高中数学 第2章 变化率与导数章末复习课学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2__第二章 变化率与导数2.2
f(1+������x)-f(1) ������x
= ������������������
������x→0
1+1������-1 ������
=
lim
Δ������→0
1+-1������=-1,
则切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
答案:x+y-2=0
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D当堂检测 ANGTANGJIANCE
反思感悟求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率ΔΔ������������ = ������(������0+ΔΔ������������)-������(������0); (3)取极限,得导数 f'(x0)=Δl���i���m→0 ������������yx.
么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变
化率为函数y=f(x)在x0点的导数.
计算公式:f'(x)= lim
������ 1 →������ 0
f(xx11)--fx(0x0)=������������x������→������0
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0).
3.会求函数 f(x)在某一点 x0 处的导数. 4.理解导数的几何意义,并 能利用几何意义解决相关
问题. 5.会求与导数相关的切线 问题.
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答疑解惑
AYIJIEHUO
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高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章变化的快慢与变化率参考学案1
课题 变化的快慢与变化率学习目标1．理解“变化率问题”，课本中的问题1,2。
2. 知道平均变化率的定义.学习过程一：教材梳理阅读课本26P 页平均变化率的概念回答下面的问题：1.（1)x ∆是相对于1x 的一个___________，它可以是_______，也可以是_________，可以用________ 代替2x 。
(2) 变化率是一个_________ ，分母x ∆可以很小，但不能为_____________。
2. 由平均变化率的概念可得求函数()y f x =的平均变化率的步骤：（1）求自变量的增量______________；（2）求函数的增量________________;（3)求平均变化率______________________.注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘;②Δf=Δy=y 2-y 1；二。
效果检测1。
函数()y f x =的自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量Δy 为（ ） A 。
()0f x x +∆ B 。
()0f x x +∆ C 。
()0f x x ⋅∆ D. ()()00f x x f x +∆-2．质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．3. 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy . 三、合作探究在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m)与起跳后的时间t （单位:s ）存在105.69.4)(2++-=t t t h 的函数关系，如何计算运动员的平均速度？并分别计算0≤t≤0。
5，1≤t≤2,1.8≤t≤2,2≤t≤2。
2，时间段里的平均速度. h to思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________。
北师大版高中数学选修2-2：第二章 变化率与导数 复习课件
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
当点Q沿着曲线无限接点
P即Δx→0时,割线PQ如果有一
个极限位置PT。则我们把直线
y
PT称为曲线在点P处的切线。
设切线的倾斜角为α,那 么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜 率。
P o
即: k切线
f
' ( x0 )
lim
x0
y x
练习3：求下列函数的导数。
12 y
x x2
y 1 4 x2 x3
x y
1 x2
y 1 x2
1 x2 2
y tan x
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值， 再利用导数的运算法则(3)来计算。
y
1 cos2
x
练习4：求曲线
y
9 x
在点M(3，3)处的切线
x)－f(x0)，若极限
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
存在，
则此极限称为f(x)在点 x x0 处的导数，记为
f ’(x0)，或 y |xx0 。
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，
就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每
y 3x2 2
练习2：求下列函数的导数。
y x3 sin x cos x y 3 x 2 cos x sin x
y 2sin x cos x 2x2 1 y co s x 4 x
2018_2019学年高中数学第二章变化率与导数章末小结教案(含解析)北师大版选修2_2
第二章变化率与导数章末小结一、导数的概念1．函数在点x0处的导数f′(x0)＝li mΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx，Δx是自变量x在x0附近的改变量，它可正、可负，但不可为零，f′(x0)是一个常数．2．导函数f′(x)＝li mΔx→0f x＋Δx－f xΔx，f′(x)为f(x)的导函数，不是一个常数．二、导数的几何意义1．f′(x0)是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，这是导数的几何意义．2．求切线方程常见的类型有两种：一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数(1)f(x)＝c，则f′(x)＝0；(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1；(3)f(x)＝a x(a>0且a≠1)，则f′(x)＝a x ln a；(4)f(x)＝log a x，则f′(x)＝1x ln a；(5)f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；(6)f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；(7)f(x)＝tan x，则f′(x)＝1cos2x；(8)f(x)＝cot x，则f′(x)＝－1sin2x.2．导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x g x g 2x .3．复合函数的求导法则设复合函数μ＝g (x )在点x 处可导，y ＝f (μ)在点μ处可导，则复合函数f (g (x ))在点x 处可导，且f ′(x )＝f ′(μ)·g ′(x )，即y x ′＝y μ′·μx ′.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量．。
