《线性代数》—行列式的定义和性质
行列式与行列式的性质
行列式与行列式的性质行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论、线性方程组的求解以及向量空间的性质研究等方面都起到了至关重要的作用。
本文将从行列式的定义、性质以及应用等方面进行论述，以便更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义行列式是一个方阵所具有的一个标量值，它可以用来描述方阵的性质和特征。
对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其行列式记作det(A)或|A|，其中i和j分别代表矩阵中的行和列。
二、行列式的性质1. 行列式与矩阵的转置对于一个方阵A，其行列式与其转置矩阵的行列式相等，即det(A)=det(A^T)。
这个性质可以通过矩阵的定义和性质进行证明。
2. 行列式的可加性对于两个n阶方阵A和B，有det(A+B)=det(A)+det(B)。
这个性质可以通过行列式的定义和矩阵的性质进行证明。
3. 行列式的乘法性质对于一个n阶方阵A和一个标量k，有det(kA)=k^n*det(A)。
这个性质说明了行列式与矩阵的数乘之间的关系。
4. 行列式的行交换性对于一个n阶方阵A，如果将其两行进行交换，那么行列式的值会改变符号，即det(A)=-det(A')，其中A'是A进行行交换后的矩阵。
5. 行列式的行倍性对于一个n阶方阵A，如果将其某一行乘以一个非零标量k，那么行列式的值也会乘以k，即det(kA)=k*det(A)。
三、行列式的应用1. 线性方程组的求解行列式可以用来求解线性方程组的解，通过行列式的性质可以得到线性方程组是否有唯一解、无解或者有无穷多解。
2. 矩阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于零，即det(A)≠0。
这个性质可以用来判断一个矩阵是否可逆。
3. 矩阵的秩矩阵的秩可以通过行列式的概念来定义，对于一个n阶矩阵A，其秩r等于其非零子式的最高阶数。
行列式的性质可以帮助我们计算矩阵的秩。
4. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量可以通过行列式的性质来计算，特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足A*x=λ*x，其中A是矩阵，x是特征向量，λ是特征值。
行列式的性质与运算法则
行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。
行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。
一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。
2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。
3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。
二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。
1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。
3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。
4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。
三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。
1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。
利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。
2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
线性代数行列式
行列式一、 行列式的定义对于n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nin n a a a a a a a a a A 22222111211， （11—2—1）与之相联系的一个数，表示成nnn ninna a a a a a a a a22222111211， （11—2—2）称为一个n 阶行列式或A 的行列式，记为A 或A det 。
在行列式中，ij a 也称为元素。
为了规定行列式的值，我们引入下面的概念。
定义 1 在方阵（11—2—1）中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的()21-n 个元素按原来的排法构成的一个1-n 阶行列式nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-，称为元素ij a 的余子式，记为ij M 。
()ij ji M +-1称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A 。
例1 在四阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----132********33112 中，第2行第3列的元素5的余子式是12420131223--=M 。
而其代数余子式为()321+-乘它的余子式M ，即12420131223---=A 。
定义2 一阶行列式只有一个元素，其值就规定为这个元素的值。
n 阶行列式（2≥n ）的值规定为它任意一行的各元素与对应的代数余子式的乘积之和。
用符号表示，就是()∑∑=+=-==nj ij ij ji nj ij ij M a A a A 111。
上式称为行列式按第i 行展开。
可以证明，这个值与展开时所用的行是没有关系的（见例3）。
例2 用定义展开二阶行列式22211211a a a a 。
解 按第1行展开。
因为()222211111a a A =-=+，()212121121a a A -=-=+，于是得这个行列式的值为2112221112121111a a a a A a A a -=+。
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
行列式的定义与性质
性质9.4
推论
9.1.3 行列式的性质
性质9.5
如果行列式的某一行（列）的元素都是两项之和，则此行列式等于两个行列式的和，而且这两个行列式除了这一行（列）以外，其余的元素与原来行列式的对应元素相同 ．例如
9.1.3 行列式的性质
性质9.6
把行列式某行（列）的所有元素同乘以数，然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变 ．例如
第 行（列）乘以数 ，加到第 行（列）上去，记做 ．
9.1.3 行列式的性质
例5
计算行列式 ．
解：
9.1.3 行列式的性质
在 阶行列式 中划去 所在的第 行和第列元素后，剩下的元素按原来的相对位置所组成的 阶行列式，称为 的余子式，记为 ，称 为 的代数余子式，记为 ．故 称为 阶行列式按第一行元素展开．
定义9·4
9.1.2 阶行列式
(1)余子式 ；(2) 代数余子式 ；(3) 的值
设三阶行列式 ，计算
例3
解：
9.1.2 阶行列式
解：
方法1 由对角线法则：
方法2 行列式按第一行元素展开：
9.1.2 阶行列式
例4中的行列式称为对角行列式，可以看出对角线行列式的值就等于对角线上的元素之积．
计算行列式 ．
例4
解：
9.1.2 阶行列式
?
