用母函数法统一解决三类排列与组合问题
组合数学中的排列与组合问题
组合数学中的排列与组合问题组合数学是数学中的一个重要分支，主要研究离散结构的组合和计数问题。
在组合数学中，排列与组合问题是最基础且常见的问题之一。
本文将从不同角度探讨排列与组合问题，并介绍其在实际生活中的应用。
一、排列问题排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定顺序排列的方式。
在组合数学中，排列问题是指从n个不同元素中选取r个元素进行排列的问题，通常用符号P(n,r)表示。
排列问题的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
排列问题的计算公式可以用来确定从n个元素中选取r个元素进行排列的不同方式的数量。
排列问题在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在一场比赛中，有n个选手参与，要确定前r名选手的排名，就可以使用排列问题的计算公式来确定不同的排名方式的数量。
此外，在密码学中，排列问题也有着重要的应用，可以用来生成密码的不同排列方式，增加密码的安全性。
二、组合问题组合是指从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
在组合数学中，组合问题是指从n个不同元素中选取r个元素进行组合的问题，通常用符号C(n,r)表示。
组合问题的计算公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)组合问题的计算公式可以用来确定从n个元素中选取r个元素进行组合的不同方式的数量。
组合问题在实际生活中也有着广泛的应用。
例如，在购买彩票时，选择不同的号码组合就是一个组合问题。
此外，在统计学中，组合问题也有着重要的应用，可以用来确定从一组数据中选取不同的子集进行分析的方式的数量。
三、排列与组合问题的联系与区别排列问题与组合问题都是从一组元素中选取若干个元素进行计算，但两者有着明显的区别。
排列问题考虑了元素的顺序，而组合问题不考虑元素的顺序。
因此，排列问题的结果数量通常比组合问题的结果数量大。
排列问题和组合问题在实际应用中也有着不同的用途。
例析排列组合问题类型及解题常用方法
例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题是数学中的一个重要分支，广泛应用于概率论、统计学、组合数学等多个领域。
在解决排列组合问题时，我们需要明确问题类型，并选用适当的方法进行求解。
下面将介绍几种常见的排列组合问题类型及解题常用方法。
1.组合问题组合问题是在给定的元素集合中，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。
组合问题的典型例子有"从n个不同的元素中，选取m个元素的组合个数是多少"。
解题方法：1)使用组合数公式进行计算，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中C表示组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)利用递归方法求解，即对问题进行拆解，递归地求解子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。
2.排列问题排列问题是将一组元素进行有序的排列，即考虑元素的顺序。
典型例子有"从n个不同的元素中，选择m个元素进行排列，有多少种不同的排列方式"。
解题方法：1)使用排列数公式进行计算，公式为P(n,m)=n!/(n-m)!，其中P表示排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)利用递归方法求解，将问题分解成子问题，进行子问题的排列，然后按照不同的顺序进行合并，得到原问题的解。
3.重复元素的排列组合问题重复元素的排列组合问题是在给定元素集合中，包含有重复元素的情况下，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。
解题方法：1)使用重复组合数公式进行计算，公式为C'(n,m)=(n+m-1)!/(m!(n-1)!)，其中C'表示重复组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)使用重复排列数公式进行计算，公式为P'(n,m)=n^m，其中P'表示重复排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
4.包含条件的排列组合问题包含条件的排列组合问题是在给定一组元素和一组条件的情况下，选择满足条件的子集，并以不同的顺序进行排列。
母函数的概念和使用
母函数的概念和使用
母函数是组合数学中的一种重要工具，用于描述序列的生成函数。
它可以将序列转化为形式简单的多项式，从而方便地进行计算和推导。
形式上，对于序列$\{a_n\}$，它的母函数可以定义为：
$A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...$
母函数$A(x)$通常被视为$x$的函数，可以进行各种计算操作，比如加法、乘法、求导等。
母函数的使用有以下几个方面：
1. 求序列的常用操作：对于给定的序列，可以通过母函数求导、乘法、加法等操作得到新的序列。
例如，序列的微分对应于母函数的求导，序列的乘法对应于母函数的乘法，序列的加法对应于母函数的加法。
2. 求序列的递推关系：通过构造序列的母函数，可以得到序列的递推关系。
递推关系描述了序列相邻项之间的关系，是解决组合计数问题的关键。
通过求解递推关系，可以得到序列的通项公式，从而得到更深入的结论。
3. 求序列的生成函数：母函数可以将序列转化为一个形式简单的多项式。
通过对母函数进行逆变换，可以得到序列的生成函数，从而用多项式的形式来表示序列。
生成函数是分析序列性
质的一种强有力的工具，可以进行各种计算和推导。
母函数在组合计数、离散数学和概率等领域中具有广泛的应用，可以解决各种组合计数问题，如排列组合、图论、走迷宫等问题。
同时，母函数也是解决一些难题的关键，在一些具有复杂递推关系的序列中起到了重要作用。
组合数学幻灯片43母函数在排列、组合中的应用
xr r!
