现代信号处理复习题

现代信号处理复习题
1. 试说明维纳滤波器和卡尔曼滤波器的主要异同？
2. LMS 算法与最陡下降法有何异同？什么叫LMS 算法的学习曲线？平均学习曲线和个别学习曲线的不同点是什么？为什么平均学习曲线的稳态值高于维纳滤波时的最小均方误差？
3.为什么不用信号的傅里叶变换而用功率谱描述随机信号的频率特性？周期图
作谱估计时，21
1ˆ()()N j n
XX
n P x n e
N
ωω--==∑ 说明为什么可用FFT 进行计算？周期图
的谱分辨率较低，且估计的方差也较大，说明造成这两种缺点的原因以及无论选什么样的窗函数，都难以从根本上解决问题的原因。

4.简述人工自适应系统的特点和建立自适应系统一般应该满足的要求。

5. 简述Wold 分解定理。

6. 简述自适应滤波的最陡下降法基本思想。

7. 说明LMS 算法与RLS 算法的代价函数。

8.一个线性时不变因果系统由差分方程)1(21
)()1(41)(-+=-+n x n x n y n y 描述，
求该系统的频率响应。

9.若{}{
}1,1)1(),0()(==h h n h ，{}{}4,3,2,1)3(,),0()(=⋅⋅⋅=x x n x ，则)(n x 和)(n h 的线性卷积=)3(y 。

10.已知一IIR 数字滤波器的系统函数1
8.011
)(-+=z z H ，则该滤波器的类型为（低
通、高通、带通、带阻）
11.若[]x n 是白噪声[]w n 通过一个一阶LTI 系统1
1
()10.25H z z -=
-产生的随机过
程，已知白噪声的方差2
1w
σ=，求信号[]x n 功率谱。

12. 描述AR 模型的正则方程，即Yuler-Walker 方程的矩阵。

13.设()x n 是一个宽平稳随机过程，均值为x m ，自相关为()x r k ，若()x n 通过一个单位采样响应为()h n 的稳定线性时不变系统，写出输出随机过程()y n 的均值，自相关函数。

14.设()x n 为AR （1）过程，自相关序列为()k x r k α=，试设计其最优线性预测器。

15. 设自相关函数为m x m r ρ=)(，3,2,1,0=m ，其中ρ为实数，试用Yuler-Walker
方程直接求解，再用Levinson-Durbin 递推算法求解AR （3）模型参量。

16. 考虑由如下差分方程描述的二阶AR （2）过程)n (u ：
)n (v )2n (u 5.0)1n (u )n (u +---=
其中，)n (v 是零均值、方差为0.5的白噪声。

（1） 写出该随机过程的Yuler-Walker 方程
（2） 求u(n)的方差
17画出给定系数114K =
，212K =，31
3
K =的三级格型滤波器。

（10分） 18.按照图1推导两个系统的输出互相关函数与输入互相关函数之间的关系。

图1
19.设实平稳白噪声)(n x 的方差是2
x σ， 均值0=x m ，让)(n x 通过一个网络，网
络的差分方程为：)1()()(-+=n ay n x n y 。

式中a 是实数。

求网络输出的功率谱和自相关函数。

20、Wiener 滤波器设计。

（1）观测数据
)()()(n v n d n x +=
式中，期望信号的相关函数k
d k R 8.0)(=，并且)(n v 是一个均值为0，方差为1的白噪声。

（2）期望信号是一个)1(AR 过程： )()1(8.0)(n w n d n d +-=
式中)(n w 是以白噪声，其均值为0，方差为36.02
=w σ。

期望信号)(n d 与噪声)
(n x 不相关，噪声)(n x 与)(n w 不相关，并且观测信号)(n x 为实信号。

用Wiener 滤波器对)(n x 进行滤波，滤波器的输出作为期望信号)(n d 的估计
)(ˆn d
，求)(ˆn d 的表达式。

21、图2所示是一个具有两个权系数的单输入自适应线性组合器的原理图。

信号
每个周期有N 个取样，2>N ，以保证输入取样不全为零。

（1）求性能曲面函数； （2）求性能曲面梯度公式； （3）求最佳权矢量； （4）求最佳均方误差值。

图2
22、证明广义平稳随机过程的互相关互协方差函数的下列性质
)()(ττ-=yx xy C C
)()(ττ-=yx xy R R )0()0()(2
yy xx xy R R R ≤τ
23、一个简单的滑动平均过程由下式给出：
Λ,2,1 )],1()()1([3
1
)(=+++-=n n x n x n x n y 若)(n x 的功率谱密度为)(f P x ，求)(n y 的功率谱密度。

24、一个滤波器的特性函数为()2
115726
w ξ=-
+，根据特征曲面搜索的最速下降法和牛顿法，试分别写出其参数w 的调整算法。

25、设线性组合器110-+=k k k x w x w y ，画出它的原理图；当输入信号为
52sin
k x k π=，期望输出信号为5
2cos 2k
d k π=时，求出自相关矩阵R ，互相关矩阵P ，特性函数，梯度和最佳权值。

26、已知滤波器的传递函数为()123
123
0.20.180.410.40.180.2z z z H z z z z
-------+++=++-，写出它对应的22⊕
()sin(
x n π2cos()
n N
π
()
e n
格型滤波器，作原理图。

27、试给出第一特征函数和第二特征函数的定义，并推导随机变量的特征函数和矩函数之间关系。

28、令{})(t x 和{})(t y 是满足下列差分方程的平稳随机过程：
{}{})
,σ~N(u(t)t x t y t y ),σ~N(w(t)t w t x t x 2
20 u(t) )()1()(0 )()1()(+=--=--αα
式中1<α，且{})(t w 和{})(t u 不相关，求{})(t y 的功率谱。

29、写出Yuler-Walker 求AR 模型公式，并写出Levinson-Durbin 递推算法求解
模型参量过程。

30、一时变系统的状态转移方程和观测方程分别为
)()(21818121)1(1n v n x n x +⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+
和 )()()(2n v n x n y += 式中 0)]([1=n v E ，
⎩⎨
⎧≠==k n O k
n I k v n v E T
)]()([2111σ， ⎩⎨⎧≠==k n O k
n I k v n v E T
)]()([2
222σ，
k n O k v n v E T
, )]()([21∀=，
I n x n x E T =)]()([。

O 和I 分别为零矩阵和单位阵。

求)(n x 的更新公式。

31.已知输入信号向量u(n)的相关矩阵及与期望信号d(n)的互相关向量分别为
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=2112R ，T
4] 5[p = 且已知期望响应d(n)的平均功率30)]n (d [E 2= （1） 计算维纳滤波器的权向量
（2） 计算误差性能面的表达式和最小均方误差。