与
主对角线右上（下）方的元素全为零的行列式称为下（上）三角形行列式，如何计算下（上）三角形行列式的值？
基本要求
了解行列式的概念，行列式的性质，掌握行列式的计算；
约18学时
理解线性方程组的概念，了解线性方程组解的存在定理，能对线性方程组解的存在性进行讨论，熟练掌握用高斯消元法求解线性方程组；
同济大学线性代数第六版行列式的定义与性质
同济大学线性代数第六版行列式的定义与性质行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在同济大学线性代数教材的第六版中，对行列式的定义和性质进行了详细的介绍和讲解。
本文将按照该教材的要求，对行列式的定义和性质进行论述，以便帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、行列式的定义在同济大学线性代数第六版中，行列式的定义如下：给定一个n阶方阵 A = (a[i][j])，其中1≤i, j ≤ n，我们定义A的行列式为Det(A)，记作|A|。
对于一阶方阵来说，其行列式即为该方阵的唯一元素。
对于二阶方阵来说，其行列式的计算公式为：Det(A) = a[1][1]·a[2][2] -a[1][2]·a[2][1]。
对于三阶及以上的方阵，行列式的计算通过递推公式进行。
二、行列式的性质同济大学线性代数第六版还介绍了行列式的一系列性质，我们将逐一进行论述。
性质1：互换行（列）则行列式变号行列式Det(A)中，如果将A中的两行（列）进行互换，则行列式的值会发生变号。
性质2：行/列与常数相乘，则行列式乘以相应的常数行列式Det(A)中，如果将A的某一行（列）的所有元素都乘以一个常数k，则行列式的值也会乘以k。
性质3：行/列成比例，则行列式为0行列式Det(A)中，如果A的某行（列）的元素之间成比例，则行列式的值为0。
性质4：两行（列）相同，则行列式为0行列式Det(A)中，如果A的两行（列）完全相同，则行列式的值为0。
性质5：行列式的任意一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合行列式Det(A)中，任意一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合。
性质6：行列式的行（列）元素交换，行列式变号行列式Det(A)中，如果将A的两行（列）进行交换，则行列式的值会发生变号。
除了以上性质，同济大学线性代数第六版中还介绍了更多关于行列式的性质，这里不再一一列举。
三、行列式的应用行列式在线性代数中具有广泛的应用。
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D' =
D’称为 D 的转置行列式 性质 1 D 与 D’相等 证 设 D 的第 i 行第 j 列元素为 bij，则 bij=aji(ij=1,2…n)
D' =
∑ (−1)
j1 j2 L jn
τ ( j1 j2 L jn )
b1 j1b2 j 2 L bnjn =
∑ (−2)
j1 j2 L jn
τ ( j1 j2 L jn )
(− 1)τ ( j j L j ) a1 j1a2 j 2 L anjn = (− 1)τ (i i Li ) ai11ai 22 L ainn .