这表明从n个不同的物体中选取r个物体 的排列数恰好是xr/r!的系数。
而(1+x)=(1+x1/1!)象征性地表示某一物体在 排列中可以不选取，或者选取一次。
由此我们得到启发，某一物体在排列中可以 不取，或取一次，或取两次，……，或取r 次可用如下形式表示：
x2
xr
1 x
2!
r!
特别是，如果某物体的重复次数是
设ar为所求的排列数，由上面的分析 知，序列(a0,a1,…,ar,…)的指数母函数为
fe ( x)
(1
x
x2 2!
xr r!
)n
(e x )n enx nr xr
r0 r!
故有 ar nr
例7 求1，3，5，7，9五个数字组成r位数
的个数。其中要求7，9出现的次数为偶数。 其余数字的出现不加限制。
4.3母函数在排列、组合中的应用
母函数有着广泛的应用，它不仅可以 用来处理排列组合的计数问题、整数分拆 问题，……而且还可以用来证明(或推导)各 种有用的组合恒等式。
特别是在第五章讨论的递归关系中有 着重要的应用。
从这节开始我们分别讨论母函数在某 些问题中的应用。
首先，我们考虑下列事实。令a,b,c表示三
那么，(1+x+x2+x3+…)n的幂级数展开式中，
xr的系数ar就表示从n个不同的物体中允许重复 地选取r个物体的方式数。
下面，我们举例加以说明。
例1 证明从n个不同的物体中允许重
复地选取r个物体的方式数为
F
(n,
r
)
n
r r
1
这个问题可以等价地叙述为：证明
重集B=｛∞·b1,∞·b2,…,∞·bn｝的r-组
如何有效解决初中数学中的排列与组合问题
如何有效解决初中数学中的排列与组合问题数学是一门精确的科学，其中的排列与组合问题是初中数学中的重要内容之一。
掌握排列与组合的解题方法，不仅可以提高数学成绩，还能培养逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍如何有效解决初中数学中的排列与组合问题。
一、排列与组合基础知识概述在解决排列与组合问题之前，首先需要了解排列与组合的基本概念。
1. 排列：从一组不同的元素中取出一部分进行排列的方式，称为排列。
若从n个元素中取出m个元素进行排列，记作A(m,n)或P(m,n)，则有：A(m,n) = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-m+1) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘。
2. 组合：从一组不同的元素中取出一部分进行组合的方式，称为组合。
若从n个元素中取出m个元素进行组合，记作C(m,n)，则有：C(m,n) = A(m,n) / m! = n! / (m! × (n-m)!)其中，m!表示m的阶乘。
以上是排列与组合的基础概念和公式，接下来将介绍如何利用这些知识解决数学题目。
二、排列与组合问题的解题方法1. 利用公式解题：若题目给定了元素的个数和要求的排列或组合的个数，可以直接利用排列或组合的公式计算出结果。
例如，题目要求从8个不同的元素中取出3个元素进行排列，可以计算出A(3,8) = 8 × 7 × 6 = 336。
如果题目要求从8个不同的元素中取出3个元素进行组合，可以计算出C(3,8) = A(3,8) / 3! = 336 / (3 × 2 × 1) = 56。
2. 分类讨论解题：有些排列与组合问题需要进行分类讨论，根据不同的情况进行解答。
例如，题目要求某班有8位学生，其中4位男生和4位女生，从中选出3位学生组成科学小组。
首先可以将问题进行分类，分别讨论男生全部、女生全部和男女各一种情况下的排列或组合方法。
题目：排列组合常见种类与解决办法
题目：排列组合常见种类与解决办法排列组合常见种类与解决办法介绍排列组合是离散数学中的一个重要概念，应用广泛于各个领域，包括数学、计算机科学、统计学等。
排列组合问题涉及到元素的排列和组合方式，常见的种类包括排列、组合、置换和分组等。
本文将介绍这些常见的排列组合种类，并提供相应的解决办法。