高中数学 第2章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义学案 北师大版选修2-2
2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义1.理解导数的概念及导数的几何意义.(重点、难点)2.会求导函数及理解导数的实际意义.(重点)3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点)[基础·初探]教材整理1 函数f(x)在x＝x0处的导数阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题.函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limΔx→0f（x1）－f（x0）x1－x0＝limΔx→0_f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.设函数y＝f(x)可导，则limΔx→0f（1＋Δx）－f（1）Δx等于( )A.f′(1)B.3f′(1)C.13f′(1) D.以上都不对【解析】由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.【答案】 A教材整理2 导数的几何意义阅读教材P34～P36，完成下列问题.函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.函数y ＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________________.【解析】因为y′＝limΔx→0（x＋Δx）2＋4－（x2＋4）Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，所以k＝－4，故所求切线方程为4x＋y＝0.【答案】4x＋y＝0[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)若limΔx→000Δx＝k，则limΔx→0f（x0＋2·Δx）－f（x0）Δx等于( )A.2kB.kC.12k D.以上都不是(2)函数y＝x在x＝1处的导数是________.(3)求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数. 【精彩点拨】根据导数的概念求解.【自主解答】(1) limΔx→0f（x0＋2·Δx）－f（x0）Δx＝lim Δx →0f （x 0＋2·Δx ）－f （x 0）2·Δx ·2＝2·lim Δx →0f （x 0＋2·Δx ）－f （x 0）2·Δx＝2k .(2)∵Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 当Δx 趋于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1趋于12，∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.【答案】 (1)A (2)12(3)∵f (x )＝2x 2＋4x ， ∴Δy ＝f (3＋Δx )－f (3)＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx . ∴Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. 当Δx →0时，ΔyΔx→16，∴f ′(3)＝16.1.本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出.切忌算到1＋Δx －1Δx时，就下结论：当Δx 趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定.2.计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤： (1)计算Δy ；(2)计算Δy Δx ；(3)计算lim Δx →0ΔyΔx.[再练一题]1.若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( )【导学号：94210036】A.1B.－1C.±1D.3 3【解析】 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－x 30＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2， ∴f ′(x 0)＝[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， 由f ′(x 0)＝3，得3x 20＝3，∴x 0＝±1. 【答案】 C已知曲线C ：f (x )＝3x 3＋3.(1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？【精彩点拨】 (1)先求切点坐标，再求f ′(2)，最后利用导数的几何意义写出切线方程.(2)将切线方程与曲线C 的方程联立求解.【自主解答】 (1)将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4，∴切点P (2，4).f ′(2)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →013（2＋Δx ）3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4.∴k ＝f ′(2)＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，可得(x －2)(x 2＋2x －8)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.从而求得公共点为P (2，4)或M (－4，－20)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20).1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)写出切线方程，即y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0).特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直线的切线方程为x ＝x 0.2.曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.[再练一题]2.(2016·临沂高二检测)求曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1，2)处的切线方程.【解】 在曲线f (x )＝x 2＋1上的点A (1，2)的附近取一点B ，设B 点的横坐标为1＋Δx ，则点B 的纵坐标为(1＋Δx )2＋1，所以函数的增量Δy ＝(1＋Δx )2＋1－2＝Δx 2＋2·Δx ，所以切线AB 的斜率k AB ＝ΔyΔx ＝Δx ＋2，∴lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(Δx ＋2)＝2，这表明曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1，2)处的切线斜率k ＝2. ∴所求切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.[探究共研型]探究【提示】 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数. 联系：函数f (x )在x 0处的导数就是导函数f ′(x )在x ＝x 0时的函数值. 探究2 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？【提示】 不一定.切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点.