数学建模大作业
数学建模大作业
数学建模大作业姓名1：魏家蓉学号：201100414 姓名2：何嘉琪学号：201100415 姓名3：向歆学号：201100418 姓名4：牟宇宇学号：201100420 姓名4：曾朝忠学号：201100431 专业：交通工程班级：交工1101指导老师：张仲荣2014年5 月22 日直升机运输公司问题问题提出一家运输公司正考虑用直升机从某城市的一摩天大楼运送人员。
你被聘为顾问，现在要确定需要多少架飞机。
按照建模过程仔细分析，建模。
为了简化问题，可以考虑升机运输公司问题。
基本假设如下：假设运载的直升机为统一型号; 假设每架飞机每次载人数相同；假设飞机运送的人员时互不影响；假定人员上了飞机就安全，因此最后一次运输时，只考虑上飞机所花时间。
1、按照数学建模的全过程对本题建立模型，并选用合理的数据进行计算（模型求解）; 2、本问题是否可以抽象为优化模型;除了考虑建立优化模型之外，是否可以采用更简单的方法建立模型。
注意考虑假设条件。
甚至基于不同的假设建立多个模型。
模型假设：（H1）所有飞机的飞行高度度均为10 000m ，飞行速度均为800km/h 。
(H2)飞机飞行方向角调整幅度不超过6，调整可以立即实现；(H3)飞机不碰撞的标准是任意两架飞机之间的距离大于8km; (H4)刚到达边界的飞机与其他飞机的距离均大于60km; (H5)最多考虑N 架飞机;(H6)不必考虑飞机离开本区域以后的状况. 符号说明:D 为飞行管理区域的边长;S 为飞行管理区域取直角坐标系使其为[0,D ]×[0，D]; v 为飞机飞行速度，v=800km/h; （x 0i ，y i）第i 架飞机的初始位置;（)(),(t t y x ii ）为第i 架飞机在t 时刻的位置;θ0i为第i 架飞机的原飞行方向角，即飞行方向与x 轴夹角，0≤θ≤2π;θi ∆第i 架飞机的方向角调整，-6π≤i θ∆≤6π; i θ﹦i 0i θθ∆+为第i 架飞机调整后的飞行方向角;模型建立一、两架飞机不碰撞的条件1、两架飞机距离大于8km 的条件设第i 架和第j 架飞机的初始位置为（0i 0i y x ，），（0j 0j y x ，）,飞行方向角分别为和,他们的位置为(t)=vtcos +(t)=vtsin+和(t)=vtcos + 0j x(t)=vtsin+0j y若记时刻t 他们距离为(t),则他们之间距离的平方为2ijr （t ）=（x i （t ）-x j (t)）2+（y i (t)-y j （t ））2经简单计算可得2ijr （t ）=v 2 [(cos i θ-cos j θ)2+(sin i θ-sin j θ)2] t 2+2v[(0i x -0j x )(cos i θ-cos j θ)+(0i y -0j y )(sin i θ-sin j θ)]t+(0i x -0j x )2+(0i y -0j y )2引入ij a = v 2 [(cos i θ-cos j θ)2+(sin i θ-sin j θ)2]ij b =2v[(0i x -0j x )(cos i θ-cos j θ)+(0i y -0j y )(sin i θ-sin j θ)]那么2ij r （t ）=ij a t 2+ij b t+ 2ij r （0）由此可见，两架飞机不碰撞的条件为2ij r （t ）=ij a t 2+ij b t+ 2ij r （0） >642、由假设（6），我们不必理会飞机飞离区域Ω的状况，因此，在考虑两架飞机是否在区域内发生碰撞时，只需考察两架飞机有一架到达边界之前（7-7）式是否成立就可以了。
数学建模案例作业
数学建模案例作业作业1 商人过河问题三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行（六个人都会划船）。
随从们密谋，无论何时，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船渡河的决定权掌握在商人手中。
商人们怎样才能安全渡河？示意图如下： 随从：商人： 一、状态变量一次决策),(k k k y x S = 3,2,1=k 表示第k 次渡河时，此岸的商人数，随从数. 最初 )3,3(0=S 且为整数）3,0(≤≤k k y x)}0,0(),1,0(),2,0(),3,0(),0,1(),1,1(),2,1(),3,1(),0,2(),1,2(),2,2(),3,2(),0,3(),1,3(),2,3(),3,3{(=S要安全过河，需保证彼岸此岸都安全，及随从数不能大于商人数，所以安全的情况有10种，即)}0,0(),1,0(),2,0(),3,0(),1,1(),2,2(),0,3(),1,3(),2,3(),3,3{(=S ② 二、决策变量设),(k k k v u d =2,0(≤≤k k v u 且)21≤+≤k k v u 表示第k 次渡河时，船上的商人数和随从数 )}1,0(),0,1(),2,0(),1,1(),0,2{(=D与状态变量相结合，安全的情况有三种，即 )}1,0(),2,0(),1,1{((=D ③ 三、状态转移方程奇数次（此案到彼岸）k k k d S S -=+1 偶数次（彼岸到此案）k k k d S S +=+1 即k k k k d S S )1(1-+=+ ① 数学建模：由①确定的转移方程下，经过n 次决策，将初始状态转移到最终状态)0,0(=n S . 每次的决策取自③式，每次到达的状态在②中. 图解法：①从右上角移到左下角，每次最多移两步；②奇数次渡河往左下方，偶数次渡河往右下方。