排列排列是指从一组元素中选取若干元素进行排序，其中元素的顺序是重要的。
排列问题可以分为有重复元素和无重复元素的情况。
无重复元素的排列无重复元素的排列问题可以通过以下方法解决：1. 阶乘法：对于给定的元素个数 n，可以通过计算 n 的阶乘来得到所有可能的排列数。
$$P(n) = n!$$2. 递归法：可以通过递归的方式来生成所有可能的排列。
从给定的元素列表中选取一个元素作为起始，然后递归地对剩余的元素进行排列。
有重复元素的排列有重复元素的排列问题可以通过以下方法解决：1. 字典序法：首先将元素按照字典序排序，然后通过递归的方式生成排列。
组合组合是指从一组元素中选取若干元素，无需考虑元素的顺序。
组合问题可以分为有重复元素和无重复元素的情况。
无重复元素的组合无重复元素的组合问题可以通过以下方法解决：1. 组合数公式：对于给定的元素个数 n 和选取的元素个数 k，可以使用组合数公式来计算组合数。
$$C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}$$2. 回溯法：通过回溯的方式生成所有可能的组合。
从给定的元素列表中选取一个元素作为起始，然后递归地对剩余的元素进行组合。
有重复元素的组合有重复元素的组合问题可以通过以下方法解决：1. 增加限制条件：在生成组合的过程中，设置限制条件，限制重复元素的选择次数。
置换置换是指从一组元素中选取若干元素进行排列，其中元素的顺序非常重要。
与排列不同的是，置换要求选取的元素个数与元素总数相同。
置换问题可以通过以下方法解决：1. 阶乘法：对于给定的元素个数 n，可以通过计算 n 的阶乘来得到所有可能的置换数。
利用母函数求解排列组合问题_何春
0 引言 母函数是组合 数学 中非 常重 要的 计数 工具 , 而 排列 组合 也 是组合数学的研 究重点 之一 . 我 们通 常解 决排 列组 合问 题的 方 法是利用加法原则 、乘法原则及 一些基 本公式 , 而这 些方法 在解 决一些比较复杂的问题时往 往非常 困难 , 比如 重复排 列问题 , 而 母函数却是解决 很多排 列组 合问 题的 优选 途径 . 本 文利 用母 函 数和指数型母函 数对 一些组 合和 排列 问题 进行 了 分析 和解 答 , 通过这些解答 , 大家可以举一反三 , 用它们解决更多的相关问题 . 1 母函数的定义和对组合问题的分析求解 1. 1 母函数的定义 令 h 0 , h 1 , h 2 , … , hn , …为一 无穷数 列 , 它 的母函 数定义 为无 穷级数 g(x) = h0 + h 1 x +h2 x +… + h n x +… , 在 g (x ) 中, x 的 系数是数列 h 0 , h1 , h2 , … , hn , …的第 n 项 hn , 从 而 x 就是 hn 的 “位置持有者 ”. 有限序列 h0 , h1 , h2 , … , hm 可以看成 是无穷序 列 h0 , h 1 , h2 , … , hm , 0 , 0, … , 在这个序列中 , 除去 有限项外 所有其 余的项 都等 于 0. 因此 , 每个有限序列都有一个 母函数 g(x) =h0 +h1 x +h2 x + … + hm x , 它是一个多项式 . 例如 : 其每一项都等于 1 的无穷序列 1, 1, 1, … , 1, …的 母函 数是 g(x) = 1+ x +x +… +x +… , 这 个母函 数 g (x) 是一 个几 1 何级数的和 , 其值为 g(x ) = . 1 -x 1. 2 利用母函数求解组合问题
湖北省武汉市吴家山中学高中数学复习 排列组合问题的解题方法
