选修第三章空间向量及其运算知识点

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高中数学选修一第3章3.1~3.3空间向量运算-知识点

小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学选修一第3章3.1~3.3空间向量运算-知识点1、空间向量的加法、减法、数乘及运算律都是平面向量的对应推广，规则没有变，既可以用平行四边形法则，也可以用包含目标向量的封闭图形各边依次构成的向量之和为零向量得到相关式子。

2、因为向量可以平移，所以，任意两个向量都是共面向量。

3、向量的数量积：a ·bba4、5、a 与b 平行(共线)的充要条件：存在实数λ，使得b =λa ；a ⊥b 的充要条件：a ·b =0。

6、三角形ABC 中，D 是BC 中点，则AD =21AB +21AC 。

7、给定四点O,P,A,B ，其中，O,A,B 为不共线的三点，且OP =x OA +y OB ，则A,P,B 三点共线的充要条件是 x+y=1 .8、空间向量基本定理：如果1e 、2e 与3e 是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量a ，存在唯一的实数λ,μ,ν，使得a =λ1e +μ2e +ν3e 。

9、对于空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C ，都有OP =x OA +y OB +z OC 。

则点P 与A,B,C 四点共面的充要条件是 x+y+z=1 .10、空间向量的坐标表示：a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），则①a ±b =（x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2）；②λa =（λx 1，λy 1，λz 1）；③a ·b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ；④ 11、空间直角坐标系中，x 轴，y 轴，z 轴两两互相垂直。

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面，三个坐标平面把空间划分成八个部分。

高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示3课件新人教A版选修2

变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3，－12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz，则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝

选修2-1第三章空间向量及其运算

空间向量及其运算1理解空间向量的有关概念，掌握向量的线性运算；2 掌握空间向量定理及坐标表示；3 能运用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。

1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

2、向量与有向线段的区别：有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段。

三个要素：起点、方向、单位长度.（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，即为相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.3、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0。

0的方向是任意的.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.4、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的．．．．．．起点无关．．．．.5、共线向量与平行向量关系：（1）平行向量的定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段．．．．．的起点无关）．．．．．．.6、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）；（2）>0时与方向相同；<0时与方向相反；=0时=；（3）运算定律1、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．2、空间向量的直角坐标运算律（1）若，，则，，，，（2）若，，则．λ→a λ→a ||||||→→=a a λλλλ→a a λλ→a a λλ→a →0.)(,)(,)()(→→→→→→→→→+=++=+=b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλa ,,i j k 123(,,)a a a 123a a i a j a k =++123(,,)a a a a O xyz -123(,,)a a a a =O xyz -A (,,)x y z OA xi yj zk =++(,,)x y z A O xyz -(,,)A x y z x y z 123(,,)a a a a =123(,,)b b b b =112233(,,)a b a b a b a b +=+++112233(,,)a b a b a b a b -=---123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈111(,,)A x y z 222(,,)B x y z 212121(,,)AB x x y y z z =---一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

高中数学选修空间向量与立体几何知识点讲义

第三章空间向量与立体几何一、坐标运算()()111222,,,,,a x y z b x y z ==()()()()121212121212111121212,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=⋅=⋅⋅⋅则二、共线向量定理(),0,=.a b b a b a b λλ≠←−−→∃充要对于使三、共面向量定理,,.a b p a b x y p xa yb ←−−→∃=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←−−−→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←−−→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点()()()11,1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性、、、四点共面，，，，令()()() 1,1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量根本定理{},,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ∃若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.七、立体几何中的向量方法121212,,.n n l l v v αβ设平面和的法向量为和直线和的方向向量为11121111121212121212n v l l l n v l l l v v l l v v n n n n αααβαβ⊥⇒⊂⇒⊥⇒⊥⇒⊥⇔⊥⇔⊥①或②若③④⑤⑥八、角、距离()1θ异面直线的夹角，cos cos ,AB CD AB CD AB CD θ⋅==⋅则()2,θ线与面的夹角sin cos a n a n θα⋅==⋅则()3,θ二面角1212cos cos n n n n θα⋅==⋅则θ说明：只能由已知图观察锐钝.()4,d 点到平面的距离cos PA n d PA n θ⋅=⋅=则cos cos d PA n PA n PA nd PA n θθ⋅=⋅⋅⋅∴=⋅=说明：由图可知为在方向上的投影的绝对值，。

3.1空间向量及其运算

当堂自测
4．已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若 1→ 2→ → → 确定的点 P 与 A，B，C 共面，则由向量OP＝ OA＋ OB＋λOC 5 3 2 λ＝________ ． 15
向量概念的应用
例 1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( D ) A．若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行 B．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反 → ，CD → 满足|AB → |>|CD → |，则AB → >CD → C．若向量AB → 与CD → 满足AB → ＋CD → ＝0，则AB → ∥CD → D．若两个非零向量AB
范老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶 2 000 m，再向西行驶 2 500 m，最后乘电梯上升 30 m 到 10 楼的住处．在这个过程中，范老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)，它们是不在同一平面内的位移．如何刻画这样的位移呢？
复习与预习
当堂自测
1．在平行六面体 ABCD -A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交 → → → 点．若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列 → 向量中与B 1M相等的向量是 ( A ) 1 1 1 1 A．－ a＋ b＋c B． a＋ b＋c 2 2 2 2 1 1 1 1 C． a－ b＋c D．－ a－ b＋c 2 2 2 2
[解析] (2)若 2ke1－e2 与 e1＋2(k＋1)e2 共线，则 2ke1－e2＝λ[e1＋2(k
2k＝λ， 1 ＋1)e2]，∴ ∴k＝－ . 2 －1＝2λ（k＋1），
[小结 ] 可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量基本定理判断平面内三点共线是相似的．结合共线向量的有关知识可知，要证空间中 E， F， B 三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可： → → → → → → → → (1)EB＝mEF；(2)AB＝AE＋λEF；(3)AB＝nAE＋(1－n)AF.

高中数学第三章第1节空间向量及其运算知识精讲理新人教版A版选修2-1

高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A 版（理）一、学习目标：1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．2. 理解共线向量的定理及其推论．3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．二、重点、难点：重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式，点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算．难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理．三、考点分析：本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算．数量积的运用，是我们学习的重点．一、空间向量的概念：模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．方向相同且模相等的向量称为相等向量．二、空间向量的加法和减法、数乘运算1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．3. 实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．三、共线向量与共面向量1. 向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．2. 向量共面定理：平行与同一平面的向量是共面向量．四、向量的数量积1. 已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．2. 对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．3. 已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．五、空间向量的坐标表示和运算设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则 1. ()121212,,a b x x y y z z +=+++． 2. ()121212,,a b x x y y z z -=---． 3. ()111,,a x y z λλλλ=． 4. 121212a b x x y y z z ⋅=++．5. 若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．6. 若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．7. 222111a a a x y z =⋅=++．8. 121212222222111222cos ,a b a b a bx y z x y z⋅〈〉==++⋅++．9. ()111,,x y z A ，()222,,x y z B ，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-知识点一空间向量的概念的运用例1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）思路分析：1）题意分析：本题主要考查共线向量的概念的运用．2）解题思路：利用共线向量的概念，如果b a b a b λ=⇔≠//,0，那么说向量→→b a ,共线．也可观察坐标的系数是不是成比例．解答过程：解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0，因为(1,3,2)a =-＝－2（－21，23，－1），故答案为C ．解题后的思考：对于空间共线向量的判定，要么利用坐标对应成比例，要么利用向量的线性关系来判定．例2、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A ＝a ，11D A ＝b ，A A 1＝c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是（）A ．++-2121B ．++2121 C ．c b a +-2121D ．c b a +--2121思路分析：1）题意分析：本题考查的是基本的向量相等与向量的加法，考查学生的空间想象能力． 2）解题思路：把未知向量表示为已知向量，可利用三角形或平行四边形法则解决．用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化．解答过程：解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+=＝＋21（－+）＝－21＋21＋．故选A ．解题后的思考：对于空间向量的线性表示，我们本着把所求的向量与已知向量尽量放在一个封闭图形中的原则，再结合向量的加法得到．例3、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OM --=2B ．213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 0 思路分析：1）题意分析：本题主要考查共面向量的概念的运用．2）解题思路：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，或者AC y AB x AP +=．解答过程：由于空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，首先判定A ，B ，D 项都不符合题意，由排除法可知只有选C ．利用向量的加法和减法我们可以把+-+-=++)()(OM OB OM OA MC MB MA03)()(=-++=-OM OC OB OA OM OC ，)(31++=，显然满足题意．解题后的思考：对空间向量的共面问题，我们只需利用课本中的两个结论判定即可．,z y x ++=且1=++z y x 或,y x +=都可判定P ，A ，B ，C 共面．例4、①如果向量,a b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 思路分析：1）题意分析：本题考查空间向量的基底．2）解题思路：结合空间向量基底的概念，我们逐一的判定．解答过程：命题①中，由于,a b 与任何向量都共面，说明,a b 是共线向量．因此①是错误的．命题②中，由四点确定的、共起点的三个向量不能构成基底，说明了这四点是共面的，因此②是正确的．命题③中，要判定三个向量是否可构成基底，关键是看这三个向量是不是不共面，共面与是共面的，，→→→→→→-+b a b a b a ，因此③是正确的．选C ．解题后的思考：理解空间向量的基底是由不共面的四点，或者说不共面的三个向量构成的．知识点二空间向量的坐标运算的运用例5、在ΔABC 中，已知)0,4,2(=AB ，)0,3,1(-=BC ，则∠ABC ＝＿＿＿．思路分析：1）题意分析：本题考查用向量数量积求夹角．2）解题思路：首先要注意夹角的概念，是共起点，因此在求角的时候，要注意向量的方向，否则容易出错．解答过程：(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-2cos ,2||||2510BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-⋅ ∴∠ABC ＝145°解题后的思考：向量夹角的求解是高考中的常考题型，因此，同学们要注意准确运用．例6、已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）． ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标思路分析：1）题意分析：本题综合运用向量的数量积来判定垂直，求解夹角．2）解题思路：首先分析平行四边形的面积实际上是三角形面积的2倍，于是可转化为求三角形的面积，需先结合数量积求出夹角的余弦值，然后得到夹角的正弦值，再求面积；求向量的坐标，一般是先设出其坐标，然后结合已知条件，列出关系式，进而求解．解答过程：⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB AC AB BAC AC AB ． ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ． ⑵设a ＝（x ，y ，z ），则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x a z y x AC a解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝（1，1，1）或a ＝（－1，－1，－1）．解题后的思考：向量的数量积是高考中的一个热点话题，出题形式较灵活，只要同学们抓住数量积解决的问题一般是有关夹角、距离的问题这个本质即可．例7、如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．（1）求的长；（2）求cos<11,CB BA ＞的值；（3）求证：M C B A 11⊥思路分析：1）题意分析：本题主要考查空间向量的概念及其运算的基本知识．考查空间两向量垂直的充要条件．2）解题思路：先建立空间直角坐标系，然后写出坐标，利用坐标的运算进行求解．解答过程：如图，建立空间直角坐标系O －xyz ．（1）解：依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |＝3)01()10()01(222=-+-+-．（2）解：依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ＝{1，－1，2}，1CB ＝{0，1，2}，1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5∴cos<1BA ，1CB >＝30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA ．（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1＝{－1，1，－2}，MC 1＝{21,21，0}．∴B A 1·M C 1＝－2121+＋0＝0，∴B A 1⊥M C 1．解题后的思考：对于空间中的角和垂直的判定，如果不能直接利用定义，我们可以运用代数的方法，结合坐标运算进行．例8、已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'A C '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．思路分析：1）题意分析：本题考查向量的概念及向量的坐标运算，求解有关距离的问题．2）解题思路：对于空间向量的距离的求解，可借助于向量的数量积的性质来解，也可利用坐标运算进行求解．解答过程：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 的中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分点，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点间的距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．解题后的思考：本题是求解空间几何体中距离的问题，我们一般利用坐标的运算进行求解．解题关键是能把坐标准确地表示出来．小结：通过以上的典型例题，同学们应熟练掌握以下基本概念：共线向量与共面向量，空间向量的基底，以及运用向量的坐标运算解决有关的距离和夹角问题．注意处理以上问题的两个方法：向量法与坐标法．空间向量及其运算是解决立体几何的一种重要工具，同学们要理解基本概念，并能对比平面向量进行加、减运算和数乘运算及数量积的运算和应用．数量积问题是向量问题中经常考查的知识点，要能灵活解决有关的夹角和距离问题，从而为后面的学习打下坚实的基础．一、预习新知本讲学习了空间向量的概念及其基本运算，那么能否利用向量解决空间中有关角与距离的问题呢？二、预习点拨探究与反思：探究任务一：用空间向量解决立体几何中有关角的问题【反思】（1）如何用向量表示线面角、二面角及异面直线所成的角（2）具体的求角的公式应如何怎么表示？探究任务二：用空间向量解决立体几何中有关距离的问题【反思】（1）如何用空间向量表示空间的点线的距离、异面直线的距离、线面的距离、面面的距离？（2）求解距离的具体的计算公式是什么？（答题时间：50分钟）一、选择题1．下列命题正确的是（）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=2．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6），O 为坐标原点，则向量OA OB 与的夹角是（）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 3．已知空间四边形ABCO 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN ＝（）A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+4．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=⋅=⋅=⋅AD AB ，AD AC ，AC AB ，则△BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos BC ，OA ＝（） A ．21B ．22C ．-21D ．06．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则△ABC 的面积为（） A ．3B ．32C ．6D ．267．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（） A ．55 B ．555 C ．553 D ．511二、填空题8．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则以b a ,为邻边的平行四边形的面积为． 9．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG ＝x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为．10．已知点A （1，-2，11）、B （4，2，3），C （6，-1，4），则△ABC 的形状是． 11．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成120°的角，则k ＝．三、解答题12．如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°．（1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值13．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP ＝（－1，2，－1）．（1）求证：PA ⊥底面ABCD ；（2）求四棱锥P －ABCD 的体积；（3）对于向量a ＝（x 1，y 1，z 1），b ＝（x 2，y 2，z 2），c ＝（x 3，y 3，z 3），定义一种运算：（a ×b ）·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义．14．若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．1．C ；解析：由于选项A 中当b ＝→0时，就不符合题意，因此A 错误．选项B ，向量共面，但向量所在的直线不一定共面，可以是平行．选项D ，应说明b ≠→0． 2．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ，计算结果为－1．3．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 4．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长、应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形． 5．D ；解析：先建立一组基向量OC OB OA ,,，再处理⋅的值． 6．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB ,sin ,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 7．C ；解析：利用向量数量积的性质求解模的平方的最小值，然后再开方即可得到． 8．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<b a ，从而可得结果．9．313161、、；解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 10．直角三角形；解析：利用空间两点间的距离公式得：222||||||AC BC AB +=．11．39-；解析：219132,cos 2-=+=>=<k k b a ，得39±=k ． 12．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD ·sin30°＝23． OE ＝OB －BE ＝OB －BD ·cos60°＝1－2121=． ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量的坐标为（0，－23,21）．（2）依题意：）（）（）（0,1,0,0,1,0,0,21,23=-==，所以）（）（0,2,0,23,1,23=-=--=-=OB OC BC OA OD AD ．设向量和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=． 13．（1）证明：∵AB AP ⋅＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ．又∵AD AP ⋅＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ．∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴PA ⊥底面ABCD ．（2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABABCD P V -＝31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |＝161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）． 14．证明：如图，设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EF ＝GH ＝MN 得： 223123212132)2()2()2(r r r r r r r r r -+=-+=-+展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠，23r r -≠， ∴1r ⊥（23r r -），即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．。