建立平面直角坐标系如图：n S 过河方案：从A 点)3,3(0=S 出发到D 点)0,0(=n S 结束① 小船一次最多能载两人，所以每次最多移动两个格子② 由此岸即彼岸时人员减少，即奇数遍时向左下方行走；有彼岸及此岸时人员增加，即偶数遍时向右上方行走。
数学建模期末大作业
数学建模承诺书
我们仔细阅读了数学建模作业的对应规则。
我们完全明白，在开始做题后不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反规则的。
如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守规则，以保证公正、公平性。
如有违反规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们选择的题号是（A/B/C/D题）： D
参赛队员：
1. 专业年级软件工程姓名段永春学号201410413112 成绩
2. 专业年级软件工程姓名殷福贵学号201410413113 成绩
3. 专业年级软件工程姓名高培富学号201410413107 成绩
日期： 2015 年 6 月 15 日。
数学建模第四套
徐州工程学院个性化教育数学建模（大作业）试卷班级 学号 姓名 得分1、某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组，11~15岁。
动物从第二年龄组开始繁衍后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3，第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。
假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？解：由于年龄分为五岁一段，所以时间周期取5年。
设(k)i x 表示第k 个时间周期，第i 组年龄阶段动物的数量。
因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组的动物数量是由上一周期上一年龄组存活下来的动物的数量决定的，所以有(k)(k 1)(k)(k 1)213211,22x x x x --== 又因为某一时间周期，第一年龄组的动物数量是由上一时间周期各个年龄组出生的动物数量决定的，所以有(k)(k 1)(k 1)12343x x x --=+由此得到递推关系式： (k)(k 1)(k 1)123(k)(k 1)21(k)(k 1)32431214x x x x x x x ----⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 用矩阵表示为： (k)(k 1)11(k)(k 1)22(k)(k 1)3304310021004x x x x x x ---⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦即(k)(k 1)x Lx -=，其中(n)043100100,10021001004L x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦则有()()()(3)(2)(1)(0)1437.5137.587.5x Lx L Lx L L Lx ⎡⎤⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算过程代码如下： >> x0=[100;100;100];>> L=[0,4,3;1/2,0,0;0,1/4,0]; >> x1=L*x0; >> x2=L*x1; >> x3=L*x2x3 =1.0e+03 * 1.4375 0.1375 0.0875结果分析：由于动物的数量不可能出现小数，所以根据实际，15年后农场饲养动物的数量2、深洞的估算： 假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG 的 石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S ，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。
数学建模作业及答案
数学建模作业姓名：叶勃学号：班级：024121一：层次分析法1、 分别用和法、根法、特征根法编程求判断矩阵1261/2141/61/41A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征根和特征向量（1）冪法求该矩阵的特征根和特征向量 程序为：#include<iostream> #include<math.h> using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20 #define err 0.0001 //幂法求特征值特征向量 void main(){cout<<"**********幂法求矩阵最大特征值及特征向量***********"<<endl; int i,j,k;double A[n][n],X[n],u,y[n],max;cout<<"请输入矩阵:\n"; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵 cout<<"请输入初始向量:\n"; for(i=0;i<n;i++)cin>>X[i]; //输入初始向量 k=1; u=0;while(1){ max=X[0]; for(i=0;i<n;i++) {if(max<X[i]) max=X[i]; //选择最大值 }for(i=0;i<n;i++)y[i]=X[i]/max; for(i=0;i<n;i++)X[i]=0;for(j=0;j<n;j++)X[i]+=A[i][j]*y[j]; //矩阵相乘}if(fabs(max-u)<err){cout<<"A的特征值是 :"<<endl; cout<<max<<endl; cout<<"A的特征向量为:"<<endl; for(i=0;i<n;i++) cout<<X[i]/(X[0]+X[1]+X[2])<<" ";cout<<endl;break;}else{if(k<N) {k=k+1;u=max;} else {cout<<"运行错误\n";break;}}} }程序结果为：（2）和法求矩阵最大特征值及特征向量程序为：#include<stdio.h>#include<iostream>#include<math.h> using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20void main(){int i,j,k;double A[n][n],w[n],M[n],u[n],W[n][n],max;cout<<"********和法求矩阵的特征根及特征向量*******"<<endl;cout<<"请输入矩阵:\n";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵 //计算每一列的元素和M[0]=0;M[1]=0;M[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){M[i]+=A[j][i];}//将每一列向量归一化for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){W[j][i]=A[j][i]/M[i];}//输出按列归一化之后的矩阵Wcout<<"按列归一化后的矩阵为："<<endl;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){cout<<W[i][j]<<" ";if(j==2)cout<<endl;} //求特征向量w[0]=0;w[1]=0;w[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){w[i]+=W[i][j];}cout<<"特征向量为:"<<endl; for(i=0;i<n;i++){u[i]=w[i]/(w[0]+w[1]+w[2]);cout<<u[i]<<" "<<endl;}//求最大特征值max=0;for(i=0;i<n;i++){w[i] = 0;for(j=0;j<n;j++){w[i] += A[i][j]*u[j];}}for(i = 0;i < n;i++){max += w[i]/u[i];}cout<<"最大特征根为："<<endl;cout<<max/n<<endl; }运行结果为：（3）根法求矩阵最大特征值及特征向量：程序为：#include<stdio.h>#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20void main(){int i,j;double A[n][n],w[n],M[n],u[n],W[n][n],max;cout<<"********根法求矩阵的特征根及特征向量*******"<<endl; cout<<"请输入矩阵:\n";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵//计算每一列的元素和M[0]=0;M[1]=0;M[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){M[i]+=A[j][i];}//将每一列向量归一化for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){W[j][i]=A[j][i]/M[i];}//输出按列归一化之后的矩阵Wcout<<"按列归一化后的矩阵为："<<endl;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){cout<<W[i][j]<<" ";if(j==2)cout<<endl;}//求特征向量//w[0]=A[0][0];w[1]=A[0][1];w[2]=A[0][2];w[0]=1;w[1]=1;w[2]=1;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){w[i]=w[i]*W[i][j];}w[i]=pow(w[i], 1.0/3);}cout<<"特征向量为:"<<endl;for(i=0;i<n;i++){u[i]=w[i]/(w[0]+w[1]+w[2]);cout<<u[i]<<" "<<endl;}//求最大特征值max=0;for(i=0;i<n;i++){w[i] = 0;for(j=0;j<n;j++){w[i] += A[i][j]*u[j];}}for(i = 0;i < n;i++){max += w[i]/u[i];}cout<<"最大特征值为:"<<endl; cout<<max/n;}运行结果为：2、编程验证n阶随机性一致性指标RI：运行结果：3、考虑景色、费用、居住、饮食、旅途五项准则，从桂林、黄山、北戴河三个旅游景点选择最佳的旅游地。
《数学建模》作业
要求1、选题要求，学号是1号的选A组第1题，2号选A组第2题，以此类推，15号选A组第15题，16号回头选A组第1题。