1 2 n 12 n
线性代数—学习笔记一
a11 a 21 L a n1
a12 L a1n a 22 L a 2 n L L L a n 2 L a nn
x =0 2
解2 4 3 x
x = 8 + 6 x − 2 x + 12 − 8 − x 2 = 0 2
即 12+4x-x2=0 , （6-x）(2+x)=0 得 x=-2 ,x=6 以上二、三阶行列式定义都是通过对角线上元素之积的代数和给出的，这种 对角线法则只适用二、三阶行列式，为给出四阶及更高阶的行列式需利用排列与 逆序的概念 2．排列与逆序， 排列与逆序，n 阶行列式 n 个数 1，2，3，……，n 按一定排列组成一个有序数组，称为一个民阶排 列，例如三个数 1,2,3,可以有三阶排列 123,231,312,132,213,321 共 6 个，n 个数构成 n 阶排列的总数为 n！ n 个数由小到大依自然顺序排列成 123……n 称为标准排列，若在 n 阶排列中一 个较大的数排在一个较小数的前面，称这两个数构成一个逆序，在 n 阶排列 i1,i2……in 中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作 τ（i1,i2……in） 。 例如 3 阶排列 231 中“2”排在“1”前构成一个逆序。 “3”排在“1”前又构成 一个逆序，231 的逆序数为 2，即 τ（231）=2，同理 τ（312）=2，τ（132） =1，τ（32451）=5 逆序数为奇数的排列称为奇数排列，逆序为偶数的排列称为 偶排列，排列具有以下性质: 1．对换排列中的任意两个数，排列改变奇偶性 证、先考虑两个相邻无素的对换，例如排列为……ij……，对换 i,j 得排列…… ji……在这两个排列中 i 或 j 与其它元素的相对位置没有改变， 故之 i 或 j 与其 它元素的逆序没有改变，而 ij 的相对位置变了，若 i＜j，圣贤换后逆序数增加 1，若 i＞j 对换后逆序数减少 1，故改变了排列的奇偶性。 再考虑不相邻二元素的对换，若在热排列…ik1k2…ksj…中对换 i 和 j 得排 列…
ka i 2 L kain = k ai1
a n 2 L a nn
性质 3 若行列式某一行（列）的各元素可以分为二元素之和，则行列式可分 解成二行列式这和即 a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n L L L L L L L L L L L L bi1 + ci1 bki 2 + ci 2 L bin + cin = bi1 bki 2 L bin + ci1 ci 2 L cin L L L L L L L L L L L L a n1 an 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn 以上二性质的证明直接由定义得出 性质 4 互换行列式的任意两行（列） ，行列式变号 证 设互换行列式的第 p 列与第 g 行即
a1
= ( − 1 ) τ ( n ( n − 1 )( n − 2 ) L 1 ) a 1 a 2 K a n
( n − 1)n 2
∴
an
a2 N
= ( −1)
n ( n −1) 2
a1a 2 L a n
3．行列式的性质 当行列式的阶数较高时，由行列式的定义计算行列式的值是很困难的，为此我们 先研究行列式的性质，以寻求计算行列式的简便方法：
线性代数—学习笔记一
jk1k2…ksi…，后者可以看成 i 依次与相邻元素 k1k2,…,ks,j 作 s+1 次相邻对换， 再将 j 依次与 ks,ks-1,…,k,作 s 次相邻对换而得到，即共作 2S+1 次相邻元素的 对换，因此改变了排列的奇偶性。 2．任一 n 阶排列 i1,i2…in 与标准排列 12……n 者可以通过一系列对换互变，且 所作对换的次数与排列 i1,i2…in 有相同的奇偶性。 证：标准排列逆序数为 0 为偶排列，现用归纳法证明 n=1 时一阶排列只一个数，结论显然正角，设对 n-1 排列结论成立，现证对 n 阶 排列 i1,i2…in 结论也正确，若 in=n,由归纳可设 n-1 阶排列 i1,i2…i-1 可以通过 对换变成 1，2…n-1 故必针 i1…in-1,in 变成 1，2…n-1n 若 in≠n 先对 i1i2…In 施到 in 与 n 的对换，变成排列 i1i2…in-1，n 即可，故结论 正确。 同理可将 1,2……n 通过对换变成 i1i2…in。 再由性质 1 及 12…n 是偶排列， 故新作对换次数与排列 i1i2…in 有相同的奇偶性。 