研究生期末试题矩阵论a及答案
南航矩阵论研究生试卷及答案
(2)求广义逆矩阵 ;
(3）求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答：(1) 矩阵 ， 的满秩分解为
．…………………(5分)
(2) .……………………（10分)
(３）方程组的极小最小二乘解为 ．…………(5分)
共６页第5页
四、(２0分)已知幂级数 的收敛半径为3,矩阵 .
(1) 求 ;
，
证明 是 的一个内积;
(3)求 在题(2)所定义的内积下的一组标准正交基；
(4)证明 是 的线性变换，并求 在题（1)所取基下的矩阵.
解答：(１) 的一组基为 维数为3.
……………………………………(5分）
(2)直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)
(3) 标准正交基 .…………（５分）
(4）由于 ，所以 是 的一个变换.又直接验证,知
,
因此 是 的一个线性变换.………………………………（3分)
线性变换 在基 下的矩阵为
.……………………………………………(3分)
二、(2０分）设三阶矩阵 ， ， .
(１)求 的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形;
(2)利用 矩阵的知识，判断矩阵 和 是否相似，并说明理由.
南京航空航天大学２012级硕士研究生
共６页 第１页
20１２~201３学年第１学期《矩阵论》课程考试A卷
考试日期:2013年１月15日课程编号:Ａ080０0１命题教师:阅卷教师:
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设 是 的一个线性子空间,对任意 ，定义： ,其中 .
(1)求 的一组基和维数；
（2)对任意 ，定义：
解答: ( 的行列式因子为 ;…(3分)
南京航空航天大学矩阵论07-08A试卷及答案.doc
南京航空航天大学研究生考试试卷r 1 1 -2'一、(20 分)设矩阵4= —2 —2 3 ,<-1 -1 1 >(1)求A的特征多项式和A的全部特征值；(2)求A的行列式因子、不变因子和初等因子；(3)求A的最小多项式，并计算A6+3A —2/;(4)写出A的Jordan标准型二、(20分)设Z?2"2是实数域上的全体2x2实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
(1)求尺2"2的维数，并写山其一组基；(2)设W是全体2x2实对称矩阵的集合，证明：W是/?2x2的子空间，并写出W的维数和一组基；(3)在W中定义闪积G4，B) = Zr(&4),其中人BeW,求出W的一组标准正交基；(4)给出尺〜2上的线性变换7\ T(A) = A+A r, VA G R^2写出线性变换T在(1)中所取基下的矩阵，并求7的核/^r(r)和值域/?(r)。
三、(20分)证明： 是C'w 上的矩阵范数并说明具有相容性（1）求矩阵A 的07?分解；（3）用广义逆判断方程组Av = 6是否相界？若相界，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解 五、（20分）证明：A,, >0, Ar-AgAjAuSO 。
(I-1 1、’2' 1 11，向量/?=11 、0 0b<2>四、（20分）已知矩阵4 =，5 3 2>12、 1）设矩阵汲二3 2 t ，B = 1 1 0.5/t 2； /<2 0.5/ 1 ,，其中f 为实数问当Z 满足什么条件时，A 〉B 成立？Ai A 2 A2 ^22>0,其巾 A u eCkxkau(1)设乂 =2 13 -1 21 ，喇"K, ML, h(2)设4 =(〜)e C ,IX \ 令p=n • max 騸⑶证明：-||<<||<<(2)设 n 阶 Hermite 矩阵 A =(3)己知Hermite 矩陈A =(七)€ (?■ , a ij〉工a ij (= l，2，".，n )，证明：A 正定一、（20 分）(2) VA ，fielV ，V 々e/?，贝ij v (A +B)7= A 7+ B 7= A+B , /. A + B G W ；v (M)7 =kA T = kA ； /.MeW 。
研究生期末试题矩阵论a及答案
,
可得谱分解式 （10分）
六、当 时， ；当 时，存在 与 使得 ，从而有
，（4分）
对于 ，有
，（7分）
对于 ，有
所以 是 中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
， ，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ，于是
由此知 的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当 时， ，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为
，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因 ， ，故 为 上的变换， 不是 上的变换。（4分）
又对于线性空间 中任意矩阵 ， ， ，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，
其中 ，试求 ， ， ， .
