传递函数模型表述
传递函数模型表述PPT讲稿
。
（35） （36）
~
~
注意到 zi y(k i) 恰好就是y(k) ，因此zi Fi (z1) y(k i)
出
仅包含过去输
的可测值。所以可以写出预测输出如下
~
~
~
y(k i|k) F (z ) y(k) z E (z )B(z )u(k i 1) 1
d
1
1
Ei (z1)B(z1)=
B( A(
A(z1) 1 a1z1 a2 z2 an zn
B(z1) b0 b1z1 b2 z2 bn zn
因此，可以把（1）式写成差分方程：
y(k) a1y(k 1) an y(k n) b0u(k d ) b1u(k d 1) bnu(k d n)
（2） （3）
（4）
传递函数模型表述课件
主要内容
1. 传递函数模型表述; 2. 利用传递函数模型的预测; 3. 扰动模型; 4.广义预测控制模型(GPC); 5.多变量系统.
1.传递函数模型表述
以输入—输出差分方程来描述系统的行为如下：
A(z1) y(k) zd B(z1)u(k)
（1）
在SISO系统的情况下，A(z1) 和 B(z1) 可分别表示为以下多项式：
z z
i1 )
1 )
zi
FI (z1)B(z1) A( z 1 )
j0j i（2来自）或者，一般地n
n
y(k i | k) aj y(k i j) bju(k d i 1 j)
j 1
j0
还可以表达成：
A(z1) y(k i) zd B(z1)u(k i 1)
（29） （30）
式中
u(l),l k 1 u(l) u(l | k),l k 1
传递函数模型和传递函数
传递函数模型和传递函数传递函数是控制系统中一个重要的概念，它描述了输入信号经过系统后的输出信号与输入信号之间的关系。
传递函数模型是用来描述连续时间系统的，而传递函数是传递函数模型的具体表达式。
传递函数模型可以简化对系统行为的分析和设计。
通过将系统抽象为一个传递函数，可以忽略系统的具体细节，只关注输入输出之间的关系。
这样一来，我们可以用数学方法来分析系统的稳定性、性能等特性。
传递函数模型通常用拉普拉斯变换来表示。
拉普拉斯变换是一种数学变换，用于将连续时间域中的函数转换为复频域中的函数。
通过拉普拉斯变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化对系统的分析。
传递函数通常表示为H(s)，其中s是复变量，表示频域中的频率。
传递函数的形式可以是分数形式，如H(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是多项式。
传递函数的分子多项式N(s)描述了输入信号对系统的影响，而分母多项式D(s)描述了系统的特性。
传递函数的分母多项式D(s)的根决定了系统的稳定性。
如果分母多项式的根都是负实数或者有负实部的复数，那么系统是稳定的。
反之，如果分母多项式的根有正实数或者纯虚数，那么系统是不稳定的。
传递函数还可以用来描述系统的频率响应。
频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应程度。
通过传递函数，可以计算出系统在不同频率下的增益和相位差。
传递函数模型和传递函数在控制系统的分析和设计中起着重要的作用。
通过传递函数模型，可以对系统进行数学建模和分析。
而通过传递函数，可以计算系统的稳定性、频率响应等特性。
掌握传递函数模型和传递函数的使用方法，对于控制系统的工程师来说是非常重要的。
总之，传递函数模型和传递函数是控制系统分析和设计中常用的工具。
通过传递函数模型，可以对系统进行简化和抽象，忽略系统的具体细节。
而通过传递函数，可以计算系统的稳定性、频率响应等特性。
掌握传递函数模型和传递函数的使用方法，可以帮助我们更好地了解和设计控制系统。
第四章 系统传递函数模型
4．1 传递函数定义及
其特性 1 传递函数的作用：
传递函数是对线性系统分析和研究的基本数学 工具，对标准形式的微分方程进行拉普拉斯变换， 可以将其转化为代数方程，这样不仅将实数域中的 微分、积分运算简化为复数域中的代数运算，大大 简化了运算，而且根据传递函数还可以导出系统的 频率特性。利用传递函数可以得到系统的频率特性， 利用这些频率特性与系统的参数关系，还可以对系 统进行参数识别。
