03_06_晶格热容的量子理论
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固体物理：3-6晶格热容的量子理论
固体热容主要来自两部分贡献
一是来源于晶格热振动，称为晶格热容； 是固体热容的主要贡献，是本节的主要讨 论内容；
一是来源于电子热运动，称电子热容； 一般贡献很小，除非在很低温度情况下。
求解CV的一般方法
固体中的热容一般指定容比热容CV， 在热力学中，
CV
(
E T
)V
其中，E是指固体的平均内能。
第一步：写出 E 的表达式； 第二步：代入公式计算CV。
j
j
e j / kBT
1
j
(
j )2 e kBT
CVj
(
dE j (T dT
)
)V
kB
kBT
j
(e kBT 1)2
（3）晶格总热容
设晶体中包括N个原子，共有3N个简谐振动模式，则
E(T )
3N
j 3N
E j (T )
CV CV j
j
其中E
j
(T
)
1 2
j
e j
j
1
CVj
(
(1 z)2 n0
讨论： 因为x ,则 D ;
kBT
T
令z
e
x
,
则
x (e x
4e x 1) 2
x 4e x (1 ex )2
x 4e x (n 1)e nx
n0
x4e x
(e x 1)2
x 4 (n 1)e (n1) x
n0
x 4 ne nx
n1
(二)Debye模型的讨论--- 低温情况
gD(
)
gl
(
)
2gt (
)
V 2 2 2
(
3.8-晶格热容的量子理论
得到在用频率表示的，在频率范围ω到ω＋dω内
的纵波数目为
V 4 q2dq (2 )3
V 2d 2 2Cl3
类似地可写出横波的数目为
2
V
2 2Ct3
2d
加起来得到ω到ω＋dω内的总格波的模式数
V
2 2
(
1 Cl3
2 Ct3
)
2
d
V
2 2
3 C
2d
g() d
g ( )
3V
2 2 C3
2
g(ω) 称为振动的频率分布函数或振动模的态密度函数
CV
(T
/
D
)
9R
T D
3
D /T 0
4e
e 1
2 d
ΘD: Debye 温度
所以按照 Debye 理论, 一种晶体的热容量完全由它的 Debye 温度确定
ΘD 可以根据实验的热容量值来确定, 使理论的 CV 和实验值尽可能符合的好
Debye 理论与实验比较 (镱)
低温测量技术的发展暴露出 Debye 理论与实际间仍存 在显著的偏离。一个常用的比较理论与实验的办法是 在各不同温度令理论函数 CV(T/ ΘD) 与实验值相等
根据周期性边界条件, 允许的 q 值在 q 空间形成均匀 分布的点, 在体积元 dk = dkxdkydkz 中数目为
V
(2 )3 dk
V 表示所考虑的晶体的体积， V/(2π)³是均匀分布 q 值的“密度”
q 虽然不能取任意值, 但由于 V 是一个宏观的体积, 允许的 q 值在 q 空间是十分密集的, 可以看成是准 连续的, 纵波、横波频率的取值也同样是准连续的
格波的个数[(q)取值数]=晶体的自由度数
3.5 晶格热容的量子理论
2
将系数用ωm 表示
ℏω ℏω / kBT 3ω e m 1 k BT CV (T ) = 9 R ω 2 dω ∫ ωm 0 ( e ℏω / kBT − 1)2
2
kT = 9R ℏωm
3 ℏω / kT m
∫
0
(e
ξ 4 eξ
低温极限有特别意义, 在一定的温度 T, ħω >> kBT 的振动对热容几乎没有贡献, 热容主要来自
ɶ ℏω < k BT
的振动模。所以在低温极限, 热容决定于最低频率 的振动, 这些正是波长最长的弹性波 前面已经指出, 当波长远远大于微观尺 度时, Debye 的宏观近似是成立的。因此, Debye 理论在低温的极限是严格正确的
− β ℏω j
1 E j (T ) = ℏω j + − β ℏω j 2 1− e
ℏω j e
ℏω j 1 = ℏω j + β ℏω j 2 e −1
前一项为零点能，后一项代表平均热能 求内能对 T 的微商得到晶格热容
ℏω j ℏω j / kBT e d E j (T ) k BT = kB 2 ℏω j / k B T dT e −1