排列组合问题的解题方法排列组合是高中数学中相对独立的内容，它不仅应用广泛，而且还是学习概率统计知识和进一步学习的基础.它与许多数学知识都有联系，其思考方法和解题技巧都有其特殊性，具备概念性强、灵活性强、抽象性强、思维方法新颖等特点.因此，总结、归纳其解题思想和方法，并能深入浅出地加以类比、延伸和拓展，才能“以不变应万变”，达到事倍功半之效果.一、特殊元素（或位置）“优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑.例1、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个． 解1：（元素优先法）根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：①含0不含5，共有1324C A =48(个)；②含5不含0，共有1334C A =72(个)；③含0也含5，共有112224C C A ＝48(个)；④不合0也不含5，共有44A ＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个).解2：（位置优先法）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排个位，有14C 种方法；第二步；排首位，有14C 种方法；第三步：排中间两位，有24A 种方法．所以符合条件的四位数共有14C 14C 24A =192(个)． 二、相邻问题“捆绑法”：对于元素相邻的排列问题，可先将相邻元素“捆绑”起来看作一个元素（整体），先与其它元素排列，然后相邻元素之间再进行排列.例2、6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A 55种，甲、乙二人的排列有A 22种，共有A 22·A 55=240种. 三、不相邻问题“插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可.例3、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个.解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，共有2223222234576A A A A A 种.四、有序问题“无序法”：对于元素顺序一定的排列问题，可先考虑没有顺序元素的排列，然后除以有顺序的几个元素的全排列即可.例4、3男3女排成一排，若3名男生身高不相等，则按从高到低的一种顺序站的站法有多少种？解：6个人的全排列有A 66种，3名男生不考虑身高的顺序的站法有A 33种，而由高到低又可从左到右，或从右到左（这是两种不同的站法），故共有不同站法2A 66÷A 33=240种.五、分排问题“直排法”：n 个元素分成m （m ＜n ）排，即为n 个元素的全排列. 例5、将6个人排成前后两排，每排3人，有多少种排法.解：6个人中选3个人排在前排有A C 3336种，剩下3人排在后排有A 33种，故共有A C 3336A 33=A 66=720种.六、分组与分配问题的解法例6、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.解：⑴此为平均分组问题，共有153222426=！C C C 分法；⑵此为非平均分组问题，共有60332516=CC C 分法；⑶先分组，再排序，共有9033222426=∙！！C C C 种分法；⑷先分组，再排序，36033332516=AC C C 分法；⑸共有60332516=CC C 分法. 【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨益，其中：⑴均匀分组问题；⑵非均匀分组问题；⑶均匀不定向分配问题；⑷非均匀不定向分配问题；⑸非均匀定向分配问题.七、综合问题的解法：对排列组合的综合问题，由于限制条件较多而使问题较为复杂.解此类问题时，应注意解题的基本策略与方法，抓住问题的本质，采用恰当方法求解.1、分类分步法：解排列组合的综合问题，应遵循“按元素的性质进行分类，按事情的发展过程进行分步”的原则，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.例7、6个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有多少种？