如果对上面的题目把握不大或不敢兴趣的，可以在B组题目中任选一题。
2、答卷论文内容包括：摘要（100——300字，含研究的问题、建模的方法及模型、模型解法和主要结果），问题分析与假设，符号说明，问题分析，模型建立，计算方法设计和实现（框图及计算机输出的计算结果），结果的分析和检验，优缺点和改进方向等。
用软件求解的，请在附件中附上算法程序。
3、论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距。
4、第一页为封面（自己下载），写上学号、姓名、第二页为论文标题和摘要，从第三页开始是论文正文。
论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。
5、论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。
论文中其他汉字一律采用小4号宋体字，行距用单倍行距。
6、引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。
正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。
参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者．书名[M]．出版地：出版社，出版年参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：[编号] 作者．论文名[J]．杂志名，卷期号：起止页码，出版年参考文献中网上资源的表述方式为：[编号] 作者．资源标题．网址，访问时间（年月日）。
论文提交：2015年5月（本学期第11周）论文打印装订成册上交注：2015年5月（本学期第11,12周）答辩大作业题目A组1、生产计划高校现有一笔资金100万元，现有4个投资项目可供投资。
项目A：从第一年到底四年年初需要投资，并于次年年末回收本利115%。
项目B：从第三年年初需要投资，并于第5年末才回收本利135%，但是规定最大投资总额不超过40万元。
数学建模大作业习题答案
数学建模大作业习题答案数学建模大作业习题答案作为一门应用数学课程，数学建模在现代科学研究和工程技术中具有重要的地位和作用。
通过数学建模，我们可以将实际问题转化为数学模型，从而利用数学方法进行分析和求解。
在数学建模的学习过程中，我们经常会遇到一些习题，下面我将为大家提供一些数学建模大作业题目的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 题目：某城市的交通拥堵问题解答：针对这个问题，我们可以采用图论的方法进行建模和求解。
首先，我们将城市的道路网络抽象为一个图，图的节点表示交叉口，边表示道路。
然后，我们可以给每条边赋予一个权重，表示道路的通行能力。
接着，我们可以使用最短路径算法，比如Dijkstra算法，来计算从一个交叉口到另一个交叉口的最短路径，从而找到最优的交通路线。
此外，我们还可以使用最小生成树算法，比如Prim算法，来构建一个最小的道路网络，以减少交通拥堵。
2. 题目：某工厂的生产调度问题解答：对于这个问题，我们可以采用线性规划的方法进行建模和求解。
首先，我们可以将工厂的生产任务抽象为一个线性规划模型，其中目标函数表示最大化生产效益，约束条件表示生产能力、物料供应和市场需求等方面的限制。
然后，我们可以使用线性规划求解器，比如Simplex算法或内点法，来求解这个线性规划模型，得到最优的生产调度方案。
此外，我们还可以引入一些启发式算法，比如遗传算法或模拟退火算法，来寻找更好的解决方案。
3. 题目：某股票的价格预测问题解答：对于这个问题，我们可以采用时间序列分析的方法进行建模和求解。
首先，我们可以将股票的价格序列抽象为一个时间序列模型，比如ARIMA模型。
然后，我们可以使用历史数据来拟合这个时间序列模型，并进行参数估计。
接着，我们可以利用这个时间序列模型来预测未来的股票价格。
此外，我们还可以引入其他的预测方法，比如神经网络或支持向量机，来提高预测的准确性。
通过以上的例子，我们可以看到，在数学建模的过程中，我们需要将实际问题抽象为数学模型，然后利用数学方法进行分析和求解。
数学建模大作业书写格式
题目成绩：组员：1．姓名：专业学号星期第讲2．姓名：专业学号星期第讲3．姓名：专业学号星期第讲请认真核对个人信息，乱填者，扣分摘要（写出你建模的大致思路、方法及主要结果，不得低于200字）关键词：（写出你论文中用到的主要关键词，一般五个左右）（摘要和关键词单独一页）1 问题重述（写出问题的具体内容，本部分可省略）2 条件假设（写出你对模型的基本假设条件，要合情合理）3 符号说明（对模型中出现的变量进行符号约定）4 问题分析（围绕问题对题目涉及的背景、内容等进行深入分析；若有多个问题，请逐题分析）5 模型建立（建立相应的数学模型；若有多个问题，请逐题建立各类数学模型）6 模型求解（给出你求解模型的算法、流程图等，给出具体计算结果）7 模型检验与评价（对模型的结果进行合理性评价，评价你建立的模型的优劣性）8 参考文献（例如：[1] 何仰赞，温增银. 电力系统分析（第三版）. 武汉：华中科技大学出版社，2003.[2] 范金城，梅长林. 数据分析. 北京：科学出版社，2002.[3] 郑君里，应启珩，杨为理. 信号与系统（第二版）. 北京：高等教育出版社，2000.）9 附录（程序流程图、源代码及其他要说明的；本部分可以省略）排版要求：1.论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距。