探究3 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程与过某点(x 0，y 0)的曲线的切线方程有何不同？【提示】 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x 0，y 0)的曲线f (x )的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.已知曲线f (x )＝1x.(1)求曲线过点A (1，0)的切线方程； (2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程.【精彩点拨】 (1)点A 不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A (1，0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程.(2)设出切点坐标，由该点斜率为－13，求出切点，进而求出切线方程.【自主解答】 (1) lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx＝lim Δx →0－1（x ＋Δx ）x ＝－1x2.设过点A (1，0)的切线的切点为P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x，则f ′(x 0)＝－1x 20，即该切线的斜率为k ＝－1x 20.因为点A (1，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x在切线上， 所以1x 0－0x 0－1＝－1x 20，解得x 0＝12.故切线的斜率k ＝－4.故曲线过点A (1，0)的切线方程为y ＝－4(x －1)， 即4x ＋y －4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ， 由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－13，得a ＝± 3.所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－33. 故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)， 即x ＋3y －23＝0或x ＋3y ＋23＝0.1.求曲线过已知点的切线方程的步骤2.若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程.[再练一题]3.求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1，0)的切线方程.【解】 设切点为Q (a ，a 2＋1)，f （a ＋Δx ）－f （a ）Δx ＝（a ＋Δx ）2＋1－（a 2＋1）Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，（a 2＋1）－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22).[构建·体系]1.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( ) A.f ′(x 0)＞0 B.f ′(x 0)＜0 C.f ′(x 0)＝0D.f ′(x 0)不存在【解析】 由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数.【答案】 A2.曲线y ＝12x 2－2在点x ＝1处的切线的倾斜角为( )【导学号：94210037】A.30°B.45°C.135°D.165°【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12Δx ＝1， ∴切线的斜率为1，倾斜角为45°. 【答案】 B3.曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________.【解析】 f ′(－2)＝lim Δx →0f （－2＋Δx ）－f （－2）Δx＝lim Δx →02－2＋Δx ＋1Δx＝lim Δx →01－2＋Δx ＝－12，∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.【答案】 x ＋2y ＋4＝04.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图221所示，则y ＝f (x )在A ，B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“＜”“＝”或“＞”).图221【解析】 f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图像在点A ，B 处的切线斜率，由图像可得f ′(a )＞f ′(b ).【答案】 ＞5.已知直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值.【解】 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2，3). 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ， ∴a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5.因此切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2，3)， a 的值为12127或－5.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(八) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A.4 B.－4 C.－2 D.2【解析】 由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D.【答案】 D2.(2016·衡水高二检测)若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( )A.f ′(x 0)>0B.f ′(x 0)＝0C.f ′(x 0)<0D.f ′(x 0)不存在【解析】 切线的斜率为k ＝－2，由导数的几何意义知f ′(x 0)＝－2<0，故选C. 【答案】 C3.已知曲线f (x )＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( ) A.(1，1)B.(－1，1)C.(1，1)或(－1，－1)D.(2，8)或(－2，－8)【解析】 因为f (x )＝x 3，所以lim △x →0Δy Δx ＝lim △x →0（x ＋Δx ）3－x 3Δx ＝lim △x →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.由题意，知切线斜率k ＝3，令3x 2＝3，得x ＝1或x ＝－1. 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1. 故点P 的坐标是(1，1)或(－1，－1). 【答案】 C4.(2016·银川高二检测)若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A.4x －y －4＝0B.x ＋4y －5＝0C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0【解析】 设切点为(x 0，y 0)，∵lim △x →0 Δy Δx ＝lim △x →0 （x ＋Δx ）2－x2Δx＝lim △x →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2，4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】 A5.曲线f (x )＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( )【导学号：94210038】A.2B.