数就是( ) A、3 B、2 C、1 D、0 20、设角得值等于( ) A、B、﹣C、D、﹣ 21、在程序框图中,输入f0(x)=cosx,则输出得就是f4(x)=﹣csx( ) 题目 高中数学复习专题讲座三角函数式的化简与求值 高考要求 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍 重难点归纳 1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值 2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决 典型题例示范讲解 例1不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值 命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高 知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟，计算易出错 技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会 解法一 sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° = 21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21 cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°) +3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－2 3sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 4 1 解法二 设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 三角化简求值测试题 1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________. 2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋1 2cos θ＝________. 3．计算：cos10°＋3sin10° 1－cos80°＝________. 4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________． 5．函数f (x )＝(sin 2x ＋1 2010sin 2x )(cos 2x ＋1 2010cos 2x )的最小值是________． 6．若tan(α＋β)＝2 5，tan(β－π 4)＝1 4，则tan(α＋π 4)＝_____. 7．若3sin α＋cos α＝0，则1 cos 2α＋sin2α的值为________． 8. 2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________． 9．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π 4)的值为_________． 10．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________． 11． 2cos5°－sin25° cos25°的值为________． 12．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________. 13．已知1－cos2α sin αcos α＝1，tan(β－α)＝－1 3，则tan(β－2α)＝________. 14．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝6 2，则a 、b 、c 的大小关系是________. 15．已知角α∈(π 4，π 2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0. (1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π 3－2α)的值． 16. 已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α) 1＋cos2α的值． 17．如图，点A ，B 交 18．△ABC 中，A ，1．若sin α＝35，α∈解析：由于α∈ 第九讲 三角函数式的恒等变形 1基本知识与基本方法 1.1基本知识介绍 ①两角和与差的基本关系式 β αβαβαsin sin cos cos )cos( =±； βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； .tan tan 1tan tan )tan(β αβ αβα ±= ± ②和差化积与积化和差公式 2cos( 2sin( 2sin sin β αβαβα-+=+, )2sin()2cos(2sin sin β αβαβα-+=- 2cos()2cos(2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin()2sin(2cos cos β αβαβα-+-=- [])sin()sin(21 cos sin βαβαβα-++= [])sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+= [])cos()cos(21 cos cos βαβαβα-++= [])cos()cos(21 sin sin βαβαβα--+-= ③倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= .tan 1tan 22tan 2α α α-= ④半角公式 ?? ? ??2sin α2)cos 1(α-± =, ?? ? ??2c o s α2)c o s 1(α+± =, =?? ? ??2tan α)cos 1()cos 1(αα+-± = .sin ) cos 1()cos 1(sin α ααα-=+ ⑤辅助角公式 如果b a ,是实数且022≠+b a ，则 )sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a ，其中?满足 2 2 sin b a b += ?2 2 cos b a a += ?. 1.2基本方法介绍 ①变角思想 在三角化简、求值中，往往出现较多相异的角，可根据角与角之间的关系，通过配凑，整体把握公式，消去差异，达到统一角的目的，使问题求解.如已知βα、均为锐角，并且 ,3 1 )tan(,54cos -=-= βαα求βcos 的值.观察到目标角与已知角不 同，应寻找它们的关系，将目标角转化为已知角，即 )(βααβ--=，所以求出1010 3)cos(,53sin =-=βαα 10 10 )sin(- =-βα,则 [])sin(sin )cos(cos )(cos cos βααβααβααβ-+-=--= 50 10 9= . ②变名思想 当条件与所求的三角函数名不一样时,可以利用三角函 第1讲 三角恒等变换与三角函数的化简、 求值 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切，C 级要求；(2)二倍角的正弦、余弦及正切，B 级要求.应用时要适当选择公式，灵活应用，试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题 . 真 题 感 悟 1.(2017·江苏卷)若tan ? ????α－π4＝16，则tan α＝________. 解析 法一 ∵tan ? ?? ??