组合变形及强度理论
九 强度理论及组合变形
第二节
几种常见的强度理论
二、 最大伸长线应变理论（第二强度理论）
1、提出 1682年， Mariotto提出最大线应变理论。 1862年， Navier发展了实例，岩石块受压，逐层剥落。 2、内容 无论是简单应力状态，还是复杂应力状态，引起破 坏的因素都是最大线应变。
3、失效条件
1 u
4、强度条件
r 2 1 ( 2 3 )
r 3 1 3
1 2 2 2 r4 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 2
应用举例
例1 解： 试写出扭转轴四个强度理论的强度条件。
四、强度条件
2、 单一应力状态的强度条件 （1）正应力强度条件： max ≤[ ]
例如，轴向拉压变形、平面弯曲变形、斜弯曲变形、拉压与弯 曲组合变形的强度计算均采用这个条件。
（2）剪应力强度条件： max ≤[ ]
例如，圆轴扭转的强度计算采用这个条件。
3、 复杂应力状态的强度条件
四、强度条件
M max Wz 600 cm3 [ ]
查表知，可选No.32a工字钢, Wz=692.2cm3, d=9.5mm （3）用剪应力强度条件校核 * FS S z max 76.67 MPa [ ] bI z
x
200KN
M
84KN.m
x
应用举例 例4 已知：[σ]=140MPa, [τ]=90MPa
组合变形
1、定义：由两种或两种以上基本变形组合的情况 称为组合变形
压缩和弯曲
偏心受拉
第三节
二、 组合变形
组合变形
2、几种常见的组合变形形式
强度理论与组合变形ppt
通过监测桥梁的变形、裂缝等指标，及时发现 并解决潜在的安全隐患。
3
桥梁修复和加固
根据强度理论分析，针对受损或老化桥梁采取 适当的修复和加固措施。
强度理论在建筑物中的应用
建筑设计
01
考虑建筑物结构的强度、刚度和稳定性，以确保建筑物在使用
过程中的安全性。
抗震设计
02
强度理论在地震作用下用于评估建筑物的抗震性能，设计合理
02
组合变形
组合变形的定义与特点
定义
组合变形是指结构或构件在复杂受力或温度变化等作用下，由平面弯曲、拉 伸、压缩、扭转等基本变形组合而形成的变形形式。
特点
组合变形具有复杂性、多变性、综合性等特点，变形形式多种多样，影响因 素较为复杂，需要综合考虑多种因素进行分析和计算。
组合变形的影响因素
材料性质
组合变形对强度理论的影响
组合变形过程中，材料内部的应力 、应变和裂缝等状态是不断变化的 ，这些因素对强度理论的应用和验 证产生一定的影响。
VS
在复杂应力状态下，材料的强度和 稳定性受到多种因素的影响，因此 需要综合考虑各种因素来评估材料 的强度和稳定性。
强度理论与组合变形的相互作用
强度理论是组合变形的基础，它为组合变形的分析 和设计提供了重要的理论依据。
强度理论分类
根据不同的破坏特征和受力条件，强度理论可分为最大拉应 力理论、最大伸长线应变理论、最大剪切应力理论和形状改 变比能理论等。
强度理论的重要性
强度理论是工程应用中设计、制造、使用和维护各种材料的 关键依据之一，可以指导人们合理地选择材料、制定工艺和 优化结构。
强度理论能够为各种工程结构的分析、设计和优化提供理论 基础，从而提高工程结构的可靠性、安全性和经济性。
009 第九章 强度理论与组合变形
2 3
2 2 1 3 1 2 3 ( 2 ) 2 2
( 2
1 3
)
1991年俞茂宏提出了考虑拉压性能不同的参数α及反映中间 主切应力以及相应面上的正应力对材料破坏影响的加权系数b 的双剪切统一强度理论。
1 3 1 (b 2 3 ) ( 2 ) 1 b 1 1 3 1 ( 1 b 2 ) 3 ( 2 ) 1 b 1
极限应力圆 s
极限应力圆的包络线
s3
o
s2
s1
近似包络线
12
1、基本论点：材料是否破坏取决于三向应力圆中的最大应力圆。 （即任意一点的最大应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将 屈服或剪断）。 M 2、破坏条件： 许用包络线
K
L
P
〔 c〕
O2 3
oN
O3 O1
9
强度理论的应用——
x
max
min
x
2
(
x
2
) 2 xy 1
2
3
xy
r 3 x 4 xy
2 2
r 4 x 3 xy
2 2
2 0 。 使用条件：屈服破坏，
10
§8－3
其他强度理论
一、莫尔强度理论（修正的 最大切应力理论） 莫尔认为：最大切应力是
1
第八章
强度理论与组合变形
§8－１ 强度理论的概念 §8－2 四种常用的强度理论 §8－3 其他强度理论
强度理论小结
§8—4 §8—5 §8－6 §8－7 §8－8 组合变形概述 斜弯曲 轴向拉(压)与弯曲组合 偏心拉（压） 截面核心 弯曲与扭转
强度理论及组合变形