人教A版数学选修21-空间向量与立体几何-【完整版】

表示如图．
人教A 版数学选修2 1 ：空间向量与立体几何- 精品课件p pt( 实用版)
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类型3 空间向量加减运算的应用(误区警示)
[典例3]
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简
→ DA
－
→ DB
＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B.
证明：如图所示，平行六面体 ABCD-A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则A→O＝12A→C′＝12(A→B＋A→D＋A→A′)．设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点．则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12B→D′＝A→B＋12·(B→A＋B→C＋
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(3)用已知向量表示指定向量的方法．用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形．通过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向量表示出来，然后转化为已知向量的线性式．
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[变式训练] (1)下列命题中假命题的个数是( )
①向量A→B与B→A的长度相等；
②空间向量就是空间中的一条有向线段；
③不相等的两个空间向量的模必不相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝4，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量

高中数学第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3-2第1课时空间向量运算

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与
1 2 3
b共线，则＝＝ .( × )
1
2
3
(2)若向量AB＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1).( × )
(3)“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．( √ )
列条件时，实数x的值．
行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的
平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件
时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时要分类讨论．
跟踪训练2 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，
写成a2－b2后计算．
跟踪训练1 已知在空间直角坐标系中A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，
C(2，－2，－5).
(1)求AB＋CA，CB－2BA，AB·AC；
1
3
(2)若点M满足AM＝ AB＋ AC，求点M的坐标．
2
4
题型二空间向量平行、垂直的坐标表示
例2 设向量a＝(1，x，1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下
4)，设a＝AB，b＝AC.
(1)设|c|＝3，c∥BC，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[课堂十分钟]
1．已知a＝(1，0，－1)，b＝(1，－2，2)，c＝(－2，3，－1)那么向
量a－b＋2c＝(
)
A．(0，1，2)
B．(4，－5，5)
C．(－4，8，－5) D．(2，－5，4)
所以(ka＋b)·b＝0，即－(k－1)＋4＝0，解得k＝5.

