《探索与表达规律》典型例题
北师大 版七年级上册3.5《探索和表达规律》【同步练习】(含解析)
《探索与表达规律》同步练习1.下列数字的排列：2，12，36，80，那么下一个数是（）A 100 B. 125 C. 150 D.175答案：C解析：解答：∵2=1+1=13+12，12=8+4=23+22，36=27+9=33+32，80=64+16=43+42，∴下一个数是53+52=125+25=150．（第n个数为n3+n2）．故选C分析:所给的数正好可以分成同一个数的立方与平方的和，从而得解.2.现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）答案：D解析：解答:A.∵ 2有3个，∵ 不可以作为S1，故A选项错误；B.∵ 2有3个，∵ 不可以作为S1，故B选项错误；C.3只有1个，∵ 不可以作为S1，故C选项错误；D.符合定义的一种变换，故D选项正确．选：D．分析:根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择3.将正奇数按下表排成5列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行 1 3 5 7第二行15 13 11 9第三行17 19 21 23第四行31 29 27 25…根据上面规律，2007应在（）A．125行，3列B．125行，2列C．251行，2列D．251行，5列答案：D解析：解答: 因为（2007+1）÷2=2008÷2=1004所以2007是第1004个奇数；因为1004÷4=251，所以2007在第251行；又因为奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列，所以2007应在第5列，综上，可得2007应在第251行第5列．选：D．分析: 首先判断出2007是第1004个奇数；然后根据每行有4个奇数，用1004除以4，判断出2007在第251行；最后根据奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列，可得2007应在第5列，据此判断4. 一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15答案:A解析：解答:∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．故选：A分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答即可.5.多位数139713…、684268…，都是按如下方法得到的：将第1位数字乘以3，积为一位数时，将其写在第2位；积为两位数时，将其个位数字写在第2位．对第2位数字进行上述操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字为4时，所得多位数前2014位的所有数字之和是（）A．10072 B．10066 C．10064 D．10060答案:B解析：解答:当第1位数字为4时，得到42684268…，每四个数字一循环，∵2014÷4=503…2，∴第2014位的数字是2，则（4+2+6+8）×503+4+2=20×503+6=10066．选：B．分析: 通过计算发现，每4位数为一个循环组依次循环，然后用2014除以4即可得出第2014位数字是第几个循环组的第几个数字，由此进一步计算得出答案6.小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果：3-2=1，8+7-6-5=4，15+14+13-12-11-10=9，24+23+22+21-20-19-18-17=16，…根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（）A．360 B．339 C．440 D．483答案:C解析：解答: ∵3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…∵第20个式子左起第一个数是：212-1=440．选：C．分析: 根据左起第一个数3，8，15，24…的变化规律得出第n行左起第一个数为（n+1）2-1，由此求出7.四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到2015时对应的小朋友可得一朵红花．那么得红花的小朋友是（）A．小沈B．小叶C．小李D．小王答案:A解析：解答: 去掉第一个数，每6个数一循环，（2015-1）÷6=2014÷6=335…4，则2015时对应的小朋友与5对应的小朋友是同一个．选：C．分析: 从图上可以看出，去掉第一个数，每6个数一循环，用（2015-1）÷6算出余数，再进一步确定2015的位置8.观察下列数据：0，3，8，15，24…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第201个数据是（）A．40400 B．40040 C．4040 D．404答案:A解析：解答: ∵0=12-1，3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…，∵ 第201个数据是：2012-1=40400．选A．分析: 观察不难发现，各数据都等于完全平方数减1，然后列式计算即可得解9.对于每个正整数n，设f（n）表示n（n+1）的末位数字．例如：f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），…则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值为（）A．6 B．4022 C．4028 D．6708答案:C解析：解答:∵f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，∵每5个数一循环，分别为2，6，2，0，0…∵2012÷5=402..2∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=2+6+2+0+0+2+6+2+…+2+6=402×（2+6+2）+8=4028．选：C．分析: 首先根据已知得出规律，f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，进而求出10.两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31，…7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第1个相同的数是7，第10个相同的数是（）A．115 B．127 C．139 D．