2.论文第一页为论文题目和组员相关资料；论文摘要和关键词写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。
3.论文一级标题用4号黑体字，并居中。
论文中其他汉字一律采用小4号宋体字，行距及字间距用单倍行距。
4.提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写。
5.引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。
6.若需要输入数学符号或公式，请使用mathtype编辑器。
数学建模大作业题目
(1) 用起泡法对10个数由小到大排序. 即将相邻两个数比较,将小的调到前头. （10个数字自己选择，方法要一般）(2)有一个45⨯矩阵,编程求出其绝对值最大值及其所处的位置. （用abs 函数求绝对值）(3)编程求201!n n =∑ （ 分别用for 和while 循环）(4)一球从100米高度自由落下,每次落地后反跳回原高度的一半,再落下. 求它在第10次落地时,共经过多少米?第10次反弹有多高? (5)有一函数2(,)sin 2f x y x xy y =++,写一程序,输入自变量的值,输出函数值，并画出其图像，加上图例和注释. （区间自理） (6) 建立一个脚本M 文件将向量a,b 的值互换。
(7) 某商场对顾客所购买的商品实行打折销售，标准如下(商品价格用price 来表示)： price<200 没有折扣; 200≤price<500 3%折扣; 500≤price<1000 5%折扣; 1000≤price<2500 8%折扣; 2500≤price<5000 10%折扣;5000≤price 14%折扣;输入所售商品的价格，求其实际销售价格。
(用input 函数) (8) 已知y ，22221111123y n=++++,当n=100时，求y 的值。
(9)画出分段函数2221y 1 122 1 2x x x x x x x ⎧<⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎩的图像，并求分段函数在任意几点的函数值。
(用hold on 函数)(10) 给定5阶方阵，求方阵的行列式、特征值、迹、上三角元素的和。
(11) 输入40个数字，按照从小到大的顺序排列输出。
(12) 把当前窗口分成四个区域，在每个区域中分别用不同的颜色和线形画sin ;tan y x y x==，x y e =和31y x x =++的图像。
（区间自理）(13) 对于,AXB YA B==，如果⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=753467294A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=282637B ，，求解X,Y ;(14) 如果⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=753467294A ，242679836B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1122,*,.*,,,,T A B A B A B AB A B A A ---。
数学建模(合)大作业
学生实验报告实验时间：2017 学年第 2 学期专业班级：信息与计算科学1502班____ （学号）：庞云杰（20155653）_______2017年 03月21日通过N(t)=N0e rt其中r=0.0202（1/年），N0 =6.0450（百万）；我们可以预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口；通过计算，我们可以得出2010年 514.28（百万）2020年629.39（百万） 2030年770.26（百万） 2040年942.66（百万）2050年1153.65（百万）误差分析利用指数增长模型预测美国人口变化状况，其预测结果与真实值比较，相对误差在1%-55%之间，预测模型明显不可靠。
模型2利用MATLAB进行曲线拟合，首先在平面上绘出已知数据的分布图，通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律，再用函数拟合的方法确定其中的未知参数，从而估计出2010 2020 2030 2040 2050年的美国人口。
利用MATLAB作出美国人口统计数据的连线图如图1。
1美国人口统计数据连线图2建模方法2拟合效果图由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f（t）, f(t)=ea+bt，a, b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a, b是函数的最小值点。
其中xi是ti时刻美国的人口数。
利用MATLAB中的曲线拟合程序“curvefit”，编制的程序如下：首先创建指数函数的函数M——文件用最小二乘拟合求上述函数中待定常数，以及检验拟合效果的图形绘制程序m-function, fun1.mfunction f=fun1(a,t)f=exp(a(1)*x + a(2));t=1790:10:2000;图3误差分析观察误差和图像，模型2对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。