0
显然将发散
换句话说, 振动模的数目是无限的 这是因为理想的连续介质包含无限的自由度 然而实际晶体是由原子组成的, 如果晶体包含 N 个原子, 自由度只有 3N 个 表现出德拜模型的局限性
波长远大于微观尺度时, Debye 的 宏观处理方法应当是适用的 但当波长已短到和微观尺度可比, 以至更短时, 宏观模型必然会导致很大的偏差以致完全错误 Debye 的解决办法: 假设 ω大于某一ωm 的短波实际 上不存在, 而对ωm 以下的振动都应用弹性波的近似 ωm 则根据自由度确定
将系数用ωm 表示
ℏω ℏω / kBT 3ω e m 1 k BT CV (T ) = 9 R ω 2 dω ∫ ωm 0 ( e ℏω / kBT − 1)2
2
kT = 9R ℏωm
3 ℏω / kT m
∫
0
(e
ξ 4 eξ
低温极限有特别意义, 在一定的温度 T, ħω >> kBT 的振动对热容几乎没有贡献, 热容主要来自
ɶ ℏω < k BT
的振动模。所以在低温极限, 热容决定于最低频率 的振动, 这些正是波长最长的弹性波 前面已经指出, 当波长远远大于微观尺 度时, Debye 的宏观近似是成立的。因此, Debye 理论在低温的极限是严格正确的
− β ℏω j
1 E j (T ) = ℏω j + − β ℏω j 2 1− e
ℏω j e
ℏω j 1 = ℏω j + β ℏω j 2 e −1
前一项为零点能，后一项代表平均热能 求内能对 T 的微商得到晶格热容
ℏω j ℏω j / kBT e d E j (T ) k BT = kB 2 ℏω j / k B T dT e −1
0
显然将发散
换句话说, 振动模的数目是无限的 这是因为理想的连续介质包含无限的自由度 然而实际晶体是由原子组成的, 如果晶体包含 N 个原子, 自由度只有 3N 个 表现出德拜模型的局限性
波长远大于微观尺度时, Debye 的 宏观处理方法应当是适用的 但当波长已短到和微观尺度可比, 以至更短时, 宏观模型必然会导致很大的偏差以致完全错误 Debye 的解决办法: 假设 ω大于某一ωm 的短波实际 上不存在, 而对ωm 以下的振动都应用弹性波的近似 ωm 则根据自由度确定
固体物理-第三章 晶格振动及晶体的热学性质-8(新疆大学李强老师课件)
)
2
1 e
i / kBT
T 0, CVi 0
--- 与实验结果相符
低温时，固体热容趋向于0是一种量子效应。
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2015-4-2
§3.8 晶体热容的量子理论
晶格热容的量子理论
2 2 1 i exp( i / kBT ) 1
解决的思路
格波波矢在波矢空间 ( 倒格子空间 ) 是均匀分布的，即 振动波矢分布函数g(q)是常数；
(2 )3 对三维晶体, 波矢空间中每 大小的区域中存在一个格波; V V 所以，振动波矢分布函数 g (q) (2 )3
利用色散关系, 可将波矢分布函数 g (q)转化为频率分布函数 g ( )
德拜Debye模型
e i / kBT 晶格热容 CV kB ( ) i / kBT 2 k T ( e 1) i B
3N
i
2
求和可化为积分 频率是准连续的
格波频率取决于波矢q (色散关系) 格波波矢q的取分立值 q 格波波矢q取值间隔 q
2
2 Na
2 h Na
保持体积不变 W 0
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2015-4-2
§3.8 晶体热容的量子理论
热容 Heat Capacity
U U (V ) EL (V , T ) Ee (V , T )
晶体内能
晶体内聚能(势能) 晶格振动能
电子能量
U EL Ee 晶体定容热容 CV T T T V V V
3.6 晶格振动热容理论
e
E
T
2
1
E
T
2
(1
E
)
1 (1
E)2ຫໍສະໝຸດ 2T2T
E
T
2
E
eT
E
eT
e
E
2T
eE
2T
2
ex 1 x x2 x3 2! 3!