151答案:A解析：解答: 第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m+4，第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n+3，∵3与4的最小公倍数为12，∵这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12，∵第一个相同的数为7，∵相同的数的组成的数列的通式为12a-5，第10个相同的数是：12×10-5=120-1=115．选：A．分析: 根据两组数的变化规律写出两组数的通式，从而得到它们的相同数列中两个相邻的数的差值，再结合第一个相同的数写出通式，然后把序数10代入进行计算11.对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（）A．0 B．1 C．3 D．5答案:C解析：解答: ∵1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，而5!、…、10!的数中都含有2与5的积，∵5!、…、10!的末尾数都是0，∵1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．选C．分析: 根据n!=1×2×3×...×n得到1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，且5!、...、10!的数中都含有2与5的积，则5!、...、10!的末尾数都是0，于是得到1!+2!+3!+ (10)的末尾数为312.一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15答案:A解析：解答: ∵每个数都等于它前面的两个数之和，∵x=1+2=3，∵y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．选：A．分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答13.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．252答案:C解析：解答: ∵a+（a+2）=20，∵a=9，∵b=a+1，∵b=a+1=9+1=10，∵x=20b+a=20×10+9=200+9=209选：C．分析: 首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4-1=3，6-2=4，8-3=5，10-4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值14.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）答案:B解析：解答：2015是第201512+=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n-1）≥1008，即()1212n n+-≥1008，解得：当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024-1=2047，第32组的第一个数为：2×962-1=1923，则2015是（201512923+1）=47个数．故A2015=（32，47）．选B．分析:先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，请根据这组数的规律写出第10个数是（）A．25 B．27 C．55 D．120答案:C解析：解答：1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55．所以第10个数是55．选C．分析: 观察发现，从第三个数开始，后一个数是前两个数的和，依次计算求解16.有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，9，8，依此类推，则从数串，开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是___答案:520解析：解答:一个依次排列的n个数组成一个数串：a1，a2，a3，…，a n，依题设操作方法可得新增的数为：a2- a1，a3- a2，a4- a3，a n- a n -1，所以，新增数之和为：（a2- a1）+（a3- a2）+（a4- a3）+…+（a n - a n -1）= a n - a1，原数串为3个数：3，9，8，第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8，根据（*）可知，新增2项之和为：6+（-1）=5=8-3，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，-10，-1，9，8，根据（*）可知，新增2项之和为：3+3+（-10）+9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（8-3）=520，答案为：520．分析: 根据题意，计算可得第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8；进而可得第2次操作后所得数串；分析可得其规律，运用规律可得答案17.将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是______答案: 50解析：解答: 由排列的规律可得，第n-1行结束的时候排了1+2+3+…+n-1=12n（n-1）个数．所以第n行从左向右的第5个数12n（n-1）+5．所以n=10时，第10行从左向右的第5个数为50．答案为：50．分析：先找到数的排列规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，即可求出第10行从左向右的第5个数18.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为_________答案:4解析：解答: ∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；∴50÷4=12余2，∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需报到：9，21，33，45这4个数时，应拍手4次．答案为：4．分析: 根据报数规律得出甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，即可得出报出的数为3的倍数的个数，即可得出答案19.观察下列等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2015= _________ 答案：1016064 解析：解答：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，所以1+3+5+…+2015=1+3+5+…+（2×1008-1）=10082=1016064答案为：1016064．