数学56《解斜三角形》教案(沪教版高一)

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高三数学一轮复习---解斜三角形(复习)公开课教案

解斜三角形（复习）公开课教案[教学目标]一：巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握，并能熟练地运用公式解决问题。

二：培养学生分析、演绎和归纳的能力。

[教学重点]正弦、余弦、面积公式的应用。

[教学难点]选择适当的方法解斜三角形。

[教学过程]一：基本知识回顾：1.1、正弦定理及其变形；正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 是三角形外接圆的半径）变式一：sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2cC R=变式二：sin :sin :sin A B C ::a b c =1.2、余弦定理及其变形；余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，变式：222cos 2b c a A bc+-=2222cos b a c ac B =+-， 222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-。

222cos 2a b c C ab+-=1.3、面积公式二：例题分析：1、正弦定理（1）在△ABC 中，已知，则 sin B= ( ) （2）在△ABC 中，若a = 2 ,b =030A = , 则B 等于60︒或120︒111sin sin sin 222S ab C bc A ac B===4,303a b A ===︒2、余弦定理（1）在△ABC 中，满足 ,则A ＝ 60°（2）已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为A ．41-B ．41C ．32-D ．32 3、三角形解的个数（1）在△ABC 中，已知 ,这个三角形解的情况是:（ C ）A.一解B.两解C.无解D.不能确定（2）△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC（）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定4、判断三角形形状（1）若cCb B a A cos cos sin ==则△ABC 为（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形（2）关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形5、正余弦定理的实际应用（1）有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里（2）10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。

高一数学解斜三角形的应用教案

某某省某某市高级中学高一数学解斜三角形的应用课题:解斜三角形的应用教学设计:创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的。

本节教学中,我们充分利用课本的例题创设问题情景，旨在帮助学生学生从实际问题中抽象出数学模型，学会运用正弦定理和余弦定理解斜三角形，指导学生学会探索和归纳数学规律的思想方法和策略，培养学生的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意识和实践能力。

充分利用学生资源，从多方位、多角度着手，让学生参与创造性的数学活动，让应用意识化为信念，伴随着学生的学习与生活，成为终生享用的财富。

例题多解教学是发展学生的主体性，让学生成为解题方法的发现者，教师成为例题多解的策划者，课堂教学过程的控制者，学生解题方法的欣赏者评价者，学生思维发展的梳理升华者。

教学目标:知识与能力:（1）使学生掌握利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的方法，学会分析在实际问题中何时运用正弦定理，何时运用余弦定理。

（2）通过在解决实际问题中应用解斜三角形的知识，逐步培养学生发现问题、提出问题和明确探究方向的数学建模能力。

过程与方法:（1）使学生会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。

（2）提高学生将实际问题转化为数学问题的能力,了解转化、化归与数形结合的数学思想方法.情感态度价值观:发挥学生的主体作用，让学生体验数学思维活动的过程和成功的喜悦，从而形成合作交流的学习气氛，。

教学重点：解斜三角形在实际中的应用，关键是把实际问题转化为解三角形的问题来解决．教学难点：数学建模教学方法和教学手段：引导分析法，案例教学，以计算机辅助教学，应用软件：几何画板．教学过程一．创设问题情景阅读例题：[例1] 自动卸货汽车的车箱采用液压机构。