2)
|s1
5
1 0.6 2
1
则系统的留数为： k1 6 k2 7
k3 1
传递函数的留数形式为： H (s) 6 7 1
s 3 s 2 s 1
例4-4 已知系统的传递函数为:
H (s)
s3
s2 2s2
3s 1 5s 10
将系统模型写成零极点增益模型：
解：零极点模型
H (s) (s 2.618 )(s 0.328 ) (s 2.618)(s 0.328 )
H1 (s)
H和2 (s)
个系统串联
，将两个系统串联，分析两
后u 的总系uc 统的传y 递函数。
H1
H2
u
y
H
uc u H1(s)
因为y u H1(s) H 2 (s) u H (s) 即
y uc H 2 (s) H (s) H1(s) H2 (s)
结论：当两个线性系统模型串联时，其等效系统的 传递函数等于串联系统中两传递函数的乘积，
x1 (s)
csx(s) (k1 cs)
(ms 2
cs k2 )x(s)
f (s) cs csx(s) (k1 cs)
H (s) x(s)
cs k1
f (s) mcs 3 mk1s 2 c(k1 k2 )s k1k2
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
传递函数及方块图剖析
则G(s) = Uo s = RCS
(RC = T
K 1
Ui s RCS + 1
K = 1)
Gs k
4 积分环节
s
时间域方程
xo t k xi t dt
X o s
k
X i s
s
X o s X i s
k s
例9
i2(t)
i1(t) ui(t)
R
A
B
C
_
K0 +
uo(t)
ui (t) = -C duo (t)
传递函数及 典型环节的传递函数
一、传递函数定义：
在初始条件为零时，线性
定常系统输出象函数 Xo s与输 入象函数 Xi s 之比。
Gs
X o s Xi s
Xi s Gs Xo s
设线性定常系统的微分方程为：
a
0
xon
t
a1
x
n1
o
t
a
n1
x
o
t
a
n
x
o
t
b0
x
m
i
t
b1
x
m
i
1
t
bm 1
x i
t
则G(s) = Uo s =
1
Ui s RCS + 1
(RC = T)
例4
弹簧-阻尼系统
K
xi
t
xo
t
D
dxo
dt
t
KXi s KXo s DsXo s
Gs
Xo s Xi s
K Ds
K
D
1 s 1
K
Gs Ks
2第二章 2控制系统的传递函数模型
(S Z
i 1 n j 1
m
i
)
(S P )
j
Zi (i=1,2,…,m) 是分子多项式的根，称为传递函数的零点
pj (j=1,2,…,n) 是分母多项式的根，称为传递函数的极点
K *=b0/a0
称为传递函数的传递系数（根轨迹增益）
传递函数的零极分布图
为了更直观、更形象地 p2 × p1× z1
4、理想微分环节
微分方程 c(t)= Tdr(t)/dt 传递函数 G(s)=Ts 特点： 输出量正比输入量变化的速度，能 预示输入信号的变化趋势。 实例：集成运放的微分运算，测速发电 机输出电压与输入角度间的传递函数即为 微分环节。
5、一阶微分环节（或称比例微分环节）
微分方程 c(t)= Tdr(t)/dt + r(t) 传递函数 G(s)=Ts+1 特点： 输出量既包含与输入量成正比的量， 又包含输入信号的变化趋势。 实例：集成运放的比例微分运算等。
0 1 n 1 n
G( s)
例1、试求RC无源网络的传递函数
uo(s)/u (s)
i
解答：
RC网络的微分 方程表示为
Ui
R1
R2
i (t ) C 1
C2
Uo
d 2 uo ( t ) duo ( t ) R1 R2 C 1C 2 ( R1C 1 R1C 2 R2 C 2 ) 2 dt dt uo ( t ) ui ( t )
主要内容：
第一讲、 时域数学模型
第二讲、 复域数学模型 第三讲、 方框图与信号流图
本章要求：
一、了解控制系统数学模型的建立方法及数学 模型的表示形式。 二、掌握控制系统时域、复域数学模型的建立
4-传递函数
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 模型总论 微分方程的建立 传递函数模型 框图模型 信号流图模型 模型总结
