第二章-一元二次函数、方程和不等式
第二次综合检测《一元二次函数、方程和不等式》
一、单项选择题(5×8=40分) 1.不等式270x x -<的解集是( )
A .{|7x x <-或0}x >
B .{|0x x <或7}x >
C .{|70}x x -<<
D .{|07}x x << 2.若a ,b ,c R ∈且a b >,则下列不等式中一定成立的是( )
A .ac bc >
B .2()0a b c ->
C .11a b
< D .22a b -<-
3.一元二次不等式(1)(2)0x x -+<的解集为( ) A .{|2x x <-或1}x > B .{|1x x <-或2}x >
C .{|21}x x -<<
D .{|12}x x -<<
4.函数2
2(1)1
y x x x =+
>-的最小值是( ) A .2
B .4
C .6
D .8
$
5.我国的烟花名目繁多,其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h (单位:)m 与时间t (单位:)s 之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )
A .26米
B .28米
C .30米
D .32米
6.已知0a >,0b >,32a b ab +=,则23a b +的最小值为( ) A .20
B .24
C .25
D .28
7.已知x ,0y >且4x y +=,则下面结论不正确的是( ) A .xy 的最大值是4
B .xy 的最小值是4
C .x ?,y ,xy y x ≥+
D .x ?,y ,xy y x 2≥+
8.若不等式23
208
kx kx +-<对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )
A .30k -<<
B .03<≤-k
C .0k <
D .0k 3≤<-
二、多项选择题,漏选得3分(5×4=20分)
9.若11
0a b
<<,则下列不等式中正确的是( ) ?
A .a b ab +<
B .
2b a
a b
+> C .2ab b > D .22a b <
10.下列表达式的最小值为2的有( )
A .当1ab =时,a b +
B .当1ab =时,
b a a b +
C .223a a -+ D
11.关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ,2x ,且12x x <,则下列结论中正确的是( ) A .当0m =时,12x =,23x = B .1
4
m >-
C .当0m >时,1223x x <<<
D .当0m >时,1223x x <<<
12.对于给定的实数a ,关于实数x 的一元二次不等式()(1)0a x a x -+>的解集可能为( )
A .?
B .(1,)a -
C .(,1)a -
D .),()1,(∞+?--∞a
三、填空题(5×4=20分)
13.不等式2280x x -++>的解集是 .
|
14.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C (单位:/)mg L 随时间t
(单位:)h 的变化关系为2204
t
C t =
+,则经过 h 后池水中药品的浓度达到最大.
15.已知54ππαβ<+<
,3
π
παβ-<-<-,则2αβ-的取值范围是 . 16.已知0x >,0y >,且2x y xy +=,若222x y m m +>+恒成立,则xy 的最小值为 ,实数m 的取值范围为 . 四、解答题(10×2=20分) 17.已知正数x ,y 满足1x y +=. (Ⅰ)求xy 的最大值; (Ⅱ)求
12
x y
+的最小值.
18.已知不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >.
(Ⅰ)求a 、b ; (Ⅱ)解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc +++<.