分析: 根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n -1）=n 2，据此求出1+3+5+…+2015的值20.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________ 答案：45解析：解答: 第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45分析: 根据所给的数据发现：第n 个三角形数是1+2+3+…+n ，由此代入分别求得答案 21.32-1=8×1，52-1=24=8×3，72-1=48=8×6，92-1=80=8×10，…你发现了什么？答案:（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）解答: （1）n=1时，（2×1+1）2-1=8×1；n=2时，（2×2+1）2-1=24=8×（1+2）；n=3时，（2×3+1）2-1=48=8×（1+2+3）；n=4时，（2×4+1）2-1=80=8×（1+2+3+4）；…n=n时，（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）．即发现的规律为：（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）解析：分析: 式子的左边是一个奇数的平方减去1；等式右边是8的倍数，即（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）22.观察下列各式你会发现什么规律？1×5=5，而5=32-222×6=12，而12=42-223×7=21，而21=52-22…（1）求10×14的值，并写出与题目相符合的形式；答案:解答: 10×14=140=122-22；（2）将你猜想的规律用只含一个字母n的等式表示出来，并说明等式的正确性．答案: n（n+4）=（n+2）2-22．解答:第n个等式为n（n +4）=（n+2）2-22．∵ 左边= n（n +4）=n2+4n右边=（n +2）2-22=n2+4n+4-4═n2+4n左边=右边∵ n（n+4）=（n+2）2-22．解析：分析: 由1×5=5，而5=5=32-22；2×6=12，而12=42-22；3×7=21，而21=52-22…可以看出两个因数相差4，所得的积是大的因数减去2的差的平方再减去2的平方，由此规律计算23.有规律排列的一列数：2、4、6、8…它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示；有规律的一列数：1、-2、3、-4、5、-6、7、-8…它的第100个数是什么？第n个数是什么？答案：100个数是-100，第n个数，（-1）n+1n；解析：解答：（1）奇数为正数，偶数为负数，并且第n个数的绝对值为n，所以100个数是-100，第n个数，（-1）n+1n；分析: 先得到符号的规律，再得到绝对值的规律即可；24.观察下列等式：12-02 ∵，22-12 ∵，32-22 ∵，42-32 ∵，…（1）按此规律猜想写出第∵和第∵个算式；答案：观察所给的4个算式，可知∵、∵个算式为：62-52，102-92；（2）请用含自然数n的等式表示这种规律．答案：用含自然数n的式子表示这种规律为：n2-（n-1）2解析：解答：（1）观察所给的4个算式，可知∵、∵个算式为：62-52，102-92；（2）用含自然数n的式子表示这种规律为：n2-（n-1）2分析: 本题考查规律型终端额数字变化问题，比较简单，考查学生的观察和总结能力25.观察：4×6=24，14×16=224，24×26=624，34×36=1224…，（1）上面两数相乘后，其末尾的两位数有什么规律？答案：末尾都是24；（2）如果按照上面的规律计算：124×126（请写出计算过程）．答案：124×126=12×（12+1）×100+24=15600+24=15624；答案：（10a+4）（10a+6）=100a2+100a+24=100a（a+1）+24．解析：分析:本题考查了数字的变化类问题，仔细观察算式发现规律是解答本题的关键。
七年级上册数学探索与表达规律训练题
七年级上册数学探索与表达规律训练题一、选择题每小题4分,共12分1.2021•武汉中考一列数a1,a2,a3, …,其中a1= ,an= n为不小于2的整数,则a4的值为2.希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”.从中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中,符合这一规律的是A.13 =3+10B.25=9+16C.36=15+21D.49=18+313.2021•铜仁中考如,第①个形中一共有1个平行四边形,第②个形中一共有5个平行四边形,第③个形中一共有11个平行四边形,……则第⑩个形中平行四边形的个数是A.54B.110C.19D.109二、填空题每小题4分,共12分4.2021•肇庆中考观察下列一组数: , , , , ,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第k个数是.5.观察下列等式: =1- , + =1- ,+ + =1- ,…请根据上面的规律计算:+ + +…+ =.6.2021•桂林中考如是在正方形网格中按规律填成的阴影,根据此规律,第n个中的阴影部分小正方形的个数是.三、解答题共26分7.8分如是用棋子摆成的“T”字案.从案中可以看出,第一个“T”字案需要5枚棋子,第二个“T”字案需要8枚棋子,第三个“T”字案需要11枚棋子.1照此规律,摆成第四个案需要几枚棋子?2摆成第n个案需要几枚棋子?3摆成第2021个案需要几枚棋子?8.8分有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,…它的每一项可用式子2nn是正整数来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,…1它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?2它的第100个数是多少?32021是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?【拓展延伸】9. 10分观察下列等式:12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26,…以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.1根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:①52×= ×25;②×396=693×.2设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子含a,b且a b≠0.答案解析1.【解析】选A.因为a1= ,an= ,所以a2= = ,同理a3= = ,a4= = .2.【解析】选C.