设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（图5—40）。

已知车箱的最大仰角为60O ，°油泵顶点B 与支点A 之间的距离为，AB 与水平线之间的夹角为6O 20’，AC 长为，计算BC 的长（保留三个有效数字）。

高中数学必修一高一数学第五章(第课时)解斜三角形应用举例(一)公开课教案课件课时训练练习教案课件

课题：解斜三角形应用举例（1）教学目的： 1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法； 2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发式在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理教学过程：一、复习引入：1．正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 222-+= 3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用二、讲解范例：例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1．95ｍ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1．40ｍ，计算BC 的长(保留三个有效数字) 分析：求油泵顶杆BC 的长度也就是在△ABC 内，求边长BC 的问题，而根据已知条件，AC ＝1．40ｍ，AB ＝1．95ｍ，∠BAC ＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC 可根据余弦定理解：由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571∴BC ≈1．89 （ｍ）答：油泵顶杆B C 约长1．89 ｍ评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间分析：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为ｘｈ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC 已知，BC 、AB 均可用ｘ表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题解：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为ｘｈ，则AB ＝21ｘ海里，BC ＝9ｘ海里，AC ＝10 海里，∠ACB ＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°，根据余弦定理，可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°得(21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2×10×9ｘcos120°，即36ｘ2－9ｘ2×10＝0解得ｘ1＝32，ｘ2＝－125 (舍去) ∴AB ＝21ｘ＝14，BC ＝9ｘ＝6再由余弦定理可得cos ∠BAC ＝,9286.010142610142222222=⨯⨯-+=⋅⋅-+AC AB BC AC AB ∴∠BAC ＝21°47′，45°＋21°47′＝66°47′所以舰艇方位角为66°47′，32小时即40分钟答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°）在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利余弦定理例3用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β，已知B 、D 间的距离为a ，测角仪的高度是b ，求气球的高度分析：在Rt △EGA 中求解EG ，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC 中有较多已知条件，故可在△EAC 中考虑EA 边长的求解，而在△EAC 中有角β，∠EAC ＝180°－α两角与BD ＝a 一边，故可以利用正弦定理求解EA 解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α－β，根据正弦定理，得AE ＝)sin(sin βαβ-a 在Rt △AEG 中，EG ＝AE sin α＝)sin(sin sin βαβα-a ∴EF ＝EG ＋b ＝)sin(sin sin βαβα-a ＋b ，答：气球的高度是)sin(sin sin βαβα-a ＋b 评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设EG ＝ｘ，在Rt △EGA 中，利用cot α表示AG ；在Rt △EGC 中，利用cot β表示CG ，而CG －AG ＝CA ＝BD ＝a ，故可以求出EG ，又GF ＝CD ＝b ，故EF 高度可求例4如图所示，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值分析：要求四边形OPDC 面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P 在半圆上运动与∠POB 大小变化之间的联系，自然引入∠POB ＝θ作为自变量建立函数关系四边形OPDC可以分成△OPC 与等边△PDC ，Ｓ△OPC 可用21·OP ·OC ·sin θ表示，而等边△PDC 的面积关键在于边长求解，而边长PC 可以在△POC 中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决解：设∠POB ＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC 中，由余弦定理得： PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ∴ｙ＝Ｓ△OPC ＋Ｓ△PCD ＝θsin 2121⨯⨯＋43(5－4cos θ) ＝2sin(θ－3π)＋435 ∴当θ－3π＝2π即θ＝65π时，ｙmax ＝2＋435 评述：本题中余弦定理为表示△PCD 的面积，从而为表示四边形OPDC 面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β的构造及逆用，应要求学生予以重视三、课堂练习：1如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以103海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间解：设辑私船应沿CD 方向行驶ｔ小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103ｔ海里，BD ＝10ｔ海里∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝（3－1）2＋22－2（3－1）·2cos120°＝6, ∴BC ＝6226120sin 2sin sin sin sin =︒=⋅=∴=BC A AC ABC ABC AC A BC∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°,21310120sin 10sin sin sin sin =︒⋅=⋅=∴=t t CD CBD BD BCD CBD CD BCD BD ∴∠BCD ＝30°,∴∠DCE ＝90°－30°＝60°由∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°得∠D ＝30° ∴BD ＝BC ，即10ｔ＝6∴ｔ＝106 (小时)≈15(分钟) 答：辑私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟四、小结通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