－4C.3D.14【解析】 因为lim △x →0 Δy Δx ＝lim △x →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim △x →0－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2， 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为 k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－4. 【答案】 B二、填空题6.(2016·太原高二检测)若f ′(x 0)＝1，则lim △x →0f （x 0－k ）－f （x 0）2k＝__________. 【解析】 lim △x →0f （x 0－k ）－f （x 0）2k＝－12lim △x →0f （x 0－k ）－f （x 0）－k ＝－12f ′(x 0)＝－12. 【答案】 －127.曲线f (x )＝x 2－2x ＋3在点A (－1，6)处的切线方程是__________.【解析】 因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为A (－1，6)，所以斜率k ＝f ′(－1)＝lim △x →0（－1＋Δx ）2－2（－1＋Δx ）＋3－（1＋2＋3）Δx ＝lim △x →0(Δx －4)＝－4，所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0.【答案】 4x ＋y －2＝08.若曲线f (x )＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________.【解析】 设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim △x →0（x 0＋Δx ）2＋2（x 0＋Δx ）－x 20－2x 0Δx ＝lim △x →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，所以点P 处的切线的斜率为2，所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0，0).【答案】 (0，0)三、解答题9.(2016·安顺高二检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程.【解】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3，y ＝2x ＋2，得x 2－2x ＋1＝0， 解得x ＝1，y ＝4，所以交点坐标为(1，4)，又（Δx ＋1）2＋3－（12＋3）Δx＝Δx ＋2. 当Δx 趋于0时，Δx ＋2趋于2，所以在点(1，4)处的切线斜率k ＝2，所以切线方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2.10.试求过点P (3，5)且与曲线y ＝f (x )＝x 2相切的直线方程.【解】 lim △x →0 Δy Δx ＝lim △x →0（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝2x . 设所求切线的切点为A (x 0，y 0).∵点A 在曲线y ＝x 2上，∴y 0＝x 20.又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率k ＝2x 0，∵所求切线过P (3，5)和A (x 0，y 0)两点， ∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3，∴2x 0＝x 20－5x 0－3， 解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1，1)或(5，25).当切点为(1，1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2；当切点为(5，25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.[能力提升]1.(2016·天津高二检测)设f (x )为可导函数，且满足f （1）－f （1－x ）2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A.2B.－1C.1D.－2【解析】 ∵lim △x →0f （1）－f （1－x ）2x ＝12lim △x →0f （1－x ）－f （1）－x ＝－1， ∴lim △x →0f （1－x ）－f （1）－x＝－2，即f ′(1)＝－2. 由导数的几何意义知，曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝－2，故选D.【答案】 D2.(2016·郑州高二检测)已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________.【解析】 设切点为P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim △x →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim △x →0a （x 0＋Δx ）2－ax 20Δx ＝lim △x →0(2ax 0＋a Δx )＝2ax 0，即2ax 0＝1.又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，联立以上三式，得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14. 【答案】 143.已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，求a ，b 的值.【导学号：94210039】【解】 因为f ′(x )＝lim △x →0 Δy Δx ＝lim △x →0a （x ＋Δx ）2＋1－（ax 2＋1）Δx ＝2ax ， 所以f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .因为g ′(x )＝lim △x →0Δy Δx＝lim △x →0（x ＋Δx ）3＋b （x ＋Δx ）－（x 3＋bx ）Δx ＝3x 2＋b ， 所以g ′(1)＝3＋b ，即切线的斜率k 2＝3＋b .因为在交点(1，c )处有公切线，所以2a ＝3＋b .①又因为c ＝a ＋1，c ＝1＋b ，所以a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.4.设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线 12x＋y ＝6平行，求a 的值.【解】 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9， 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9， ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12，∴－9－a 23＝－12， 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 变化的快慢与变化率 参考学案2
课题 变化的快慢与变化率
学习目标
1.理解瞬时变化率的概念;
2. 会求函数在某点处附近的平均变化率.
学习过程
一：教材梳理
阅读课本30P 页瞬时变化率的概念回答下面的问题：
1. 如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系？
求瞬时速度的步骤
（1） 设非匀速直线运动的规律为()s s t =;
（2） 设时间的改变量t ∆，求位移的改变量
_____________________;
（3） 求平均速度_______________;
（4） 求瞬时速度____________________.