因为斜线把正方形分成的两部分点数计算为:第1个形是4=1+1+2,第2个形是9=1+2+1+2+3,…,所以根据此规律得36=1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+6=15+21,故答案为C.3.【解析】选D.第①个形中有1个平行四边形;第②个形中有1+4=5个平行四边形;第③个形中有1+4+6=11个平行四边形;第④个形中有1+4+6+8=19个平行四边形;…第n个形中有1+22+3+4+…+n个平行四边形;所以第⑩个形中有1+22+3+4+5+6+7+8+9+10=109个平行四边形.4.【解析】因为分子的规律是2k,分母的规律是2k+1,所以第k个数就应该是: .答案5.【解析】根据规律得右边结果应有两项,即1- .答案1-6.【解析】根据形可知:第一个形中阴影部分小正方形个数为4=2+2=1×2+2,第二个形中阴影部分小正方形个数为8=6+2=2×3+2,第三个形中阴影部分小正方形个数为14=12+2=3×4+2,…所以第n个形中阴影部分小正方形个数为nn+1+2.答案nn+1+27.【解析】19+5=14枚.故摆成第四个案需要14枚棋子.2因为第①个案有5枚棋子,第②个案有5+3×1枚棋子,第③个案有5+3×2枚棋子,依此规律可得第n个案需5+3×n-1=5+3n-3= 3n+2枚棋子.33×2021+2=6044枚,即第2021个案需6044枚棋子.8.【解析】1它的每一项可以用式子- 1n+1nn是正整数表示.2它的第100个数是-1100+1×100=-100.3当n=2021时,-12021+1×2021=2021,所以2021是其中的第2021个数.9.【解析】1①因为5+2=7,所以左边的三位数是275,右边的三位数是572,所以52×275=572×25.②因为左边的三位数是396,所以左边的两位数是63,右边的两位数是36,63×396=693×36.2因为左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,所以左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10a+b+a,右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10a+b+b,所以一般规律的式子为:10a+b×[100b+10a+b+a]=[100a+10a+b+ b]×10b+a.。
《探索与表达规律》专项练习【2020北师大版七年级数学上册】
试题汇编一一找规律1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有______ 个菱形，第n幅图中有 _______ 个菱形.1 2 3 n3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去,4、观察表一，寻找规律.表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a、b、c的值分别为________________ .5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面.如果铺成一个 2 2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3 3的正方形有8个小圆圈，第100个图中有个小圆圈.2、(1) (2) (3)找规律.下列图中有大小不同的菱形, 第1幅图中有1个菱形，第2幅图中则第n个图形需棋子枚（用含n的代数式表示）.第1个图• •第2个图第3个图O图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4 4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个•若这样铺成一个10 10的正方形图案,6 如下图，用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子_____________ 枚（用含有n的代数式表示，并写成最简形式）•O O O O O O O O OO O O O••O O•••OO•O O••O O•••OO O O O O O O O•••OO O O O O7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形需______ 根火柴棒。
8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ,m ）表示第n排, 从左到右第m个数，如（4，2 ）表示实数9，则表示实数17的有序实数对1第一排3 2 "，，，・，第二排4□56第三排1098 匚7第四排9、如图2 ，用n表示等边三角形边上的小圆圈，f（n）表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f（n）和n的关系是___________则其中完整的圆共有 __________ 个.3J00 … o oo ooo o oo ooo oooo10、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是（ ）1-2 3-4 5 -67 -8 9 -100 0 0 0 0 0 11、下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成， 依此规律, 第n 个图案中白色正方形的个数为 ___________ :12、观察下列各式：答案解析：1解析：n=1时，m=5 n 再每增加一个数时，m 就增加3个数•解答：根据所给 的具体数据，发现：8=5+3, 11=5+3X 2, 14=5+3X 3,….以此类推，第n 个圈 中，m=5+3( n-1 ) =3n+2.2解析：分析可得：第1幅图中有1X2-1=1个，第2幅图中有2X2-1=3个，第 3幅图中有3X2-1=5个，…，故第n 幅图中共有2n-1个3解析：在4的基础上，依次多3个，得到第n 个图中共有的棋子数.观察图形，发现：在4的基础上，依次多3个.即第n 个图中有4+3( n-1 )=3n+1.当 n=6时，即原式=19.故第6个图形需棋子19枚4解析：此题只要找出截取表一的那部分，并找出其规律即可解.解答：解：表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以a=15+3=18. 表猜.3 _3 _3 . . ._3 1 2 3 L L 10.3 .2 ,3 ^3 小2 1 11 2 3 62 ,3 小3 八2 1 2 3 ffl第一个,3 小3 八3 ,3 2 1 2 3 4 10三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1,所b=24+25-20+1=30.表四中截取的是两行三列中的6个数字：18是3的6倍，则c应是4的7倍，即28.故选D.