高考数学专题复习 数列的综合应用教案 文

福建省漳浦县道周中学2014年高考数学专题复习数列的

综合应用教案文

1.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应

用不等式知识解决数列中的相关问题.

2.数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、

分期付款、合理定价等.

3.解答数列应用题的基本步骤

(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.

(3)求解——求出该问题的数学解.

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.

4.数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.

(3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还

完，则b＝r1＋r n

1＋r n－1

a.

[难点正本疑点清源]

1.用函数的观点理解等差数列、等比数列

(1)对于等差数列，由a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，a n是关于n的一次函数，对应的点(n，a n)是位于直线上的若干个离散的点.当d>0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常函数，对应的数列是常数列；d<0时，函数是减函数，对应的数列是递减数列.

若等差数列的前n项和为S n，则S n＝pn2＋qn (p、q∈R).当p＝0时，{a n}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.

(2)对于等比数列：a n＝a1q n－1.可用指数函数的性质来理解.

①当a1>0，q>1或a1<0,0

②当a1>0,01时，等比数列{a n}是递减数列.

③当q＝1时，是一个常数列.

④当q<0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.

2.解答数列综合问题的注意事项

(1)要重视审题、精心联想、沟通联系；

(2)将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来.

题型一等差数列与等比数列的综合应用

例

1在等比数列{a n} (n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设b n＝log2a n，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.

(1)求证：数列{b n}是等差数列；

(2)求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项a n；

(3)试比较a n与S n的大小.

探究提高在解决等差数列和等比数列综合题时，恰当地运用等差数列和等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度和准确度，如本例中就合理地应用了等差中项.

已知数列{a n}中，a1＝1，a2

＝2，且a n＋1＝(1＋q)a n－qa n－1 (n≥2，q≠0).

(1)设b n＝a n＋1－a n (n∈N*)，证明：{b n}是等比数列；

(2)求数列{a n}的通项公式；

(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，a n是a n

a n＋6的等差中项.

＋3与

题型二数列与函数的综合应用

例

2已知函数f(x)＝log2x－log x2(0

(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的单调性.

探究提高本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查学生的逻辑分析能力.

已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x)＝4(x－1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为417，数列{a n}满足a1＝2，(a n＋1－a n)g(a n)＋f(a n)＝0 (n∈N*).

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求数列{a n}的通项公式；

(3)设b n＝3f(a n)－g(a n＋1)，求数列{b n}的最值及相应的n.

题型三数列与不等式的综合应用

例

3

已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1

4

，a n

＋b n ＝1，b n ＋1＝

b n

1－a 2n

. (1)求b 1，b 2，b 3，b 4； (2)求数列{b n }的通项公式；

(3)设S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，求实数a 为何值时，4aS n

探究提高 由a n ＋b n ＝1得到a n 的表达式，然后利用裂项相消法求得S n ，将4aS n

＋(3a －6)n －8<0对任意n ∈N *

恒成立.利用二次函数的

性质进行分析，设f (x )＝(a －1)x 2＋3(a －2)x －8，对x 2

的系数分a ＝1，a >1及a <1三种情况进行分类讨论，从而求得使不等式成立的a 的取值范围.

已知函数f (x )＝

2x ＋3

3x

，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ? ??

??1a

n ，n ∈N *

，

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ； (3)令b n ＝

1

a n －1a n

(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <

m －2 003

2

对一切

n ∈N *成立，求最小正整数m .

题型四 数列的实际应用

例

4某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36, 1.085≈1.47,1.086≈1.59)

探究提高 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这恰好是数学实际应用的具体体现.

从社会效益和经济效益出发，

某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2010年投入800万元，以后每年投入将比上年减少1

5，本年度当地旅游业收入

估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14

.

(1)设n 年内(2010年为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ (参考数据：lg 2＝0.301 0)

15.用构造新数列的思想解题

试题：(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1

2，a n ＝－2S n ·S n －1

(n ≥2).

(1)求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)求证：S 21＋S 22＋…＋S 2

n ≤12－14n

.

审题视角 (1)从求证内容来看，首先要求出S n .(2)从S n 与S n －1的递推关系看，

可考虑构造新数列????

??

1S n .(3)可考虑用放缩法证明.

规范解答

(1)解 ∵a n ＝－2S n ·S n －1 (n ≥2)， ∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.

两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1

S n －1

＝2 (n ≥2)，

[2分]

∴数列????

??1S n 是以1S 1＝1

a 1

＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列，

[3分]

∴1S n ＝1

S 1

＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ，

∴S n ＝12n

.

[5分]

将S n ＝

1

2n

代入a n ＝－2S n ·S n －1， 得a n

＝?????

12

n ＝1，1

2n －2n 2

n ≥2.

[6分]

(2)证明 ∵S 2

n ＝

1

4n 2<14n

n －1

＝14? ????1n －1－1n (n ≥2)，S 21＝14

， ∴当n ≥2时，S 21＋S 2

2＋…＋S 2

n ＝14＋14×2×2＋…＋1

4·n ·n

<14＋14? ????1－12＋…＋14? ????1

n －1－1n

＝12－1

4n ；

[10分]

当n ＝1时，S 2

1＝14＝12－14×1.

综上，S 21＋S 22＋…＋S 2

n ≤12－14n

.[12分]

批阅笔记 (1)在数列的解题过程中，常常要构造新数列，使新数列成为等差或等比数列.构造新数列可以使题目变得简单，而构造新数列要抓住题目信息，不能乱变形.