二．效果检测
1. 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
2.已知质点M 按规律2()3s t t =-作直线运动, （位移单位：cm,时间单位：s ）
（1） 当t=2, t ∆=0.01时，求s t
∆∆； （2） 当t=2, t ∆=0.001时，求
s t ∆∆； 估计质点M 在t=2时的瞬时速度.
三、合作探究
1.质点M 按规律2()1s t at =+作直线运动 （位移单位：m,时间单位：s ）.问：是否存在常数a ，使质点M 在t=2s 时的瞬时速度为8m s ？
2.过曲线y=f(x)=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
四、课堂练习
1. 一木块眼某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数
关系为218
s t =，则t=2时，求木块的瞬时速度。
2. 求函数2x y =在,2,31=x 附近的平均变化率，取x ∆都为3
1，哪一点附近的平均变化率最大？ 我的收获：
我的困惑：。
高中数学第二章变化率与导数2.4.3导数的四则综合运算教案北师大版选修2-2(2021年整理)
陕西省石泉县高中数学第二章变化率与导数2.4.3 导数的四则综合运算教案北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第二章变化率与导数2.4.3 导数的四则综合运算教案北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为陕西省石泉县高中数学第二章变化率与导数2.4.3 导数的四则综合运算教案北师大版选修2-2的全部内容。
4.3 导数的四则综合运算一、复习：1、两个函数和（差)的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+2、若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g ',我们有)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='特别地,当k x g =)(时，有：)(])([x f k x kf '='二、探究新课例1:求下列函数的导数：（1）)sin (ln 2x x x y +=； （2)2cos x xx y -=。
解：（1)解一：)sin (ln )sin (ln )(])sin (ln [222'+⋅++⋅'='+='x x x x x x x x x yx x x x x x x x x x x x x cos sin 2ln 2cos 1)sin (ln 222+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⋅=解二：)sin ()ln ()sin ln (])sin (ln [22222'⋅+'⋅='⋅+⋅='+='x x x x x x x x x x x yx x x x x x x x x x x x x x x cos sin 2ln 2cos sin 21ln 2222+++=⋅+⋅+⋅+⋅=.（2）解一：22222)()()(cos )(cos cos x x x x x x x x x x y '⋅--⋅'-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='3422cos 2)sin 1(2)(cos )1sin (x xx x x x x x x x x -++-=⋅--⋅--= 3cos 2sin x xx x x -+-=。
北师大版高中数学选修高二第二章变化率与导数变化的快慢与变化率导学案
第二章 变化率与导数第一节 变化的快慢与变化率学习目标1．理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某个区间上变化的快慢；3．会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢；4．理解瞬时速度，线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题；学法指导平均变化率、瞬时变化率是本节中的重要概念，是学习导数的前提和基础，要通过例题讲解学会求平均变化率和瞬时变化率，理解平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系，并理解平均变化率、瞬时变化率的几何意义。
知识点归纳1．平均变化率对于函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，它的平均变化率为： 。
通常我们把自变量的变化12x x -称作： ，记为： 。
函数值的变化()()21x f x f -称作： ，记为： ，这样，函数的平均变化率就可以表示为： ；平均变化率的几何意义是： 。
2．瞬时变化率对于一般的函数，在自变量x 从1x 变到2x 的过程中，若设,12x x x -=∆ ()()12x f x f y -=∆，则函数的平均变化率是 ，而当 时，平均变化率就趋于函数在 点的 ；瞬时变化率的几何意义是： 。
重难点剖析重点：理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；难点：对平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系的正确理解； 剖析：1．平均变化率在理解平均变化率时应注意以下几点：（1）1212)()(x x x f x f x f --=∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(11式子中的f x ∆∆,的值可正，可负，但x ∆的值不能为0，f ∆的值可以为0，若函数()x f 为常函数时，0=∆f 。
（2）平均变化率是指函数值的“增量”f ∆与相应自变量的“增量” x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。
2018版数学北师大版选修2-2学案：第二章 变化率与导数
1 变化率与导数1．变化率函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，它是用来刻画函数值在区间[x 0，x 1]上变化快慢的量．式中Δx ，Δy 的值可正、可负，当函数f (x )为常数函数时，Δy 的值为0，但Δx 不能为0.当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．例1 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人在时间段[0，t 0]内的平均速度哪个大？解 比较在相同的时间段[0，t 0]内，两人速度的平均变化率的大小便知结果． 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 所以s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0.所以在时间段[0，t 0]内乙的平均速度比甲的大．点评 比较两人的平均速度的大小，其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小．2．