认真观察表格，熟知各个数字之间的关系：第一列是1, 2，3,…；第二列是对应第一列的2倍；等三列是对应第一列的3倍5解析：据给出的四个图形的规律可以知道，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，每四个小正方形组成一个完整的圆，从而可得这样的圆是大正方形边长减1的平方，从而可得若这样铺成一个10X 10的正方形图案，则其中完整的圆共有102+ (10-1 ) 2=181个.解答：解：分析可得完整的圆是大正方形的边长减1的平方，从而可知铺成一个, _ 2 210X 10的正方形图案中，完整的圆共有10+ (10-1) =181个.点评：本题难度中等，考查探究图形的规律.本题也只可以直接根据给出的四个图形中计数出的圆的个数，找出数字之间的规律得出答案.6解析：解：第1个正方形图案有棋子共32=9枚，其中黑色棋子有12=1枚，白色棋子有(32-12)枚；第2个正方形图案有棋子共42=16枚，其中黑色棋子有22=4枚，白色棋子有(42-22) 枚；…由此可推出想第n个图案的白色棋子数为（n+2）2-n2=4 （n+1）.故第n个图案的白色棋子数为（n+2）2-n2=4 （n+1）.点评：根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论7解析：根据题意分析可得：搭第1个图形需12根火柴；搭第2个图形需12+6X仁18根；搭第3个图形需12+6X 2=24根；搭第n个图形需12+6 （n-1 ）=6n+6根.解答：解：搭第334个图形需6X 334+6=2010根火柴棒8解析：寻找规律，然后解答.每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小.解答：解：观察图表可知：每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小.实数15=1+2+3+4+5则17在第6 排,第5个位置，即其坐标为（6, 5）.故答案填：（6, 5）.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.9解析：根据题意分析可得：第n行有n个小圆圈.故f （n）和n的关系是？（n）=扌（n2+n）.（^―11KR 10解析：根据题意可得：第n行有n个数；且第n行第一个数的绝对值为9（7i—+1，最后一个数的绝对值为 2 +n；奇数为正，偶数为负；故第50行的最后一个数是1275.（凱一1））＜旧解答：解：第n行第一个数的绝对值为 2 +1，最后一个数的绝对值为+n，奇数为正，偶数为负，第50行的最后一个数是127511、第一个图中白色正方形的个数为3X3-1 ;第二个图中白色正方形的个数为3X5-2第三个图中白色正方形的个数为3X7-3 ;当其为第n个时，白色正方形的个数为3 (2n+1) -n=5n+312解析：根据所给的等式，可以发现右边的底数是前边的底数的和，指数是平方，则最后的底数是1+2+3+..+10=5 X 11=55,贝U原式M552•解答：解：根据分析最后的底数是1+2+3+..+10=5 X 11=55,则原式=552.故答案552。
《探索与表达规律》典型例题.docx
《探索与表达律》典型例例 1察下列数表：1234⋯⋯第一行2345⋯⋯第二行3456⋯⋯第三行4567⋯⋯第四行第第第第一二三四列列列列根据数表所反映的律，猜想第六行第六列的交叉点上的数是多少？第n 行第 n 列交叉点上的数是多少？例 2 用含n（n自然数）的等式表示你下列等式含的律性的估：13＝113＋23＝913＋23＋ 33＝3613＋ 23＋33＋ 43＝100⋯⋯⋯⋯例 3 算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋⋯＋1993＋1994－1995－1996＋ 1997．例 4 （江西省中考）如用黑白两种色的正六形地面按如下所示的律，拼成若干个案：（1）第 4 个案中有白色地面 __________；（2）第 n 个案中有白色地面 __________．例 5下表三角系数表，它的作用是指者按律写出形如( a b) n（其中 n 正整数）展开式的系数，你仔察下表中的律，填出(a b)4展开式中所缺的系数．(a b)a b( a b) 2a22ab b2(a b)3a33a2b 3ab2b3(a b) 4a4____ a3b6a2 b24ab3b4例 6 （广西中考）下列一段，并解决后面的．察下面一列数：1， 2， 4， 8，⋯⋯我，一列数从第 2 起，每一与它前一的比都等于2．一般地，如果一列数从第 2 起，每一与它前一的比都等于同一个常数，一列数就叫做等比数列，个常数叫做等比数列的公比．（1）等比数列 5，－ 15，45，⋯⋯的第 4 是 ________；（2）如果一列数a1,a2, a3,a4，⋯⋯是等比数列，且公比q，那么根据上述的定，有a2q, a3q, a4q ，⋯⋯a1a2a3所以a2a1q ，a a2q ( a q)q a q2，311a4a3q (a1 q2 ) q a1 q3，⋯⋯a n_ _ _ _ .（用 a1与q的代数式表示）（3）一个等比数列的第 2 是 10，第 3 是 20，求它的第 1 与第 4 ．参考答案例 1 分析：从左上角到右下角数的排列是1，3，5，7⋯，所以，第六行第六列的交叉点上的数是 11，第 n 行第 n 列交叉点上的数是 2n 1．解：第六行第六列的交叉点上的数是11，第 n行第 n 列交叉点上的数是 2n 1．明：一个偶数可以写成 2n 形式，一个奇数可以写成2n 1形式，其中 n 是整数．例 2 分析：等号右分是12，32，62，102，⋯，由1＋2＝3，1＋2＋3＝6猜想左各底数之和，恰右写的形式后的底数，而第四个等式恰与此猜想相符。
七年级上探索与表达规律
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31
日
一
二
三
四
五
六
8
如左图在月历中圈出的三个数： ①如果中间的数是8，那么前、后两个数分别是多少？ 这三个数的和是__________ ②如果中间是23呢？则前、后两数分别是多少？这三个数的和是____________ ③如果中间是a呢？则前、后两数分别是____________ 这三个数的和是_____________
S2
S3
S4
图6
4、如图6，∠AOB=450，过OA到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，----的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1、S2、S3、S4--- 观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积 S10=__________
5、一个巴尔末的中学教师成功地从光谱数据， ---中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n(n≥1)个数据是___________________.
