工程电磁场 第一章

矢量分析
思考
图0.1.1 等高线
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
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第零章
矢量场--矢量线
其方程为：
A dl 0
矢量分析
在直角坐标下：
图0.1.2 矢量线
二维场 三维场
Ax Ay dx dy Ax Ay Az dx dy dz
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第零章
0.2 标量场的梯度
Gradient of Scalar Field
lim
V 0
1 V
A dS divA
S
divA
A
Ax x
Ay y
Az z
———散度 (divergence)
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第零章
散度的意义
矢量分析
矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
散度代表矢量场的通量源的分布特性。
A(无0源）
A(正 源)
A (负源)
图0.3.3 通量的物理意义
第零章
第0章 矢量分析
Vector Analysis
标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理 电磁场的特殊形式
矢量分析
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第零章
0.1 标量场和矢量场
Scalar Field and Vector Field
矢量分析
场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中 任一个点都有一个确定的标量或矢量。
例如，在直角坐标下：
(x,
y,
z)
4π
[( x
1)2
5 (
y
2)2
z2
]
如温度场、电位场、高度场等；
标量场
A(x, y, z) 2xy2ex x2zey xyzez
矢量场
如流速场、电场、涡流场等。
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第零章
形象描绘场分布的工具——场线
(1) 标量场--等值线(面) 其方程为:
h (x, y, z) const
则有：
l
g el
|
g | cos( g, el )
当
(
g, el
)
0，
l
最大
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第零章
x
ex
y
ey
z
ez
grad
——梯度(gradient)
式中 ( , , )
x y z
——哈密顿算子 梯度的意义
矢量分析 图0.1.3 等温线分布
标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。
lim
n Vn 0
n
1
AVn
AdV
V
S A dS V AdV ——高斯公式
矢量函数的面积分与体积分的相互转换。
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第零章
矢量分析
0.4 矢量场的环量与旋度
Circulation and Rotation of Vector Field
0.4.1 环量 ( Circulation )
矢量分析
Φ S E dS
若 S 为闭合曲面 Φ S E dS
图0.3.1 矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
图0.3.2 矢量场通量的性质
> 0 (有正源)
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第零章
0.3.2 散度 ( Divergence )
矢量分析
如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任 意方式缩小到点 P 时：
第零章
2. 旋度
矢量分析
旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大
值；其方向为最大环量密度的方向
rot A A
它与环量密度的关系为
——旋度(curl)
dΓ dS
(
A) en
en－ S 的法线方向
ex ey ez
在直角坐标下:
A x y z
Ax Ay Az
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第零章
3. 旋度的物理意义
矢量分析
矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。
某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其 方向是最大环量密度的方向。
在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或
涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。
若矢量场处处 A= 0 ，称之为无旋场。
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第零章
4. 斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem )
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第零章
0.4.2 旋度 ( Rotation )
矢量分析
1. 环量密度
过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为 L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限
dΓ lim 1 Α dl
dS S 0 S L ——环量密度
环量密度是单位面积上的环量。
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梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即
最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。
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第零章
例 0.2.1 三维高度场的梯度
矢量分析
高度场的梯度与过该点的等 高线垂直；
数值等于该点位移的最大变 化率；
图0.2.1 三维高度场的梯度
指向地势升高的方向。
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第零章
矢量分析
例 0.2.2 电位场的梯度
电位场的梯度与过该点的 等位线垂直；
数值等于该点的最大方向导数；
图0.2.2 电位场的梯度
指向电位增加的方向。
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第零章
0.3 矢量场的通量与散度
Flux and Divergence of Vector
0.3.1 通量 ( Flux )
矢量E 沿有向曲面 S 的面积分
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场，
称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 • A=0 ，称
之为无源场。
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第零章
0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem )
A
lim
V 0
1 V
A dS
S
通量元密度
矢量分析
图0.3.4 散度定理
Φ
S
A dS
矢量 A 沿空间有向闭 合曲线 L 的线积分
Γ LA dl
——环量
图0.4.1 环量的计算
环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线 旋转趋势的大小。
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第零章
例：流速场
矢量分析
图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动，= 0，无涡
旋运动。
流体做涡旋运动， 0，有产生涡旋的源。
矢量分析
dΓ dS
( A) en
dΓ ( A) endS ( A) dS
图 0.4.3 斯托克斯定理
l A dl S ( A) dS
——斯托克斯定理
矢量函数的线积分与面积分的相互转化。
在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是
矢量分析
设一个标量函数 (x，y，z)，若函数 在点 P 可
微，则 在点P 沿任意方向 l的方向导数为
( , , ) (cos, cos , cos )
l x y z
设
g
(
x
,
y
,
z
),
elቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(cos,cos ,cos )
式中 , , 分别是任一方向 l 与 x, y, z 轴的夹角