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3.1 空间向量及其运算知识点1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)单位向量：模为 1 的向量称为单位向量 (3)相等向量：方向相同且模相等的向量．(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (5)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2.空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量uuur uuur uuuur uuuur uuuuur OA n ＝OA 1＋A 1 A 2＋ A 2 A 3＋＋A n －1 A .n运算律：①加法交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ②加法结合律： (a ＋ b)＋ c ＝ a ＋ (b ＋c) ③数乘分配律： λ(a ＋ b)＝ λa＋ λb.3．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量 a ， b(b ≠ 0)， a ∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 a ＝ λb .推论：点 P 在直线 AB 上的充要条件是：uuuruuur存在实数 λ，使得 APAB ①uuuruuur uur或对空间任意一点O,有 OP OAAB ②uuur uur uuur或对空间任意一点O ，有 OPxOA yOB 其中 x ＋ y ＝ 1 ③uuur uur uuur uur uuur uuur uuruuur 【推论③推导过程：OP OA AB OA (AO OB) (1)OAOB 】(2)共面向量定理如果两个向量 a ，b 不共线，那么 p 与 a ，b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对（x,y ）使 p ＝ xa ＋ yb推论：空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是uuur uuur uuur存在唯一有序实数对（x,y ）使 AP xAB yAC ，uuur uur uuur uuur或对空间任意一点 O ，有 OP OA xAB yACuuur uur uuur uuur或对空间任意一点 O ，有 OP xOA yOB zOC ，其中 x ＋ y ＋ z ＝ 1【推论③推导过程：(3)空间向量基本定理uuur uur uuur uuur uur uuuruuur OP OA xAByAC (1 x y)OA xOByOC 】如果三个向量 a ， b ， c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有序实数组 { x ， y ，z} ，使得 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc 基底：把 { a ， b ， c} 叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．4．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念→ →①两向量的夹角：已知两个非零向量 a ，b ，在空间任取一点O ，作 OA ＝ a ，OB ＝ b ，则∠ AOB 叫做向量 a 与 b 的夹π角，记作〈 a ，b 〉，其范围是 0≤〈 a ， b 〉≤ π，若〈 a ， b 〉＝ 2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a ⊥b. ②两向量的数量积：已知空间两个非零向量 a ，b ，向量 a ， b 的数量积记作 a ·b ，且 a ·b ＝ |a||b|cos 〈 a ， b 〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律： (λa) ·b ＝ λ(a ·b)； ②交换律： a ·b ＝ b ·a ； ③分配律： a ·(b ＋ c)＝ a ·b ＋ a ·c.5．空间向量的坐标表示及应用设 a ＝ (a 1，a 2，a 3) ，b ＝ (b 1， b 2， b 3)(1)数量积的坐标运算： a ·b ＝a 1 b 1＋ a 2b 2＋ a 3 b 3. (2)共线与垂直的坐标表示：(3)模、夹角和距离公式：|a|＝ a ·a ＝ 222a 1＋ a 2＋ a 3，a ·b ＝ a 1b 1＋ a 2b 2 ＋a 3b 3 cos 〈 a ，b 〉＝ |a||b| 2 2 22 2 2 .1 2 3 1 2 3→设 A(a 1， b 1， c 1)， B(a 2， b 2， c 2)，则 d AB ＝ |AB|＝6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1) 适当的选取基底 { a ， b ， c} ；(2) 用 a ， b ， c 表示相关向量；(3) 通过运算完成证明或计算问题．)．a 2－ a 1 2＋b 2 －b 1 2＋c 2－ c 1 2 .题型一空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．例 1：三棱锥 O — ABC 中， M ， N 分别是 OA ， BC 的中点， G 是△ ABC 的重心，用基向量 → → →→OA ， OB ， OC 表示 MG ，→ .OG1 →2 → 1 → 2 → →1 →2 1 → →→1 → 1 → 1 → →→ →解析： MG ＝MA ＋ AG ＝OA ＋AN ＝ OA ＋ (ON － OA)＝ OA ＋3 [ (OB ＋ OC)－ OA] ＝－6OA ＋OB ＋ OC.23 2 322 33→→→→→ →→→→ →OG ＝OM ＋ MG ＝1OA －1OA ＋1OB ＋ 1OC ＝1OA ＋1OB ＋1OC.2633 333 uuur uuur uuur uuur→ 1 → →→, 例 2：如图所示， ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，ABCD 是平行四边形．若 AE ＝ EC ，A 1F ＝ 2FD ，且 EF =x AB+y AD+z AA2 1 试求 x 、 y 、 z 的值．.解→ → →→ 1 → 1→ →连接 AF ，EF ＝EA ＋AF .∵ EA ＝－3 AC ＝－（ AB ＋ AD ）3→→ → → → → 1 →→ 1 →→2 uuur 1uuur→ → → 1 uuur 1 uuur 1 uuurAF ＝ AD ＋ DF ＝ AD －FD ＝ AD －1 ＝ AD －（ A 1＋ AD ）＝3 AD3A 1A∴ EF ＝ EA ＋ AF ＝3 AD3AA13 AB3A D3A题型二共线定理应用向量共线问题：充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与 b ，化简得出 a ＝b ，从而得出 a ∥ b ，即a 与b 共线．→ →点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A 、B 、C 三点共线，即证明AB 与 AC 共线．a ⊥b? a ·b ＝0? a 1b 1＋ a 2b 2＋ a 3b 3＝ 0(a ， b 均为非零向量a ∥b? a ＝ λb? a 1＝ λb 1，a 2 ＝λb 2， a 3＝ λb 3(λ∈ R)，→→例 3：如图所示，四边形 ABCD ， ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是 AC ， BF 的中点，判断 CE 与 MN是否共线？uur uur uur CE CB BE∵uuur uuur uuruuur1 uuur uur 1 uur uur1 uuur uur uur 1 uur1 uur1 uurMNMCCBBNAC CB2( BA BE)2( AC BA) CBBECBBE2222→ → → → → →∴ CE ＝ 2MN ，∴ CE ∥MN ，即 CE 与MN 共线．→→→例 4：如图所示，在正方体ABCD － A 1 B 1C 1D 1 中， E 在 A 1D 1 上，且 A 1E ＝ 2ED 1， F 在对角线 A 1C 上，且 A 1F ＝ 2F C .3求证： E ， F ， B 三点共线．→→→证明：设 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c.→→ → ＝ 2 →→→→ → → → →∴ A 1 ＝ 2ED 1=2 1 ＝2 FC ＝ 212 (AC －AA 1 2 (AB ＋ AD － AA 1 2 2 2 c35 3 3 5 55 5 5 → → → 2 4 2 2 2 → → → → 2 2 ＝ A 1 － A 1 ＝＝EA 1＋ A 1 ＋ AB ＝－∴ E F 5a － 15b －5c ＝ 5a － b － c3b －c ＋ a ＝ a －3b － c ， F E 3 ， EBA →→2∴ EF ＝ 5EB.所以 E ， F ， B 三点共线．题型三共面定理应用→→点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明→ → → → → → →P 、A 、B 、 C 四点共面，只要能证明 → → PA ＝ xPB＋ yPC ，或对空间任一点 O ，有 OP ＝OA ＋ xPB ＋ yPC 或 OP ＝ xOA ＋ yOB ＋ zOC(x ＋y ＋ z ＝ 1)即可→2→→→例 5：已知 A 、 B 、C 三点不共线，对于平面 ABC 外一点 O ，若 OP ＝125OA ＋ OB ＋ OC ，则点 P 是否与 A 、 B 、C55一定共面？试说明理由．1 uur2 uuuruuur uur 1uuur 2 uur1 uur2 uuuruuur 2 uur2 uuur uur 2 uuur uuur 解析： ∵ OPOAOBOC5 (OP+PA)(OP+PB)3(OP+ PC)=OP+ PA+PB+PC5 5 3 55 5 3→→→12∴ AP ＝ 5AB ＋ 5AC ，故 A 、 B 、C 、 P 四点共面 .例 6：如图所示，已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，点 E 、F 、 G 、H 分别为△ PAB 、△ PBC 、△ PCD 、△ PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．证明：分别延长 PE 、 PF 、 PG 、 PH 交对边于 M 、 N 、 Q 、 R.