一、特例引入，揭示课题
01
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题1：观察下面的几个算式，你发现了什么？
02
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= 1
03
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112 = 121
04
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1112 = 12321
05
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11112 = 1234321
06
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利用上面的规律，猜想111112=____
题2：观察下面的几个算式，你发现了什么规律？
1+2+1 = 4
1+2+3+2+1 = 9
数学六年级上册第三章第7节 《探索与表达规律》专题训练及答案解析
第七节《探索与表达规律》专题训练一．选择题（共8小题）1．（2014•十堰）根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（）A．B．C．D．2．（2014•涉县一模）将从1开始的正整数按如图方式排列．字母P，Q，M．N表示数字的位置，则2013这个数应排的位置是（）A．P B．N C．Q D．M3．（2014•凤阳县模拟）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有★个（）A．63 B．57 C．68 D．60 4．（2014•沙坪坝区一模）用若干张大小相同的黑白两种颜色的正方形纸片，按下列拼图的规律拼成一列图案，则第6个图案中黑色正方形纸片的张数是（）A．22 B．21 C．20 D．19 5．（2014•沙坪坝区二模）观察下列图形，则第7个图形中三角形的个数是（）A．10 B．28 C．24 D．32 6．（2014•十堰）观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为（）A．51 B．45 C．42 D．317．（2013•南平）给定一列按规律排列的数：，则这列数的第6个数是（）A．B．C．D．8．（2013•日照）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（）A．M=mn B．M=n（m+1）C．M=mn+1 D．M=m（n+1）二．填空题（共10小题）9．（2014•桂林）观察下列运算：81=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144，…，则81+82+83+84+…+82014的和的个位数字是_________．10．（2014•白银）观察下列各式：13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 …猜想13+23+33+…+103=_________．11．（2014•毕节地区）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_________．12．（2014•呼伦贝尔）一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第9个等式_________．13．（2014•雅安）已知：一组数1，3，5，7，9，…，按此规律，则第n个数是____．14．（2014•牡丹江）如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为_________．15．（2014•娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由_________个▲组成．16．（2014•内江）如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是_________．17．（2014•平房区三模）下图是用火柴棍摆放的1个、2个、3个…六边形，那么摆100个六边形，需要火柴棍_________根．18．（2014•南岗区三模）一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星，…，第6个图案有_________个五角星．三．解答题（共7小题）19．（2014•金华）一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？20．（2014•淮北模拟）观察下列各式你会发现什么规律？1×5=5，而5=32﹣222×6=12，而12=42﹣223×7=21，而21=52﹣22…（1）求10×14的值，并写出与题目相符合的形式；（2）将你猜想的规律用只含一个字母n的等式表示出来，并说明等式的正确性．21．（2012•东莞）观察下列等式：第1个等式：a1==×（1﹣）；第2个等式：a2==×（﹣）；第3个等式：a3==×（﹣）；第4个等式：a4==×（﹣）；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5=_________；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n=_________=_________（n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．22．（2012•珠海）观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×_________=_________×25；②_________×396=693×_________．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．23．（2012•宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．24．（2012•锦州二模）观察下列等式：15×15=1×2×100+25=225，25×25=2×3×100+25=625，35×35=3×4×100+25=1225…，用自然数n（其中n≥1）表示上面一系列等式所反映出来的规律是_________．25．（2010•济宁）观察下面的变形规律：=1﹣；=﹣；=﹣；…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=_________；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：+++…+．第七节《探索与表达规律》专题训练参考答案一．选择题（共8小题）1．D．2．B．3．D．4．D．5．B．6．D．7．A．8．D．二．填空题（共10小题）9．2．10．552．11．．12．92+102+902=912．13．2n﹣1．14．n2+2．15．3n+116．□．17．50118．19三．解答题（共7小题）19．解：（1）1张长方形餐桌的四周可坐4+2=6人，2张长方形餐桌的四周可坐4×2+2=10人，3张长方形餐桌的四周可坐4×3+2=14人，…n张长方形餐桌的四周可坐4n+2人；所以4张长方形餐桌的四周可坐4×4+2=18人，8张长方形餐桌的四周可坐4×8+2=34人；（2）设这样的餐桌需要x张，由题意得4x+2=90解得x=22答：这样的餐桌需要22张．20．解：（1）10×14=140=122﹣22；（2）第n个等式为n（n+4）=（n+2）2﹣22．