第四讲：系统的数学模型
2-3 传递函数模型 2-4 框图模型
2-3 传递函数模型
一 定义与性质 设一般线性定常系统的微分方程为
dn d n−1 d a0 n y(t) + a1 n−1 y(t) +L+ an−1 y(t) + an y(t) dt dt dt dm d m−1 d = b0 m r(t) + b1 m−1 r(t) +L+ bm−1 r(t) + bmr(t) dt dt dt
环路分辨
G3 H3
G3 H3 H3
总之，框图简化的一般方法是： 移动引出点或比较点； 进行方框运算； 将串联、并联、反馈连接的框图合并；
三 框图三种典型形式
串 联 G1 G2 并 联 G1 G2 反 馈 G H
G1 G2
G1 G2
G 1+ G H
（1）串联
X(s) G (s) 1 X1(s) Y(s) G2(s)
＝
X(s)
G(s)
Y(s)
Y(s) G(s) = = G (s) ⋅ G2 (s) 1 X (s) X1(s) Y(s) Q = G (s), = G2 (s) 1 X (s) X1(s) Y(s) ∴ = G (s)G2 (s) 1 X (s)
（2）并联
X(s) G1(s) G2(s) Y1(s)
Y(S)
±
Y2(s)
＝
X(s)
Y(s) G(s)
G(s) = G1(s) ± G2 (s) Y(s) = Y1(s) ±Y2 (s) = X (s)G1(s) ± X (s)G2 (s) = X (s)[G1(s) ± G2 (s)] = X (s)G(s) ∴G(s) = G1(s) ± G2 (s)
arx模型和传递函数
arx模型和传递函数ARX模型和传递函数是两种常用于建模和系统分析的数学工具。
本文将对ARX模型和传递函数进行详细介绍，并探讨它们在各个领域的应用。
首先，我们来介绍ARX模型。
ARX模型（AutoRegressive with eXternal input）是一种线性离散时间动态系统模型，用于描述一个系统的输入和输出之间的动态关系。
ARX模型的形式是：y(t) = a1 * y(t-1) + a2 * y(t-2) + … + an * y(t-n) + b1 * u(t-1) + b2 * u(t-2) + … + bm * u(t-m)其中，y(t)是系统的输出变量，u(t)是系统的输入变量，a1,a2, ..., an是AR系数，b1, b2, ..., bm是X系数。
ARX模型的特点是输入和输出的时间延迟关系可以通过相关系数来表示，这样就可以通过已知的输入和输出序列来推导模型参数。
ARX模型在控制系统、信号处理、经济学和金融学等领域都有广泛的应用。
在控制系统中，ARX模型可以用于建立系统的数学模型，并用于控制器设计和系统性能评估。
在信号处理中，ARX模型可以用于信号滤波和预测。
在经济学和金融学中，ARX模型可以用于经济和金融时间序列的建模和预测。
接下来，我们来介绍传递函数。
传递函数是一种将系统的输入转换成输出的数学函数，用于描述一个线性时不变系统的动态行为。
传递函数的形式是：G(s)=Y(s)/U(s)其中，G(s)是系统的传递函数，Y(s)是系统的输出的Laplace变换，U(s)是系统的输入的Laplace变换。
传递函数的特点是可以通过频率响应来描述系统的幅频和相频特性。
传递函数在控制系统中有广泛的应用。
在控制系统设计中，传递函数可以用于建立系统的数学模型，并用于控制器设计和系统性能评估。
传递函数还可以用于分析系统的稳定性和频率响应。
此外，传递函数还可以用于设计滤波器和信号处理算法。
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1
式中，y ( z ) 及 u ( z ) 分别为时间序列
对于MIMO系统，A( z ) 和 B( z 1 ) 是多项式矩阵：
1
A( z ) I p A1z A2 z
B( z ) B0 B1z B2 z
式中 A 是
i
1
1
2
An z
an y(k n 1)
bnu(k d n) （25）
注意到上式中d仅表示纯滞后，属于离散化模型固有的特性d0=1已 从d中减去，并列入表达式中了，可以利用这个表达式作为预测的 基础，其中d>=1.