∵ E 、 F 、 G 、H 分别是所在三角形的重心，∴ M 、 N 、 Q 、 R 为所在边的中点→ → →→ →→ →→顺次连结 M 、 N 、 Q 、 R ，所得四边形为平行四边形，且有222 2PE ＝ PM， PF ＝ PN，PG ＝ PQ ， PH ＝ PR.333 3→ → → 2 →2 → 2 →2 → → 2 → → 2 → → 23 → 3 → 2 3 → 3 → ∴ EG ＝PG － PE ＝ PQ －PM ＝ MQ ＝ ( MN ＋ MR)＝ (PN － PM)＋ (PR － PM)＝( PF － PE)＋ ( PH － 2 PE)3333333 223 2→ →＝ EF ＋ EH . ∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面 .→ → →例 7：正方体 ABCD － A 1 B 1C 1 D 1 中， E ， F 分别是 BB 1 和 A 1D 1 的中点，求证向量 A 1B ， B 1C ， EF 是共面向量．→→→→ → → → →→→ → →＝1 － A ＋ 1 ＝ 1 ＋BC ＝ 1－ A 证明：如图所示， EF ＝ EB ＋ BA ＋ A(B 1B )－A 1B 1B.2 222→ → →由向量共面的充要条件知A 1B ，B 1C ， EF 是共面向量．题型四空间向量数量积的应用例 8：①如图所示，平行六面体ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 60°.(1) 求 AC 1 的长；(2) 求 BD 1 与 AC 夹角的余弦值．解析： → → →(1)记 AB ＝ a ，AD ＝ b ，AA 1＝ c ，则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ 1，〈 a ，b 〉＝〈 b ，c 〉＝〈 c ， a 〉＝ 60°， ∴ a ·b ＝ b ·c ＝ c ·a ＝ 1.2→2(a ·b ＋ b ·c ＋ c ·a)＝ 1＋ 1＋ 1＋ 2×1 1 1→|＝ 6，|AC 1|2＝ ( a ＋ b ＋ c)2＝ a 2＋ b 2＋ c 2＋2 ＋＋2＝ 6， ∴ |AC 12即 AC 1 的长为 6. → → → (2)BD 1＝ b ＋ c － a ， AC ＝ a ＋ b ，∴ |BD 1|＝→ → → → 6 BD ·AC∴ cos 〈BD 1，AC 〉＝ 1＝ 6 .∴ AC → → |BD 1||AC|→ → →2， |AC|＝ 3， BD 1·AC ＝ (b ＋ c － a) ·(a ＋ b)＝ b 2－ a 2＋ a ·＋cb ·＝c 1. 6 与 BD 1 夹角的余弦值为6 .→ →②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F分别是BC 、AD的中点，则AE ·AF 的值为()2A ．a B.1a 22C.1a 24D.3a 24→→ →解析：设 AB ＝ a ， AC ＝ b ，AD ＝ c ，则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ a ，且 a ， b ， c 三向量两两夹角为 60°.→→ → →1 1 1 1 1 1 1AE ＝(a ＋ b)， AF ＝ c ，∴ AE ·AF ＝(a ＋ b) ·c ＝ (a ·c ＋ b ·c)＝ (a 2cos60°＋ a 2cos60 °)＝ a 2.22 2 2 4 4 4题型五空间向量坐标运算例 9：如图所示， PD 垂直于正方形→ →3 ABCD 所在平面， AB ＝ 2， E 为 PB 的中点， cos 〈 DP ， AE 〉＝，若以 DA ，3DC ， DP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为 ()A ． (1,1,1) B. 1， 1， 1 C. 1， 1， 3D ． (1,1,2)2 2设 PD ＝ a (a>0) ，则 A(2,0,0) ， B(2,2,0) ，P(0,0， a)， E 1， 1，a2 ，→ → a → →3， ∴ a 2 2＋ a 2 3， ∴ a ＝ 2.∴ E 的坐标为 (1,1,1) ．∴ DP ＝ (0,0， a)， AE ＝－ 1， 1，2 ， cos 〈DP ， AE 〉＝3＝ a 4 ·23例 10：已知 a ＝ (2，－ 1,3)， b ＝(－ 1,4，－ 2)，c ＝ (7,5， λ)．若 a ， b ， c 三向量共面，则实数 λ=________________33 t ＝ 7，7＝ 2t － μ，17，解析：由题意得 c ＝ ta ＋ μb ＝(2t － μ，－ t ＋ 4μ， 3t － 2μ)，∴ 5＝－ t ＋4μ，∴ μ＝7λ＝3t －2μ. 65λ＝ 7.例 11：已知△ ABC 的顶点 A(1,1,1) ， B(2,2,2) ， C(3,2,4) ，试求△ ABC 的面积→→→→→ →AB ＝(1,1,1) ， AC ＝ (2,1,3) ， |AB|＝ 3， |AC|＝ 14， AB ·AC ＝ 2＋1＋ 3＝ 6，→ → 6 6 36＝ 1∴ cosA ＝ cos 〈 AB ， AC 〉＝＝ .∴ sinA ＝ 1－ .3· 14 42 427→ → 1 1 61 ＝ × 3× 14× ＝∴ S △ABC ＝ |AB| |AC ·| sinA · 27.2 2例 12：已知 a ＝ (λ＋ 1,0,2)， b ＝(6,2μ－ 1,2λ)，若 a ∥ b ，则 λ与 μ的值可以是 ()A ． 2，1B ．－ 1，1C ．－ 3,2D ． 2,223 2λ＋ 1＝ 2 ，λ＝ 2，λ＝－ 3，解析由题意知：62λ解得1或 12μ－ 1＝ 0，μ＝2μ＝2.例 13：已知空间中三点→ →A(－ 2,0,2) ， B(－ 1,1,2) ， C(－3,0,4) ，设 a ＝ AB ， b ＝ AC.，若 ka ＋ b 与 ka － 2b 互相垂直，求实数 k 的值．方法一 ∵ ka ＋b ＝ (k － 1，k,2) ．ka － 2b ＝ (k ＋2， k ，－ 4)，且 ka ＋ b 与 ka － 2b 互相垂直，∴ (k － 1， k,2) ·(k ＋ 2， k ，－ 4)＝ (k － 1)(k ＋ 2)＋ k 2－ 8＝ 0， ∴ k ＝2 或－ 5， 2方法二由 (2) 知 |a|＝ 2，|b|＝ 5，a ·b ＝－ 1，∴( ka ＋b) ·(ka － 2b)＝ k 2a 2－ ka ·b － 2b 2＝ 2k25 ＋ k － 10＝ 0，得 k ＝2 或－ .2例 14：已知空间三点 A (0,2,3)， B (－ 2,1,6)，C(1，－ 1,5)．→ →(1)求以 AB ， AC 为边的平行四边形的面积；(2)若 |a|＝ → →3，且 a 分别与 AB ， AC 垂直，求向量 a 的坐标．→ → － 2＋ 3＋67 1 → →3→ →AB ·AC解 (1)cos 〈 AB ， AC 〉＝ → →＝14× 14 ＝ 14＝2.∴ sin 〈AB ， AC 〉＝2，|AB||AC|→ →1 → → → → 3 3.∴ 以 AB ， AC 为边的平行四边形的面积为S ＝ 2× |AB | |AC ·| ·sin 〈 AB ， AC 〉＝ 14×＝ 7 22x 2＋ y 2＋z 2＝ 3x ＝1 x ＝－ 1（ 2）设 a ＝ (x ， y ，z)，由题意得－ 2x － y ＋ 3z ＝0 ，解得y ＝ 1 或 y ＝－ 1 ，x － 3y ＋ 2z ＝ 0z ＝ 1z ＝－ 12 1例 15：如图所示，在正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别在 A 1D 、AC 上，且 A 1E ＝ A 1D ，AF ＝ AC ，则 ()3 3A ． EF 至多与 A 1D 、 AC 之一垂直B ． EF 与 A 1D 、 AC 都垂直 C ．EF 与 BD 1 相交D ． EF 与 BD 1 异面解析：设 AB ＝1，以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴， DD 1 所在直线为z 轴建立空间直角坐标11 2 1 →系，则 A 1(1,0,1) ，D (0,0,0) ，A(1,0,0) ，C(0,1,0) ，E 3， 0，3 ，F3，3， 0 ， B(1,1,0) ，D 1 (0,0,1) ，A 1D ＝(－ 1,0，－ 1)，→ → 1 11 → →1 → → → → →AC ＝ (－ 1,1,0)，EF ＝ 3， 3，－3，BD 1＝(－1，－1，1)，EF＝－3BD 1，A 1D ·EF ＝AC ·EF ＝0，从而EF∥BD 1，EF⊥ A 1D，EF ⊥ AC.→ →例 16：已知 O(0,0,0)， A (1,2,3) ， B(2,1,2) ， P(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，当 QA ·QB 取最小值时，点 Q 的坐标是 __________．→ → → →解析：设 OQ ＝λOP ＝ (λ， λ， 2λ)，则 QA ＝ (1－ λ，2－ λ， 3－ 2λ)， QB ＝ (2－ λ， 1－ λ，2－ 2λ)．→ →42∴ QA ·QB ＝ (1－ λ)(2－ λ)＋ (2－ λ)(1 － λ)＋ (3－2λ)(2－ 2λ)＝ 6λ2－ 16λ＋ 10＝6( λ－ 3)2－ 3.→ → →4 4 8 4 2∴当 λ＝3时， QA ·QB 取最小值为－ 3.此时， OQ ＝ ( 3， 3，3)，综合练习一、选择题1、下列命题：其中不正确的所有命题的序号为 __________．．．．①若 A 、 B 、 C 、D 是空间任意四点，则有 → → → → ＝ 0； ② |a|－ |b|＝ |a ＋ b|是 a 、 b 共线的充要条件；AB ＋ BC ＋ CD ＋ DA ③若 a 、 b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；④对空间任意一点 → → → →O 与不共线的三点 A 、 B 、 C ，若 OP ＝ xOA ＋ yOB ＋ zOC (x 、 y 、z ∈ R )，则 P 、 A 、 B 、C 四点共面． ⑤设命题 p ： a ， b ， c 是三个非零向量；命题q ： { a ， b ， c} 为空间的一个基底，则命题 p 是命题 q 的充要条件解析：选②③④⑤，①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a 、b 同向时，应有 | a | ＋ | | ＝| ＋ | ；③中 a 、ba bb 所在直线可能重合；④中需满足x ＋ y ＋ z ＝ 1，才有 P 、 A 、B 、 C 四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底，应改为必要不充分条件2、有下列命题：其中真命题的个数是 ( ) ①若 p ＝ xa ＋ yb ，则 p 与 a ， b 共面； ②若 p 与 a ，b 共面，则 p ＝ xa ＋yb ；→ → →→ → → ③若 MP ＝ xMA ＋ yMB ，则 P ， M ， A 、 B 共面； ④若 P ， M ， A ， B 共面，则 MP ＝ xMA ＋ yMB. A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 解析其中 ①③ 为真命题． ② 中，若 a ， b 共线，则 p ≠xa ＋ yb ；→ → → 3、已知 A(1,0,0)， B(0，－ 1,1)，OA ＋ λOB 与 OB 的夹角为 120°，则 λ的值为 ()6 6 6A ． ±6 B. 6 C ．