解：按元素甲分类：①甲在排尾，此时乙无任何限制条件地和其余4个元素排在一起，有A 55种排法；②甲不在排尾，而甲又不在排头，则甲有A 14种排法，乙不在排尾也有A 14种排法，其它4人有A 44种排法，共有A 55＋A 14A 14A 44=504种.2、排除法：对含有否定词的问题，也可从总体中把不符合条件的排法除去，此时应注意不能多除，也不能少除.例如：在例8中，6个人的全排列有A 66种，甲在排头的排法有A 55种，乙在排尾的排法有A 55种，甲在排头且乙在排尾的排法有A 44种，故共有A 66－A 55－A 55＋A 44=504种. 3、集合思想例8、用0、1、2、3、4、5、6七个数字组成没有重复数字的五位数，若数字3不在百位，数字5不在个位，共有多少个这样的五位数？解：设M={从七个数中任取五个数的排法}，A={0在首位的排法}，B={3在百位上的排法}，C={5在个位上的排法}，如图，则满足条件的五位数共有：card （M ）－card （A ）－card （B ）－card （C ）＋card （A ∩B ）＋card （B ∩C ）＋card （C ∩A ）－card （A ∩B ∩C ）=16083324354657=-+-A A A A 个. 4、图示（表）法：对于某些综合问题，如暂无思路求解，可考虑回归课本，用树图、框图或图表法求解.例9、同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人拿一张别人写的贺年卡，则四张贺年卡的不同分配方法有多少种？解：（树图法）如图，共有9种不同的选法. 例10、3男3女排成一排，下列情形各有多少种排法.⑴男女相间.⑵甲乙之间恰隔二人.解：⑴男女相间的站法有两类：男女男女男女，女男女男女男，共有2A 33·A 33=72种； ⑵甲乙之间恰隔二人有三类：甲××乙××，×甲××乙×，××甲××乙，因甲乙可交换位置，故共有3×A 22×44A =144种. 例11、9人组成的蓝球队中，有7人会打卫，3人会打锋，现选5人，按3卫2锋组队出场，有多少种不同的组队方法？解：9个人中7人会卫3人会锋，故有1人既会卫也会锋，则只会卫的有6人，只会锋的有2人，见下表：故共有A A 2236＋A A C 223326＋A C A 221236=900种方法. 5、至多、至少问题间接法：对于含有 “至多”、“至少”的组合问题，分类讨论十分麻烦，若用间接法处理，可使问题简化.例12、①某校要从6个班级中选出10人组成一个篮球队，要求每班至少选1人参加，则这10个名额的不同分配方法有多少种？②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少含甲型与乙型电视机各一台的不同选法有 种？解：①（隔板法）因为名额之间无区别，所以可把它们视作排成一排的10相同的球，要把这10个球分开成6段（每段至少有一个球），这样，第一种分隔方法都对应一种名额的分配方法，这10个球之间（不含两端）共有9个空位，现要在这9个空位中放进5块隔板，共有C 59=126种放法，故共有126种分配方法. ②（排除法）在被取出的3台中，不含甲型或不含乙型的取法分别为34C 与35C 种，故符合题意的取法有39C －34C －35C =70种.6、角色转换法：对元素可重复的排列组合问题，若将元素与位置互换，则可化为相异元素的问题求解.例13、有2个A ，3个B ，4个C 共9个字母排成一排，有多少种排法？解：将字母作为元素，则这是九个元素排在九个位置上的“不尽相异元素的全排列”问题.若将九个位置作为元素，则问题转化为“相异元素不许重复的组合问题”，即共有1260443729=CC C 种不同的排法. 7、分组与分配问题的解法例14、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.解：⑴此为平均分组问题，共有153222426=！