高等代数与解析几何第七章习题7答案
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习题
习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明:
(1)如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=,则A 必可对角化; (2)如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211,且A 不是对角阵,则
A 不可对角化。
证明:(1)因为A 是一个n 阶下三角矩阵,所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ,又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=,所以A 有
n 个不同的特征值,即A 有n 个线性无关的特征向量,以这n 个线性无
关的特征向量为列构成一个可逆阵P ,则有AP P 1-为对角阵,故A 必可对角化。
(2)假设A 可对角化,即存在对角阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=n B λλλO
2
1
,使得A 与B 相似,进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ,所以1121a n ====λλλΛ,从而
E a a a a B nn 112211
=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=O
,于是对于任意非退化矩阵X ,都有B E a EX a X BX X ===--111111,而A 不是对角阵,必有A B BX X ≠=-1,与
假设矛盾,所以A 不可对角化。
习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值
s λλλ,,,21Λ,i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明:
(1)s V V V +++Λ21是直和;
(2)σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明:(1)取s V V V +++Λ21的零向量0,写成分解式有
021=+++s αααΛ,其中i i V ∈α,s i ,,2,1Λ=。现用1
2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边,可得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++---000
1212111221121s s s s s s
s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为
)0,,0,0(11
1
),,,(11221
1
121ΛΛ
M M
M Λ
ΛΛ=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的,所以矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=---11221
1111
1
s s s s s B λλλλλλΛ
M M
M Λ
Λ的行列式不为零,即矩阵B 是可逆的,进而有
)0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα,)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。
这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的,故由定义可得
s V V V +++Λ21是直和。
(2))(⇒因i V ,s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间,所以有s V V V V ⊕⊕⊕⊇Λ21。
又因σ可对角化,所以σ有n 个线性无关的特征向量,它们定属于某一特征值,即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α,一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示,所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α,即得
s V V V V ⊕⊕⊕⊆Λ21成立,故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。
)(⇐因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21,
所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基:i id i i ααα,,,21Λ,
s i ,,2,1Λ=,其中n d d d s =+++Λ21,进而得V
的基:
1
11211,,,d αααΛ,,,,,,2
22221ΛΛd αααs
sd s s ααα,,,21Λ。又知基向量中的每一个向
量都是σ的特征向量,故得σ有n 个线性无关的特征向量,所以σ可对角化。
习题设D 是n 阶对角阵,它的特征多项式为
s c s c c D )()()()(2121λλλλλλλ---=∆Λ,
其中s λλλ,,,21Λ两两不同。设
}|)({DB BD F M B V n =∈=,
证明:V 是)(F M n 的子空间,且
22
221dim s c c c V +++=Λ。
证明:对V B A ∈∀,,即DA AD =,DB BD =,F l k ∈∀,,有
)()()()()()()()(lB kA D DB l DA k BD l AD k D lB D kA D lB kA +=+=+=+=+,
所以V lB kA ∈+,即V 是)(F M n 的子空间。
设⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛=s c s c
c E E E D λλλO
2
1
21,则由习题知与D 可交换的矩阵只能是准对角矩阵,即⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=s B B B B O
2
1
,其中i B 为i c 阶方阵,s i ,,2,1Λ=。进而对V B B B B s ∈⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=∀O
2
1,都可由i 行,j 列元素为1,其余元素全为零的n 阶方阵