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为 ，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵．
矩阵理论 (A-B卷)及答案
矩阵理论矩阵理论 2006-2007 学年第 一 学期末考试试题（A 卷）及答案一、 填空题（共20分，每空2分）1、 在欧氏空间4R 中，与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---都正交的单位向量为：)3,1,0,4(261-±2、 已知122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则12__________;__________;__________;F A A A A ∞====3、 已知三阶方阵A 的初等因子为()()21,1λλ--，则A 的约当标准形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100100014、 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则1()______________;()______________;|()|______________;|()|______________.d dA t A t dt dtd dA t A t dt dt-====.1,0,s i n c o s c o s s i n ,s i n c o s c o s s i n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t 二、解答下列各题(（共48分，每小题8分）1. 用最小二乘法求解线性方程组121312312312021x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪+-=-⎩解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111101011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1021,111021011111b A T，-------------（3’） 所以b A x x x Ax A TT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312311164144321-----------------------（7’）求得最小二乘解为.64,613,617321-=-==x x x -------------------------------------（8’） 2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试计算43()322A A A A E φ=-++。
研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全
B.
1 2 1
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
0 0 0
五、(15 分)求矩阵
的满秩分解：
1 0 1 2 A 1 2 1 1
2 2 2 1
解：
A
E
1 1
0 2
1 1
2 1
1 0
0 1
0 0
2 2 2 1 0 0 1
1 0 1 2 1 0 0
令 g n n2 2 1 n2 2 1 2 1
2 1 n2 1 2 1 1 n3 n4 1 3
由 Hamilton-Cayley 定理知 gA 0
et e 2t
a0 a0
a1 2a1
于是解得：
a0 a1
2et e2t
e 2t et
从而：
f A e At gA a0 E a1 A
矩阵论试卷及答案(2011A)
三（20分）设
（1） 证明： 是 的线性子空间，并求 的基和维数；
（2） 在 中定义变换 ,其中 为 的伴随矩阵， 证明： 为线性变换；
（3） 求 在（1）中所取基下的矩阵表示；
（4） 求（2）中线性变换 的值域 和核 ，并确定它们的维数.
（1）因为 ，则 非空。对任意 都有 则 是 的子空间.
（iii）写出 的Jordan标准形；
（2）设 ，试问A和B是否相似？并说明原因。
（1） ， ；………5分
行列式因子
不变因子
初等因子 ……...8分
A的Jordan标准形为 ……..3分
（2）矩阵A，B的行列式因子均为 , A,B相似.
………4分
或A，B 的特征值均为-1和2，有两个互异的特征值，所以A，B均相似于 ，所以，A,B相似。
………3分
共5页第5页
五（20分）（1）设 ， .