CC C分法；⑵此为非平均分组问题，共有60332516=C C C 分法；⑶先分组，再排序，共有9033222426=∙！！CC C 种分法；⑷先分组，再排序，36033332516=AC C C 分法；⑸共有60332516=C C C 分法. 【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨益，其中：⑴均匀分组问题；⑵非均匀分组问题；⑶均匀不定向分配问题；⑷非均匀不定向分配问题；⑸非均匀定向分配问题.8、方程思想例15、球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分。
组合数学之母函数形式Polya定理及其应用
母函数形式Polya定理的应用场景
排列组合问题
母函数形式Polya定理可以应用于 排列和组合问题的计数，通过求 解代数方程得到组合数的通Polya定理可以应用于 生成函数的研究，通过求解代数 方程得到序列的通项公式。
离散概率论
母函数形式Polya定理可以应用于 离散概率论的研究，通过求解代 数方程得到概率分布的通项公式。
后续研究
自Polya定理提出以来，许多数学家对其进行了深入研究 和完善，进一步拓展了其在组合数学中的应用。
Polya定理的重要性
组合计数问题的解决
Polya定理为解决复杂的组合计数问题提供了一种有效的方法。通过使用该定理，可以快 速计算出满足一组约束条件的解的个数。
数学其他领域的应用
Polya定理不仅在组合数学中有广泛应用，还涉及到其他数学领域，如概率论、统计学和 图论等。该定理在这些领域中的应用有助于解决一系列复杂的问题。
04
Polya定理的应用
在组合数学中的应用
1 2
组合计数
Polya定理可以用于解决组合计数问题，例如计 算给定集合的所有子集的数量或排列的数量。
组合优化
在组合优化问题中，Polya定理可以用于寻找最 优解，例如在旅行商问题中寻找最短路径。
3
组合概率
在概率论中，Polya定理可以用于计算事件的概 率，例如计算多项式系数或排列组合的概率。
计数问题
组合数学中的计数问题通常涉及到在给定条件下，计算满足特定要求的元素个数。
Polya定理的历史背景
母函数的发展
母函数理论的发展可以追溯到18世纪，当时数学家开始研 究组合计数问题。随着时间的推移，母函数逐渐成为组合 数学中一个重要的分支。
Polya定理的提出
利用母函数求解排列组合问题
维普资讯
２０ ０ ７年 ６ 月
何
春 ， 鹰 ： 用母 函数求解排列组合问题 张 利
ｌ ３
＋ ＋ ＋ ＋ ） １ ＋ ＋ ＋ ） １ ＋ ＋ ）＝ ＋ （＋ （＋ １
种组合方案．
２一袋内装有 ５ ） 个红球， ４个白球，个黑球． ３
例如： 其每一项都等于１ 的无穷序列１１１…，，・ 母函 ，，， １”的
数是 ｇｘ ＝ ＋ ＋ ＋ “ （） １ ＋ … ＋…， 这个母函数 ｇｘ是一个几 （）
１
（） １从袋中任 取５ 个球有多少种不同的 取法？
１ 一
１２ 利用母函数求解组合问题 ． １２１ 解决组合方案问题 ．．
收 稿 日期 ：０ ６—１ ２０ ２—１ ４
４ 和Ｍ ： ０１ ，｝ 重组合数． ｝ 。 ｛，， ３的５ ２ 因而， 其母函数ｇ ） （ ＋ （ ＝ １ ｘ
作者 简介 ： 何春 （９ ０一） 女 ， 川南克人 ， １８ ， 四 硕士研 究生， 主要从事为计 算机 网络和组台数学研究； 张鹰 （９ ４一） 男． １６ ． 剐教授 ． 硕士生导 师， 主要从事计算
母函数 却是 解决很多排列组合问题的优选途径． 本文利用母函
通过这 些解答， 大家可以 举一反三， 用它们解决 更多的 相关问 题．
１ 母函数的定义和对组合问题的分析求解 １１ 母函数的定义 ．
数和指数型 母函 数对一些组合和排列问题进行了 分析和解答， 个红球， 表示取２ 球， 球黄球同 由此可见： ｒ 个红 白 理．
令取ｒ 组合数为Ｃ， 列 ｃ ， ， ， ， 的母函 球的 则序 。ｃ ｃ ｃ ｃ ， 数 ｈ ， ０…， 个序列中， ０ ， 在这 ， 除去有限项外所有其余的 项都等 为： Ｇ ： １ ＋ ） １ ） （） （ ＋ （ ＋ ＝１ ３ ４ ＋ ＋ ，“ ＋ ＋ ３。 的 于０ ．