为了给出 n 阶行列式的定义，先研究二、三阶行列式的结构 1）二阶行列式由 4 个元素构成，3 阶行列式由 9 个元素构成，自然 n 阶行列式 由 n2 个元素构成。 2）二阶行列式每一项都是两个元素的乘积，这两个元素来自不同的行、不同的 列，三阶行列式每一项都是三个元素的乘积，这三个元素也位于不同的行、不同 的列，二阶行列式的每一项，若不计正负号都可算成 a11a2i2,三阶行列式的每一 项除正负号外，者可算成 a1i1，a2i2,a3i3,即第一个下标也就是行标是标准排列，而 第二个下标即列标则排成 i1i2 或 i1i2i3,它们分别是 1，2 或 1，2，3 的某个排列。 3）1，2 两个数只有两个排列 12 或 21，前者为偶列排列，后者为奇排列，对照 二阶行列式中的两项，当列标为偶排列时，该项取正号，当列标为奇排列时，则 取负号。 1，2，3 三个数的排列总数有 6 个 123，231，312 为偶排列 132，213，321 为奇 排列，而三阶行列式给由 6 项组成列标为偶排列的该项正号，列标为奇排列的项 取负号。 由以上结论可以给出 n 阶行列式的定义 定义民阶行列式
a11 , a12 a 21 , a 22
即
a11 , a12 = a11a 22 − a12 a 21 a 21 , a 22
数 aij(i,j=1,2)称为行列式的元素，aij 的第一个下标 i 称为行标，第二个下标 j 称为列标，aij 表示该元素在第 i 行，第 j 列。 由以上定义知：
b1a 22 − b2 a12 = b1 , a12 b2 ,a 22
称为由数表（*）新确定的三阶行列式 以上定义表明三阶行列式含 6 项，每项都是不同行不同列的三个元素之积再 冠以正负号。 例 1 计算三阶行列式
1 1 2 3 4
D = −5 2
2 −5
解：由以上对角线乘法知 D=－10+8－30－6－50－8=－96
1 2 −1
例 2 解方程 2 4 3 x
1 2 −1
a j11a j 22 L a jnn = D
由这个性质知，行列式性质中对行成立的性质，对列也成立。 性质 2 行列式某一行（列）的公因子，可以按列行列式符事外面，即
a11 L kai1 L a n1 a12 L L an 2 L L L L a1n L L a nn a11 L L a n1 a12 L ai 2 L L a1n L L L ain L L
，互换 p 行与 g 列后得 D1 = L a p1 L a n1
可以引出三阶行列式的概念。 定义 2 9 个数排成 3 行 3 列的数表 a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a 33 （）得
线性代数—学习笔记一
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 = a11a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21a 32 − a13a 22 a 31 − a12 a 21a 33 − a11a 23 a 32 , a 33
a11 L a p1 D= L a g1
L a n1
a12 L
L
L a1n L L L L
a11 L a g1
a12 L
L L an 2
L a1n L L L L
a p 2 L a pn ag
L an 2 L a gn L L L a nn
a g 2 L a gn a p 2 L a pn
L L L a nn
a11 a12 L a1n a 21 L a n1 a 22 L a 2 n L L L a n 2 L a nn
将行列式
D=
线性代数—学习笔记一
的行换成列，列换成行，得行列式 D’
a11 a12 L a n1 a 21 L a n1 a 22 L a n 2 L L L a n 2 L a nn
线性代数—学习笔记一
主 内
题： 《线性代数》学习笔记 容：
《线性代数》 线性代数》学习笔记一 ——行列式的定义和性质 ——行列式的定义和性质
1、二、三阶行列式的定义 解二元线性方程组 a11x1+a12x2=b1 a21x1=a22x2=b2 用消元法去 x2 得 （a11a22-a12a21）x1=b1a22-b2a12, 消去 x1 得 （a11a22-a12a21）x2=a11b2-a21b1, 当 a11a22-a12a21≠0 时，得出
a11 0 L 0 a 22 L a1n a 22 L a 2 n L L 0 L L a nn