∵左边=n（n+4）=n2+4n右边=（n+2）2﹣22=n2+4n+4﹣4═n2+4n左边=右边∴n（n+4）=（n+2）2﹣22．21．解：根据观察知答案分别为：（1）；；（2）；；（3）a1+a2+a3+a4+…+a100=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×=（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=×=．22．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×275=572×25；②63×396=693×36．证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，=（10a+b）（100b+10a+10b+a），=（10a+b）（110b+11a），=11（10a+b）（10b+a），右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），=（100a+10a+10b+b）（10b+a），=（110a+11b）（10b+a），=11（10a+b）（10b+a），左边=右边，23．解：（1）第一个图需棋子6，第二个图需棋子9，第三个图需棋子12，第四个图需棋子15，第五个图需棋子18，…第n个图需棋子3（n+1）枚．答：第5个图形有18颗黑色棋子．（2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，根据（1）得3（n+1）=2013解得n=670，所以第670个图形有2013颗黑色棋子．24．解：∵15×15=1×2×100+25=225，25×25=2×3×100+25=625，35×35=3×4×100+25=1225，…，∴（10n+5）×（10n+5）=100n（n+1）+25．故答案为：（10n+5）×（10n+5）=100n（n+1）+25．25．（1）解：；（2）证明：右边=﹣=﹣===左边，所以猜想成立．（3）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．。
探索与表达规律
3.5 探索与表达规律一、选择题（共8小题）1．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n 的关系是（）A．M=mn B．M=n（m+1）C．M=mn+1 D．M=m（n+1）2．给定一列按规律排列的数：，则这列数的第6个数是（）A．B．C．D．3．下面是按照一定规律排列的一列数：第1个数：﹣（1+）；第2个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）；第3个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×（1+）；…依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数4．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3） C．（1，1，2，2，3） D．（1，2，1，1，2）5．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积是（）A．B．C．D．16．若有一等差数列，前九项和为54，且第一项、第四项、第七项的和为36，则此等差数列的公差为何？（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．67．根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（）A．B．C．D．8．已知甲、乙两等差级数的项数均为6，甲、乙的公差相等，且甲级数的和与乙级数的和相差．若比较甲、乙的首项，较小的首项为1，则较大的首项为何？（）A．B．C．5 D．10二、填空题（共21小题）9．已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n个数是．10．观察下列各等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102…，根据这些等式的规律，第五个等式是．11．观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是．，，，，，…12．（已知==3，==10，==15，…观察以上计算过程，寻找规律计算=．13．一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第9个等式．14．（2014•白银）观察下列各式：13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102…猜想13+23+33+…+103=．15．将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为．16．设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014=69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是．17．一列数a1，a2，a3，…a n，其中a1=﹣1，a2=，a3=，…，a n=，则a1+a2+a3+…+a2014=．18．一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y 表示的数为．19．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a﹣b）4的展开式，（a﹣b）4=．20．观察下列等式：第1个等式：a1==﹣；第2个等式：a2==﹣；第3个等式：a3==﹣；第4个等式：a4==﹣．按上述规律，回答以下问题：（1）用含n的代数式表示第n个等式：a n==；（2）式子a1+a2+a3+…+a20=．21．已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是．（用含n的代数式表示）22．如图，按此规律，第6行最后一个数字是，第行最后一个数是2014．23．观察以下等式：32﹣12=8，52﹣12=24，72﹣12=48，92﹣12=80，…由以上规律可以得出第n个等式为．24．观察下列一组数：、1、、、…，它们是按一定规律排列的那么这组数的第n 个数是．（n为正整数）25．观察规律并填空（1﹣）=•=；（1﹣）（1﹣）=•••==（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；…（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）26．一列数：0，﹣1，3，﹣6，10，﹣15，21，…，按此规律第n个数为．27．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是分．28．已知：=；=；计算：=；猜想：=．29．有一列数如下：1，0，1，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，1，…，则第9个1在这列数中是第个数．三、解答题（共1小题）30．观察下列关于自然数的等式：32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92﹣4×2=；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．。