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兰州交通大学数学建模大作业学院：机电工程学院班级：车辆093学号：200903812 姓名：刘键学号：200903813 姓名：杨海斌学号：200903814 姓名：彭福泰学号：200903815 姓名：程二永学号：200903816 姓名：屈辉高速公路问题1 实验案例 (2)1.1 高速公路问题(简化) (2)1.1.1 问题分析 (3)1.1.2 变量说明 (3)1.1.3 模型假设 (3)1.1.4 模型建立 (3)1.1.5 模型求解 (4)1.1.6 求解模型的程序 (4)1实验案例1.1 高速公路问题(简化)A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。
公路造价与地形特点有关，图4.2.4给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。
你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。
图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。
而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？AB图8.2 高速公路修建地段1.1.1 问题分析在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。
如果要建造的起点、终点在同一地貌中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。
因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。
1.1.2 变量说明i x ：在第i 个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i ＝1，2，…，4；x 5＝30（指目的地B 点的横坐标）x=[x 1，x 2，x 3，x 4]Tl i ：第i 段南北方向的长度（i ＝1，2， (5)S i ：在第i 段上地所建公路的长度（i ＝1，2， (5)由问题分析可知，()()()()25425524324423223322122221211x x l S x x l S x x l S x x l S x l S -+=-+=-+=-+=+=C 1：平原每公里的造价（单位：万元/公里）C 2：高地每公里的造价（单位：万元/公里） C 3：高山每公里的造价（单位：万元/公里）1.1.3 模型假设1、 假设在相同地貌中修建高速公路，建造费用与公路长度成正比；2、 假设在相同地貌中修建高速公路在一条直线上。
在理论上，可以使得建造费用最少，当然实际中一般达不到。
1.1.4 模型建立在A 城与B 城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。
优化目标是在A 城与B 城之间建造高速公路的费用。
()4,3,2,1300..)(min 5142332211=≤≤++++=i x t s S C S C S C S C S C x f i1.1.5模型求解这里采用Matlab编程求解。
模型求解时，分别取C i(i=1,2,3)如下。
平原每公里的造价C1＝400万元/公里；高地每公里的造价C2＝800万元/公里；高山每公里的造价C3＝1200万元/公里。
输入主程序model_p97.m，运行结果如下：model_p97optans =2.2584e+004len =38.9350ans =12.1731 14.3323 15.6677 17.8269求解程序见附录。
注：实际建模时必须查找资料来确定参数或者题目给定有数据）6.模型结果及分析通过求解可知，为了使得建造费用最小。
建造地点的选择宜采取下列结果。
x1=12.1731，x2=14.3233，x3=15.6677，x4=17.8269建造总费用为2.2584亿元。
总长度为38.9350公里1.1.6求解模型的程序（1）求解主程序model_p97function x=model_p97 %数学建模教材 P97 高速公路clear allglobal C LC=[400 800 1200];L=[4 4 4 4 4];x=fmincon('objfun_97',[1,1,1,1],[],[],[],[],zeros(1,4),ones(1,4)* 30,'mycon_p97');optans=objfun_97(x)C=ones(3,1);len = objfun_97(x)（2）模型中描述目标函数的Matlab程序objfun_97.mfunction obj=objfun_97(x)global C Lobj=C(1)*sqrt(L(1)^2+x(1)^2) + C(2)*sqrt(L(2)^2+(x(2)-x(1))^2) + ... C(3)*sqrt(L(3)^2+(x(3)-x(2))^2)C(2)*sqrt(L(4)^2+(x(4)-x(3))^2)+C(1)*sqrt(L(5)^2+(...30-x(4))^2); （3）模型中描述约束条件的Matlab函数mycon_p97.mfunction [c,ceq]=mycon_p97(x)c(1)=x(1)-x(2);c(2)=x(2)-x(3);c(3)=x(3)-x(4);c(4)=x(4)-30;ceq=[];综合实验：施肥效果分析【问题提出】施肥效果分析（1992年全国大学生数学模型联赛题A）某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。