预测控制的显示表达如下：
y(k 1| k ) a j y(k 1 j ) b j u(k d j )
j 1 j i
. . .
i 1
n
b j u (k d i 1 j | k ) b j u (k d i 1 j )
j 0 j i
i 1
n
（28）
或者，一般地
y ( k i | k ) a j y ( k i j ) b j u ( k d i 1 j )
1
（21）
这就是传递函数矩阵Z变换的表达式，它对于SISO及MIMO（d=1）系统 两者都适用。
我们还可以导出传递函数模型和阶跃响应或脉冲传递函数之间的 转换关系，事实上传递函数被定义为脉冲响应的Z变换，所以有
P( z ) z k H (k )
k 0
（22） （23） （24）
H (0) z 1H (1)
j 1 j 0
n n
n
n
（26）
y(k 2 | k ) a1 y(k 1| k ) a j y(k 2 j ) b ju(k 1 d j ) （27）
j 2 j 0
y ( k i | k ) a j y ( k i j | k ) a j y ( k i j )
y(k 1) A1 y(k ) A2 y(k 1)
B0u(k ) B1u(k 1)
An y(k n)
Bnu(k n)
（15）
下面来导出传递函数模型和状态空间模型描述方式之间的转换，假设 标准的状态空间模型为：
x(k 1) Ax(k ) Bu(k ) y(k ) Cx(k ) Du(k )
D z 1CB z 2CAB
上式表明，在SISO情况下，可以由传递函数得到系统 的脉冲响应。
2.利用传递函数模型的预测
对SISO系统，将（4）式改写成如下形式：
y(k 1) a1 y(k ) a2 y(k 1)
b0u(k d ) b1u(k d 1)
1 1 在SISO系统的情况下，A( z ) 和 B( z ) 可分别表示为以下多项式：
（1）
A( z ) 1 a1z a2 z
B( z ) b0 b1z b2 z
因此，可以把（1）式写成差分方程：
1 1 2
1
1
2
an z
n
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n) b0u(k d ) b1u(k d 1) bnu(k d n)
（4）
还可以定义多项式:
A( z) z n A( z 1 ) z n a1z n1
B( z) z B( z ) b0 z b1z
n
n
（9）
1
1
2
Bn z
（10）
多项式
p p矩阵， Bi 是 p m A( z ) 和 B( z )可以定义成：
矩阵
A( z ) z n A( z 1 )
（11） （12）
B( z) z n B( z 1 )
于是多变量系统的传递函数描述为：
y ( z) P( z)u ( z) z d A( z 1 )1 B( z 1 )u ( z)
j 1 j 0
n
n
（29）
还可以表达成：
A( z 1 ) y(k i) z d B( z 1 )u(k i 1)
式中
（30）
u (l ), l k 1 u (l ) u (l | k ), l k 1
（31）
y(l ), l k y(l ) y(l | k ), l k
（16） （17）
做Z变换得
zx ( z) x(0) Ax ( z) Bu ( z ) y ( z) Cx ( z) Du ( z)
由此，在假定x（0）=0的情况下有：
（18） （19）
y ( z) [C( zI A)1 B D]u ( z)
所以有
（20）
P( z) C( zI A) B D
（13） （14）
z A( z ) B( z )u ( z)
d
1 1
1
虽然原理上几乎任何方法多可以在多变量的情况下实现，但这 些多项式矩阵和传递函数矩阵方法与SISO情况相比更不方便也更 少使用，所以本节仅讨论SISO的情况。 传递函数矩阵（13）式中当d=1时相应的多变量差分方程为：
n n
1
n1
an
（5）
bn
（6）
对输入—输出时间序列采用Z变换以后，得到脉冲传递函数表达式为：
y ( z ) P( z )u ( z ) z d
B( z 1 ) u ( z) 1 A( z )
（7）
（8）
z
d
B( z ) u ( z) 1 A( z )
y (k )
预测控制
——传递函数模型
专业：系统科学 小组成员：周建华、许超、刘春辉、刘波
报告时间：2012.12.7
主要内容
1. 传递函数模型表述; 2. 利用传递函数模型的预测;
3. 扰动模型;
4.广义预测控制模型(GPC);
5.多变量系统.
1.传递函数模型表述
以输入—输出差分方程来描述系统的行为如下：
A( z 1 ) y(k ) z d B( z 1 )u(k )