高中数学必修一高一数学第五章(第课时)解斜三角形应用举例()公开课教案课件课时训练练习教案课件

课题：解斜三角形应用举例（2）教学目的： 1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用； 2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化； 3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法：自学辅导法在上一节学习的基础上，引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型，自己尝试求解应用题在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力得到锻炼教学过程：一、复习引入：上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决二、讲解范例：例1如图，是曲柄连杆机的示意图当曲柄CB 0绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作直线往复运动当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A O 处设连杆AB 长为340 ｍｍ，曲柄CB 长为85 ｍｍ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(即连杆的端点A 移动的距离A 0A )(精确到1 ｍｍ)分析：如图所示，因为A 0A ＝A O C －AC ，又知A O C ＝AB ＋BC ＝340＋85＝425，所以只要求出AC 的长，问题就解决了在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出AC解：在△ABC 中，由正弦定理可得sin A ＝.2462.034080sin 85sin =︒⨯=AB C BC 因为BC ＜AB ，所以A 为锐角，得A ＝14°15′∴B ＝18O °－（A ＋C ）＝18O °－（14°15′＋8O °）＝85°45′ 由正弦定理，可得AC ＝.3.3449848.05485sin 340sin sin mm C B AB ='︒⨯= 因此，A O A ＝A O C －AC ＝(AB ＋BC ）－AC ＝(34O ＋85)－3443＝8O 7≈81（ｍｍ）答：活塞移动的距离约为81ｍｍ评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围要求学生注意解题步骤的总结：用正弦定理求A −−−→−内角和定理求B −−−→−正弦定理求AC →求A O A例2 如图，为了测量河对岸A 、B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，∠ADC ＝ｓ，试求AB 的长分析：如图所示：对于AB 求解，可以在△ABC 中或者是△ABD 中求解，若在△ABC 中，由∠ACB ＝α－β，故需求出AC 、BC ，再利用余弦定理求解而AC 可在△ACD 内利用正弦定理求解，BC 可在△BCD 内由正弦定理求解解：在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝α，∠ADC ＝δ，由正弦定理得AC ＝[])sin(sin )(180sin sin δαδδαδ+=+-︒a a 在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝[])sin(sin )(180sin sin γββγββ+=+-︒a a 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝α－β，所以用余弦定理,就可以求得AB ＝)cos(222βα-⋅⋅-+BC AC BC AC评述：(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用(2)注意体会例2求解过程在实际当中的应用例3 据气象台预报，距S 岛300 ｋｍ的A 处有一台风中心形成，并以每小时30 ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响问：S 岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由分析：设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤27O 这一不等式是否有解的判断，则需表示SB ，可设台风中心经过ｔ小时到达B 点，则在△ABS 中，由余弦定理可求SB 解：设台风中心经过ｔ小时到达B 点，由题意，∠SAB ＝9O °－3O °＝6O °在△SAB 中，SA ＝3OO ，AB ＝3O ｔ，∠SAB ＝6O °，由余弦定理得：SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos SAB＝3OO 2＋（3O ｔ）2－2·3OO ·3O t cos6O °若S 岛受到台风影响，则应满足条件｜SB ｜≤27O 即SB 2≤27O 2化简整理得ｔ2－1O ｔ＋19≤O解之得 5－6≤ｔ≤5＋6 所以从现在起，经过5－6小时S 岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束持续时间：(5＋6)－（5－6）＝26小时答：S 岛受到台风影响，从现在起，经过（5－6）小时，台风开始影响S 岛，且持续时间为26小时例 4 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为03，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为195米，AB 与水平线之间的夹角为6︒20’，AC 长为140米，求货物开始下滑时BC 的长解：设车箱倾斜角为θ，货物重量为mgθμμcos mg N f ==当θθμsin cos mg mg ≤即θμtan ≤时货物下滑当θμtan = 时， θtan 3.0=， '42163.0arctan==θ∠BAC='0223'206'4216 =+在△ABC 中: BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222787.10'0223cos 40.195.1240.195.122=⨯⨯⨯-+=，28.3=BC三、课堂练习：1海中有一小岛B ，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A ，望见岛在北75°东，航行8海里到C ，望见岛B 在北6O °东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险? 