－ 6 D ． ± 6→ → λ＋ λ 1 666 解析： OA ＋ λOB ＝ (1，－ λ，λ)，cos120°＝，得 λ＝ ±不合题意，舍去， ∴ λ＝－＝－ 2 6.经检验 λ＝66 .1＋ 22λ· 24、如图所示，已知 PA ⊥平面 ABC ，∠ ABC ＝ 120 °，PA ＝ AB ＝ BC ＝6，则 PC 等于( )A ．6 2B ． 6C ．12D ． 144→ 2→ → → 2→ 2 → 2 → 2→ →→解析 PC ＝ (PA ＋ AB ＋ BC) =PA ＋ AB ＋ BC ＋ 2AB ·BC ＝36＋ 36 ＋36＋ 2× 36cos 60 °＝ 144∴ |PC |＝ 12→→ →→ → → → 3 → 1 311c ，证明设 AB ＝ a ，AC ＝b ， AD ＝ c ，则 BG ＝ BA ＋ AG ＝ BA ＋ AM ＝－ a ＋ (a ＋ b ＋ c)＝－4 a ＋ b ＋ → → → → 1 → →11 4 → 444 4→ →，即 B 、G 、N 三点共线．BN ＝ BA ＋ AN ＝ BA ＋ (AC ＋ AD )＝－ a ＋b ＋c ＝ BG.∴ BN ∥BG33335、正方体 ABCD — A 1B 1C→ 1 →→1D 1 的棱长为 a ，点 M 在 AC 1 上且 AM ＝ MC 1， N 为 B 1B 的中点，则 |MN |为 ()2A.21 6 aB.6 6 aC.15 6 aD.15 3a解析以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则 A(a,0,0)，C 1a ， a ，a2.(0，a ，a)，N设 M(x ， y ， z)． ∵ 点 M 在 AC 1 → 1 →1上且 AM ＝MC 1， ∴ (x －a ， y ， z)＝ (－ x ， a － y ， a － z)222 a a 2a a a， ∴→2 a2＋a － a 2＝ 21∴ x ＝ a ，y ＝， z ＝ .∴M，， 3|MN |＝a － a 2＋ a －3 2 3 a.3333336π→→6、如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝ OC ，且∠ AOB ＝∠ AOC ＝ 3，则 cos 〈 OA ， BC 〉的值为 ()1 32A ． 0B. 2C. 2D. 2解析→ → →π设 OA ＝ a ，OB ＝ b ， OC ＝ c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈 a ，c 〉＝，且 |b|＝ |c|，1 13→ →→ →OA ·BC ＝ a ·(c － b)＝a ·c － a ·b ＝ |a||c|－ |a||b|＝ 0，∴ cos 〈 OA ， BC 〉＝ 0.227、如图所示，在平行六面体ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， M 为 A 1C 1 与 B 1D 1→ → →的交点．若 AB ＝a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c ，则下列→)向量中与 BM 相等的向量是 (．1 1 1 11 1 1 1A － 2a ＋ 2b ＋ c B. 2a ＋2b ＋ c C ．－ 2a － 2b ＋c D. 2a － 2b ＋ c解析 →→→→ 1 → →1 (b － a)＝－ 1 a ＋ 1 b ＋c. BM ＝ BB 1＋ B 1M ＝ AA 1＋ (AD － AB)＝ c ＋2 22 28、平行六面体 → → → 60°，且 →→ → ABCD － A 1B 1 C 1D 1 中，向量 AB ，AD ，AA 1两两的夹角均为 |AB|＝ 1，|AD|＝ 2，|AA 1|＝3，则 → )[|AC 1|等于 ( A ．5 B ． 6 C ．4 D ． 8 → → → → → →设 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c ，则 AC 1＝ a ＋ b ＋ c ， AC 12＝ a 2＋ b 2＋ c 2＋ 2a ·＋b 2b ·＋c 2c ·＝a 25， |AC 1|＝ 5.9、在下列条件中，使 M 与 A 、 B 、 C 一定共面的是 ( )→→→ → →→ → →→ → →→→ →→A. OM ＝ 3OA － 2OB － OC B ．OM ＋OA ＋ OB ＋ OC ＝ 0C ． MA ＋ MB ＋ MC ＝ 0D ．OM ＝1OB － OA ＋1OC42→ → →解析：C 中 MA ＝－ MB － MC .故 M 、 A 、 B 、C 四点共面．二、填空题10、同时垂直于 a ＝ (2,2,1) 和 b ＝ (4,5,3) 的单位向量是 ____________________ ．解析设与 a ＝(2,2,1) 和 b ＝(4,5,3) 同时垂直 b 单位向量是 c ＝ (p ， q ，r )，则11p 2＋ q 2＋ r 2＝ 1，p ＝3，p ＝－ 3，2，2，1，－ 2， 2或－ 1， 2，－ 22p ＋ 2q ＋ r ＝ 0，解得或所求向量为q ＝－ 3q ＝ 33 3 3 3 3 3 .4p ＋ 5q ＋ 3r ＝0，2，2，r ＝ 3r ＝－ 311．若向量 a ＝ (1，λ， 2)， b ＝ (2，－ 1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 8，则 λ＝ ________.9解析由已知得 8 a ·b ＝ 2－ λ＋ 4 ， ∴ 8 2－λ)，解得 λ＝－ 2 或 λ＝ 2 .＝5＋ λ＝3(655212．在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)、 B(10，－ 1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数 x 的值为 ________．解析由题意知 → → → →AB ·AC ＝ 0， |AB|＝ |AC|，可解得 x ＝ 2.13．已知 a ＋3b 与 7a －5b 垂直，且 a － 4b 与 7a －2b 垂直，则〈 a ， b 〉＝ ________.解析由条件知 (a ＋ 3b) ·(7a － 5b)＝ 7|a|2＋ 16a ·b － 15|b|2＝ 0，及 (a －4b) ·(7a －2b)＝ 7|a|2＋ 8|b|2－ 30a ·b ＝0.1两式相减，得 46a ·b ＝ 23|b|2，∴ a ·b ＝ |b|2.21代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝ |b|.∴ cos 〈 a ， b 〉＝ a ·b2|b|21＝ 2 ＝.∴ 〈a ， b 〉＝ 60°.|a||b| |b| 2π， 2， ⊥ ， ⊥ ，在平面内，在上， 14. 如图所示，已知二面角 α— l — β的平面角为 0AB BC BC CD AB BC l θ θ βCD 在平面 α内，若 AB ＝ BC ＝ CD ＝ 1，则 AD 的长为 ________．→→ → →2=→→→→ →→ →→ →π－ θ＝) 3－ 2cos θ.解析 :AD 2＝ (AB ＋ BC ＋CD ) AB 2＋ BC 2＋ CD 2＋ 2AB ·CD ＋ 2AB ·BC ＋ 2BC ·CD ＝ 1＋ 1＋ 1＋2cos(15．已知 a ＝(1－ t,1－ t ， t)， b ＝(2， t ，t)，则 |b － a|的最小值为 ________．19 1 3 5解析 b －a ＝ (1＋ t,2t － 1,0)，∴ |b －a|＝1＋ t 2＋ 2t － 1 2＝5 t －5 2＋ 5 ，∴当 t ＝ 5 时，|b －a|取得最小值 5.三、解答题16、如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， P 是 CA 1 的中点， M 是 CD 1 的中点， N 是→ → →C 1D 1 的中点，点 Q 在 CA 1 上，且 CQ ∶QA 1＝ 4∶ 1，设 AB ＝ a ， AD ＝ b ，AA 1＝ c ，用基底 { a ， b ， c} 表示以下向量：→ → → → (1)AP ； (2) AM ； (3)AN ； (4) AQ.→ 1 → →1 → →→1(a ＋ b ＋ c)．(1) AP ＝ (AC ＋ AA1)＝ (AB ＋AD ＋ AA1)＝ 222→＝1→→1→→→1(2) AM＋ AD＋ 2AD＋AA222→ 1 →→1→ →→→ → 1 →→→11a＋ b＋ c.(3) AN＝(AC1＋ AD1)＝[( AB＋ AD ＋AA1)＋(AD＋AA1)]＝(AB＋2AD＋2AA1)＝(a＋ 2b＋2c)＝22222→ → → → 4 →→1 → 4 → 1 → 1 → 4 → 114(4) AQ＝ AC＋CQ＝ AC＋(AA1－AC)＝ AC ＋ AA 1＝AB＋AD ＋ AA1＝a＋ b＋ c55555555517、如图，已知M、 N 分别为四面体ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且G 为 AM 上一点，且GM ∶GA＝ 1∶ 3.求证： B、 G、 N 三点共线．18． (13 分 )直三棱柱ABC—A′ B′ C′中，AC＝ BC＝ AA′，∠ ACB＝ 90°，D 、E 分别为 AB 、BB′的中点．(1)求证： CE⊥ A′D ；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．→→→(1)证明：设 CA＝ a，CB＝b，CC′＝c，根据题意， |a|＝ |b|＝ |c|且 a·b＝b·c→1→11→→11→ →，即∴ CE＝ b＋ c， A′ D＝－ c＋b－a.∴CE· A′ D＝－c2＋b2＝ 0，∴ CE⊥A′D22222＝c·a＝ 0. CE⊥A′D.→→→5→→112＝12，(2) AC′＝－ a＋ c，∴ |AC′|＝2|a|， |CE|＝|a |.AC′· CE＝ (－ a＋ c) ·c2 12222→→2|a|＝1010∴ cos〈 AC′，CE〉＝510.即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为10.2·2 |a|2。