E
2
T E
1
E
2
x 4dx
CV
3 NkB
f
D
T
f D ---德拜热容函数
T
其中：
f
D
T
3
T
D
3
D
T
0
ex ex 1
2
x 4dx
3.高低温极限情况讨论
(1)当T较高时，x<<1，
f
D
T
dn2
2
V
(2 )3
4q2dq
2V
(2 )3
4 2
C2 t
d
Ct
V 42d 2V 42d
总的振动模式为：dn
(2 )3
C3 t
(2 )3
C3 t
所以模式密度为：
g
V 2
2π2
1 Cl3
2 Ct3
令
3 C3
1 Cl3
2 Ct3
所以
g
E
T
2
1
E
T
2
(1
E
)
1 (1
E)2ຫໍສະໝຸດ 2T2T
E
T
2
E
eT
E
eT
e
E
2T
eE
2T
2
ex 1 x x2 x3 2! 3!
E
2
T E
1
E
2
x 4dx
CV
3 NkB
f
D
T
f D ---德拜热容函数
T
其中：
f
D
T
3
T
D
3
D
T
0
ex ex 1
2
x 4dx
3.高低温极限情况讨论
(1)当T较高时，x<<1，
f
D
T
dn2
2
V
(2 )3
4q2dq
2V
(2 )3
4 2
C2 t
d
Ct
V 42d 2V 42d
总的振动模式为：dn
(2 )3
C3 t
(2 )3
C3 t
所以模式密度为：
g
V 2
2π2
1 Cl3
2 Ct3
令
3 C3
1 Cl3
2 Ct3
所以
g
固体物理学之晶格热容
hω0 2 hω0 / kBT ( ) e k BT CV = 3 Nk B hω0 / kBT (e − 1) 2
及其简单的 一个假定
上式为爱因斯坦热容函数。在与实际实验比 较中，可以尽量选取ω0使理论值和实验值尽 可能吻合。
晶格热容计算的简化模型 －－－爱因斯坦模型
爱因斯坦温度ΘE：
k B Θ E = hω
晶格热容计算的简化模型 －－－爱因斯坦模型
分析讨论：
按照上式可以作出格波振动能与频 率的关系曲线。可以看出，格波频 率越高，其热振动能越小。爱因斯 坦模型考虑的格波频率很高，热振 动能很小，对热容量贡献不大，当 温度很低时，就微不足道了。爱因 斯坦把所有格波都视为光学波，没 有考虑长声学波在甚低温下对热容 的主要贡献，导致理论热容合实验 热容在甚低温下的偏差很大。
E
0
ω
晶格热容计算的简化模型 －－－德拜模型
德拜模型：把格波当成弹性波考虑，而且考虑了频率分布。
ω = vq
德拜模型具体分析的是各向同性的弹性介质，对 于一定的波数矢量q，有一个纵波( ω = Cl q )和 两个独立的横波( ω = Ct q )。德拜模型中各种 不同的波矢q的纵波和横波，构成了晶体的全部 振动模。 传播方向垂直－－横波 传播方向平行－－纵波
2 hω j / k B T
C = kB
j V
1、量子理论值与频率和温度有关，温度趋于0时，晶体热容将趋于0 2、在高温极限情况下( k BT >> h ω j ⇒ h ω j / k B T << 1 )，把量子理论值表达式中 的指数按的级数展开，得到与经典理论值相同的结果。
dE j (T ) dT
∫
ωm
0
高二物理竞赛课件：晶体热容的量子理论
得到 Cv
定义德拜温度
有
9R
m3
m
0
(
k BT
)2
e
(e
/ k BT
/ k BT
1)
2
d
2
ΘD m / k B ，并令 m / k B
T 3 ΘD / T 4e
Cv 9R( )
d
2
0
Θ
(e 1)
R Nk B
晶体热容的量子理论
爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别
金刚石
11
晶体热容的量子理论
德拜模型
• 德拜模型的晶格振动假设方案：
• 以各向同性连续介质的弹性波来代表格波，非单一频率，
即 ω∝ q
• 格波包含有1个纵波和2个独立的横波
• 三种格波的波矢 q 在倒易空间均匀（准连续）分布
• 假设晶体中只存在小于某一ωm的长波以保证结果收敛
• 与实验结果相符合
j
Cv k B
k BT
/ k T
e j B
/ k T
j
B
1) 2
(e
2
2
1
/ k T 0
j
B
e
量子理论表明，晶体热容与晶格振动频率和温度有关系
晶体热容的量子理论
爱因斯坦模型
• 爱因斯坦模型的晶格振动假设方案：
2
j
B
1)
(e
2
与经典理论符合：振子的能量远远大于能量的量子
ℏ时，量子化效应可忽略，即
CV k B
与杜隆－ 珀替定律相符
晶体热容的量子理论
定义德拜温度
有
9R
m3
m
0
(
k BT
)2
e
(e
/ k BT
/ k BT
1)
2
d
2
ΘD m / k B ，并令 m / k B
T 3 ΘD / T 4e
Cv 9R( )
d
2
0
Θ
(e 1)
R Nk B
晶体热容的量子理论
爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别
金刚石