（3）强度条件 1 [ ] （4）特点 该理论较好的解释了脆性材料在拉伸和扭转时的破坏 现象，但没有考虑其它两个主应力的影响，且对没有拉 应力的状态也不适用。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）
（1）内容 无论材料处于何种应力状态，只要其上某点的最大伸长线 应变ε1达到其极限值，材料即发生断裂破坏。 （2）破坏条件
又由第二强度理论 取μ=0.27
也即
0.787 ] [
则
[ ] 0.787 ] 0.8[ ] [
对于塑性材料，由第三强度理论
1 3 ( ) 2 [ ]
与纯剪切强度条件比较 则
[ ] 0.5[ ]
又由第四强度理论
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 1 3 )2 ] 3 [ ] 2
（1）内容 无论材料处于何种应力状态，只要形状改变比能μf达到单 向拉伸相应于极限应力σ0的形状改变比能μ0f时，材料即发生 屈服破坏。 （2）破坏条件 在三向应力状态下，弹性体的形状改变比能为
1 u uf [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 1 3 ) 2 ] 6E
max 1 3
2
方法： 叠加法
σ2 σ3
σ2
σ3
由虎克定律， σ1 单独作用下，在σ1方向的主应变可表示为
E 在σ 2 σ 3单独作用下，沿σ1方向的引起的主应变为
1 2
E 1
3
E
由叠加原理，在σ1σ2σ3三个主应力共同作用下σ1方向的主 应变为：
A 双向拉伸
p
σ A
p
σ
B
B
m
6组合变形的强度计算
当构件在载荷作用下同时产生两种或两种以上的基本变形时，称为组合变形。图示车 刀的变形为弯曲与压缩的组合变形，齿轮轴的变形为弯曲与扭转的组合变形。
二 组合变形问题的分析方法
➢ 外力分析 ➢ 内力分析 ➢ 应力分析 ➢ 建立强度条件 ➢ 强度计算
二 弯拉（压）组合、弯扭组合的强度条件
eF
M FN
F
例1
max
FN A
M Wz
FN
d 2 /
4
M
d 3 /
32
15103
1252 /
4
6 106 1253 / 32
32.5(MPa)
计算表明，立柱的强度足够。
四 弯扭组合的强度计算举例
例10-2 电动机通过联轴器带动齿轮轴， 如图a所示。已知两轴承间的距离 l=200mm，齿轮啮合力在圆周方向的分 力Ft=5kN，径向分力Fr=2kN。齿轮分 度圆直径D=200mm，轴的直径d=50mm， 轴材料的许用应力[ ]=55MPa。试按第 三强度理论校核此轴的强度。 解：（1）外力分析。将齿轮上的啮合 力向轴心简化，得到作用于轴心的两个 横向力及一个力偶Me，如图b所示。力 Fr使轴在铅垂面内产生弯曲变形，力Ft 使轴在水平面内产生弯曲变形，而力偶 Me则使轴上的CB段产生扭转变形，所 以此轴的变形为弯扭组合变形。
例2
（2）画扭矩图及弯矩图。从扭矩图
可以看出，CD段各截面上扭矩相同，
大小为
M
x
Me
Ft
d 2
5 0.2 0.5(kN m) 2
而从弯矩图来看，无论是铅垂面还是 水平面内，最大弯矩均出现在截面C， 其最大值分别为
M zC
Fr l 4
第十章 强度理论与组合变形b
s
s 1= 1 (s s 2 4t 2 )
T=Mx
t
对于圆轴，有：WT=2Wz =2W=pd3/16;
W=pd3/32
强 s r 3 = s 1 s 3 = s 2 4t 2 [s ] 1 M 2 T 2 [s ] W 度 第三强度理论 第四强度理论 条 1 2 2 2 2 [s ] M 0 . 75 T 件 s r 4 = s 3t [s ] W
F
a 2a
F
s =FN/A= F/4a2 (压应力)
2) 开槽部分横截面应力: 截取研究对象，求截面内力。 FN=F； M=Fa/2 压弯组合变形且A处压应力最大。 由叠加法有： s
max开槽
M FN
A
a/2
= s压s弯 =
F Fa / 2 2F = 2 a 2 2 a a 2/ 6 a2
3) 最大应力值之比为：
危险点：A、B处。 s B =s A =s max ; t A =t B =t max
18
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10.3.2 圆轴的弯扭组合变形
危险点应力：
s=M/Wz；t=T/WT
2 ； M = M y2 Mz
应力状态
t s
B
主应力：
2 s2 = 0 s 3 = 1 (s s 2 4t 2) 2
b/6
16
讨论一：矩型截面柱的核心是菱形，圆形柱
的核心？ 设压缩载荷如图：FN=F； M=Fr 最大拉应力：
FN M 4 F 32 F r = = s max拉 pd 2 pd 3 A W z
z
z
r
d/4
F
y
截面核心： 由 smax拉=0， 有： 32Fr/d=4F r=d/8 圆截面柱的截面核心是直径为 d/4 的圆。
第六章 组合变形和强度理论.