选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点.docx

3.1 空间向量及其运算知识点1. 空间向量的有关概念⑴空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.⑵单位向量：模为1的向量称为单位向量⑶相等向量：方向相同且模相等的向量.⑷共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.⑸共面向量：平行于同一个平面的向量.2. 空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量UUU UuU UUIrJ UUllU UUUIrJOA I=OA+AIA2+ A2A3+…+ A n-1A n-运算律：①加法交换律：a+ b= b+ a ②加法结合律：(a+ b) + C= a+ (b + C)③数乘分配律：λ (+ b)= λ a λ b.3. 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1) 共线向量定理对空间任意两个向量a, b(b≠ 0), a// b的充要条件是存在实数λ使得a= λb推论：I点P在直线AB上的充要条件I是：UJlI UUI存在实数λ使得AP = AAB ①UIU UUr UUJ或对空间任意一点0,有OP=OA AB ②UIU UUr UUr或对空间任意一点0,有OP=XOA yOB其中X + y= 1③UUJ UUr UlU IUr UIU UlU UUr UIU【推论③推导过程：OP =OA ∙AB =OA ■ (AO OB)=(I- ∙)OA ■ OB】(2) 共面向量定理如果两个向量a, b不共线，那么P与a, b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使P= xa+ yb推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是UUJ UUJ UUU存在唯一有序实数对(x,y)使AP=XAB yAC ,UiU UUr UUJ UUU或对空间任意一点0,有OP=OA ∙XAB yACUlU UUr UlU UlU或对空间任意一点0,有OP=XOA yOB ■ ZOC ,其中X + y+ Z= 1UUJ UUr UIU UUU UIr UUJ Uui【推论③推导过程：OP=OA XAB yAC = (1 - x - y)OA XOB yOC 】(3) 空间向量基本定理如果三个向量a, b, C不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛X, y, z｝,使得P= x a+ y b+ Z C基底：把｛a, b, c｝叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.4. 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a, b,在空间任取一点0,作OA= a, OB = b,则∠AQB叫做向量a与b的夹角，记作〈a, b>,其范围是0≤< a, b>≤∏若〈a , b>= ∏,则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a, b,向量a, b的数量积记作a b,且a b= ∣a∣∣b∣cos < a, b>.⑵空间向量数量积的运算律：①结合律：(λι)b = λa b);②交换律：a b= b a;③分配律：a (b+ C)= a b + a c.→ →5.空间向量的坐标表示及应用设 a = (a ι, a 2, a 3), b = (b i , b 2, b 3) (1)数量积的坐标运算：a b = a 1b 1 + a 2b 2+ a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示：a /b ? a = λ? a i = λ 1, a ? = λ b a 3= λ 3 (λ∈ R ), a ⊥b ? a b = 0? a i b i + a 2b 2+ a 3b 3= 0(a , b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式： ∣a ∣= '∙.F a a = ■：J a i + a 2+ a 3, a b a i b i + a ?b 2 + a 3b 3C0S 〈a ，b 〉 IaIlbl a 2+ a 2+ a 2 ∙ b 2+ b 2+ b 3 .设 A(a i , b i , C i ), B(a 2, b 2, C 2),贝U d AB =l →B ∣= . a 2— a i 2+ b 2 — g 2+ c ?— C i 2.6.用空间向量解决几何问题的一般步骤: (1) 适当的选取基底{ a , b , c }; (2) 用a , b , C 表示相关向量； (3) 通过运算完成证明或计算问题. 题型一空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系. M , N 分别是OA , BC 的中点，G 是厶ABC 的重心，用基向量(DA , OB , OC 表示MG , → → → i → 2 → i → 2 → → i → 2 i → → → i → i → i → 解析：MG = MA + AG = ^OA + 3AN = ?OA + §(ON — OA) = ?0A + ^(OB + OC) — OA] = — §0A + §0B + §0C. → → → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → OG = OM + MG = ^OA — 6OA + §0B + 3OC = ^OA + -OB + §OC. → I → → → UiU UUD UUIU UUIU例 2：如图所示，ABCD — A 1B i C i D i 中，ABCD 是平行四边形.若AE = -EC , A →F = 2FD ,且 EF=XAB+y AD+zAA 1 , 试求X 、y 、Z 的值. J3∣ -→ -→ -→ -→ i -→ i -→ -→ •解连接 AF , EF = EA + AF. ∙.∙ EA =— 3AC = — ^ (AB + AD ) →→→→→→ i → → i → → 2 UUU AF = AD + DF = AD — FD = AD — ^A i D = AD 一(( A i A + AD ) = — AD 3 33 i UUr → → → i UUIU i UUU i UUir A i A EF = EA + AF = AD AA i AB 3 3 3 3 题型二共线定理应用向量共线问题：充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与b 共线. a 与b ,化简得出a = ■ b ,从而得出a // b ,即点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明 → → A 、B 、C 三点共线，即证明 AB 与AC 共线.M , N 分别是 AC , BF 的中点，判断 CE 与MNUUr UIr UUr CE=CB BE τ UUU UUU UIrUUIU ι UUIU UIr 1 UIrUUr 1 UIlU UurUIr 1 UUr 1 UIr 1 UUr MN=MC CB BN AC CB (BA BE) (AC BA) CB BECB BE2 2 2 2 2 2→ →→ →→ →∙∙∙ CE = 2MN ,∙∙∙ CE // MN ,即 CE 与MN 共线.→ → →2E 在 A i D i 上，且 A i E = 2ED ι,F 在对角线 A i C 上，且 A i F =^FC. 3→ →• EF = 2EB.所以E , F , B 三点共线.题型三共面定理应用→ → 点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P 、A 、B 、C 四点共面，只要能证明 PA = XPB →→→→→→ → →O ,有 OP = OA + XPB + yPC 或OP = XOA + yOB + ZOC(X + y + Z = 1)即可→ → → →2 i 2例5:已知 A 、B 、C 三点不共线，对于平面 ABC 外一点0,若OP = - OA + -OB + ；0C ,则点P 是否与 A 、B 、C 5 5 5 一定共面？试说明理由.U 2 Ulr IUIU 2 UUU 2 UUl UIr 1 UU U Ulr 2 UU UUr UIU 2 UIr 1 Ulr 2 UU U解析：∙∙∙ OP =— OA+—OB +-OC =—(OP + PA)+-(OP+PB)+-(OP+PC)=OP + -PA+- PB+— PC 5 5 3 5 53 5 5 3例4:如图所示，在正方体 ABCD — A I B I C I D I 中,5_________________ β E7f{C l → 设 AB = a , → → 证明： → 2 2 • ∙ A I E = 2ED 1=3AD = 3 → → -→ 2 •EF = A 1 F — A 1E = ;a — 5→AD = b , → A 1F = T FC = T A I C=I(AC →AA 1 = c . → → →2 2 _ 2 _ 3~ 5''~ 54 2 2 二 15b — 5c =5 a — 3b —→ → → → 2 2 2 2 -AA I )= 5 (AB + AD - AA I ) = 5a + - b — 5c → → → → 2 2 2 3二 C , EB = EA 1 + A 1A + AB = — ~b — c + a = a —3b — c ,→+ yPC ,或对空间任一点求证：E , F , B 三点共线.→ →→ → →1 2∙∙∙ AP=EAB +7AC ,故 A 、B 、C P 四点共面∙5 5例6:如图所示，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连结 PA 、PB 、PC 、PD ,点E 、F 、G 、H 分别为 △ PAB 、△ PBC 、△ PCD 、△ PDA 的重心，应用向量共面定理证明： E 、F 、G 、H 四点共面.→ → → → → → → →2 2 2 2 顺次连结M 、N 、Q 、R ,所得四边形为平行四边形，且有 PE = -PM , PF = §PN , PG = -PQ , PH = ~PR.→→→→→→ →→ →→ →→ →→ →→2222 2 2 23 3 23 3.∙. EG = PG - PE = 3PQ -3PM = 3MQ = 3(MN + MR) = 3(PN -PM) + §(PR — PM) = 3(?PF -^PE) + ^(-PH —2PE)→ →=EF + EH. ∙由共面向量定理得 E 、F 、G 、H 四点共面.→ → →例7:正方体 ABCD - A I B I C I D I 中，E , F 分别是BB i 和A i D i 的中点，求证向量 A i B , B i C , EF 是共面向量.→→→ → → →→→→→-→1 —→ 11 1证明：女口图所示，EF = EB + BA j + A J F = ^B 1B - "B + ^A J D J = -(B 1B + BC) - A 1B = ^B j C - A j B.→ → →由向量共面的充要条件知 A j B , B j C , EF 是共面向量.题型四空间向量数量积的应用 ABCD — A i B i C i D i 中，以顶点A 为端点的三条棱长都为 i ,且两两夹角为 60°⑴求AC i 的长；(2)求BD i 与AC 夹角的余弦值.解析：(J)记AB = a , AD = b , AA J = c ,则 I a l = I b l = I C l = J ,〈a , b 〉=〈 b , c > = < c , a > = 60° 」」 J ∙ ab = b C = ca =;2'∣AC J f = (a + b + c )? = a + b + C + 2(a b + b c + C a ) = J + J + J + 2 × ? + ? + ? = 6, ∙ |AC j I=V 6,即AC J 的长为:：：：；；6.(2)BD J = b + C -a , AC = a + b , ∙∙ IB D J I = 2, ∣Aθ∣=.3, B D J AC = (b + C - a ) (a + b ) = b 2-a 2+ a c + b C = J. ∙ cos <B D j , AC > = BDJ AC例8:①如图所示，平行六面体证明：分别延长 PE PR PG PH 交对边于 M N QR.∙∙∙ E 、F 、G H 分别是所在三角形的重心，∙∙∙ M 、N 、Q 、R 为所在边的中点=二6.∙AC 与BD J 夹角的余弦值为二6→ → 6 6IBD J IIACI→ →②已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a ,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF 的值为（）A . a 2B.；a 2 C ；a 2 D^a 2→ → →解析：设AB = a , AC = b , A D = c ,则I a l =I b l =I C l = a ,且a , b , C 三向量两两夹角为 60°→ → → →1 1 1 1 1 12 2 1 2 AE = 2(a + b ), AF =尹二 AE AF = 2(a + b ) ^c = 4(a C + b C ) = 4(a cos60 ° a cos60 ) = 4a .题型五空间向量坐标运算DC , DP 所在直线分别为X , y , Z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为（）A . （1,1,1）B∙Q , 1, 1）C.（1, 1 , 3） D . （1,1,2）例 10:已知 a = (2,— 1,3), b = (— 1,4 , - 2) , C = (7,5 , λ∙若 a , b , C 三向量共面，则实数例 11:已知△ ABC 的顶点 A(1,1,1), B(2,2,2),→ → → → → →AB = (1,1,1) , AC = (2,1,3) , |AB|= 3 , |AC|= 14 , AB AC = 2+ 1 + 3= 6 , ∙ cos A = 8S 〈AB , AC >= 36l 4= ζ.∙ SinA =I -；；='| |AC| ∙nA = 1×.3× 帀×* =于.例9:如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB = 2, E 为PB 的中点,COS 〈 DP ,AE 〉=于，若以DA,设 PD = a (a>0),则 A(2,0,0), B(2,2,0), P(0,0, a), E 1, 1, 1, 2 , cos 〈 DP , AE >=于,∙∙∙ a = 2.