11
晶体热容的量子理论
德拜模型
• 德拜模型的晶格振动假设方案：
• 以各向同性连续介质的弹性波来代表格波，非单一频率，
即 ω∝ q
• 格波包含有1个纵波和2个独立的横波
• 三种格波的波矢 q 在倒易空间均匀（准连续）分布
• 假设晶体中只存在小于某一ωm的长波以保证结果收敛
• 与实验结果相符合
j
Cv k B
k BT
/ k T
e j B
/ k T
j
B
1) 2
(e
2
2
1
/ k T 0
j
B
e
量子理论表明，晶体热容与晶格振动频率和温度有关系
晶体热容的量子理论
爱因斯坦模型
• 爱因斯坦模型的晶格振动假设方案：
2
j
B
1)
(e
2
与经典理论符合：振子的能量远远大于能量的量子
ℏ时，量子化效应可忽略，即
CV k B
与杜隆－ 珀替定律相符
晶体热容的量子理论
热容的量子理论
27
德拜模型
德拜模型认为：
热容的量子理论
晶体对热容的贡献主要是弹性波的振动，即 较长的声频支在低温下的振动 由于声频支的波长远大于晶格常数，故可将 晶体当成是连续介质，声频支也是连续的， 频率具有0～ωmax 高于ωmax的频率在光频支范围，对热容贡献 很小，可忽略
28
德拜模型
热容的量子理论
当温度较高时，T >> θD，Cv = 3Nk 当温度稳低时，T << θD，有：
25
爱因斯坦模型
当 T >> θE 时
热容的量子理论
故有
当T << θE时，有
26
爱因斯坦模型的缺陷
爱因斯坦模型中：
热容的量子理论
1 ）低温时， Cv 与温度按指数律随温度 而变化，与实验得出的按 T 的立方变化 规律仍有偏差。
2 ）问题主要在于基本假设：各个振子 频率相同有问题，各振子的频率可以不 同，原子振动间有耦合作用 。
＝元素 i 的摩尔热容。
经典热容理论的解释
按经典理论，能量按自由度均分。 每个原子三个振动自由度； 每个振动自由度的平均动能、平均位能均为
则一个原子的总能量为3kT。
1 kT ，即一个振动自由度能量为kT。 2
14
1mol 固体中有
个原子，总能量为
= 6.023×1023 / mol ＝阿佛加德罗常数， = R/N = 1.381×10-23 J/K ＝ 玻尔茨曼常数， = 8.314 J/ (k· mol)，T＝热力学温度（K）。
这就是按照量子理论求得的热容表达式。但要计算CV 必须知道谐振子的频谱——非常困难（very difficult）。
德拜模型
德拜模型认为：
热容的量子理论
晶体对热容的贡献主要是弹性波的振动，即 较长的声频支在低温下的振动 由于声频支的波长远大于晶格常数，故可将 晶体当成是连续介质，声频支也是连续的， 频率具有0～ωmax 高于ωmax的频率在光频支范围，对热容贡献 很小，可忽略
28
德拜模型
热容的量子理论
当温度较高时，T >> θD，Cv = 3Nk 当温度稳低时，T << θD，有：
25
爱因斯坦模型
当 T >> θE 时
热容的量子理论
故有
当T << θE时，有
26
爱因斯坦模型的缺陷
爱因斯坦模型中：
热容的量子理论
1 ）低温时， Cv 与温度按指数律随温度 而变化，与实验得出的按 T 的立方变化 规律仍有偏差。
2 ）问题主要在于基本假设：各个振子 频率相同有问题，各振子的频率可以不 同，原子振动间有耦合作用 。
＝元素 i 的摩尔热容。
经典热容理论的解释
按经典理论，能量按自由度均分。 每个原子三个振动自由度； 每个振动自由度的平均动能、平均位能均为
则一个原子的总能量为3kT。
1 kT ，即一个振动自由度能量为kT。 2
14
1mol 固体中有
个原子，总能量为
= 6.023×1023 / mol ＝阿佛加德罗常数， = R/N = 1.381×10-23 J/K ＝ 玻尔茨曼常数， = 8.314 J/ (k· mol)，T＝热力学温度（K）。
这就是按照量子理论求得的热容表达式。但要计算CV 必须知道谐振子的频谱——非常困难（very difficult）。
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实际晶体 态密度：
金属铝
• 总态密度是两 支横波(T1,T2) 和一支纵波 （L) 的叠加。 • 低频部分都近 似为抛物线。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
习题3.1
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.10
V ds g (w ) (2 )3 qw ( q)
假设1：N个原子构成的晶体，原子以相同频率 w0 振动；
假设2：谐振子能量是量子化的
温度T下，平衡后谐振子平均能量：
总能量
热容
w0 CV 3NkB f B ( ) —— 爱因斯坦热容函数 k BT
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 爱因斯坦热容函数