二次函数与方程、不等式综合问题
二次函数与方程、不等式综合问题 1、在平面直角坐标系xOy 中,直线m x y +- =65经过点()n A ,2-,??? ??21,1B ,抛物线1222-+-=t tx x y 与x 轴相交于点C 、D . (1)求点A 的坐标。 (2)设点E 的坐标为??? ??0,25,若点C 、D 都在线段OE 上,求t 的取值范围。 (3)若该抛物线与线段AB 有公共点,求t 的取值范围。 2、在平面直角坐标系xOy 中,抛物线c bx ax y ++=2的开口向上,且经过点?? ? ?? 23,0A 。 (1)若此抛物线经过点?? ? ?? -21,2B ,且与x 轴相交于点E 、F 。 ①填空:b = (用含a 的代数式表示)。 ②当2 EF 的值最小时,求抛物线的解析式。 (2)若2 1= a ,当10≤≤x ,抛物线上的点到x 轴的距离的最大值为3时,求 b 的值。 3、已知二次函数23)2(2)1(2++++=x t x t y ,当0=x 和2=x 时的函数值相等。 (1)求二次函数的解析式。 (2)若一次函数6+=kx y 的图像与二次函数的图像都经过点),3(m A -,求m 和k 的值。 (3)设二次函数的图像与x 轴交于点B 、C (点B 在点C 的左侧),将二次函数的图像在B 、C 点间的部分(含点B 和点C )向左平移n (0>n )个单位后得到的图像记为G ,同时将(2)中得到的直线6+=kx y 向上平移n 个单位,当平移后的直线与图像G 有公共点时,求n 的取值范围。 4、已知二次函数)12(221-+-=t tx x y (1>t )的图像为抛物线1C 。 (1)求证:无论t 取何值,抛物线1C 与x 轴总有两个交点。 (2)已知抛物线1C 与x 轴交点A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),将抛物线1C 作适当的平移,得抛物线222)(:t x y C -=,平移后A 、B 的对应点分别为点),(n m D ,),2(n m E +,求n 的值。 (3)在(2)的条件下,将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后,连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形,记为图形G 。若直线b x y +- =2 1(3讲义-第二章《方程与不等式》
第二章方程与不等式 ★ 2.1 一元二次方程 定义:只含有1个未知数,且未知数的最高次数是 2的整式方程。 2 整式 单项式:数或字母的乘积,如 4,a, 4a , 3????2 多项式:若干个单项式的和或差 如4a+2c, a-5b ' ?? 分式:形如方的式子,且A, B 为整式,B 中有字母。 无理式:带有广且广下含有字母的式子 3.解一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a 丰0)的常用方法: (1)配方法:二次项系数化为 1 ?移向(把常数项移到方程右边)?配方(方程的两边各加上一次项系数 一半的平方),把方程化成(x+m ) 2=n 的形式?用直接开平方的方法求解。 6. 解题时要理解“且”和“或”的关系,且是取交集,表示都得满足,或是取并集,表示都 可以满足。例如:x-3 v 0或x+4W 0的解集是? 7. 解含有绝对值的不等式的思路: 把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式。 在解 含有绝对值的不等式时,常用数轴来表示其解集。 8. 一元二次不等式(一般形式 ax 2+bx+c > 0或ax 2+bx+c > 0, a * 0)的解法:一元二次不等 式经过配方再开方,变成含有绝对值的不等式,最后转化成一元一次不等式(组) ,从而求 出解集。 当 m > 0 时,X < m? |x| < m ,即-m < x < m X 2> m? |x| > m 即 x > m 或 x < -m ☆你能分清不等式与不等式组的解集到底取并集还是取交集吗? 1. 2. 衔接: 有理式 代数式 (2)求根公式法:??= -??±V ??2- 4???? 2 ,— 2 注意条件厶=b-4ac >0时,方程有2个不相等的实数根,△ =b-4ac=0 时,方程有2个相等的实数根,△ 2?? =6-4ac v 0时,方程无实数根。 (3)因式分解法或直接开平方法: 适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。 女口: X 2=9X , 4 x 2=5 等 4.注意 会丢根。 ★ 2.2不等式 1. (复习)任意两个实数 a,b 具有的基本性质: a-b > 0? a > b a-b=0 ? a=b 2. 比较两个实数或代数式的大小的方法:通常用做差比较法。 方法是:把要比较的两个实数 (或代数式)做差,然后进行化简,或配方,或因式分解, 直到 能判断实数或代数式的符号为止,最后根据结果的符号来判断大小。 元二次方程的实数根或者有 2个,或者没有。例如 x 2 =2x ,不能把 x 约去,否则 a-b v 0? a v b a > b? a+c > b+c (或 a-c > b-c ) 不等式的两边同时加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。 (2) a > b , 、?? ?? c >0? ac >bc (或??>??) 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变 ?? ?? (3) a > b , c v 0? ac v bc (或??v ??) 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变 4.解一元一次不等式组的解集是求他们各自解的交集!遵循的口诀是: 5.表示不等式的解集常用 2种方法: 集合表示:性质描述 区间表示:开区间,闭区间及半开半闭区间 大大取较大 小小取较小 大小 交叉中间找 大大 小小无处找
最新中考专题复习-二次函数与方程(组)或不等式