导数的概念及其几何意义函数y ＝f (x )在x 0点的导数即为函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率，即当Δx 趋于0时，函数值y 关于x 的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的极限值；Δx 趋于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零．函数y ＝f (x )在x 0点处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即f ′(x 0)＝k ＝tan α，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量．例2 如图所示，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f [f (0)]＝________；lim Δx→f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝________.(用数字作答)解析 由A (0，4)，B (2,0)可得线段AB 的方程为f (x )＝－2x ＋4(0≤x ≤2)． 同理线段BC 的方程为f (x )＝x －2(2<x ≤6)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6，所以f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2，lim Δx→f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝－2.答案 2 －2例3 函数f (x )的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析 根据导数的几何意义，考查函数在点B (2，f (2))及A (3，f (3))处的切线的斜率．由图可见，过点B 的切线的斜率大于过点A 的切线的斜率，则有0<f ′(3)<f ′(2)． 另一方面，这两点的平均变化率为f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，其几何意义为割线AB 的斜率．由图，可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)． 答案 C点评 本题通过导数的定义反过来对变化率进行了考查．通过上述三例可以看出，变化率是一个十分重要的概念，它是连接初等数学与导数的一个桥梁，学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫．2 导数计算中的策略1．活用定义例1 已知函数f (x )＝3x 4－2x 3＋5，则lim Δx→f (1＋2Δx )－f (1)Δx ＝________.分析 在导数定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 选择哪种增量形式，相应的Δy 也应选择对应的形式，本题中Δy 中x 的增量为2Δx ，则分母也应为2Δx . 解析 因为f ′(x )＝12x 3－6x 2， 所以原式＝lim Δx→f (1＋2Δx )－f (1)2Δx ·2＝2f ′(1)＝12.答案 12 2．整体构造例2 若函数f (x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2013)，求f ′(2013)的值．分析 本题的待求值让人有点“无所适从”，造成这种情况的主要原因是没有找到解决问题的入手点．若仔细观察分析，把前面的(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2012)看成一个整体，然后利用积的求导法则，则问题便可迎刃而解．解 令φ(x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2012)，则f (x )＝(x －2013)φ(x )， 故f ′(x )＝φ(x )＋(x －2013)φ′(x )，于是有 f ′(2013)＝φ(2013)＝1×2×3×…×2012. 3．化繁为简例3 求f (x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x 的导函数． 分析 对此题，若直接求导，则需要按照乘积的求导运算法则来求导，计算量显然较大．如果求解此题时将求导的多项式展开，再利用公式求导，那么此题的求解就会非常简单． 解 因为f (x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1－x ＋1x －1＝－x ＋1x， 所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1x ′＝－12x －12－12x －32.点评 在导数的运算中，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，使每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运算失误．3 巧用导数的几何意义解题1．求参数例1 设曲线y ＝f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.解析 根据导数的定义，Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－a Δx ＝2a Δx ＋a (Δx )2Δx＝2a ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋a Δx 无限趋近于2a ， 即f ′(1)＝2a .又由曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，得2a ＝2，即a ＝1. 答案 1 2．求倾斜角例2 求曲线y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角．分析 要求切线的倾斜角α，先要求切线的斜率k ，再根据斜率k ＝tan α，求出倾斜角α. 解 设曲线y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为α.f (1＋Δx )－f (1)Δx＝13(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－⎝⎛⎭⎫13－1＋5Δx＝13(Δx )3－Δx Δx ＝13(Δx )2－1，当Δx 无限趋近于0时，13(Δx )2－1无限趋近于－1，即tan α＝f ′(1)＝－1.因为α∈[0，π)，所以α＝3π4.故切线的倾斜角为3π4.点评 切线的倾斜角α能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角α的取值范围． 3．求曲线的切线例3 求在点P ⎝⎛⎭⎫2，83处与曲线y ＝13x 3相切的切线方程． 分析 要求直线在点P 处的切线方程，需求得过点P 的切线的斜率k ，然后根据点斜式可求得切线方程．解 因为点P ⎝⎛⎭⎫2，83在曲线y ＝13x 3上， Δy ＝13(2＋Δx )3－13×23＝4Δx ＋2(Δx )2＋13(Δx )3，所以Δy Δx ＝4＋2Δx ＋13(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4，即k ＝4.