第3章 平面问题的有限元法

3.应满足完备性和协调性 要求。
3节点三角形单元：
u a1 a2x a3 y v a4 a5x a6 y
4节点四边形单元：
u a1 a2x a3 y a4xy v a5 a6x a7 y a8xy
面积坐标的性质：
1. Ai Aj Am A
Li Lj Lm 1
Li，Lj，Lm中只有两个是独立的。
2.三角形三个角点处
i(1,0,0) j(0,1,0)
m(0,0,1)
3.三条边上 i-j:Lm=0 j-m:Li=0 m-i:Lj=0
推论：三角形内一条平行于三角形任一边的直线 上的各点，具有相同的与该边对应的坐标值。
Lm Nm
即三角形面积坐标就是三角形相应的形函数。
所以，位移模式也可以用面积坐标表示为：
u Liui Lju j Lmum Liui
v Livi Ljv j Lmvm Livi
将面积坐标的表达式：
Li
Ai A
1 2A
(ai
bi x ci y)
写成矩阵形式：
Li
L
j
能量法与数学工具—变分法的结合，导出虚位移（虚功 ）原理，使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得 到发展而更趋完善。
4.单元刚度矩阵
单元节点力列阵：
F e Fxi Fyi Fxj Fyj Fxm Fym T
单元节点虚位移列阵： e ui vi u j v j um vm T
节点力在虚位移所做的功：
2.对称性的利用
利用结构和载荷的对称性：如结构和载荷都对于某轴对称， 可以取一半来分析；若对于x轴和y轴都对称，可以取四分之 一来分析。
3.单元的划分原则
➢通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、分 布载荷与自由边界的分界点，支承点都应取为节点
单元的划分原则
➢不要把不同厚度或不同材料的区域划分在一个单元里。
v Li yi Lj y j Lm ym Li yi
例题
下图为一平面应力的直角三角形单元，直角边长均为a, 厚度为t，弹性模量为E,泊松比μ=0.3,求形函数。
3.3 单元刚度矩阵
1.单元应变
u
x y
x
y
x
v
y
u y
v x
1 2A
b0i ci
0 ci bi
这种化整为零、化繁为简的方法，正是有限元法的精华。
2.形函数
假设节点i，j，m的坐标分别为(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym)
联立求解左边3个方程，得： 其中A为三角形单元的面积
注意：为了使得出的面积值不为负值，节点i,j,m的次序必 须是逆时针。至于将那个节点作为起始点i则没有关系。
位移模式可表示为：
f N e
N为形态矩阵（形函数矩阵）
平面问题每个节点位移分量有两个，所以整个单元有6 个节点位移分量，即6个自由度。
单元节点位移列阵:
e
T i
T j
T m
ui vi u j v j um vm T
位移模式: 单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简单 函数。 反映单元的位移分布形态。
并使这些单元仅在节点处连结起来，构成所谓 “离散化结构”。
(c) 深梁（离散化结构）
离散化要注意:
1.单元形状的选择:
平面问题的单元，按其几何 特性可分为两类：
➢以三节点三角形为基础； ➢以任意四边形为基础。
这两类都可以增加节点也构成一系列单元：
➢ 较高精度的三角形等参数单元； ➢ 运用非常广泛的四边形等参数单元。 首选三角形单元和等参数单元。
写成矩阵形式
f
NiI N jI NkI e N e
式中：I 二阶单位阵，N 形函数矩阵
3.三角形面积坐标
定义：在三角形内任一点P，向三个 角点（节点）连线，将原三角形分割 成三个子三角形，设子三角形的面积 分别是：Ai，Aj，Am，则：
Li
Ai A
Lj
Aj A
Lm
Am A
即面积坐标定义为子三角形与原三角形面积之比； 记为：P（Li，Lj，Lm）。
第3章 平面问题的有限元法
3.1 结构的离散化 3.2 三角形常应变单元的位移模式和形函数 3.3 单元刚度矩阵 3.4 单元位移函数的选择原则
3.5 整体分析 3.6 等效节点载荷计算 3.7 约束条件的处理 3.8 有限元分析的实例
3.1 结构的离散化
❖ 将连续体变换为离散化结构 将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，
整理后得：
u
1 2A
ai
bi x ci yui