(2)本题首先要构造新数列????

??

1S n ，其次应用放缩法，并且发现只有应用放缩法

才能用裂项相消法求和，从而把问题解决.事实上：14n 2<14n n －1

，也可以

看成一个新构造：b n ＝

14n

n －1

.

(3)易错分析：构造不出新数列????

??

1S n ，从而使思维受阻.不会作不等式的放缩.

方法与技巧

1.深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列

性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错.

2.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程组时，

仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处.

3.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化

组合，无形中加大了综合的力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等.

4.在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、

分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题.

失误与防范

1.等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易

忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习.

2.数列的应用还包括实际问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解.

专题四 数列的综合应用

(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组 一、选择题

1.(2011·安徽)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n

·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋

a 10等于( )

A.15

B.12

C.－12

D.－15

2.(2010·福建)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于

( )

A.6

B.7

C.8

D.9

3.设函数f (x )＝x m

＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列??

??

??

1

f

n

(n ∈N *)的前n 项和是( )

A.n n ＋1

B.n ＋2

n ＋1 C.

n n －1

D.

n ＋1

n

二、填空题

4.(2011·江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________.

5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1

a n

，则该数列前26项的和为

_____________.

6.在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n

取得最大值，则n ＝________. 三、解答题

7.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)若b n＝a n log 1

2

a n，S n＝b1＋b2＋…＋

b n，求使S n＋n·2n＋1>50成立的最小正整

数n的值.

8.某人有人民币1万元，若存入银行，年利率为6%；若购买某种股票，年分红

利为24%，每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行.

(1)问买股票多少年后，所得红利才能和原来的投资款相等？

(2)经过多少年，买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等？(精确到整年)

(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.06≈0.025 3)

B组专项能力提升题组

一、选择题

1.{a n}是等差数列，a2＝8，S10＝185，从{a n}中依次取出第3项，第9项，第27

项，…，第3n项，按原来的顺序排成一个新数列{b n}，则b n等于

( )

A.3n＋1＋2

B.3n＋1－2

C.3n＋2

D.3n－2

2.已知数列{a n}的通项公式为a n＝log2n＋1

n＋2

(n∈N*)，设其前n项和为S n，则使

S n<－5成立的自然数n

( )

A.有最小值63

B.有最大值63

C.有最小值31

D.有最大值31

3.已知数列{a n}满足3a n＋1＋a n＝4 (n∈N*)且a1＝9，其前n项和为S n，则满足不

等式|S n－n－6|<

1

125

的最小正整数n是

( )

A.5

B.6

C.7

D.8

二、填空题

4.(2011·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，

相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米.

5.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………

按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为__________. 6.对正整数n ，若曲线y ＝x n

(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列??

?

?

??

a n n ＋1的前n 项和为____________.

三、解答题

7.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n －1

n

n ＋1

. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝na n ·2n

，求数列{b n }的前n 项和S n .

8.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝

1n a n ＋3

(n ∈N *

)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，

使得对任意的n 均有S n >t

36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.

答案

题型分类·深度剖析

例1(1)证明∵b n＝log2a n，

∴b n＋1－b n＝log2a n＋1

a n

＝log2q为常数，

∴数列{b n}为等差数列且公差d＝log2q.

(2)S n＝9n－n2

2

a n＝25－n (n∈N*)

(3)解显然a n＝25－n>0，

当n≥9时，S n＝n9－n

2

≤0，

∴n ≥9时，a n >S n .

∵a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝1

8

，

S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4，

当n ＝1,2或n ≥9时，a n >S n .

变式训练1 (1)证明 由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1 (n ≥2)， 得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，

即b n ＝qb n －1，n ≥2.由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0， 所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列. (2)a n ＝?????

1＋1－q n －1

1－q ， q ≠1

n ， q ＝1

(3)解 由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1. 由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5

－q 2

＝q 2

－q 8

， 由q ≠0得q 3

－1＝1－q 6，

①

整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2或q 3

＝1(舍去).于是q ＝－32. 另一方面，

a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3

－1)，

a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q

(1－q 6

).

由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ， 即2a n ＝a n ＋3＋a n ＋6，n ∈N *

.

所以对任意的n ∈N *

，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项.

例

2

解 (1)由已知得log 22a n －

1log 22a n ＝2n ，∴a n －1a n

＝2n ，即a 2

n －2na n －1＝0.

∴a n ＝n ±n 2

＋1.

∵0

(2)∵a n ＋1a n ＝

n ＋1－n ＋1

2

＋1

n －n 2＋1

＝n ＋n 2＋1

n ＋1＋n ＋12＋1

<1， 又∵a n <0，∴a n ＋1>a n ， ∴{a n }是递增数列.

变式训练2 (1)f (x )＝(x －1)2

(2)a n ＝? ??

??34n －1

＋1

(3)解 b n ＝3(a n －1)2

－4(a n ＋1－1)，令b n ＝y ，u ＝? ????34n －1，

则y ＝3??????? ????u －122－14 ＝3? ????u －122－34

. ∵n ∈N *

，∴u 的值分别为1，34，916，2764，…，经比较916距12最近，

∴当n ＝3时，b n 有最小值是－189

256，

当n ＝1时，b n 有最大值是0.

例