（i）求A的奇异值分解；
（ii）计算广义逆矩阵 ；
（iii）用广义逆矩阵判定线性方程组 是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解;
（2）设 ，判定矩阵级数 是否收敛。若收敛，求其和。
（1）（i） ， 的奇异值为 ， 对应于特征值3和2的标准正交特征向量为 ， 对应于特征值3和2，0的标准正交特征向量分别为 ， ，则 的奇异值分解为
Ni南京航空航天大学2010级硕士研究生
共5页第1页
2010~ 2011学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷答案
考试日期：2011年1月12日，课程编号：A000003，命题教师：阅卷教师：
学院专业学号姓名成绩
一（20分）（1）设 。
（i）求 的特征多项式和 的全部特征值；
考博必备 研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题共73页
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走
矩阵论期末试题及答案
矩阵论期末试题及答案1. 选择题题目1：矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）线性无关的最大个数，下面关于矩阵秩的说法中，错误的是：A. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个行（列）线性无关。
B. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个坐标线性无关。
C. 设A，B为n×m矩阵，若A的秩为r，B的秩为s，则AB的秩至少为max{r,s}。
D. 同一矩阵的行秩与列秩相等。
题目2：对于阶梯形矩阵，以下说法正确的是：A. 阶梯形矩阵的行秩与列秩相等。
B. 阶梯形矩阵的行秩等于主元的个数。
C. 阶梯形矩阵的列秩等于主元的个数。
D. 阶梯形矩阵的行秩与列秩之和等于矩阵的阶数。
题目3：设A为n阶矩阵，下列说法正确的是：A. 若A为可逆矩阵，则A的行秩和列秩都为n。
B. 若A的行秩和列秩都为n，则A为可逆矩阵。
C. 若对于非零向量 x，都有Ax=0，则称矩阵A为零矩阵。
D. 若A为可逆矩阵，则方程Ax=b存在唯一解。
题目4：对于实对称矩阵A，以下说法正确的是：A. A一定有n个线性无关的特征向量。
B. A的所有特征值都是实数。
C. 若A的特征向量构成的特征子空间的维数为n，则称A为满秩矩阵。
D. A一定可以对角化。
2. 计算题题目1：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的转置矩阵。
解答：转置矩阵的行与列互换，故矩阵A的转置矩阵为：A^T = [1, 3; 2, 4]题目2：已知矩阵B = [2, 1; -1, 3]，求矩阵B的逆矩阵。
解答：逆矩阵满足BB^(-1) = I，其中I为单位矩阵。
对于矩阵B，可以使用伴随矩阵法求解：B^(-1) = (1/(ad-bc)) * [d, -b; -c, a]其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素：B^(-1) = (1/(2*3-(-1)*1)) * [3, -1; 1, 2] = [3/7, -1/7; 1/7, 2/7]题目3：已知矩阵C = [1, 2, 3; 4, 5, 6]，求矩阵C的行列式的值。
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验证 是 中的向量范数.
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 。
长 春 理Leabharlann 工 大 学研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
计算
，
则得谱分解式
+2 （10分）
六、
．
由于 ，
于是有 ，故
（10分）
七、当 时， ；当 不恒等于零时，由其连续性知 必在 的某个子区间 上不等于零，从而有
，
对于 ，有
，
对于 ，有
，
故 是 中的向量范数.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ， ，于是
由此知 的内插多项式表示为
将矩阵A代入上式得
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分)设 是 的一个基，试求由 ，
， 生成的子空间 的基．
二、(10分)在 中，设 ，定义实数 为 ，判断是否为 中 与 的内积。
．
(2) 在基(Ⅱ)的坐标为 ，由坐标变换公式计算 在基(Ⅰ)下的坐标为
．（10分）
四、首先求出A的Jordan标准形
，
所以行列式因子 ；
不变因子 ；（6分）
那么A的初等因子为 ，故A的Jordan标准形为
．(10分)
五、解：求出 的特征根 （二重），计算对角化相似因子 及其逆 为
，
而使 ，令
， ， ，
.
当 时， ，故
.（10分）
1、解1) 的基为 的一个极大无关组．在基 下， 的坐标依次为 ，该列向量组的一个极大无关组为 ．因此， 的一个极大无关组为 ，即 的一个基为 ．（10分）
二、解设 ，则有
，
，
.
当 时， ；当 ，存在 使得 ，从而有
，
因此，该实数是 中 与 的内积.（10分）
三、解(1)解出 ，可得 ，
，
于是，由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为
三、(10分)设4维线性空间 的基(Ⅰ) 和基(Ⅱ) 满足
(1)求由基(Ⅰ)变为基(Ⅱ)的过渡矩阵 ；
(2)求向量 在基(Ⅰ)下的坐标．
四、(10分)设矩阵 ,求 的行列式因子,不变因子,初等因子组，Jordan标准形。
五、(10分)求可对角化矩阵 的谱分解式.
六、(10分)已知
，
试求 .
七、(10分)区间 上全体实值连续函数的集合，按照通常的函数加法运算和数与函数的乘法运算，构成R上的线性空间，记作 ，对于 ，定义实数