某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。
当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P与K的施肥量分别取为196kg／ha与372kg／ha。
试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估计。
土豆：N P K生菜：N P K数据拟合方法[1]在数学建模问题中常常有着重要的应用。
根据实验数据来求出实际问题中变量之间的经验公式[1～2],然后再根据经验公式来讨论模型的最优解,是许多数学建模问题中的一种重要方法。
下面就利用这种方法来讨论一个数学建模问题[3～4]。
某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N)、磷(P)、钾(K)。
某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验,实验数据可参见文献[3],其中ha表示公顷,t表示吨,kg表示公斤。
当一个营养素的施肥量变化时,总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上,如对土豆产量关于N的施肥量做实验时,P与K的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha。
我们来分析施肥量与产量之间的关系,并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。
首先,将题中的数据用MA TLAB软件[5]作出图形:从图上可看出,N、P、K的取值范围不一样,可以将它们的取值范围转化成区间[0,1],这样它们的变化范围就都一样了。
转化后的数据图形如下:1模型的建立及求解要分析施肥量与产量之间的关系,首先要建立施肥量与产量之间的函数关系。
可以用数据拟合的方法来建立这种函数关系。
这又需要确定拟合的函数的形式,即所谓经验公式。
施肥量与产量之间的函数可以是每一种肥料的施用量与产量的关系,也可以是三种肥料共同的施用量与产量的关系。
按一般常识,N、P、K是作物生长的三种基本肥料要素,它们用量的多少将直接影响农作物的产量。
这种对作物产量的“影响”通常是这三种肥料的共同影响,而不应是单一某一种肥料对作物产量的“影响”。
但每一种肥料的用量对于不同的作物产量的影响效果又有不同。
例如,N肥的施用量对有些农作物产量的影响是:当N肥施用量较少时,随着N肥用量的增加,农作物的产量会增加,到一定用量后产量达到最大,然后,当N肥用量继续增加时,农作物的产量反而会降低。
这从上面的土豆和生菜产量与N肥用量的数据图上也可以看到这样的规律。
而在一定的范围内,P肥和K肥的用量对农作物产量的影响将随着其用量的增加而一直增加,只是当P肥和K肥的用量较少时,随着其用量的增加,农作物产量增加较快,而当P肥和K肥的用量较多时,随着其用量的增加,农作物产量增加不大。
从上面的土豆和生菜产量与P肥或K肥用量的数据图上可以看到这样的规律。
具有这种特点的函数关系在数学上用二次多项式就能较好地反映出来。
当然也可以考虑用分段函数来描述。
为简单起见,下面在拟合这些函数时都用二次多项式。
在实验数据中,K肥料施用量与生菜产量的实验数据波动性较大,这种产量与肥料的施用量的关系在农作物中是很少出现的现象。
如果从数据图形的整体来看,其实K肥料施用量与生菜产量的实验数据的特点还是与上面所说的情况相似的,其波动性可看作是实验误差。
要利用实验数据来拟合出这些函数关系,显然,如果实验数据越多、数据分布越合理,则拟合的效果就越好。
这样拟合出来的函数,其所反映出来的规律就越符合实际情况。
例如,应当给出充分多的数据,且这些数据应当是在N、P、K三种肥料的不同用量下的产量数据。
又比如,应该有这样的数据:当N、P、K三种肥料中某两种肥料限制在不同的固定值时,相应地,第三种肥料取不同值时的产量数据,这样才有可能反映出N、P、K 三种肥料在对农作物产量的共同影响时的相互影响的规律。
但事实上,这里所给出的实验数据非常有限,而且很不均匀,所以用现有的数据来拟合N、P、K的施用量与产量之间的函数关系,并根据这些函数的性质所推断出的施肥量与产量之间的关系,其可信性是有限的。
另外,拟合每一种肥料的施用量与产量的函数时,其余两种肥料的用量都是限制在一个数值上的,其结果通常也只能得到,当相应的另两肥料的用量在所限制的数值下的情况。
虽然我们得到的结果可能有一定的局限性,但这里所用到的方法却是处理这类问题的常用方法,从建立模型的角度来说,还是值得讨论的。
如果要想得到更精确的结果,只需要有更多的产量施肥量实验数据,再用本文中给出的模型讨论即可。
用这些函数来讨论施肥效果产量与施肥量的函数关系,有两种方式,一种是对三种肥料施用量与产量分别来拟合相应的函数,这需要拟合三个函数,每个函数都是一元函数,这种做法可以使拟合的效果较好。
另一种是考虑三种肥料共同对产量的影响,这只需要拟合出一个函数,这是一个三元函数,且由于数据量偏少且不均匀等的原因,拟合效果要差一些,但这是讨论肥料施用量与产量的全局最优解所必须的。
下面分别来讨论。
1.1模型1对三种肥料的用量与土豆和生菜产量分别拟合相应的函数讨论一种肥料的用量与产量的关系时,其它两种肥料的用量都固定在第7种水平,三种肥料的用量分别是:土豆n07=0.5499,p07=k07=0.5714;生菜n17=0.57149,p17=0.5708,k17=0.5714。
先考虑土豆与每一种肥料用量的函数关系,我们利用所给数据来拟合这些函数关系。