第3讲 命题演算(1)

矛盾式:也称永假式。一真值函数是矛盾式，当且仅当在其命 题变元真值指派组合的全部可能情况下，函数都得到一个 假的真值。
偶真式:一真值函数是偶真式，当且仅当在其命题变元真值指 派组合的一部分情况下函数取真值为真，在其他情况下函 数取真值为假。
可满足式:重言式与偶真式统称可满足式。一真值函数是可满 足式，当且仅当在其命题变元至少一种真值指派组合情况 下，函数得到一个真的真值。
各种类型命题真值树分解具体规则详解： （1）合取命题的分解：
A∧B √ A B 根据该规则，合取命题被分解后，它的合取支写在该合取 式下方的同一树枝上。当一命题形式被分解后，在其后写上“√” 标记，表示该式已经被分解完毕。
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（2）析取命题的分解： A∨B √
A
B
析取命题被分解后，它的析取支写在该析取式 下方的不同树枝上。
╞A A∧A (5)╞A∨(B∧B) A；
╞A∧(B∨﹁B) A (6)╞A∨(B∨﹁B) B∨﹁B；
╞A∧(B∧﹁B) B∧﹁B (7)╞(A→B)∧A→B
(同一律) (矛盾律) (排中律) (等幂律) (基元律) (吸附律) (分离律)
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(8)╞A∧B→A；
╞A∧B→B
(9)╞A→A∨B (10)╞﹁﹁A A (11)╞A∧B B∧A；
例题5：用真值表证明 p q (pq)(qp) 。
p q pq qp pq (pq)(qp)
11 1
1
1
1
10 0
1
0
0
01 1
0
0
0
00 1
1
1
1
10
两个公式
（1） p q pq
pq
p
p q
pq
11
0
1
1
10
0
0
0
01
1
1
1
00
1
1
1
（2） (pq)(pq) p q
p q p q p q p q (p q) (p q) pq
[问题] 某个案件，几名刑侦人员做出如下断定，判断 其中是否存在矛盾？
谋杀至少由管家、女仆和园丁三人中一人参与； 有证据说明，或者谋杀在室内发生，或者管家参与了 谋杀；如果谋杀在室内发生，则园丁可排除作案的可 能；如果使用了毒药，那么除非女仆作案，否则管家 不会作案。但是，第一，女仆没参与作案，第二，谋 杀确实使用了毒药。
110 0
1
0
1
1
100 1
0
0
0
0
011 0
0
0
0
0
001 1
0
1
1
1
11
用真值表可以判定推理的有效性
可以用真值表判定一个推理是否有效。 例题. 一个统计表格的错误或者是由于材料不可靠，或者是由
于计算有错误；这份统计表格的错误不是由于材料不 可靠。所以这统计表格的错误是由于计算有错误。 解：设 p：统计表格的错误是由于材料不可靠。 q：统计表格的错误是由于计算有错误。 则前提是： (p q) ； p 结论：q 从前提能否推出结论？也就是判断：当所有前提都真时，结 论是否也真，若真，则有效，否则无效。
[例3] 用真值树方法判定下面推理是否有效：
如果“世界上没有真理”这个命题是真的，那么它就是假的。因 此，“世界上没有真理”这个命题是假的。 令p表示“世界上没有真理”，则上述推理的真值形式是：
（p→p）推出p 如果该推理有效，那么（p→p）→p必定是一个重言式。我们 用真值树证明其有效，就是要假定其否定是不成立的，即其否 定式（矛盾式）的真值树封闭。
第三，如果前两条都不能满足，那么先分解最复杂的真 值形式（比如含有多个析取词）。这是为了避免这些复杂命 题形式的分解结果在后面的每个树枝中都出现，那就是几何 级的组合了。
[例1] 用真值树方法判定：
命题集{A∧B，C，A∨C}是否存在矛 盾？
[解] 同时构造该命题集所有命题的真值树：
（1） （2） （3） （4） （5）
2
真值联结词逻辑定义总结
命题演算五个基本联结词的含义由真值表唯一确定（定义）
p p 10 01
pq 11 10 01 00
pq 11 10 01 00
p q 1 0 0 0
p q 1 0 1 1
pq 11 10 01 00
p q 1 1 1 0
pq
pq
11
1
10
0
01
0
00
1
3
其它联结词
由两个支命题定义的联结词理论上有(22)2个。以下是除5个 基本联结词之外的两个重要联结词：
因为（A→B）（A∨B），所以下面的分解 成立：
A→B √
A
B
因为（A∨B）（A∧B），所以下面的 分解成立：
（A∨B） √ A B
因为（A∧B） （A∨B），所以下面的分 解成立：
（A∧B） √
A
B
因为（A→B）（A∧B），所以下面的分解 成立：
（A→B） √ A
B
因为（AB）((A∧B)∨（A∧B）)，所 以下面的分解成立：