α－π4＝tan α－tan π 4 1＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝1 6， ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝7 5. 法二 tan α＝tan ??????? ? ???α－π4＋π4＝tan ? ????α－π4＋tan π41－tan ? ? ???α－π4tan π4＝16＋11－16×1 ＝ 75. 答案 7 5 2.(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－5 5. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值. 解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝4 3cos α. 因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝9 25， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－7 25. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－ 5 5， 所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝25 5，因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝4 3，所以tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝－ 24 7， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan（α＋β） 1＋tan 2αtan（α＋β） ＝－ 2 11. 考点整合1.三角函数公式 (1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sin α cos α＝tan α. (2)诱导公式：对于“kπ 2±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关 系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos βαsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β αtan β. (4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (5)辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cos φ＝ a a2＋b2 ，sin φ ＝ b a2＋b2 . 2.公式的变形与应用 (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). (2)升幂、降幂公式 三角函数与解三角形 知识拓展 (1) 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限． (2)同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. (3)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2,sin 2α＝1－cos 2α2. (4)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α,1－cos 2α＝2sin 2α. 题型分析 (一) 三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果. 【例1】【江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中】已知πtan 24α? ? -= ?? ? ,则cos2α的值是_____． 【答案】45 - 【解析】因为πtan 24α?? - = ?? ? , 所以cos2α=πsin 22α??-- ???=22ππ2sin cos 44ππsin cos 44αααα????-- ? ?????-????-+- ? ?????=2π2tan 4πtan 14αα? ?- ? ??-??-+ ?? ?=45- 【点评】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝α＋β2－α－β2,α＝α＋β 2 ＋α－β2,α－β2＝(α＋β2)－(α 2 ＋β)等． 第1页，总5页 绝密★启用前 xxx 学校_____学年度数学（理）试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息\r\n2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12道小题，每小题0 分，共0分） 1. 已知1tan()42π α+=，且02 π α-<<，则22sin sin 2cos()4 ααπα +-等于 A ． B ． C ． D 2. 已知函数()3sin 4cos 1f x x x =++，实常数,,p q r 使得()()2018pf x qf x r ++=对任意的实数x R ∈恒成立，则cos p r q +的值为( ) A ．-1009 B ．0 C.1009 D ．2018 3. 已知向量a =（k ，cos 3π），向量b =（sin 6π，tan 4π ），若a ∥b ，则实数k 的值为（ ） A ．4 1 - B ．﹣1 C ．41 D ．1 4. 已知,,,66t R ππαβ?? ∈-∈????，且5sin 30t αα+-=，5181sin3 03t ββ++=，则()ln 3cos 3αβ-+=????（ ） A ．ln2 B ．ln3 C ．5 ln 2 D ．ln 3? ?? 5. 若1 tan()43π α-=-，则cos2α=（ ） A ．35 B ．35- C ． 45- D ．45 6. 设f (n )=cos( 2n π+4 π )，则f (1)+ f (2)+ f (3)+…+ f (2006)=（ ） A ．－2 B ．－ 2 C ．0 D ． 2 7. 2cos553sin 5 -的值为（ ） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ．1 8. 设函数()cos sin f x x x =-，把)(x f 的图象按向量)0,(m 平移后，图象恰为函数 ()y f x '=的图象，则m 的值可以是 A. 2π B.4 π C.4π- D.2π- 9. 已知2sin 23 α=，则2 cos (4 πα+=（ ） A ．16 B ．16 C ．12 D ．23 10. 将函数()2cos f x x x =-的图象向左平移?（0?>）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则?的最小值为 ( ) A ． 6π B ． 3π C ．23π D ．56 π 11. 若 )4 2sin(21 )22cos( cos 22π+α-α+π +α=4，则tan （2α+4π）=（ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．5 1 12. 若sin(2cos )4 π ααα+=+，则sin 2α=（ ） A ．45- B ．45 C. 35- D ．3 5突破难点(十六)三角函数式的化简与求值
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