中考专题复习 二次函数与方程(组)或不等式 ◆知识讲解 (1)最大值或最小值的求法 第一步确定a 的符号:a>0有最小值,a<0有最大值;第二步求顶点,?顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. (2)y 轴与抛物线y=ax 2+bx+c 的交点为(0,c ). (3)与y 轴平行的直线x=h 与抛物线y=ax 2+bx+c 有且只有一个交点(h ,ah 2+bh+c ). (4)抛物线与x 轴的交点. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1,x 2是对应的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x ?轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点?△>0?抛物线与x 轴相交. ②有一个交点(顶点在x 轴上)?△=0?抛物线与x 轴相切; ③没有交点?△<0?抛物线与x 轴相离. (5)平行于x 轴的直线与抛物线的交点. 同(4)一样可能有0个交点,1个交点,2个交点.当有2个交点时,?两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是ax 2+bx+c=k 的两个实数根. (6)一次函数y=kx+n (k≠0)的图像L 与二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图像G 的交点,由方程组2y kx n y ax bx c =+??=++?的解的数目确定:①当方程组有两组不同的解时?L 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时?L 与G 只有一个交点;③方程组无解时?L 与G 没有交点. (7)利用函数图像求不等式的解集,先观察图像,找出抛物线与x 轴的交点,?再根据交点坐标写出不等式的解集.注意:观察图像时不要看漏了其中的部分.
【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)
【讲义】二次函数与一 次函数、一元二次方程、不等式(组) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标: 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程; 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求: 完成讲义中的练习; 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式(组) 例1.函数(是常数)的图像与轴的交点个 数为() A.0个B.1个C.2个 D.1个或2个 例2.已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值 为 . 例3.设函数y=x2﹣(k+1)x﹣4(k+5)的图象如图所示,它与x 轴交于A、B两点,且线段OA与OB的长的比为1:4,则k= _________ . 例4. 如图10-2,是二次函数y=ax2+bx+c图 象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与 x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不 等式ax2+bx+c<0的解集 是 . 例5. 已知P(3,m -)和Q(1,m)是抛物线2 21 y x bx =++上的两点. (1)求b的值; 22 y mx x m =+-m x
(2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值. 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 10-1所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0 B .c <0 C .b 2-4ac <0 D .a +b +c >0 2.如图所示,函数的图像与轴只有 一个交点,则交点的横坐标 . 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 . =ax2+bx+c 中,a<0,抛物线与x 轴有两个交点A (2,0)B (-1,0),则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点,因为其判别式 0,相应二次方程的根的情况为 . 2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =269y x x =-+-x 2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=O
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (2)-200708(解析版)
高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (2) 一、选择题(本大题共8小题,共40.0分) 1.使不等式23x?1?2>0成立的x的取值范围是() A. (3 2,+∞) B. (2 3 ,+∞) C. (1 3 ,+∞) D. (?1 3 ,+∞). 2.设集合A={x||3x+1|≤4},B={x|log2x≤3},则A∪B=() A. [0,1] B. (0,1] C. [?5 3,8] D. [?5 3 ,8) 3.若函数f(x)=1 2cos2x+3a(sinx?cosx)+(4a?1)x在[?π 2 ,0]上单调递增,则实数a的取值范 围为 A. [1 7,1] B. [?1,1 7 ] C. (?∞,?1 7 ]∪[1,+∞) D. [1,+∞) 4.已知函数f(x)=1 2 ax2+cosx?1(a∈R),若函数f(x)有唯一零点,则a的取值范围为 A. (?∞,0) B. (?∞,0]∪[1,+∞) C. (?∞,?1]∪[1,+∞) D. (?∞,0)∪[1,+∞) 5.已知函数f(x)={2x+4 x ?5,x>0, ?x2?3x?3,x≤0. 若函数f(x)=?x+m恰有两个不同的零点,则实 数m的取值范围是() A. (0,+∞) B. (?∞,4√3?5) C. (?∞,?2)∪(4√3?5,+∞) D. [?3,?2)∪(4√3?5,+∞) 6.已知集合A={x|x2?x?2>0},B={x|0
高中数学《一元二次函数方程和不等式》公开课优秀教学设计
课题:一元二次函数、方程和不等式(衔接课) 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中,“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节,学生高二时才学习,导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时,有一定的障碍,达不到一定的深度,初高中数学内容衔接不连贯,对于这一部分内容,老师普遍认为应调整到《必修1》之前,或是安排在《必修1》的“集合”之后,“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因,但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课,也不是一节复习课,而是一节衔接课,以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式(后面称三个“二次”)三者之间的关系及其应用为核心内容,特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