爱因斯坦温度
定容比热
在较高温下，该理论与实验符合很好； 但在低温下，与实验结果差别很大，低温下测量有 Cv~ T 3
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
实验表明 —— 在低温时热容量随温度迅速趋于零 。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2. 爱因斯坦模型
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
上面推导使用积分公式
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
T T 3 CV ( ) 9 NkB ( ) D D
D /T
0
x 4e x dx x 2 (e 1)
徳拜公式的比热容曲线
金属镱实验结果与 徳拜模型比较。
2
为简化，做变量代换，令
T T 3 CV ( ) 9 NkB ( ) D D
D /T
0
x 4e x dx x 2 (e 1)
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
晶体总热容 C ( T ) 9 Nk ( T )3 V B
D /T
D
D
0
xe dx x 2 (e 1)
其中Vc 为晶体体积
间振动模式的数目
因此，波矢空间单位体积中 的波矢数目，即波矢密度： 是一个定值。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
利用q 空间中的波矢密度： 先求出
模式密度/态密度 的计算
两个等频率面所包体积内的模式数：
两个等频面 和 之间一个小体积 dsdq 内的振动模式数 等于 “ 波矢密度×体积元的体积 ”
1. 经典理论
—— 杜隆－珀替定律
• Dulong－Petit 1819 年发现大多数固体常温下的摩尔热容量 差不多都等于一个与材料和温度无关的常数值: ~25 J/mol-1K-1, 这个结果就称为Dulong－Petit定律。 • 解释： 类比于理想气体的能量均分定理，原子振动看做 是谐振子，谐振子三个自由度能量均分(kBT)，一摩尔固 体中有NA个原子，所以每摩尔固体晶格振动能量为：
§3.6 A
晶格振动的态密度/模式密度
• 讨论晶格振动的热力学函数，如热容、自由能时，需 要对晶体中所有原子求和，这对于N值是十分困难的。 实际上，通过近似处理，可以把求和变为对频率ω w+Dw （或能量E）的积分，为此需要引入态密度 (模式密度) w 的概念。
D n个 q
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
01/36
晶格振动的模式密度/态密度 ： q空间中，波矢q是准连续的，对应w也是准连续分布的， 单位频率区间内的振动模式的数目称 Dn dn g (w ) lim 为晶格振动模式密度/态密度 g(w) Dw 0 Dw dw
-- 频率在
-- 对某一支格波(3D)： 已知，在倒空间(q空间)，每个波矢所占体积：
1D
L 1 g (w ) 2 2 qw (q)
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
几种简单情况下振动模式密度的表示 例1：计算一维单原子链的振动模式密度。
— 最大频率
一维情况下 单位长度里的波矢密度：
每个波矢占据宽度
dq长度里的波矢数：
振动模式密度定义：
D /T
0
x 4e x dx x 2 (e 1)
积分为常数
晶体热容
T 12 4 T 3 CV ( ) Nk B ( ) D 5 D
— T3成正比
德拜 T3 定律 —— 温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好； —— 低温下，只有长声学模式（低ω）被热激发，高能量的
被冻结，弹性波近似恰好符合低温时的情况。
w / k B T
由 振动频率分布函数
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
3V 3 1 2 2 频率分布函数 g (w ) w , 3+ 3 2 3 3 2 v p vp vL vT
格波总的数目
N 1/3 wD v p [6 ( )] V
2
晶体总的热容, 带入 g (w)
3D
V ds g (w ) (2 )3 qw ( q)
即w曲线对q梯度为0的 平坦处，会有奇异性出 现 — 范霍夫奇点。
dn g (w ) dw
范霍夫奇点是与晶体对称性相联系的，常常出现 在布里渊区的某些高对称点上。 2D
g (w )
S (2 ) 2
dl qw ( q )
弹性波态密 度呈现抛物 线形。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
10/36
方法2.