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用母函数法统一解决三类排列与组合问题
作者：高仕学
来源：《课程教育研究》2017年第07期
关于三类排列与组合问题在排列组合知识中已经得到解决，但其方法都不相同，有的方法简单，有的方法复杂。
如果用母函数概念，不仅可以统一三类排列与组合问题，而且使复杂问题简单化，简单问题一目了然。
下面我们就用母函数方法，通过举例解决三类排列与组合问题。
一、用母函数法统一解决三类组合问题
首先，什么是母函数？
形式幂级数A（x）=anxn叫数列{an}的普通母函数，简称母函数。
其次，举例用母函数法统一解决三类组合问题。
例1 在四张不同的卡片中任取3张，问有多少种不同的取法？
解：这是一个无重合组合问题
设从中任取r个的不同取法有ak种
则{an}的母函数为（1+x）（1+x）（1+x）（1+x）=（1+x）4展式中项x3的系数
a3=C=4
所以有4种不同的取法
例2 在a，b，c，d，e五个字母中任取3个，允许重复，问有多少种不同的取法？
解：这是一个无限重合组合问题
设从中任取r个的不同取法有ak种
则{an}的母函数为（1+x+x2+x3）5，而
（1+x+x2+x3）5=（）5=（1+x2）5（1+x）5
=（1+Cx2+Cx4+Cx6+Cx8+Cx10）
（1+Cx1+Cx2+Cx3+Cx4+x5）
=1+5x+10x2+35x3+…
展式中项x3的系数a3=35
所以有35种不同的取法
例3 在口袋中放着12个球，其中有3个红球，3个白球，6个黑球，从中任取8个球，问有多少种不同的取法？
解：这是一个有限可重的组合问题
设从中任取r个的不同取法有ak种
则{an}的母函数为
（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6）
直接计算得项x8的系数a8=3+4+3+2+1=13
所以有13种不同的取法
二、用母函数法解决三类排列问题
首先，什么是指母函数？
形式幂级数u（x）=ar叫数列{an}的数型母函数，简称指母函数。
其次，举例用母函数法统一解决三类排列问题。
例4 用1，2，3，4四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解：这是一个无重排问题
设有ar个三位数
则{an}的指母函数为u（x）=（1+x）（1+x）（1+x）（1+x）=P
展式中项的系数a3=4？鄢3？鄢2=24
所以，可以组成24个没有重复数字的三位数
例5 有n个正方形排成一行，今用红、白、黑三种颜色给这n个正方形染色，每个正方形只染一种颜色。
如果要求染白色的正方形必须是偶数个，问有多少种不同的染法？
解：这是一个无限可重排问题
设有ar种不同的染法
而在问题中对红、黑两种没有要求，只要求白色出现偶数次，则{an}的指母函数为：
u（x）=（1+x+++…++…）
？鄢（1+x+++…++…）
？鄢（1+++…++…）
又问题是求n一无限可重排列的个数
u（x）=（1+x+++…++…）2
？鄢（1+++…++…）
=（3r+1）
所以ar=an=（3n+1），即有（3n+1）不同的染法。
例6 有五个数字，其中两个1，两个2，一个3，问用这五个数字能组成多少个四位数？
解：这是一个有限可重排问题
设ar表示组成r位数的个数
则{an}的指母函数为
u（x）=（1+x+）（1+x+）（1+x）
=1+3x+8+18+30+30
所以a4=30，即有30个四位数
综上所述，用母函数法确能统一解决三类排列与组合问题，它是一种行之有效的简便方法，它能使读者在学习时，化繁为简，化难为易，给其带来莫大的方便，大家不妨试一试。
参考文献：
[1]曹汝成.《高等代数》（组合数学）
作者简介：
高仕学（1956.08.30-），男，汉族，重庆人，理学士，教授，五次参与主持市级课题研究，主编数学教材，发表多篇教学论文。