习,为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备,帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”(一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式)在知识上的延伸和发展,它是函数、方程、不等式问题的基础和核心,在高中数学中,许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如,解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题,导数中导函数为二次函数时的许多问题等,同时,此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材,本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析,本节课的教学重点确定为 教学重点:一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生,华中师大一附中是湖北省示范高中,学生基础很好,一般而言,学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质,简单的一元二次不等式的解法,能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是,当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候,学生往往不能正确理解题意,不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化,不善于分类讨论,不善于归纳总结,对函数、方程、不等式的处理方法不够完整,没有形成基本的规律. 教学难点:含参数的二次方程、不等式,如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理,为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系; (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题,感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性; (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习,能够在本主题的学习中,逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”,有其重要特点:一不能靠单纯的复习;二不宜上成新课;三,必须展示基本的套路,而又不可能一次到位;四,需要立足于函数、圆
高中数学必修1 第二章 方程与不等式微专题1
微专题1 基本不等式的应用技巧 在解答基本不等式的问题时,常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧,而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用. 一、加项变换 例1 已知关于x 的不等式x +1x -a ≥7在x >a 上恒成立,则实数a 的最小值为________. 答案 5 解析 ∵x >a , ∴x -a >0, ∴x +1x -a =(x -a )+1x -a +a ≥2+a , 当且仅当x =a +1时,等号成立, ∴2+a ≥7,即a ≥5. 反思感悟 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值,然后利用基本不等式求解. 二、平方后使用基本不等式 例2 若x >0,y >0,且 2x 2+y 23=8,则x 6+2y 2的最大值为________. 答案 92 3 解析 (x 6+2y 2)2=x 2(6+2y 2)=3·2x 2 ????1+y 23 ≤3·? ?? ??2x 2+1+y 2322=3×????922. 当且仅当 2x 2=1+y 23,即x =32,y =422时,等号成立. 故x 6+2y 2的最大值为92 3. 三、展开后求最值 例3 若a ,b 是正数,则????1+b a ? ???1+4a b 的最小值为( ) A .7 B .8 C .9 D .10 答案 C
解析 ∵a ,b 是正数, ∴????1+b a ????1+4a b =1+4a b +b a +4=5+4a b +b a ≥5+24a b ·b a =5+4=9, 当且仅当b =2a 时取“=”. 四、常数代换法求最值 例4 已知x ,y 是正数且x +y =1,则4x +2+1y +1的最小值为( ) A.1315 B.94 C .2 D .3 答案 B 解析 由x +y =1得(x +2)+(y +1)=4, 即14 [(x +2)+(y +1)]=1, ∴4x +2+1y +1=? ????4x +2+1y +1·14 [(x +2)+(y +1)] =14???? ??4+1+4(y +1)x +2+x +2y +1 ≥14(5+4)=94 , 当且仅当x =23,y =13 时“=”成立,故选B. 反思感悟 通过常数“1”的代换,把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子,达到解题的目的. 五、代换减元求最值 例5 若实数x ,y 满足xy +3x =3????0
二次函数与方程、不等式综合.讲义
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义; 2.会利用描点法画出二次函数的图像; 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式; 2.能从函数图像上认识函数的性质; 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向; 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解; 1.能用二次函数解决简单的实际问题; 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题; 一、二次函数与一元二次方程的联系 1. 直线与抛物线的交点 (1) y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为()0c , . (2) 与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点() 2h ah bh c ++,. (3) 抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程 的根的判别式判定: ①有两个交点?0?>?抛物线与x 轴相交; ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0?=?抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0?时为例,二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下: 知识点睛 二次函数与方程、不等式综合