答案：不会触礁 2直线AB 外有一点C ，∠ABC ＝6O °，AB ＝2OO ｋｍ，汽车以8O ｋｍ／ｈ速度由A 向B 行驶，同时摩托车以5O 公里的时速由B 向C 行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小答案：约13小时四、小结通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力五、课后作业：1．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C =3∶2∶4，那么cos C 的值为（） A ．－41 B ．41 C ．－ 32 D ．32 分析：先用正弦定理：C c B b A a sin sin sin ==可求出a ∶b ∶c =3∶2∶4，所以可设a =3k ,b =2k ,c =4k ,再用余弦定理：k k k k k C ab c b a C 2321649cos 2cos 222222⋅⋅-+=-+=可得即.41cos -=C 答案：A2．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度解：如图所示，∠SMN =15°+30°=45°，∠SNM =180°－45°－30°=105° ∴∠NSM=180°－45°－105°=30°)26(2021)26(10)26(10105sin 2030sin -=÷--=∴︒=︒MN MN 由正弦定理答：货轮的速度为)26(20-里/小时3．△ABC 中，a+b =10，而cos C 是方程2x 2－3x －2=0的一个根，求△ABC 周长的最小值分析：由余弦定理可得C ab b a c cos 2222-+=，然后运用函数思想加以处理解：02322=--x x 21,221-==∴x x 又∵cos C 是方程2x 2－3x －2=0的一个根 21cos -=∴C 由余弦定理可得ab b a ab b a c -+=-⋅-+=2222)()21(2则75)5()10(10022+-=--=a a a c当a=5时，c 最小且c =3575= 35103555+=++=++c b a 此时∴△ABC 周长的最小值为3510+4．在湖面上高h 米处，测得云的仰角为α,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为β，试证：云高为)sin()sin(αββα-+⋅h 米分析：因湖而相当于一平面镜，故云C 与它在湖中之影D 关于湖面对称，设云高为x =CM ，则从△ADE ，可建立含x 的方程，解出x 即可解：如图所示，设湖面上高h 米处为A ，测得云的仰角为α，而C 在湖中的像D 的俯角为β，CD 与湖面交于M ，过A 的水平线交CD 于E ，设云高CM =x 则CE =x －h ，DE =x+hh x h x h x h x AE h x AE ⋅-+=+=-∴+=-=αβαββαβαtan tan tan tan cot )(cot )(cot )(cot )(解得且h ⋅-+=αβαβαβαβαβαβcos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin )()sin()sin(米αββα-+⋅=h 5．在某定点A 测得一船初始位置B 在A 的北偏西α1处，十分钟后船在A 正北，又过十分钟后船到达A 的北偏东α2处若船的航向与程度都不变，船向为北偏东θ，求θ的大小(α1＞α2)分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题解：如图所示，在△ABC 中，由正弦定理可得： )sin(sin ,)](sin[sin 1111αθααθπα+=+-=AC BC AC BC 即 ① 在△ACD 中，由正弦定理可得：)sin(sin ,)sin(sin 2222αθααθα-=-=AC CD AC CD 即 ② 根据题意，有BC=CD∴由①、②得：)sin(sin )sin(sin 2211αθααθα-=+ 即 )sin(sin )sin(sin 1221αθααθα+⋅=-⋅)sin(sin sin 2tan sin sin cos 2)sin(sin )sin cos cos (sin sin )sin cos cos (sin sin 21212121112221ααααθααθααθαθαθααθαθα-==-+=-∴则即)sin(sin sin 2arctan 2121ααααθ-=所以（α1＞α2） 6．（1998年全国高考题）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c =2b ,A －C =3π,求sin B 的值解：∵a+c =2b ,∴sin A +sin C =2sin B由和差化积公式得2cos 2sin 42cos 2sin 2B B C A C A =-+ 3,02cos 2sin π=->=+C A B C A 432sin 2sin 223==∴B B 即 20π<<B 4132sin 12cos 2=-=∴B B 8394134322cos 2sin 2sin =⨯⨯==B B B 于是六、板书设计（略）七、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