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关于重言式的定理及其应用
等值置换定理 ： 设A是任意的命题形式，A(B)表示B是A的支命题形式， A(B/C)表示以命题形式C去置换B在A中的任意出现而得到的 新的命题形式，则： 若CB，则A(B/C)A(B)。
重言代入定理： 一个重言式，用任何公式同时替换同一变元在其中的所有出现， 其结果仍然是一个重言式。【说明重言式是一个真命题模型】
本问题可以应用真值树轻松解决。
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真值树规则
所谓真值树方法，就是根据某种设定的规则，对复合命题进行 树形分解。当一个真值树所有分支都出现一个命题及其否定，则 称该真值树就是封闭的，原命题就是假的。当同时对一个命题集 的全部命题进行逐一分解，若所有分支都出现一个命题及其否定， 那么该命题集的真值树就是封闭的，原命题集就是有矛盾的，即 不可能同时成立。
命题演算----现代逻辑两大演算之一
本讲包括以下内容： 1-1 真值联结词 1-2 真值表方法 1-3 重言式与真值树方法 1-4 范式 1-5 命题演算系统p的结构 1-6 p的内定理的严格证明 1-7 p的内定理借助于导出规则的证明 1-8 p的内定理借助于演绎定理的证明 1-9 p的定义式定理及其证明 1-10 p的元理论
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利用上述重言式及两个定理，证明如下逻辑等式：
例题7：证明q (p (q ﹁q)) q p 。 证明：由基元律， (p (q ﹁q)) p
根据等值置换定理，把(p (q ﹁q)) 替换为 p，有 q (p (q ﹁q)) q p 。 证毕。
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例题8 证明：(p q) (p q) p
（3）双重否定命题的分解： A √ A
基本规则只有这三条。
由于任一真值联结词都可由∨、∧和 定义（范式中再证明），因此，依据以 上三条规则可分解含有其他类型联结词 的任意命题形式。
例如，如何分解：
A→B （A∨B） （A∧B） （A→B） AB （AB） 方法：根据蕴析律、摩根定律等，把它们全部转换为合 取或析取公式后再分解
复合命题形式的真值表按如下步骤组成： (1)列出复合命题形式中的所有命题变元及其真值组合情况 (2)在命题变元的基础上，由简到繁（指联结词的个数）逐次地列出组 成复合命题形式的各支命题形式，最后是复合命题形式本身。 含n个命题变元的命题公式，共有2n组赋值。
例1：pq的真值表。
p
q
p
pq
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
7
例2：(pq)p的真值表。
p
q
pq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
永假 公式
p
(pq)p
0
0
0
0
1
0
1
0
例3： (pq) v(pq)的真值表。
p
q
p q pq pq
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
(pq)v(pq) 1 0 0 1
8
永真
例4：(pq) (pvq)的真值表。
A∧B √
C
√
A∨C √
A
B
命题1 命题2 命题3 （1）分解 （1）分解
（6） A
C
（3）分解
×
×
可以将公式（2）C至于C之下，也可以直接在其下封闭。
因此，真值树封闭，命题集存在矛盾，不可能同时成立。
注意：命题2是一个原子命题，无须分解。
问题： 真值树方法可以判定命题推理的有效性
由于A是重言式，当且仅当A是矛盾式。因 此，真值树方法同样可以用来判定一真值形 式是否为重言式，也可以用来判定一命题推 理是否有效。通常采用假设原命题为假并构 造真值树的反证法。
证： (p q) (p q)
p (q q)
分配律
p
基元律
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例题9 证明：p (q r) q (p r)
证： p (q r)
p (q r)
蕴析律
q (p r)
结合律，交换律
q (p r)
蕴析律，等值置换
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真值树方法
——用树形图判定命题的真值
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真值树方法
╞A∨B B∨A (12)╞(A∧B)∧C A∧(B∧C)；