平面图形的面积
平面图形公式
一.公式：1.长方形：周长=(长+宽)×2——【长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长】字母公式：C=(a+b)×2面积=长×宽字母公式：S=ab2.正方形：周长=边长×4字母公式：C=4a面积=边长×边长字母公式：S=a3.平行四边形的面积=底×高字母公式： S=ah4.三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】字母公式： S=ah÷25.梯形的面积=（上底+下底）×高÷2字母公式： S=（a+b）h÷2【上底=面积×2÷高－下底，下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底）】二.平行四边形面积公式推导：剪拼、平移1.三角形面积公式推导：旋转平行四边形可以转化成一个长方形；两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的底；平行四边形的底相当于三角形的底；长方形的宽相当于平行四边形的高；平行四边形的高相当于三角形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷22.梯形面积公式推导：旋转两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2 等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
《平面图形的面积》课件
contents
目录
• 引言 • 平面图形的面积基础知识 • 矩形面积的计算 • 三角形面积的计算 • 圆形面积的计算 • 多边形面积的计算 • 总结与回顾
01
引言
课程简介
平面图形面积的概念
介绍平面图形面积的基本概念，包括长方形、正方形、三角形、圆形等。
面积计算的意义
实际应用案例分析
通过分析一些实际应用案例，让学生更好地理解 平面图形面积在现实生活中的应用，并培养他们 解决实际问题的能力。
感谢形面积的计算公式
三角形面积的计算公式
面积 = (底 × 高) ÷ 2。
公式推导
通过将三角形划分为两个直角三角形，利用直角三角形的面积公式 推导得出。
适用范围
适用于所有三角形，无论是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角 形。
计算三角形的面积
01
02
03
确定底和高
根据题目或图形信息，确 定三角形的底和高。
总结词
准确、权威
详细描述
在国际单位制中，面积的单位是平方米，符号为m²。其他常用的面积单位还有平方厘米、平方分米、公顷、平方 千米等。
面积的计算公式
总结词
全面、准确
详细描述
对于不同的平面图形，有不同的面积计算公式。例如，矩形面积 = 长 × 宽，圆形面积 = π × r²（其 中r为半径），三角形面积 = 0.5 × 底 × 高。这些公式是计算平面图形面积的基础。
在给定的圆中，确定半径的长度 。
代入公式
将半径的长度代入圆的面积公式中 ，计算出圆的面积。
结果表示
将计算出的面积值表示在相应的位 置上。
圆形面积的应用
计算圆的周长
平面图形的周长和面积计算公式
小学数学图形计算公式
一、正方形（a表示边长，C表示周长，S表示面积）
正方形的周长=边长X4
字母表示为：C=4a
正方形的面积=边长＞边长
字母表示为：S=a X a
二、长方形（a表示长，b表示宽，C 表示周长，S表示面积）
长方形的周长=（长+宽）冷
公式：C= （a+b）X
长方形的面积=长＞宽
字母表示为：S=a X b
三、三角形（s面积a底h高）
三角形的面积二底＞高煜
字母表示为：s=a 0吃
三角形的高二面积＞2殒
字母表示为：h = s ＞为
三角形的底二面积＞2嘀
字母表示为：a = s ＞讳
四、平行四边形（a表示底，h表示高，S表示面积）
平行四边形的面积二底為
字母表示为：S= a ＞h
平行四边形的高=面积殒
字母表示为：h= s为
平行四边形的底=面积嚅
字母表示为：a= s讳
五、梯形（s表示面积，a表示上底，b 表示下底，h表示高。
）
梯形的面积=（上底+下底）嘀吃字母表示为：s=（a+b） Xi £
梯形的（上底+下底）=面积X2嘀字母表示为：a+b = s ^2讳