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin
yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
cos2 1 (1 cos 2 )
{ 利用三角函数公式
2
sin2 1 (1 cos 2 )
y
x
D
x
A
y
o B1 d
a
20
c A1
主平面： = 0,
与应力圆上和横轴交点对应的面
(3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向
主应力的确定
y
x
D
x
A y
o B1 d
a
2αo
c
A1
oA1
0c
cA1
x
2
y
(
x
y
)2
2
xy
2
oB1
0c
6.2 复杂应力状态
工程实例
弯曲
+
压缩
拉伸（压缩）
+
扭转
扭转
+
弯曲
地震荷载作用下的墙体破坏
说明:
破坏面与受力方 向可能不一致。
推论:
对同一点:一 个方向上满足强 度要求,并不能说 明已经安全。
水管在寒冬低温条件下，由于管内水结冰引 起体积膨胀，而导致水管爆裂。由作用反作 用定律可知，水管与冰块所受的压力相等， 试问为什么冰不破裂，而水管发生爆裂?
剪切（Shear） 扭转 ( Torsion ) 平面弯曲（Bend）
工程力学第十章强度理论与组合变形
y
(10-6)
tg 2a0=-s2xt-xsyy (10-4)
切应力取得极值的角a 1有两个，二者相差90。 即t max和t min分别作用在两相互垂直的截面上。
a 1和a 0 的关系？
tg
2a 1 =
-
1
tg 2a0
=-ctg2a 0=-
tg
(p2±2a0) =
tg
(2a
0
p m
2
)
即有：a1=a0p/4
如果正确，单元体应力状态用主应力如何表示？
(a)
(b)
(c)
切应力互等？
t
t
t
t是极限切应力，主平面？ 与极限剪应力面成 45 。
s1
二主应力之和？
s1 在哪个面上？
s1
s1 +s3 =sx +sy=0。 s1 =-s3
多大？ (s1 -s3 )/2=t
s1
=t 20
平面应力状态小结
求任一截面应力—(10-1)、(10-2)式
=x
记 tg2a =0 x, 有 sin2a=x/(1+ x 2) 1/2 cos2a=1/(1+ x2)1/2
x
a
1
代入(10-1)式：
s
n=
s
x
+
s
y±{
(s
x
-
s
y
)2/
2
+
2t
2 xy
2
(s x -s y)2 +4t xy
}
极值 应力
s s
max
min
=
s
x
+ 2
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组合变形和强度理论习题及解答
题1．图示，水平放置圆截面直角钢杆（2
ABC
p ?），直径100d mm =，2l m =，1q k N m =，[]MPa 160=σ，试校核该杆的强度。
解：
1）各力向根部简化，根截面A 为危险面 扭矩：212nA M
ql =
，弯矩 23
2
zA M ql =+，剪力2A Q ql = 2) 2348ZA M ql W d s p ==， 3132W d p =，3
116
p W d p =， 扭转剪应力：2
3
810.18n P M ql MPa W d
t p ===，
3) []364.42r MPa s s =
=<，
∴梁安全
题2、 平面曲杆在C 端受到铅重力P 作用。
材料的
[σ]=160MPa 。
若P=5KN ，l =1m ，a=0.6m 。
试根据第四强度理论设计轴AB 的直径d. 解：属于弯扭组合变形
危险面A 处的内力为：
题3、平面曲拐在C 端受到铅垂力P 作用，材料的[σ]=160MPa ，E=2.1⨯10
5
MPa ，。
杆的直径
d=80mm ，l =1.4m ，a=0.6m ，l 1=1.0m 。
若P=5KN (1) 试用第三强度理论校核曲拐的强度。
(2) 求1-1截面顶端处沿45︒方向的正应变。
解：
（1）危险A 上的内力为：5 1.4
7z M kN m =??
B
曲拐安全 （2）1-1截面内力：5,3z M kN m
T kN m =?? 顶点的应力状态
题4. 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18 号工字钢，其长度为 2.6l m =。
试求当荷载F =25kN 作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。
设工字钢的自重可略去不计。
B
解：18号工字钢4
3421851030610.,.W m A m --=??