沪教版高三一轮学案——5.4解斜三角形

5.4解斜三角形学习目标：1，熟练掌握正弦定理，余弦定理与斜三角面积公式2，能够利用两个定理解决“两角一边”、“两边一对角”、“两边一夹角”、“三边”类型的斜三角问题3，能够利用两个定理探索三角形边与角的关系，借以判断三角形的形状4，能够应用斜三角相关知识解决简单的实际问题（应用题）例1、(1)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝75°，a ＝5，则c = ．（2）在△ABC 中，12,45b a A ==∠=︒，求B ∠练习： (1) 在△ABC 中, 4B π∠=, 3c a ==,求sin A ∠(2) ABC ∆中，sin :sin :sin 7:8:13,A B C C ==则（2）在△ABC 中，已知5,4,2a b A B ===，求cos B .例2、在ABC ∆中，2,1b c c ===，求该三角形面积练习：（1）在△ABC 中，a ＝3，b ＝4，ABC S ∆=C ∠（2）在ABC ∆中，若2224ABC a b c s ∆+-=，求C ∠.例3、在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c 若cos cos sin ,b C c B a A +=,则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定练习：已知ABC △的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c 满足：（1）sin sin a A b B =，判断△ABC 的形状（2）()22a b c ab +-=，判断△ABC 的形状（3）C B A 222sin sin sin >+，判断△ABC 的形状例4、（08上海）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处小区里有两条笔直的小路AD DC 、，且拐弯处的转角为120︒，已知某人从C CD D 沿走到用了10分钟，从D DA A 沿走到用了6分钟，，若此人的步行速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）练习（1）ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为（2）某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东45︒方向，它向正北方向航行12海里到达B 处，看灯塔S 在北偏东75︒方向，求此时货轮到灯塔S 的距离（精确到0.1海里）如图，在综合练习：在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知A B A B A cos )cos()cos(=-++.(1)求B 的大小; (2)若,6=c 72=b ,求ABC ∆的面积.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=．（1）求cos B ；（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．3、在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.。