梯形的高=面积^2* （上底+下底）字母表示为：h = s ^2为+b。
平面图形面积计算
平面图形面积计算在几何学中，计算平面图形的面积是一个基本的技能。
无论是为了日常生活中的测量，还是在数学领域求解问题时，正确计算平面图形的面积都是必不可少的。
本文将针对常见的平面图形，介绍如何计算它们的面积。
一、矩形的面积计算矩形是最简单的平面图形之一，其面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
假设一矩形的长为L，宽为W，则该矩形的面积为 L × W。
二、正方形的面积计算正方形是特殊的矩形，其四条边长度相等。
正方形的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长，或者面积 = 边长的平方。
假设一正方形的边长为A，则该正方形的面积为 A × A，或者 A²。
三、三角形的面积计算三角形是常见的平面图形，其面积计算需要根据已知的边长、高或底边及高来计算。
常用的面积计算公式有以下三种：1. 面积 = 1/2 ×底边 ×高假设一个三角形的底边长为B，高为H，则该三角形的面积为 1/2 ×B × H。
2. 面积 = (a × h) / 2假设一个三角形的底边长为a，高为h，则该三角形的面积为 (a × h) / 2。
3. 海伦公式对于已知三个边长的三角形，我们可以使用海伦公式来计算其面积。
海伦公式的形式为：面积= √[s × (s-a) × (s-b) × (s-c)]其中，s 是三角形半周长，即s = (a + b + c) / 2，a、b、c 分别为三角形的三个边长。
四、圆的面积计算圆是一种特殊的平面图形，其面积计算需要使用圆周率π。
圆的面积计算公式为：面积= π × 半径的平方。
假设一个圆的半径为R，则该圆的面积为π × R²。
五、梯形的面积计算梯形是有两个平行底边的四边形，其面积计算需要使用梯形的上底、下底和高。
梯形的面积计算公式为：面积= (上底+ 下底) ×高的一半。
平面图形的面积
= 2∫
π
0
1 + a cos xdx ,
2 2
设椭圆的周长为 s 2
s2 = ∫
2π
0
( x′) + ( y′) dt,
2 2
π
根据椭圆的对称性知
s2 = 2∫
= 2∫
0
π
(sin t )
2
+ (1 + a )(cos t ) dt
2 2
0
1 + a 2 cos 2 t dt
= 2∫
π
0
1 + a 2 cos 2 xdx = s1 ,
0 x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 xy ′ = y 2 y′ 1 积分 ⇒ 2 ln | y |= ln | x | + c 1 = ⇒ y x
∴ y = cx , 其中c = ± e .
2
c1
9 ∴ y = x , 因为 f ( x ) 为单调函数 2 3 2x. 所以所求曲线为 y = 2
例 3
计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
4
y ∈ [−2, 4] −
y2 dy = 18. A = ∫ y+4− −2 2
x = 1+sh dx =ch dx c c b x sh x b ∴ s =2∫ ch dx =2c c 0 0 c xb 1 x = 2csh (cch )′ =c⋅ sh c c c c
面积的测量与计算
面积的测量与计算面积是指平面图形所占据的空间大小，是一个重要的数学概念。
在日常生活和各个领域中，我们经常需要测量和计算面积。
本文将介绍常见平面图形的测量和计算方法，并提供一些实际应用的例子。
一、正方形的面积测量与计算正方形是一种边长相等的四边形，它的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长。
例如，假设一块正方形地板的边长为5米，我们可以通过将地板划分为1米乘1米的小方块，然后将这些小方块的数量相加，来测量地板的面积。
在这种情况下，地板的面积为5米 × 5米 = 25平方米。
二、长方形的面积测量与计算长方形是一种两对边分别相等的四边形，它的面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
例如，假设一块长方形花坛的长度为6米，宽度为3米，我们可以直接将长度和宽度相乘，来计算花坛的面积。