故所求的切线方程为y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.点评 求在点P 处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程． 4．求切点的坐标例4 若曲线y ＝f (x )＝x 3＋1在点P 处的切线的斜率为3，求点P 的坐标．分析 要求点P 的坐标，可设点P 的坐标为(x 0，x 30＋1)，然后由切线的斜率为3，解方程求得．解 设点P 的坐标为(x 0，x 30＋1)，因为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝3x 20·Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，上式无限趋近于3x 20，所以3x 20＝3，解得x 0＝±1. 故点P 的坐标是(1,2)或(－1,0)．点评 值得注意的是切点P 的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错.4 剖析导数运算中的常见错误1．对f ′(x 0)与f ′(x )理解有误例1 已知函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)的值为( ) A ．0 B ．－4 C ．－2D ．2错解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，得f (0)＝0. 所以f ′(0)＝0.故选A.错因分析 解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f ′(1)是常数． 正解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，得 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)． 所以f ′(1)＝－2.从而f ′(x )＝2x －4. 所以f ′(0)＝－4.故选B. 2．切点位置的确定有误例2 求过点P (1，0)且与曲线f (x )＝x 3－x 相切的直线的方程． 错解 由题意知点P (1，0)在曲线上． 因为f ′(x )＝3x 2－1，所以f ′(1)＝2.所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.错因分析 点P (1，0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P (1，0)当作切点显然是错误的．求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P 处的切线方程(一定是以点P 为切点)；(2)曲线过点P 的切线方程(无论点P 是否在曲线上，点P 都不一定是切点)．正解 设切点为(x 0，x 30－x 0)， 则过该点的切线方程为y －(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(x －x 0)．由切线过点P (1，0)，得0－(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(1－x 0)， 整理得2x 30－3x 20＋1＝0.即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12.所以切线方程为2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0. 3．对切线定义的理解有误例3 已知曲线C ：y ＝f (x )＝13x 3＋43，曲线C 在点P (2，4)处的切线方程为y ＝4x －4，试分析该切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 错解 由于直线y ＝4x －4与曲线C 相切，因此除切点P (2，4)外没有其他的公共点． 错因分析 “切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立．正解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4y ＝13x 3＋43消去y 整理，得x 3－12x ＋16＝0，即(x －2)(x 2＋2x －8)＝0. 所以(x －2)2(x ＋4)＝0，解得x ＝2或x ＝－4. 所以交点的坐标为(2，4)，(－4，－20)，所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20)．。
高级中学高中数学(北师大版)选修2-2导学案：第二章 变化的快慢与变化率(第1讲)
1．自变量x 从0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A.在区间[0x ，1x ]上的平均变化率
B.在0x 处的变化率
C.在1x 处的变化量
D.在区间[0x ，1x ]上的瞬时变化率
2．在求平均变化率时，自变量的增量△x 满足（ ）
A. △x>0
B. △x<0
C. △x=0
D. △x ≠0
3.函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是（ ）
A.5
B.-5
C.4
D.-4
4.若质点A 按规律32t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（ ）
A.6
B.18
C.54
D.81
5.已知函数y=x 3-2,则当x=2时的瞬时变化率是 。
6.已知物体运动的速度与时间的关系是v(t)=t 2+2t+2， 则在时间间隔[1，1+△t]内的平均加速度是 。
7.求函数y=x 1
在x=2处的瞬时变化率。
8.求函数y=x 在x=4处的瞬时变化率。
9.求函数y=x+x 1
在x=1处的瞬时变化率。
答案ADAC 5.12;6.4t +∆；7.14-；8.1
4；9.0。
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第2章 变化率与导数导数的定义求导【例1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数．思路探究：根据求导的步骤求解即可． [解] y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx →02x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1.导数定义的理解函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是f (x )在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；当Δx 趋于0时的极限，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx，这是数学上的“逼近思想”． 对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设f (x )在x 处可导，则lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝( )A ．2f ′(x )B ．12f ′(x ) C ．f ′(x ) D ．