aj
bjx cj y
uj
am
bmx cm yum
同理，求解右边的三个方程，得到a4，a5，a6，解得：
v
1 2A
ai
bix ci yvi
aj
bjx cj y
vj
am
bmx cm yvm
式中：
ai
xj xm
yj , ym
常采用“帕斯卡三角形”来选取位移模式代数多项式的形式。
按照帕斯卡三角形选择位移模式的原则：
1.多项式的阶次及项数，由单元的节点数目和自由度数目 来决定。保证多项式中的待定系数同单元的自由度数目相 一致，以避免在确定待定系数时增加困难。 2.当高次多项式只选取一部分项时，应遵循“对称性”原 则，即取其最高次中的位置对称的相应项，以保证在各坐 标轴方向上具有相同的精度。
br bs
其中 r i, j, m; s i, j, m
例题
下图为一平面应力的直角三角形单元，直 角边长均为a,厚度为t，弹性模量为E,泊松 比μ=0.3,求单元刚度矩阵。
虚位移（虚功）原理：
理论力学中质点、质点系（刚体）的虚位移原理； 材料力学中杆件的虚位移原理。 弹性力学中的虚位移（虚功）原理：
S——称为应力转换矩阵
应用平面应力问题的弹性矩阵：
Si
DBi
E 2(1 μ2 ) A
bi
1
μbi μ
2
ci
μci
1
ci μ
2
bi
。
(i, j, m)
(f)
平面应力问题，弹性矩阵：
D
E
1
1
0 0
1 2 0
0
1
2
平面应变问题，弹性矩阵：
1
D
（1
E（1- ）
）（1- 2）1-
其中：t为单元厚度
虚功原理 W U
F e B T DB tdxdy e
F e k e e
k e B T DB tdxdy
对于三角形常应变单元：
k e B T DB tA
A为单元面积
单元刚度矩阵ke取决于单元的大小、方向和弹性常数，而 与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改 变。
Li hi Hi
形心处： Li Lj Lm 1 3
面积坐标与直角坐标的转换：
1 A 1 1
2
xi xj
1 xm
1x
Ai
1 2
1
xj
1 xm
yi
yj
ym
y
yj
1 2
(ai
bi
x
ci
y)
ym
（i,j,m)
Li
Ai A
1 2A (ai
bi x ci y)
(i,j,m)
因此： Li Ni
Lj Nj
位移函数一般用多项式来构造。
三角形单元有6个自由度，内部任一点的位移是由6个节点 位移分量完全确定的，位移模式中应含有6个待定系数， 所以位移模式可取为：
u 1 2x 3 y, v 4 5x 6 y。
a
在弹性体内，位移变化非常复杂。有限元法将整个弹性体 分割成许多小单元，在每个单元内采用简单的函数来近似 表达单元的真实位移，将各单元连接起来，便可近似表达 整个弹性体的真实位移函数。
单元刚度矩阵为对称矩阵。
k e
BiT
B
T j
D
Bi
Bj
Bm
kii
k
ji
kij k jj
kim
k
jm
BmT
kmi kmj kmm
对于平面应力问题：
krs
4(1
Et
2
)
A
br bs
1
2
cr cs
cr bs
1
2
br cs
br cs
1
2
cr bs
cr cs
1
2
3. 位移模式应尽可能反映位移的连续性 使单元内部的位移保持连续。位移函 数取坐标的单值连续函数。
使相邻单元之间的位移保持连续，即受力后，相邻单元在 公共边界上，即既不互相脱离，也不互相嵌入。 使相邻单元在公共节点处具有相同的位移。
满足条件1、2的单元，称为完备单元；满足条件3的单元， 称为协调单元。
三角形常应变单元简单，精度较差，要提高精度： 1.增加单元数目和节点数目； 2.采用更高精度的单元。
FEM中的一系列工作，都是以位移模式为基础的。所以当单元趋于很小时， 即△x, △y→0时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了保证FEM收敛性,位 移模式应满足下列条件：
1. 位移模式必须能反映单元的刚体位移。
1-
1
0 0
0
0
1 2
2(1 )
应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单 元的应变与应力将产生突变，但位移是连续的。
3.虚位移（功）原理
能量转换与守恒定律，是自然界基本的运动规律之一。
能量法的优点：与坐标系的选择无关，因而应用极为广泛。
实功原理：处于平衡状态的可变形固体，在受外力作用 而变形时外力对其相应的位移所做的功（实功），等于 积蓄在物体中的应变能（实应变能）。