在这种情况下，花坛的面积为6米 × 3米 = 18平方米。
三、三角形的面积测量与计算三角形是一种有三个边和三个角的多边形，它的面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2。
例如，假设一个三角形的底边长度为8米，高为4米，我们可以将底边长度和高相乘，再除以2，来计算三角形的面积。
在这种情况下，三角形的面积为（8米 × 4米）÷ 2 = 16平方米。
四、圆的面积测量与计算圆是由一条闭合曲线围成的平面图形，它的面积计算公式为：面积= π × 半径 ×半径（其中π的近似值为3.14）。
例如，假设一个圆的半径为5米，我们可以将半径的平方乘以π，来计算圆的面积。
在这种情况下，圆的面积为3.14 × 5米 × 5米 = 78.5平方米（近似值）。
五、实际应用例子面积的测量和计算在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些实际应用例子：1. 建筑业：在房屋建设中，建筑师需要测量房间的面积，以确定合适的家具和装饰品。
2. 农业：农民需要测量农田的面积，以确定种植作物的数量和施肥的比例。
小学五年级数学 平面图形的面积计算
算法（2）：12×5÷2=30（平方厘米）
× 算法（３）：１０×５÷２＝２５（平方厘米）
练习：选取有效的条件进行计算它们的面积。（单位：厘米）
５ ４ ８
５
８
１２
６ ５ １０
８ ４
１、平行四边形面积：８×４＝３２（平方厘米） ２、梯形面积：（８＋１２）×４÷２＝４０（平方厘米） ３、三角形面积：１０×５÷２＝２５（平方厘米）
Байду номын сангаас
练习： １２
６分米
（？）
１０
５米
Ｓ＝１０平方米
（１）： ６×１０÷１２＝５（分米） 或：１２x＝６×１０
（２）： ５x÷２＝１０ 或：１０×２÷５＝４（米）
1.5米
2米
3米
(1)求梯形面积: (1.5+2)×3÷2=5.25(平方米)=525(平方分米) (地板面积)
(2)求地砖面积: 20×20=400(平方厘米) =4(平方分米) (3)单位转换:(想一想) (4)求砖的块数: 525÷4=131.25≈132(块)
长方形、正方形 平行四边形 三角形 梯形
长方形
长方形面积=长×宽
S=ab
平行四边形
平行四边形面积=底×高
S=ah
正方形
正方形面积=边长×边长 S=a 2（a的平方）
三角形
三角形面积=底×高÷２
S=ah÷２
梯形
梯形面积=（上底＋下底）×高÷２
S=（a＋b）h÷2
练习：求下面图形的面积
单位：厘米
12 65
平面图形的面积公式
三、三角形
1-复制一个同样的三角形
2-将复制的旋转180度
3-拼成一个平行四边形，就可以按平行四 边形面积的一般计算三角形的面积
四、梯形
1-复制一个同样的梯形
2-将复制梯形旋转180度
3.和原梯形拼成一个平行四边形，按新平 行四边形的一半计算面积
4-加一辅助线（红线），将梯形分成两个 三角形更简单
平面图形的面积公式
目录
一、长方形-矩形 二、平行四边形 三、三角形 四、梯形 五、圆形
一、长方形-矩形
长方形的面积等于底×高
二、平行四边形
1-沿高剪切平行四边形
2-形成一个直角三角形和一个直角梯形
3-将剪下的直角三角形粘到另一边
4-形成一个长方形，就可以按长方形面积 公式计算面积
五、圆形
三角形是最简单的平面 图形，任何一个平面图 形的ห้องสมุดไป่ตู้积都可以拆成很 多个三角形计算
1.计算原的面积就是把圆拆成无数三角形， 在拼接成一个平行四边形
2.平行四边形的长等于一半圆周，高等于 半径，按平行四边形公式就可以求圆面积
三角形是最简单的平面 图形，任何一个平面图 形的面积都可以拆成很 多个三角形计算
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类似的，定义f(x)在 -，b的广义积分
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a a
b
定义f(x)在 -， 的广义积分
f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx
a a b c
c
b
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限不存在时，称广义积分发散.