高一数学沪教版必修一正弦定理、余弦定理和解斜三角形

2
2
2
例1.在 ABC 中，c 10, A 130, B 30
求a,b 和该三角形的面积.
C
(结果保留至个位数)
解：C 180 130 30 20
a
c sin A sin C
10 sin 130 sin 20
22
A
B
同理：b
c sin B sin C
10sin 30 sin 20
解得 a b 或 c2 a2 b2
所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解毕
例2.若锐角ABC 的三边长分别是 a, a 1, a 2 ，
试确定 a 的取值范围.
解：由两边之和大于第三边，aa
0 (a
1)
a
2
解得 a 1 由最大角为锐角，得 a2 (a 1)2 (a 2)2 0
课堂练习答案
4.在
ABC
中，求证：a b
c c
cos cos
B A
sin sin
B A
证：左边=
2R sin A 2R sin C cos B 2R sin B 2R sin C cos A
sin sin
A B
sin sin
C C
cos cos
B A
sin(B sin( A
C) C)
例4.一艘海轮从A 出发，沿北偏东75 的方向航行
67.5海里后到达海岛 B ，然后从 B 出发，沿北偏
东 32 的方向航行54.0海里后到达海岛C .如果下次
航行直接从 A 出发到 C精确到 0.1)
A
67.5
解: ABC (180 75 ) 32 137
该三角形为等腰三角形. 解毕

高一数学教案：解斜三角形应用举例(2)

用正弦定理求A-内角和定理，求B -正弦定理一；求AO 求 AA课题：解斜三角形应用举例(2) 教学目的：1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用； 2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 ”教学重点：1实际问题向数学问题的转化； 2解斜三角形的方法.教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法：自学辅导法在上一节学习的基础上，引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型，自己尝试求解应用题.在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力得到锻炼+ 教学过程：一、复习引入：上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧 .这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决 .二、讲解范例：例1如图，是曲柄连杆机的示意图’当曲柄CB 0绕C 点旋转时，通过连杆 AB 的传递，活塞作直线往复运动*当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 A 在A 处*设连杆AB 长为340 mm,曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 按顺时针方向旋转 80 °,求活塞移动的距离(即连杆的端点 A 移动的距离A o A )(精确到1 mm )*分析：如图所示，因为 A )A = AC - AC 又知 AB AB^ BC= 340 + 85= 425，所以只要求出AC 的长，问题就解决了 .在△ ABC 中,已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出 AC解：在△ ABC 中，由正弦定理可得BCsinC 85 sin80 sin A =0.2462.AB 340因为BC k AB 所以A 为锐角，得 A = 14° 15'・ ••• B = 18O°-( A + C )= 18O°-( 14° 15 ' + 80° 由正弦定理，可得AC= AB 遊=340 sin85 45 = 344.3mmsi nC 0.9848因此，A o A = AC — AC= (AB^ BC ) — AC= (340+ 85) — 3443 = 8O7~ 81 (mm) 答：活塞移动的距离约为 81mm ・评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围意解题步骤的总结：)=85° 45'•要求学生注例2如图，为了测量河对岸 A 、B 两点间的距离，在这一岸定一基线 CD 现已测出 CD= a和/ ACD= a ，/ BCD= 3，/ BDC= Y ，/ ADC= s ，试求 AB 的长.分析：如图所示：对于 AB 求解，可以在厶 ABC 中或者是△ ABC 中求解，若在△ ABC 中, 由/ ACB= a - 3，故需求出 AC BC 再利用余弦定理求解+而AC 可在△ ACD 内利用正弦定理求解，BC 可在△ BCD 内由正弦定理求解.解：在△ ACD 中，已知 CD= a ,/ ACD= a ，/ ADC= S ，由正弦定理得在厶ABC 中,已经求得 AC 和 BC 又因为/ ACB= a 余弦定理，就可以求得评述：(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用•(2)注意体会例2求解过程在实际当中的应用・例3据气象台预报，距 S 岛300 km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时 30 km 的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响 +问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由.分析：设B 为台风中心，则 B 为AB 边上动点，SB 也随之变化*S 岛是否受台风影响可转化为SB< 270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB 可设台风中心经过 t 小时到达B点，则在△ ABS 中，由余弦定理可求 SB 解：设台风中心经过 t 小时到达B 点，由题意，/ SAB= 90°— 30 = 60在△ SAB 中，SA= 3OO AB= 30t , / SAB= 60°, 由余弦定理得：S^= SA + A B — 2SA- AB- cos SAB.zV it=300+( 30t ) 2— 2 - 300 3C t cos6O 。