4f ′(x )C [lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝lim Δh →0f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －h )2h＝12lim Δh →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋12lim Δh →0 f (x )－f (x －h )h ＝f ′(x )．]导数的几何意义的应用3(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x 0，f (x 0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32． (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ， 切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，① 又y 1＝f (x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．2．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－14的曲线的切线方程．[解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)∵点P (1,1)在y ＝1x上，∴k ＝y ′|x ＝1＝－112＝－1．∴在点P (1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)． ∴切线方程为：x ＋y －2＝0.(2)∵点Q (1,0)不在曲线y ＝1x上，可设切点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，∴在A 点处的切线方程为：y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．∴切线方程为：y ＝－1x 20x ＋2x 0.又∵切线过点Q (1,0)，∴－1x 20＋2x 0＝0，∴2x 0－1＝0，∴x 0＝12.∴切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，则切线的斜率为k ＝－1x 21.又∵－1x 21＝－14，∴x 21＝4，∴x 1＝2或－2，∴切点为B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，∴切线方程为：y －12＝－14(x －2)，或y ＋12＝－14(x ＋2)，∴切线方程为：y ＝－14x ＋1或y ＝－14x －1．求函数的导数(1)y ＝(1＋x 2)cos x ； (2)y ＝ln x x－2x；(3)y ＝e －ax 2＋bx .思路探究：认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算．[解] (1)∵y ＝(1＋x 2)cos x ， ∴y ′＝2x cos x ＋(1＋x 2)(－sin x ) ＝2x cos x －sin x －x 2sin x . (2)∵y ＝ln x x－2x ，∴y ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2－2x ln 2＝1－ln x x2－2x ln 2． (3)y ＝e u ，u ＝－ax 2＋bx .y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－ax 2＋bx )′＝e u·(－2ax ＋b )＝(－2ax ＋b )e －ax 2＋bx .运算法则求导的注意点求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．3．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x； (3)y ＝1＋ln 2x .[解] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2，∴y ′＝3x 2－2x3.(2)∵y ＝3x 32－x ＋5－9x －12，∴y ′＝3(x 32)′－x ′＋5′－9(x －12)′ ＝92x 12－1＋92x －32＝92 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1． (3)y ＝u 12，u ＝1＋v 2，v ＝ln x . y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝12u －12·2v ·1x＝12·11＋ln 2x·2ln x ·1x ＝ln xx 1＋ln 2 x .导数的综合问题【例4】 设函数f (x )＝ax ＋x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．思路探究：(1)用待定系数法求解，根据条件通过导数建立关于a ，b 的方程组，解方程组确定a ，b 从而得到f (x )的解析式．(2)设曲线上任一点坐标(x 0，y 0)，表示出该点的切线方程，然后证明三角形的面积与点(x 0，y 0)无关．[解] (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，则依题意f ′(2)＝0，f (2)＝3. 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2，知在此点处的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1， 即切线与直线x ＝1的交点为⎝⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1； 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 又直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)， 从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2．所以，所围成的三角形的面积为定值2．导数应用中的数学思想导函数本身就是一种函数，因此在解决有关导数的问题时，常常会用到函数方程思想．函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程思想就是分析数学问题中变量的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决．4．已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试在抛物线的弧︵AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．[解] 设P (x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧︵AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y ′＝12x，由题意知k AB ＝12，所以k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，所以y 0＝1，所以P (1,1)．。