人教版高数必修四第2讲：任意角的三角函数(学生版)

5-2任意角的三角函数1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题.（一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：=r ____________________1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

（二）单位圆与三角函数线：1.三角函数线的定义：当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足____________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

2.有向线段：____________________________规定：与坐标轴方向一致时为_____，与坐标方向相反时为______。

3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====_________________， cos 1x x x OM r α====_______________，tany MP AT AT x OM OA α====_______________ 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

5.三角函数在各象限符号：任意角的三角函数符号的记忆方法：ox y M TP Ax yoMTPA （Ⅳ）（Ⅰ）（Ⅲ）全正正切正余弦正正弦正xyo口诀：“全正切余”可音译为“全是天才” （三）同角三角函数的基本关系：1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系:________________ （2）平方关系:___________________类型一：任意角的三角函数例1．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三个函数制值。

练习：已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.例2．求下列各角的三个三角函数值：（1）0； （2）π； （3）32π．类型二：三角函数的定义与三角函数的符号 1.利用三角函数值的符号确定角的终边所在的象限 例3 确定下列三角函数值的符号 （1）ocos250； （2）sin()4π-； （3）o tan(672)-； （4）11tan3π. 练习：1.点oo(sin(20),tan 280)P -位于第________象限；2.sin1，cos1，tan1的大小关系是_________________(用“<”号连接).例 4 已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3:4(且均不为零)，求2sin cos αα+的值.练习：设角α的终边过点(5,12) (0)P a a a -≠，求sin α、cos α和tan α的值.类型三：同角三角函数的基本关系例5. 已知4sin 5α=，(,)2παπ∈，求cos α、tan α的值．练习： 1.已知1cos 4θ=，(,0)2πθ∈-，求sin θ、tan θ.2.已知3(,)2παπ∈，tan 2α=，求cos α.例6.证明sin tan tan (cos sin )sin cot csc αααααααα+-+=+练习： 1.证明1sin 1cos tan cot 1cos 1sin θθθθθθ--⋅=⋅++例7.已知 3sin(3)2sin()2ππαα+=+，求下列各式的值： （1）sin 4cos ;5sin 2cos αααα-+ （2）2sin sin 2αα+练习：1.已知tan 2θ=,则22sinsin cos 2cos θθθθ+-=（ ）4.3A -5.4B 3.4C - 4.5D例8．已知1sin cos 5ββ+=，且0βπ<<．求sin cos ββ、sin cos ββ-的值；练习：1.已知2sin cos 2αα+=，求2211sin cos αα+的值.1.(文)(2011·绵阳二诊)已知角A 同时满足sin A >0且tan A <0，则角A 的终边一定落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2.(理)(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三角限角D ．第四象限角3．已知点P (－3,4)在角α的终边上，则sin α＋cos α3sin α＋2cos α的值为( )A ．－16B.16C.718D ．－14.(理)(2011·海口模拟)已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )A ．(π4，π2)B ．(π，5π4)C ．(3π4，5π4)D ．(π4，π2)∪(π，5π4)5.(理)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22C ．－1D ．16．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.7．(2011·江西文)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.8.(理)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A （cosα，35），则cos α－sin α＝________.9．已知角θ的终边上有一点M (3，m )，且sin θ＋cos θ＝－15，则m 的值为________．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．(2014·全国大纲文，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A ．45B ．352．若sin θ·cos θ<0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限 3．已知角α的终边经过点P (－b,4)，且sin α＝45，则b 等于( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5∴b ＝±3.4．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C5．点A (sin2 014°，cos2 014°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．已知角α的终边上一点P (－8m,15m )(m <0)，则cos α的值是( ) A ．817B ．－817C ．817或－817D ．根据m 确定二、填空题7．(2014·四川成都市树德协进中学高一阶段测试)已知角α终边上一点P (5,12)，则sin α＋cos α＝________.8．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第__________象限角． 三、解答题9．求函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x |tan x |的值域．能力提升一、选择题1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－cot α<0D ．cot αcsc α<02．下列说法正确的是( )A ．正角的三角函数值是正的，负角的三角函数值是负的，零角的三角函数值是0B ．角α终边上一点为P (x ，y )，则sin α的值随y 的增大而增大C ．对任意角α，若α终边上一点坐标为(x ，y )，都有tan α＝yxD ．对任意角α(α≠k π2，k ∈Z )，都有|tan α＋cot α|＝|tan α|＋|cot α|3．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( )A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上 4．若角α的终边在直线y ＝3x 上且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4二、填空题5．函数y ＝tan x ＋lgsin x 的定义域为________．6．若点P (3a －9，a ＋2)在角α的终边上，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题7．求函数f (x )＝sin x ＋lg (9－x 2)cos x 的定义域．8．已知角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．9．已知：cos α<0，tan α<0. (1)求角α的集合；(2)求角α2的终边所在的象限；(3)试判断sin α2、cos α2、tan α2的符号．。