V ds 直接利用公式： g (w ) (2 )3 qw ( q)
由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频 面为球面，ds 积分即该球面面积：
于是：
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
3V 2 g (w ) 2 3 w , 2 v p
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
一个振动模的热容
零点能
温度T下激发声子数
晶体总的热容
CV
wD
0
w 2 e kB ( ) w / k B T g (w )d w 2 k BT ( e 1)
和wD的决定。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
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§3.6 晶体热容的量子理论
固体的定容热容 (比热)
E CV ( )V T
经典理论 爱因斯坦模型 (1907) 德拜模型 (Debye 1912) 实际晶体 (非简谐近似)
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3 德拜模型 Debye 1912年
(1). 修正了全同谐振子假设，将布喇菲晶格看作是各向同 性的连续介质，以连续介质的弹性波来代表格波 (2). 每个弹性波等价于一个谐振子，能量是量子化的，并 规定了弹性波频率上限 wD，即徳拜频率。
等频率面为球面
g (w )
V 2 v
2
2 w 3
见例2
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三支格波态密度： 频率在 之间，纵波数目
频率在
之间，横波数目
频率在 三支格波总态密度：
之间，格波数目
1 2 V 2 ( 3 + 3) 2w vL vT 2
3 1 2 3+ 3 3 vp vL vT
有1个纵波和2个独立的横波
w Cl q 色散关系 w Ct q
For Longitudinal Wave For Transverse Wave
—— 不同q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模 —— 不同的振动模，能量不同。
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德拜近似下的振动模式密度 (弹性波近似) 振动频率与波矢成正比
之间振动模式数目:
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之间振动模式数目
频率是q的准连续函数，故有：
Dn g (w ) lim dn g (w ) D w0 Dw dw
V ds g (w ) 3 (2 ) qw ( q)
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4
x
在高温极限下
kB D wD
积分内只保留 x 最低阶小量
CV 3NkB —— 与杜隆-珀替定律一致，与
爱因斯坦模型也一致。
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相当于全部弹性波模式都被激发，可以忽视量子效应的经典情形。
晶体热容 C ( T ) 9 Nk ( T )3 V B D D 低温极限
• 1907年 Einstein 用量子论解释了固体热容随温度下 降的事实，这是1905 年 Einstein 首次用量子论解释 光电效应后，量子论的又一巨大成功；对于人们从经 典理论的思想束缚中解放出来起了巨大作用。该理论 在科学历史上的意义远远超过了其解释固体热容本身 的价值。
• Einstein 模型假设过于简单，只适于描写格波中的光 学支，因为光学支一般频率宽度很窄，可以近似的用 一个固定频率来描述。Einstein模型忽略了频率较低 的声学波对热容的贡献，而在低温时声学波对热容的 贡献恰恰是主要的，因此模型中热容随温度下降要比 实验结果更快。 Debye, Born等人之后在晶格振动基础上提出了新的模型。
类似的， 一维双原子链的振动模式密度
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几种简单情况下振动模式密度的表示 例2：计算三维长声学波在弹性波近似下的振动模式密度。