∙∙∙ E 的坐标为(1,1,1).t =337 = 2t — μ解析：由题意得 C = t a + (Jo= (2t — μ, — t + 4 μ, 3t — 2 μ , ∙ =— t + 4μ,λ= — μ7' 17 μ= 7 , 65l λ= 65.C(3,2,4),试求△ ABC 的面积DP = (0,0, a), A E =2.a_ '2品∙3,.∙ S ∆ABC =例12：已知a= ( λ÷ 1,0,2), b= (6,2 μ—1,2 λ,若a// b,贝U λ与μ的值可以是()A. 2 ,12B.—1 13，2C.—3,2D. 2,2λ+ 12 f λ= 2 ,'λ=—3 ,解析由题意知：6=2λ,解得1或1 2—1= 0 ,μ= 2尸例13:已知空间中三点A( —2,0,2), B( —1,1,2), C( —3,0,4),设a= →, b= AC.,若ka+ b 与ka—2b 互相垂直，求实数k的值.方法一一k a+ b= (k—1, k,2). k a —2b= (k+ 2, k, —4),且k a + b 与k a —2b 互相垂直，•••(k—1, k,2) (k+ 2, k,—4) = (k—1)(k+ 2)+ k2—8= 0, ∕∙ k= 2 或一5, 方法二由⑵知|a∣=^2, ∣b∣=承,a b=—1, • (k a + b) (k a —2b)= k2a2—k a b—2b2= 2k2+ k—10= 0,得k= 2 或一∣.例14:已知空间三点A(0,2,3), B( —2,1,6), C(1, —1,5).(1)求以AB, →C为边的平行四边形的面积；⑵若I a I= ,3,且a分别与AB, AC垂直，求向量a的坐标.解(1)cos〈AB, AC〉= == 3筲=-7-= 1∙.∙. Sin〈AB,心=写,∣→∣Ac∣14 2 2•以AB, AC为边的平行四边形的面积为S= 2× 1∣A→| |A CISin〈A B, AC>= 14×^3= 7,3.X2+ y2+ z2= 3 X= 1 x=—1(2)设a= (x, y, Z),由题意得2x—y+ 3z= 0 ,解得f y= 1 或f y=— 1 ,以—3y+ 2z= 0 L= 1 [z=—12 1例15:如图所示，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别在A Q、AC上，且A p E= 3A1D, AF = -AC ,贝U ( ) A. EF至多与A1D、AC之一垂直 B . EF与A1D、AC都垂直C . EF与BD p相交 D . EF与BD j异面解析：设AB = 1,以D为原点，DA所在直线为X轴，DC所在直线为y轴，DD 1所在直线为Z轴建立空间直角坐标(1 1 伦 1 ∖→系，贝y A1(1,0,1), D(0,0,0), A(1,0,0), C(0,1,0), E 3, 0，3，F 3, 3 0, B(1,1,0), D1(0,0,1) , A1D = (—1,0 , —1), AC= (—1,1,0) ,EF = 1, 3 —1,B→1= (—1 , —1, 1) ,EF = —3B→1, A→D EF = AC EF = 0,从而EF // BD1,EF 丄AQ, EF 丄AC.→ →例16:已知0(0,0,0), A(1,2,3), B(2,1,2), P(1,1,2),点Q在直线OP上运动，当QA QB取最小值时，点Q的坐标是.→ → → →解析：设OQ = QP = (λ, λ 2λ,贝U QA = (1 —人2—λ 3— 2 λ, QB= (2 —λ 1 —λ 2 — 2 λ .∙∙∙ QAQB = (I - ^2-λ÷(2-如-λ+(3-叩-2 λ= 6 λ- 16λ÷ 10 = 6( λ-$— 2→ → →二当λ=4时，QAQB 取最小值为-此时,OQ =(4，3，3)，综合练习、选择题1、下列命题：其中不正确.的所有命题的序号为 _____________ • ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有 AB ÷ BC + CD ÷ DA = 0; ②I a H b = |a ÷ b ∣是a 、b 共线的充要条件；③ 若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④ 对空间任意一点 O 与不共线的三点 A 、B 、C ,若OP = XOA ÷ yOB ÷ ZOC （x 、y 、z ∈ R ）,贝U P 、A 、B 、C 四点共面.⑤ 设命题P : a , b , C 是三个非零向量；命题 q : {a , b , c }为空间的一个基底，则命题 P 是命题q 的充要条件解析：选②③④⑤，①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当 a 、b 同向时，应有| a | ÷ | b | = | a ÷ b | ;③中a 、 b 所在直线可能重合；④中需满足 x ÷ y ÷ Z = 1,才有P A 、B C 四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底，应改为必要不充分条件2、有下列命题：其中真命题的个数是（）①若P = X a ÷ y b,贝U P 与a , b 共面；③若 MIP = XMjA ÷ yM →B ,贝y P , M , A 、B 共面； A . 1 B . 2C . 3②若P 与a , b 共面，则P = X a ÷ y b ； ④若 P , M , A , B 共面，则 MjP = XMlA ÷ yM →B. D . 4贝U ≠÷ ；3、已知 A(1,0,0), B(0,- 1,1),BjC .OA ÷ QB 与OB 的夹角为120°贝U λ的值为（ —普 D . ±6 → →解析：OA ÷ λOB = (1 ,- λ λ,cos120° =λ÷ λ.'1÷ 2λ • 22,得λ= ±66.经检验入=¥不合题意，舍去,λ=-4、如图所示，已知 FA 丄平面 ABC , ∠ ABC = 120 ° PA = AB = BC = 6,贝U PC 等于 ()C . 12D . 144=(PA ÷ AB ÷ BC) =PA 2÷ AB 2÷ BC 2÷ 2AB BC = 36÷ 36 ÷ 36÷ 2 × 36cos 60 O = 144 ∕∙ |PC|= 12 证明设AB = a , AC = b , AD = c ,则 BG = BA ÷ AG = BA ÷ 3AM = — a ÷ 1(a ÷ b ÷ c )= — 3a ÷ 1b ÷~.c ,4 4' ,4 4 4 BN = B A ÷ AN = BA ÷ 3(AC ÷ AD)=— a ÷ f b ÷ f c =IBG.∕∙ BN ^ BG ,即 B 、G 、N 三点共线.5、正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点M 在A®上且AM = IM C 1, N 为B 1B 的中点，贝U IMNI 为（）2解析以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 DXyZ ，则A （a,0,0），C*0，a , a ），N a .T 点 M 在 AC 1 上且 AM = 2MC 1, ∙ (x — a , y , Z) = *( — x , a — y , a — Z) A 寻IZB∙far . 15 DpaA L设 M(x , 2∙∙X = 3a ，y = 3Z=3. ∙M 伶 3 3) ∙ IMN =∖/ (I —3a )÷l 2a -!2÷ a -32=甲已知空间四边形 OABC , OB = OC ,且∠ AOB = ∠ AOC = ∏,贝U CoS 〈C)A , C 乎腭BC 〉的值为（设OA = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c >= ∏3-→ -→ 1 1 -→ -→OA BC = a (c — b ) = a C — a b = 2I a||c — 2I a ∣∣b = 0, ∙ CoS且 I b l =I C =0.7、如图所示，在平行六面体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB = a , AD = b, AA i = c , 则下列1 1D.^a — ?b + Cc +如-a ) = — 2 a + 2 b + c .ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，向量 A B , AD , AA 1 两两的夹角均为 60°,且 IABI = 1, ∣AD ∣= 2, IA A I I = 3,则IAC i 等于()[A . 5B . 6C . 4D . 8|[ 设AB = a , AD = b , AA 1 = c ,则 AC 1= a ÷ b ÷ c , AC 12= a 2÷ b 2÷ c 2÷ 2a b ÷ 2b c ÷ 2C a = 25, IAC 1I = 5」9、在下列条件中，使 M 与A 、B 、C 一定共面的是()- - - - - - - - - - - - - - -1 1A.OM = 3OA — 2OB — OC B . OM ÷ OA ÷ OB ÷ OC = 0 C . MA ÷ MB ÷ MC = 0 D . OM = 4OB — OA ÷^OC— — —解析： C 中MA = — MB — MC.故M 、A 、B 、C 四点共面. 二、填空题10、同时垂直于 a = (2,2,1)和b = (4,5,3)的单位向量是 ______________________ .6、如图所示, A . 01 2向量中与BM 相等的向量是（-→ 1 -→ -→ =AA 1+ 2(AD — AB) =C . — I a — 2b + C88、平行六面体解析设与a = (2,2,1)和b = (4,5,3)同时垂直b 单位向量是C = (P , q , r),则11. 若向量a = (1, λ 2), b = (2, — 1,2)且 a 与b 的夹角的余弦值为鲁，则λ=12.在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)∖ B(10 , — 1,6)、C(x,4,3)为顶点的厶ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数X 的值为 _________解析由题意知AB AC = O , IAiBl =ACI ,可解得X = 2.13. 已知 a + 3b 与 7a — 5b 垂直，且 a — 4b 与 7a — 2b 垂直，则〈a , b>= ________ I解析由条件知(a + 3b ) (7a — 5b ) = 7|a |2+ 16a b — 15|b |2= 0 ,及(a —4b ) (7a — 2b ) = 7|a |2+ 8|b |2— 30a b = 0. 两式相减，得 46a b = 23|b |2,二 a b = 2|b |2.14. 如图所示，已知二面…l —e 的平面角为θθ∈ 0,Π, AB ⊥BC , BC ⊥CD , AB 在平面β内，BC 在I 上,CD 在平面 α内，若 AB = BC = CD = 1,贝U AD 的长为 __________ —→ 2 —→ —→ —→ 2= —→ 2 —→ 2—→ 2—→ —→ —→ —→ —→ —→ 解析:AD 2= (AB + BC + CD) AB 2 + BC 2+ CD 2+ 2AB CD + 2AB BC + 2BC CD = 1+ 1+ 1 + 2cos( — θ)= 3— 2cos θ 15. ____________________________________________________________ 已知 a = (1 —1,1 — t , t), b = (2, t , t),则 |b — a |的最小值为 ____________________________________________________ .解析 b — a = (1 + t,2t - 1,0), •• |b — a |=^ (1 + tf+( 2t — 1 Y = ^^ 5 [^t — 5 / + 5 ,•当 t = 5 时，|b — a 取得最小值 .三、解答题16、如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是 C 1 D 1的中点，点 Q 在CA 1上，且CQ : QA 1 = 4 : 1,设AB = a , AD = b , A A I = C 用基底｛a , b , c ｝表示以下向量: 1 →→ 1 → → 1 2(AC + AA 1)= 2(A B + AD + A A 〔)= 2(a + b + C ).p 2+ q 2+ r 2= 1, 2p + 2q + r = 0, 4p + 5q + 3r = 0,1 P = 3，— 2 解得q =— £，I 2 r = 3， 1 P = — 3, 或q = |, 所求向量为3,— 3, 3或—3，3,— 3 . 8 解析由已知得8=a b 2— λ+ 4 Iailb = √5+λ2∙9,「8√5+λ = 3(6- λ,解得—2 或 λ=盒. 代入上面两个式子中的任意一个，即可得到 |a |= |b |. ••• CoS 〈 a , b > 1 2 a b 1|b | 1— 2 = .. IaIIb I |b | 2 a , b >= 60°2 (1)AP =-→ 1 -→ -→ 1 -→ -→ -→ 1 (2)AM = 2(AC + AD 1)= 2(AB + 2AD + AA” = ?(a + 2b + C ). 17、如图，已知 M 、N 分别为四面体 ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且 G 为AM 上一点，且 GM : GA = 1 : 3. =Ca = 0. ⑴证明：设 CA = a , CB = b , CC ' = c ,根据题意，|a I =I b I =I C l 且 a b = b C ∙∙∙ CE = b + ∣C , A →D = — C +1 b - 2a .ΛCE ∙ A →D = — ∣c 2 +1b 2= 0,∙'∙ CE 丄At),即 CE 丄AD. b + 2 C = 2 C 2=∙2∣a ∣2,⑵A →' =— a + c,∙∙∙ |A C' I = 2|a |, 品=^^∣A →' ∙ CE = (— a + C ) 1∣ f ∙ CoS 〈 A C' , CE > = 一匕了一 = 穹•即异面直线CE 与AC 所成角的余弦值为密. 2 ∙ 25I a I 2-- 1 -- -- 1 -- -- -- -- -- 1 -- -- -- 1 1 (3) AN = 2(AC 1 + AD 1) = 2[(AB + AD + AA” + (AD + AAj = 2( AB + 2AD + 2AA” = q(a + 2b + 2 C ) = q a + b + C . ⑷ AQ = AC + CQ = AC + 4(AA 1- AC) = I AC + 5A --1 = 1A B + 如 + 彳品=* a + ⅛ + IC求证：B 、G 、N 三点共线. 18. (13分)直三棱柱 ABC — A B ' C '中，AC = BC = AA ' , ∠ ACB =90° (2)求异面直线CE 与AC '所成角的余弦值. D 、E 分别为AB 、BB '的中点.(1)求证：CE ⊥ A ' D ;。