沪教版数学高一下册-5.6：正弦定理、余弦定理和解斜三角形- 实物测量教案

《实物测量》一、教材分析《实物测量》选自高中一年级数学第二学期（上海教育出版社）第五章的探究与实践内容。

这是继解斜三角形之后的一节数学探究课，将生活中无法直接测量高度的实际问题转化为数学问题，培养学生数学建模的能力。

二、学情分析在本节课之前，学生已经学习并掌握了解斜三角的基本方法，并能用解斜三角形的知识解决简单的应用题。

初中时，学生曾探究过利用解直角三角形和相似三角形的知识测量旗杆高度的问题，而本节课，通过障碍物的设计，将问题转化为学生刚学过的解斜三角形问题，对学生提出了更高的要求。

本节课通过课前活动、课上展示的方式，激发学生对数学学习的热情。

三、教学目标和学习目标1、运用解斜三角形的知识解决实物测量问题。

2、通过实物测量，经历实验方案制定、数据记录、计算验证、小结评价的过程，初步形成数学应用意识和数学建模能力。

3、通过测量活动，激发学生对数学的兴趣，培养学生合作意识，获得在活动中克服困难，运用知识解决问题的成功体验.四、教学重点与难点重点：运用解斜三角形的知识解决实物测量问题。

难点：在实物测量的过程中，建立恰当的数学模型。

五、课前准备（1）学生课前自制测角仪。

（2）学生课前设计测量方案，并对学校的旗杆高度进行实地测量。

（3）完成实物测量报告单。

（见附件）（4）教师课件制作。

六、教学过程七、教学反思本节课，通过实地测量，课堂展示，讨论质疑，激发了学生对数学的学习兴趣。

但在教学过程中，难免存在着一些不足之处。

首先，教师作为课堂的引导者，应该在学生展示、质疑时，及时介入，将学生展示的数学模型以数学更准确、精炼的方式提炼出来。

同时，在学生展示、讨论的过程中，教师应对学生出现的问题和可以优化的地方及时进行指导，充分发挥出教师的引领作用。

在学生展示讨论之后，也可以安排一个评比环节。

让学生选出模型中的最佳方案。

让学生感受到哪个模型可以使实地测量更有可操作性，可以提高最后计算的准确度。

课上，在学生讨论用相机拍照测量是否可行的问题时，纠结了过多时间，也导致后面第二个环节测两个旗杆顶端距离的问题没有得以讨论。

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5.6 (3) 解斜三角形
上海市杨浦高级中学杨玉珠
一、教学内容分析
本节课是高中数学第五章三角比中第三单元的第三节课，学生已在前两节学习了正弦定理和余弦定理，知道了任意三角形的边角满足的数量关系式，这节课是利用这两个定理来解决实际生活的相关问题.
本小节的重难点是如何利用正弦定理、余弦定理来解决斜三角形，能够正确审题，将实际问题数学化是关键.通过本节课的学习更加明确数学来源于生活，又服务于生活. 二、教学目标设计
加深理解正弦定理和余弦定理的内容：任意三角形的边角数量关系及其应用.体验正弦定理、余弦定理解决实际问题的过程；深刻理解任意三角形的边角数量关系并灵活运用定理解三角形；通过实际问题的解决，感受数学与生活的密切关系，激发学习数学的热情，增强学习数学的动力.
三、教学重点及难点教学重点
用正弦定理、余弦定理解斜三角形问题. 教学难点
用适当的方法解斜三角形及计算问题. 四、教学流程设计
12、正弦定理的两个应用：
（1）已知三角形中两角及一边，求其他元素；
（2）已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. 3、余弦定理及其变形：在ABC ∆中有：A bc c b a cos 22
2
2
-+=
B ac c a b cos 2222-+=
C ab b a c cos 2222-+=
.2cos ,2cos ,2cos 2
22222222ab
c b a C ac b a c B bc a c b A -+=-+=-+=
4、余弦定理的两个应用：
（1）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角；
（2）已知三边，求三个内角.
[说明]学生回答. 二、学习新课 1、例题解析
例1、已知∆ABC 中，∠A 0
60=，=3a ,求sin sin sin a b c
A B C ++++
解：设sin
sin a b A B =(>o)sin c
k k C ==
则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =
从而
++++==++++sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c k A k B k C
k A B C A B C
又sin a
A
=
03
2sin60k
==，所以
++=++2sin sin sin a b c
A B C
[说明]在∆ABC 中，等式sin sin a b A B =sin c
C == ()++=>++0sin sin sin a b c
k k A B C
恒成立.
这个k 是∆ABC 的外接圆直径,即k=2R.
例2、C B A b a c ABC ,,326,62,34，求中，在+===∆ 解：由已知，,b c a <<得B 最大，由余弦定理得
22
sin sin ,105,0426cos 0===∴<--
=b B c C B B 再由正弦定理得，
又0
0001054530,45,====∴>B C A C c b 于是
例3如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）．
[说明] 最大仰角是车厢立起的最大角度．
解：已知△ABC 的两边AB ＝1.95m ，AC ＝1.40m ，夹角A ＝66°20′，
由余弦定理，得
C
A
B
60o
620'
o
答：顶杆约长1.89m.
[说明] 由学生解答，教师巡视并对学生解答进行讲评小结．
例4、如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 处，设连杆AB 长为340mm ，由柄CB 长为85mm ，曲柄自CB 按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离
）（精确到1mm ）
[说明]：B 与0B 重合时，A 与0A 重合，故C A 0＝AB ＋CB ＝425mm ，且A A 0＝ C A 0－AC ．
解：已知△ABC 中， BC ＝85nun ，AB ＝34mm ，∠C ＝80°，
在△ABC 中，由正弦定理可得：
因为BC ＜AB ，所以A 为锐角
A ＝14°15′
∴ B ＝180°－（A ＋C ）＝85°45′
又由正弦定理：
答：活塞移动的距离约为81mm ．
例5、如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ，求此山对于地平面的斜度θ. 解：在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15︒, ∠ACB = 45︒-15︒ = 30︒
由正弦定理：οο
15sin 30
sin 100BC
= ∴BC = 200sin15︒ 在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45︒, ∠CDB = 90︒ + θ 由正弦定理：
)
90sin(15sin 20045sin 50θ+︒︒
=︒ ⇒cos θ =13- ∴θ = 42.94︒
例6、某船在距救生艇A 处10 海里的C 处遇险，测得该船的方位角为45︒，还测得该船正沿方位角105︒的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，救生艇以每小时21 海里的速度前往营救，试求出该救生艇的航向及与它们相遇所需时间. 解：设所需时间为t 小时，在点B 处相遇（如图）
在△ABC 中，∠ACB = 120︒,
AC = 100, AB = 21t, BC = 9t
由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2 - 2×10×9t×cos120︒ 整理得：36t2 -9t - 10 = 0 解得：12
5,3221-==t t （舍去）
由正弦定理：1433322123)329(sin sin 120sin =⨯
⨯
⨯=
∠⇒∠=CAB CAB
BC AB ο
143
3arcsin
=∠∴CAB
例7、我舰在敌岛A 南偏西50°相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追
上敌舰？
[说明]已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角
45︒
105︒
A
B
C A
D
C B θ
45︒ 15︒ 50
100
解：如图，在△ABC 中由余弦定理得：
∴我舰的追击速度为14海里/小时.
又在△ABC 中由正弦定理得：
故我舰行的方向为北偏东 )14
3
5arcsin
50(-︒ 三、课堂小结
解斜三角形应用题的一般步骤是：
1、分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
2、建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
3、求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
4、检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
即解斜三角的基本思路
五、课后作业略。