北师大版七年级数学上册《探索与表达规律》专项练习(含答案)
试题汇编——找规律1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第100个图中有__________个小圆圈．（1） （2） （3）2、 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形．3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为______________．5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形1 2 3 n … … 第1个图 第2个图 第3个图…图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案， 则其中完整的圆共有 个．6、 如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子 枚（用含有n 的代数式表示，并写成最简形式）.○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形 需 根火柴棒。
8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 ．9、如图 2 ，用n 表示等边三角形边上的小圆圈，f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f(n)和n 的关系是第一排 第二排 第三排 第四排 6 ┅┅ 10 9 87 32 15 410、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是 （ ）1-2 3-4 5 -67 -8 9 -10。
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《探索与表达规律》典型例题
例1 观察下列数表：
1 2 3 4 ……第一行
2 3 4 5 ……第二行
3 4 5 6 ……第三行
4 5 6 7 ……第四行
第 第 第 第
一 二 三 四
列 列 列 列
根据数表所反映的规律，猜想第六行第六列的交叉点上的数是多少？第n 行第n 列交叉点上的数是多少？
例2 用含n （n 为自然数）的等式表示你对下列等式隐含的规律性的估计：
13＝1
13＋23＝9
13＋23＋33＝36
13＋23＋33＋43＝100
… … … …
例3 计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997．
例4 （江西省中考题）
如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
（1）第4个图案中有白色地面砖__________块；
（2）第n 个图案中有白色地面砖__________块．
例5 下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如n b a )(+（其中n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出4)(b a +展开
式中所缺的系数．
b a b a +=+)(
2222)(b ab a b a ++=+
3223333)(b ab b a a b a +++=+
则432234446____)(b ab b a b a a b a ++++=+
例6 （广西中考试题）
阅读下列一段话，并解决后面的问题．
观察下面一列数：
1，2，4，8，……
我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．
一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
（1）等比数列5，－15，45，……的第4项是________；
（2）如果一列数4321,,,a a a a ，……是等比数列，且公比为q ，那么根据上述的规定，有
q a a q a a q a a ===3
42312,,，…… 所以 q a a 12=，
21123)(q a q q a q a a ===，
312134)(q a q q a q a a ===，
……
._____
_=n a （用1a 与q 的代数式表示） （3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．
参考答案
例1 分析：从左上角到右下角数的排列是1，3，5，7…，所以，第六行第六列的交叉点上的数是11，第n 行第n 列交叉点上的数是12-n ．
解：第六行第六列的交叉点上的数是11，第n 行第n 列交叉点上的数是12-n ． 说明：一个偶数可以写成2n 形式，一个奇数可以写成12-n 形式，其中n 是整数． 例2 分析：等号右边分别是12，32，62，102，…，由1＋2＝3，1＋2＋3＝6猜想左边各底数之和，恰为右边写为幂的形式后的底数，而第四个等式恰与此猜想相符。
解：233333)4321(4321n n +++++=+++++
说明：读者已经在第二章见到过类似的题目，这里得到的结果更具有普遍性。
例3 分析：通过观察可以发现，如果从前开始四个数合为一组，每一组都是连续四个自然数，前两个自然数的和减去后面两个自然数，最后再加上1997，像这样四个数一组共有1996÷4＝499组．
而当我们设每一组第一个数是n 时，其中任何组都可以写成：4)3()2()1(-=+-+-++n n n n ，由此可求出结果．
解：设其中的一组中最小的数为n ，则这一组就可以写成4)3()2()1(-=+-+-++n n n n ．
所以1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997＝（－4）×1996÷4＋1997＝1．
说明：（1）这类项很多的式的运算一般都是有规律可循的；（2）当我们设一组中最小数是n 时，我们是把每一组四个数看成是正数的加减混合运算；（3）这四个数中任意一个设为n 都可以求出相同的结果．
例4 分析：第1个图案中有白色．．地面砖6块；第2个图案中有白色．．
地面砖（6＋4）块；第3个图案中有白色．．
地面砖（6＋4×2）块；……由此可推迟出第n 个图案中有白色．．
地面砖的块数． 解：（1）第4个图案中有白色．．
地面砖： 6＋4×3＝18（块）；
（2）第n 个图案中有白色地面砖：
24)1(46+=-+n n （块）
． 说明：解答本题的关键在于寻找规律，其方法有多种，下面我们从另一视角去观察：第1个图案中有白色地面砖（4＋2）块；第2个图案中有白色地面砖（4×2＋2）块；第3个图案中有白色地面砖（4×3＋2）块；……由此可推，第4个图案中有白色地面砖（4×＋2＝18）块；第n 个图案中有白色地面砖)24(+n 块． 例5 解 由杨辉三角形所给出的部分中，不难发现，下一行第二个数是上一行第一、二两数之和，笼统地讲，下一行中间的数均是上一千该数上方两数之和．由此，可猜测第五行的数字规律为1，4，6，4，1．从而则4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+．故横线上应填4．
说明：能过观察题设中所提供的信息，认真分析，找出其中规律是解答这类题的关键所在．
例6 解：（1）－135
（2）11-n q a
（3）20,1032==a a ， ∴22
3==a a q 又q a a q a a 3412 == ∴.40220,52
1041=⨯===a a 说明：本例呈现的是等比数列通项公式的发现与推理过程，得出公式后，再运用公式计算，考查了考生的自学与理解能力．。