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空间向量及其运算知识点1．空间向量的有关概念1空间向量：在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量．2单位向量：模为1的向量称为单位向量3相等向量：方向相同且模相等的向量．4共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．5共面向量：平行于同一个平面的向量．2.空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量112231n n n OA OA A A A A A A ⋯－＝＋＋＋＋.运算律：①加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ②加法结合律：a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋c ③数乘分配律：λa ＋b ＝λa ＋λb.3．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理1共线向量定理对空间任意两个向量a ,bb ≠0,a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使得a ＝λb . AB 上的充要条件是：存在实数λ,使得AP AB λ= ①或对空间任意一点O,有OP OA AB λ=+ ②或对空间任意一点O ,有OP xOA yOB =+其中x ＋y ＝1 ③推论③推导过程：()(1)OP OA AB OA AO OB OA OB λλλλ=+=++=-+2共面向量定理如果两个向量a ,b 不共线,那么p 与a ,b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对x,y 使p ＝xa ＋ybABC 内的充要条件是存在唯一有序实数对x,y 使AP xAB yAC =+, 或对空间任意一点O ,有OP OA xAB yAC =++或对空间任意一点O ,有OP xOA yOB zOC =++,其中x ＋y ＋z ＝1推论③推导过程：(1)OP OA xAB yAC x y OA xOB yOC =++=--++3空间向量基本定理如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p ＝x a ＋y b ＋z c基底：把{a ,b ,c }叫做空间的一个基底,空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．4．空间向量的数量积及运算律1数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作错误!＝a ,错误!＝b ,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作〈a ,b 〉,其范围是0≤〈a ,b 〉≤π,若〈a ,b 〉＝错误!,则称a 与b 互相垂直,记作a ⊥b .②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a ,b ,向量a ,b 的数量积记作a·b ,且a·b ＝|a||b |cos 〈a ,b 〉．2空间向量数量积的运算律： ①结合律：λa ·b ＝λa·b ； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·b ＋c ＝a·b ＋a·c .5．空间向量的坐标表示及应用设a ＝a 1,a 2,a 3,b ＝b 1,b 2,b 31数量积的坐标运算：a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.2共线与垂直的坐标表示：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1,a 2＝λb 2,a 3＝λb 3 λ∈R ,a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0a ,b 均为非零向量．3模、夹角和距离公式：|a |＝错误!＝错误!,cos 〈a ,b 〉＝错误!＝错误! .设Aa 1,b 1,c 1,Ba 2,b 2,c 2,则d AB ＝|错误!|＝错误!.6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤：1适当的选取基底{a ,b ,c }；2用a ,b ,c 表示相关向量；3通过运算完成证明或计算问题．题型一空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量,应结合图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,表示为其他向量的和与差的形式,进而寻找这些向量与基向量的关系．例1：三棱锥O —ABC 中,M ,N 分别是OA ,BC 的中点,G 是△ABC 的重心,用基向量错误!,错误!,错误!表示错误!,错误!.解析：错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!－错误!＝错误!错误!＋错误!错误!错误!＋错误!－错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!.错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!.例2：如图所示,ABCD －A 1B 1C 1D 1中,ABCD 是平行四边形．若错误!＝错误!错误!,错误!＝2错误!,且1=x +y +z EF AB AD AA ,试求x 、y 、z 的值．.解连接AF ,错误!＝错误!＋错误!. ∵错误!＝－错误!错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!错误!＝错误!－错误!错误!＋错误!＝12133AD A A -∴错误!＝错误!＋错误!＝1111333AD AA AB +-题型二共线定理应用向量共线问题：充分利用空间向量运算法则,用空间中的向量表示a 与b ,化简得出a ＝λb ,从而得出a ∥b ,即a 与b 共线．点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题,如证明A 、B 、C 三点共线,即证明错误!与错误!共线．例3：如图所示,四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,判断错误!与错误!是否共线∵111111()()222222CE CB BEMN MC CB BN AC CB BA BE AC BA CB BE CB BE =+=++=+++=+++=+ ∴错误!＝2错误!,∴错误!∥错误!,即错误!与错误!共线．例4：如图所示,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 在A 1D 1上,且错误!＝2ED 1,F 在对角线A 1C 上,且错误!＝错误!错误!.求证：E ,F ,B 三点共线．证明：设错误!＝a ,错误!＝b ,错误!＝c .∴错误!＝2错误!=错误!错误!＝错误!b ,错误!＝错误!错误!＝错误!错误!=错误!错误!－错误!＝错误!错误!＋错误!－错误!＝错误!a ＋错误!b －错误!c∴E 错误!＝错误!－错误!＝错误!a －错误!b －错误!c ＝错误!错误!, 错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝－错误!b －c ＋a ＝a －错误!b －c ,∴错误!＝错误!错误!.所以E ,F ,B 三点共线．题型三共面定理应用点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P 、A 、B 、C 四点共面,只要能证明错误!＝x 错误!＋y 错误!,或对空间任一点O,有错误!＝错误!＋x 错误!＋y 错误!或错误!＝x 错误!＋y 错误!＋z 错误!x ＋y ＋z ＝1即可例5：已知A 、B 、C 三点不共线,对于平面ABC 外一点O ,若错误!＝错误! 错误!＋错误!错误!＋错误!错误!,则点P 是否与A 、B 、C 一定共面试说明理由．解析：∵212212212 (+)(+)(+)=+++553553553OP OA OB OC OP PA OP PB OP PC OP PA PB PC =++=++ ∴错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,故A 、B 、C 、P 四点共面.例6：如图所示,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,连结PA 、PB 、PC 、PD,点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心,应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.∵ E、F、G、H分别是所在三角形的重心,∴M、N、Q、R为所在边的中点顺次连结M、N、Q、R,所得四边形为平行四边形,且有错误!＝错误!错误!,错误!＝错误!错误!,错误!＝错误!错误!,错误!＝错误!错误!.∴错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!＋错误!错误!－错误!＝错误!错误!错误!－错误!错误!＋错误!错误!错误!－错误!错误!＝错误!＋错误!. ∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.例7：正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和A1D1的中点,求证向量错误!,错误!,错误!是共面向量．证明：如图所示,错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!－错误!＝错误!错误!－错误!.由向量共面的充要条件知错误!,错误!,错误!是共面向量．题型四空间向量数量积的应用例8：①如图所示,平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.1求AC1的长；2求BD1与AC夹角的余弦值．解析：1记错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,则|a|＝|b|＝|c|＝1,〈a,b〉＝〈b,c〉＝〈c,a〉＝60°,∴a·b＝b·c＝c·a＝错误!.|错误!|2＝a＋b＋c2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋b·c＋c·a＝1＋1＋1＋2×错误!＝6,∴|错误!|＝错误!,即AC1的长为错误!.2错误!＝b＋c－a,错误!＝a＋b,∴|错误!|＝错误!,|错误!|＝错误!,错误!·错误!＝b＋c－a·a＋b＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!.∴AC与BD1夹角的余弦值为错误!.②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点,则错误!·错误!的值为A．a2 a2 a2 a2解析：设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,则|a|＝|b|＝|c|＝a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.错误!＝错误!a＋b,错误!＝错误!c,∴错误!·错误!＝错误!a＋b·错误!c＝错误!a·c＋b·c＝错误!a2cos60°＋a2cos60°＝错误!a2.题型五空间向量坐标运算例9：如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB＝2,E为PB的中点,cos〈错误!,错误!〉＝错误!,若以DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为A．1,1,1 D．1,1,2设PD＝a a>0,则A2,0,0,B2,2,0,P0,0,a,E错误!,∴错误!＝0,0,a,错误!＝错误!,cos〈错误!,错误!〉＝错误!,∴错误!＝a错误!·错误!,∴a＝2.∴E的坐标为1,1,1．例10：已知a＝2,－1,3,b＝－1,4,－2,c＝7,5,λ．若a,b,c三向量共面,则实数λ=________________解析：由题意得c＝t a＋μb＝2t－μ,－t＋4μ,3t－2μ,∴错误!∴错误!例11：已知△ABC的顶点A1,1,1,B2,2,2,C3,2,4,试求△ABC的面积错误!＝1,1,1,错误!＝2,1,3,|错误!|＝错误!,|错误!|＝错误!,错误!·错误!＝2＋1＋3＝6,∴cos A＝cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!.∴sin A＝错误!＝错误!.∴S△ABC＝错误!|错误!|·|错误!|·sin A＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!.例12：已知a＝λ＋1,0,2,b＝6,2μ－1,2λ,若a∥b,则λ与μ的值可以是A．2,错误!B．－错误!,错误!C．－3,2 D．2,2解析由题意知：错误!解得错误!或错误!例13：已知空间中三点A－2,0,2,B－1,1,2,C－3,0,4,设a＝错误!,b＝错误!.,若ka＋b与ka－2b互相垂直,求实数k 的值．方法一∵k a＋b＝k－1,k,2．k a－2b＝k＋2,k,－4,且k a＋b与k a－2b互相垂直,∴k－1,k,2·k＋2,k,－4＝k－1k＋2＋k2－8＝0,∴k＝2或－错误!,方法二由2知|a|＝错误!,|b|＝错误!,a·b＝－1,∴k a＋b·k a－2b＝k2a2－k a·b－2b2＝2k2＋k－10＝0,得k＝2或－错误!.例14：已知空间三点A0,2,3,B－2,1,6,C1,－1,5．1求以错误!,错误!为边的平行四边形的面积；2若|a|＝错误!,且a分别与错误!,错误!垂直,求向量a的坐标．解1cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.∴sin〈错误!,错误!〉＝错误!,∴以错误!,错误!为边的平行四边形的面积为S＝2×错误!|错误!|·|错误!|·sin〈错误!,错误!〉＝14×错误!＝7错误!.（2）设a＝x,y,z,由题意得错误!,解得错误!或错误!,例15：如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E＝错误!A1D,AF＝错误!AC,则A．EF至多与A1D、AC之一垂直B．EF与A1D、AC都垂直C．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：设AB＝1,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A11,0,1,D0,0,0,A1,0,0,C0,1,0,E错误!,F错误!,B1,1,0,D10,0,1,错误!＝－1,0,－1,错误!＝－1,1,0,错误!＝错误!,错误!＝－1,－1,1,错误!＝－错误!错误!,错误!·错误!＝错误!·错误!＝0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.例16：已知O0,0,0,A1,2,3,B2,1,2,P1,1,2,点Q在直线OP上运动,当错误!·错误!取最小值时,点Q的坐标是__________．解析：设错误!＝λ错误!＝λ,λ,2λ,则错误!＝1－λ,2－λ,3－2λ,错误!＝2－λ,1－λ,2－2λ．∴错误!·错误!＝1－λ2－λ＋2－λ1－λ＋3－2λ2－2λ＝6λ2－16λ＋10＝6λ－错误!2－错误!.∴当λ＝错误!时,错误!·错误!取最小值为－错误!.此时,错误!＝错误!,错误!,错误!,综合练习一、选择题1、下列命题：其中不正确．．．的所有命题的序号为__________．①若A、B、C、D是空间任意四点,则有错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线,则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!x、y、z∈R,则P、A、B、C四点共面．⑤设命题p：a,b,c是三个非零向量；命题q：{a,b,c}为空间的一个基底,则命题p是命题q的充要条件解析：选②③④⑤,①中四点恰好围成一封闭图形,正确；②中当a、b同向时,应有|a|＋|b|＝|a＋b|；③中a、b 所在直线可能重合；④中需满足x＋y＋z＝1,才有P、A、B、C四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底,应改为必要不充分条件2、有下列命题：其中真命题的个数是①若p＝x a＋y b,则p与a,b共面；②若p与a,b共面,则p＝x a＋y b；③若错误!＝x错误!＋y错误!,则P,M,A、B共面；④若P,M,A,B共面,则错误!＝x错误!＋y错误!.A．1 B．2 C．3 D．4解析其中①③为真命题．②中,若a,b共线,则p≠x a＋y b；3、已知A1,0,0,B0,－1,1,错误!＋λ错误!与错误!的夹角为120°,则λ的值为A．±错误!错误!C．－错误!D．±错误!解析：错误!＋λ错误!＝1,－λ,λ,cos120°＝错误!＝－错误!,得λ＝±错误!.经检验λ＝错误!不合题意,舍去,∴λ＝－错误!.4、如图所示,已知P A⊥平面ABC,∠ABC＝120°,P A＝AB＝BC＝6,则PC等于A．6错误!B．6 C．12 D．144解析错误!2＝错误!＋错误!＋错误!2=错误!2＋错误!2＋错误!2＋2错误!·错误!＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144∴|错误!|＝12证明设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝－a＋错误!a＋b＋c＝－错误!a＋错误!b＋错误!c,错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＋错误!＝－a＋错误!b＋错误!c＝错误!错误!. ∴错误!∥错误!,即B、G、N三点共线．5、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且错误!＝错误!错误!,N为B1B的中点,则|错误!|为a a a a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则Aa,0,0,C10,a,a,N错误!.设Mx,y,z．∵点M在AC1上且错误!＝错误!错误!,∴x－a,y,z＝错误!－x,a－y,a－z∴x＝错误!a,y＝错误!,z＝错误!.∴M错误!,∴|错误!|＝错误!＝错误!a.6、如图所示,已知空间四边形OABC,OB＝OC,且∠AOB＝∠AOC＝错误!,则cos〈错误!,错误!〉的值为A．0解析设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,由已知条件〈a,b〉＝〈a,c〉＝错误!,且|b|＝|c|,错误!·错误!＝a·c－b＝a·c－a·b＝错误!|a||c|－错误!|a||b|＝0,∴cos〈错误!,错误!〉＝0.7、如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点．若错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,则下列向量中与错误!相等的向量是A．－错误!a＋错误!b＋c 错误!a＋错误!b＋c C．－错误!a－错误!b＋c 错误!a－错误! b＋c解析错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!－错误!＝c＋错误!b－a＝－错误!a＋错误!b ＋c.8、平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,向量错误!,错误!,错误!两两的夹角均为60°,且|错误!|＝1,|错误!|＝2,|错误!|＝3,则|错误!|等于A．5 B．6 C．4 D．8设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,则错误!＝a＋b＋c,错误!2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25,|错误!|＝5.9、在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是＝3错误!－2错误!－错误!B．错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0 C．错误!＋错误!＋错误!＝0 D．错误!＝错误!错误!－错误!＋错误!错误!解析：C中错误!＝－错误!－错误!.故M、A、B、C四点共面．二、填空题10、同时垂直于a＝2,2,1和b＝4,5,3的单位向量是____________________．解析设与a＝2,2,1和b＝4,5,3同时垂直b单位向量是c＝p,q,r,则错误!解得错误!或错误!所求向量为错误!或错误!.11．若向量a＝1,λ,2,b＝2,－1,2且a与b的夹角的余弦值为错误!,则λ＝________.解析由已知得错误!＝错误!＝错误!,∴8错误!＝36－λ,解得λ＝－2或λ＝错误!.12．在空间直角坐标系中,以点A4,1,9、B10,－1,6、Cx,4,3为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为________．解析由题意知错误!·错误!＝0,|错误!|＝|错误!|,可解得x＝2.13．已知a＋3b与7a－5b垂直,且a－4b与7a－2b垂直,则〈a,b〉＝________.解析由条件知a＋3b·7a－5b＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0,及a－4b·7a－2b＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0.两式相减,得46a·b＝23|b|2,∴a·b＝错误!|b|2.代入上面两个式子中的任意一个,即可得到|a|＝|b|.∴cos〈a,b〉＝错误!＝错误!＝错误!.∴〈a,b〉＝60°.14. 如图所示,已知二面角α—l—β的平面角为θ错误!,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内,BC在l上,CD在平面α内,若AB＝BC＝CD＝1,则AD的长为________．解析:错误!2＝错误!＋错误!＋错误!2=错误!2＋错误!2＋错误!2＋2错误!·错误!＋2错误!·错误!＋2错误!·错误!＝1＋1＋1＋2cosπ－θ＝3－2cos θ.15．已知a＝1－t,1－t,t,b＝2,t,t,则|b－a|的最小值为________．解析b－a＝1＋t,2t－1,0,∴|b－a|＝错误!＝错误!,∴当t＝错误!时,|b－a|取得最小值错误!.三、解答题16、如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,P是CA1的中点,M是CD1的中点,N是C1D1的中点,点Q在CA1上,且CQ∶QA1＝4∶1,设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,用基底{a,b,c}表示以下向量：1错误!；2错误!；3错误!；4错误!.1错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!＝错误!a＋b＋c．2错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!＋2错误!＋错误!＝错误!a＋2b＋c．3错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!错误!＋2错误!＋2错误!＝错误!a＋2b＋2c＝错误!a＋b＋c.4错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!－错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b＋错误!c17、如图,已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线．18．13分直三棱柱ABC—A′B′C′中,AC＝BC＝AA′,∠ACB＝90°,D、E分别为AB、BB′的中点．1求证：CE⊥A′D；2求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．1证明：设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,根据题意,|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.∴错误!＝b＋错误!c,错误!＝－c＋错误!b－错误!a.∴错误!·错误!＝－错误!c2＋错误!b2＝0,∴错误!⊥错误!,即CE⊥A′D.2错误!＝－a＋c,∴|错误!|＝错误!|a|,|错误!|＝错误!|a|.错误!·错误!＝－a＋c·错误!＝错误!c2＝错误!|a|2, ∴cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为错误!.。