2 2
图形1,1).
x y2 y x2
A ( x x )dx
2 0
1
2 1 31 1 [ x x ]0 . 3 3 3
3 2
例 2
计算由曲线 y x 6 x 和 y x 所围成
3 2
的图形的面积.
解
0
A A1 A2
pa e e px , lim p b p a ,
b
p0 p0
函数
s 1 x 广义积分 ( s) x e dx, s 0 定义 0
称为 函数
且 性质1 (s)在s 0时是收敛的， 函数在定义域内是连续 的。
1 u2 ( ) 2 e du. 2 2 0 2
概率密度 f ( x )
1 2
e
x2 2
1 2
e
x2 2
dx 1
微元法
应用方向：平面图形的面积、旋转体体积、平 面曲线的弧长；变力做功；水压力；引力和平 均值等．
面积、体积、弧长的计算
微元法
曲边梯形求面积的问题
任一小区间 [ x , x x ]
y
f ( x)dx
y f ( x)
dA
面 积 元 素
，
A dA f ( x)dx
b
a
dA f ( x)dx
a
b
o a x x dx bx
此方法称为微元法
平面图形的面积问题
1）直角坐标系情形
2）极坐标系情形
(1)直角坐标系情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x xb
x
o
a
xx
b x
曲边梯形的面积
曲边图形的面积
A a f ( x )dx
b
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
b
例 1 计算由两条抛物线y x 和 y x 所围成的
1
1 dx 例 2 证明广义积分 1 p x 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散.
解:
1
b 1 1 dx lim p dx p b 1 x x
x lim b 1
1 p
1 p b 1 blim 1 p p 1
limarctanx limarctanx
a 0 a b
b 0
例4
证明广义积分 a e px dx 当 p 0 时收敛，
当 p 0 时发散.
解:
a
e
px
dx
lim e px dx
b a
b
1 b px lim( ) e d ( px) b p a
例1 计算广义积分 解:
b
2
1 1 cos dx. 2 x x
原 式 lim 2
b b
1 1 cos dx 2 x x
1 1 lim 2 cos d ( ) b x x 1 b lim[ sin ] 2 b x
1 lim(1 sin ) b b
b b
b a ， 若 lim f ( x )dx 存 在 ， 则 称 它 为 函 数 a
f ( x ) 在[a , ) 上的广义积分，记作a f ( x )dx .
a
f ( x )dx lim a f ( x )dx
b
b
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限不存在，称广义积分发散.
1 u2 ( ) 2 e du. 2 0 2
(s) x e dx, s 0
s 1 x 0
性质4
(s)的其他形式
2 2 s 1 u2 0
令x u , 有( s ) 2 u
e
du,
0
xe
t x2
dx
1 t 1 ( ) 2 2
3 2
y x3 6x
y x2
A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x x 6 x )dx
2 3 3
253 . 12 说明：适当时候要分区间
问题： 积分变量只能选 x 吗？
例 3
计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4 所围
成的图形的面积.
性质2 性质3
( s 1) s( s ) (n 1) n!
当s 0 时, ( s) 。
(s) x e dx, s 0
s 1 x 0
性质4
(s)的其他形式
2 2 s 1 u2
令x u , 有( s ) 2 u e du, 0 1 t 再令 2s 1 t , 或s , 则有 2 1 t 1 t u x2 x e dx u du 2 ( 2 ) 0
4.5 定积分的应用
主要内容
反常积分
面积、体积、弧长计算
在经济、社会科学中的应用
反常积分
1 求由y 2 , x轴及x 1所围成的 x
“无穷曲边梯形”面积
b 1
lim
b
dx 2 1 x
1
b
方法：
1）先求有限区间面积
2）取极限
一、广义积分定义
定义 设函数 f ( x ) 在区间[a , ) 上连续，取
y x4
b
1 , p1 ,
p1 p1
例3 计算广义积分 解:
0
dx . 2 1 x
dx dx 原式 2 1 x 0 1 x2 0 b dx dx lim lim 2 a a 1 x b 0 1 x 2