AB 杆系弯庄组合变形。
题5. 砖砌烟囱高30h m =，底截面m m -的外径13d m =，内径22d m =，自重
2000P kN =，受1/q kN m =的风力作用。
试求：
（1）烟囱底截面上的最大正应力；
（2）若烟囱的基础埋深04h m =，基础及填土自重按21000P kN =计算，土壤的许用应力
[]0.3MPa s =圆形基础的直径D 应为多大？
注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。
解：烟囱底截面上的最大正应力：
题 6. 受拉构件形伏如图，已知截面尺寸为405mm mm ´，承受轴向拉力
12F kN =。
现拉杆开有切口，如不计应力集中影响，当材料的[]100MPa s =时，试确定切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变化图。
解：
题7. 试确定图示各截面的截面核心边界。
解：① 截面几何 ② 截面核心
213
1400007290182400100
,..设中性轴为边，y z z y AB a mm a i y m a z -==?=-=-=-´=
相应荷载作用点为点1；利用对称性，同样可得荷载作用点2 , 3 , 4 。
因此截面核心为点1 ,
2 ,
3 .
4 组成的正方形，该正方形的对角线长度： 题8. 试确定图示各截面的截面核心边界。
解:① 截面几何 ② 截面核心
设中性轴为AB 边，2y
8.4910, z a m a -=-??，则相应的荷载作用点1的坐标为:
2
3
12
12791000329849100
...y
z i z m a y --´=-=-=+-?= 分别设中性轴与点A B 、 和C 相切，则其截跟以及相应的荷载作用点2 , 3 和4 的坐标分别为：中性轴截距：200115,;,z y
z y a a mm a mm a =??=?相应点坐标：
2323440502430,,,;.,.z y mm z mm y ==?-=
中性轴由点A 的切线绕角点A 转至AB 边和由AB 边绕角B 转至点B 的切线，相应的荷载作用点的轨迹为直线，故分别以直线连接点1 、2 和点1 、3 。
中性轴从点A 的切线沿半圆孤ACB 过渡到B 点的切线（始终与圆周相切）,则相应的荷载作用点的轨迹必为一曲线，于是以适应的曲线连接点2 、4 、3 即得该截面的截面核心，如图中阴影区域所示，为一扇形面积。
题9. 曲拐受力如图示，其圆杆部分的直径50d mm =。
试画出表示A 点处应力状态的单元体，求其主应力及最大切应力。
解：A 点所在的横截面上承受弯矩和扭矩作用，其值 它们在点A 分别产生拉应力和切应力，其应力状态如图，其中
注：剪力在A 点的切应力为零。
10. 试校核图示拉杆头部的剪切强度和挤压强度。
已知图中尺寸32,20D mm d mm ==和。
12h mm =，杆的许用切应力[]100MPa t =，许用挤压应力[]240bs MPa s =。
解：33
6
39
b C bs b 50501050106632012105010200101026254
.[][]22安全安全
（32-20）s s s s s F KN
F MPa A dh F MPa A t t p p s s p p -=创====<创?创====<´ 11. 两直径100d mm =的圆轴，由凸缘和螺栓连接，共有8 个螺栓布置在0200D mm =的圆周上 ，如图所示。
已知轴在扭转时的最大切应力为70MPa ，螺栓的许用切应力[]60MPa t =。
试求螺栓所需的直径1d 。
解： 9
636
9
1010701010010
1016
max T T t p p -´==４´´´ 12. 一托架如图所示。
已知外力35F kN =，铆钉的直径20d mm =，铆钉与钢板为搭接。
试求拉最危险的铆钉剪切面上切应力的数值及方向。
解；(l)在F 力作用下，因为每个铆钉直径相等．故每个铆钉上所受的力4
sy F
F =
(2)在3
22510M F -=创
力偶作用下，四个铆钉上所受的力应组成力偶与之平衡。
联解式（l ）、（2）得
1
1221213
2
6
3152628754
3273271010420
104
max .()
...sx sy s Mr F KN
r r F
F KN F KN
MPa t p -==-?===
´==´´
13. 平均半径为尺的四分之一圈弧的平面曲杆，在自由端承受水平和铅垂方向的两集中力P ，如图所示，试作曲杆的轴力、扭矩和弯矩图。
解：（1）列内力方程
由截面法，可得任一截面上的内力分量（不考虑剪力）为
（2）轴力、扭矩和弯矩图
M M分别如图所示。
由内力方程，可得袖力、扭矩和弯矩(,)
z g
轴力图扭矩图弯矩图。