数列的综合应用经典教案【强烈推荐】

第5讲数列的综合应用

一、考点、热点回顾

1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题。

2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力。

【复习指导】

1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算。

2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等。

3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法。

基础梳理

1．等比数列与等差数列比较表

不同点相同点

等差数列(1)强调从第二项起每一项

与前项的差；

(2)a1和d可以为零；

(3)等差中项唯一

(1)都强调从第二项起每一项与

前项的关系；

(2)结果都必须是同一个常数；

(3)数列都可由a1，d或a1，q

确定

等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；

(2)a1与q均不为零；

(3)等比中项有两个值

2.解答数列应用题的步骤

(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意。

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么。

(3)求解——求出该问题的数学解。

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中。

3．数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差。

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比。

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n ＋1

的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系。

一条主线

数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解。

两个提醒

(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．

(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．

三种思想

(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．

(2)数列与不等式结合时需注意放缩．

(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2的值为( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10

解析 由题意知：a 23＝a 1a 4.则(a 2＋2)2

＝(a 2－2)(a 2＋4)，解得：a 2＝－6. 答案 B 2．(·运城模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 4＝( )． A ．7 B ．8 C ．15 D ．16

解析 设数列{a n }的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2

－4q ＋4＝0，∴q ＝2.∴S 4＝1－241－2

＝

15. 答案 C

3．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10

D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定 解析 记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7，又数列{a n }是各项均为正

数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6????1＋q 6q 3＝b 7???

?1＋q

6

q 3，又1＋q 6q 3＝1q 3＋q 3≥2(当且仅当q ＝1时，等号

成立)，∴a 3＋a 9≥2b 7，即a 3＋a 9≥b 4＋b 10. 答案 B

4．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )． A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4

解析 由c ，a ，b 成等比数列可将公比记为q ，三个实数a ，b ，c ，待定为cq ，cq 2，c .由实数a 、b 、c 成等差数列得2b ＝a ＋c ，即2cq 2＝cq ＋c ，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍

去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq ＋a q ＝－5

2

a ＝10，所以a ＝－4.

答案 D 5．(·苏州质检)已知等差数列的公差d ＜0，前n 项和记为S n ，满足S 20＞0，S 21＜0，则当n ＝________时，S n 达到最大值．

解析 ∵S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＞0， S 21＝21a 11＜0，∴a 10＞0，a 11＜0， ∴n ＝10时，S n 最大． 答案 10

考向一 等差数列与等比数列的综合应用

【例1】?在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项a n ；

(2)令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列．

[审题视点] 第(1)问列首项a 1与公差d 的方程组求a n ；第(2)问利用定义证明． (1)解 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，

a 20＝50，得方程组????

?

a 1＋9d ＝30，a 1

＋19d ＝50，

解得?

????

a 1＝12，

d ＝2.∴a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.

(2)证明 由(1)，得b n ＝2a n －10＝22n

＋10－10

＝22n ＝4n ，

∴b n ＋1b n ＝4n ＋

14

n ＝4.

∴{b n }是首项是4，公比q ＝4的等比数列．

对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、

等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．

【训练1】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；

(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15， 又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .

解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.

故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －

1. (2)设{b n }的公差为d ，

由T 3＝15，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，

故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9， 由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10.

∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0，

∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)

2

×2＝n 2＋2n .

考向二 数列与函数的综合应用

【例2】?等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；

(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋1

4a n

(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .

[审题视点] 第(1)问将点(n ，S n )代入函数解析式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，得到a n ，再利用a 1＝S 1可求r . 第(2)问错位相减求和．

解 (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －

1·(b －1)，

由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2

a 1＝

b ，即

b (b －1)b ＋r

＝b ，

解得r ＝－1.

(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －

1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1

.

T n ＝222＋323＋4

24＋…＋n ＋12

n ＋1，

12T n ＝223＋324＋…＋n

2n ＋1＋n ＋12

n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋1

2n ＋1－n ＋12n ＋2

＝34－1

2n ＋1－n ＋12

n ＋2， ∴T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32

n ＋1.

此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方

程”“等价转化”等．

【训练2】 (·福建)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝13

3

.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)在x ＝π

6

处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．

解 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33

)1－3

＝133，解得a 1＝1

3.

所以a n ＝13

×3n －1＝3n －

2.

(2)由(1)可知a n ＝3n －

2，所以a 3＝3.

因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；

因为当x ＝π

6时f (x )取得最大值，

所以sin ???

?2×π

6＋φ＝1. 又0＜φ＜π，故φ＝π

6

.

所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ?

???2x ＋π6. 考向三 数列与不等式的综合应用

【例3】?(·惠州模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；

(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n

n

＜k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请

说明理由．

[审题视点] 第(1)问由等比数列的性质转化为a 3＋a 5与a 3a 5的关系求a 3与a 5；进而求a n ；第(2)问先判断数

列{b n }，再由求和公式求S n ；第(3)问由S n n 确定正负项，进而求S 11＋S 22＋…＋S n

n

的最大值，从而确定k 的最小

值．

解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，

∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2

＝25，

又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，

∴a 3＞a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝1

2

，a 1＝16，

∴a n ＝16×????12n －1＝25－n

. (2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，

b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，

∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，

∴S n ＝n (9－n )2

.

(3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n

2.

当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S n

n ＝0；

当n ＞9时，S n

n

＜0.

∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n

n ＝18最大．

故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n

n

＜k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.

解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列

的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理． 【训练3】 (·岳阳模拟)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝a n log 12

a n ，S n ＝

b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋

1＞50成立的正整数n 的最小值．

(1)解 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .

依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28， 可得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，

所以????? a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3

＝20，解之得?????

q ＝2，

a 1＝2或?????

q ＝12，a 1＝32. 又∵数列{a n }单调递增，所以q ＝2，a 1＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .

(2)因为b n ＝2n log 1

2

2n ＝－n ·2n ，

所以S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，

2S n ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋

1]， 两式相减，得

S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋

1.

要使S n ＋n ·2n ＋1＞50，即2n ＋1－2＞50，即2n ＋

1≥52.

易知：当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32＜50；当n ≥5时，2n ＋

1≥26＝64＞50.故使S n ＋

n ·2n ＋

1＞50成立的正整数n 的最小值为5.

难点突破14——数列与解析几何、三角的交汇问题

从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决． 一、数列与解析几何交汇 【示例】? (·陕西)如图，

从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x

于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n .记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．

(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.

二、数列与三角交汇

【示例】?(·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.