讲义-第二章《方程与不等式》
第二章 方程与不等式 ★2.1一元二次方程 1. 定义:只含有1 个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程。 2. 整式 单项式:数或字母的乘积,如4,a , 4a , 23 aa 2 多项式 :若干个单项式的和或差 如4a+2c ,a-5b 分式:形如a a 的式子,且A ,B 为整式,B 中有字母。 √且√下含有字母的式子 3. 解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的常用方法: (1)配方法:二次项系数化为1?移向(把常数项移到方程右边)?配方(方程的两边各加上一次项系数 一半的平方),把方程化成(x+m )2=n 的形式?用直接开平方的方法求解。 (2)求根公式法:a =?a ±√a 2?4aa 2a 注意条件△=b 2-4ac >0时,方程有2个不相等的实数根,△=b 2-4ac=0时,方程有2个相等的实数根,△=b 2-4ac <0时,方程无实数根。 (3)因式分解法或直接开平方法:适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。如:x 2=9x , 4 x 2=5等 4. 注意:一元二次方程的实数根或者有2个,或者没有。例如x 2=2x ,不能把x 约去,否则 会丢根。 ★2.2不等式 1. (复习)任意两个实数a,b 具有的基本性质:a-b >0?a >b a-b <0?a <b a-b=0?a=b 2. 比较两个实数或代数式的大小的方法:通常用做差比较法。 方法是:把要比较的两个实数(或代数式)做差,然后进行化简,或配方,或因式分解,直到能判断实数或代数式的符号为止,最后根据结果的符号来判断大小。 3.不等式的基本性质: (1)a >b ?a+c >b+c (或a-c >b-c ) 不等式的两边同时加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。 (2)a >b ,c >0?ac >bc (或a a >a a ) 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变。 (3)a >b ,c <0?ac <bc (或a a <a a ) 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。4.5. 6.解题时要理解“且”和“或”的关系,且是取交集,表示都得满足,或是取并集,表示都可以满足。例如:x-3<0或x+4≤0的解集是? 7.在解8.一元二次不等式(一般形式ax 2+bx+c >0或ax 2+bx+c >0,a ≠0)的解法:一元二次不等 式经过配方再开方,变成含有绝对值的不等式,最后转化成一元一次不等式(组),从而求出解集。 当m >0时,X 2≤m 2?|x|≤m ,即-m ≤x ≤m X 2≥m 2?|x|≥m ,即x ≥m 或x ≤-m
【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)
二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标: 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程; 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求: 完成讲义中的练习; 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式(组) 例1.函数(是常数)的图像与轴的交点个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 例2.已知实数x ,y 满足x 2 +3x +y -3=0,则x +y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣(k+1)x ﹣4(k+5)的图象如图所示,它与x 轴交于A 、B 两点,且线段OA 与OB 的长的比为1:4,则k= _________ . 例4. 如图10-2,是二次函数y =ax 2 +bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线x =1,若其与x 轴一交点为A (3,0),则由图象可知,不等式ax 2+bx +c <0的解集是 . 例5. 已知P (3,m -)和Q (1,m )是抛物线2 21y x bx =++上的两点. (1)求b 的值; (2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有, 2 2y mx x m =+-m x
求出它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值. 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0 B .c <0 C .b 2 -4ac <0 D .a +b +c >0 2.如图所示,函数的图像与轴只有一个交 点,则交点的横坐标 . 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 . =ax2+bx+c 中,a<0,抛物线与x 轴有两个交点A (2,0)B (-1,0),则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点,因为其判别式 0,相应二次方程的根的情况为 . 6.关于的方程有两个相等的实数根,则相应二次函数 与轴必然相交于 点,此时 . 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =O
一元二次函数、方程与不等式
一元二次函数、方程与不等式 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知a ,b ,c ,d 为实数,a b >且c d >,则下列不等式一定成立的是( ). A .ac bd > B .a c b d ->- C .a d b c ->- D .1 1 a b < 2.若x ≠-2且y ≠1,则M =x 2+y 2+4x -2y 的值与-5的大小关系是( ) A .M >-5 B .M <-5 C .M ≥-5 D .M ≤-5 3.不等式13 ()()022≥x x +-的解集是( ) A .1{|2x x <-或3 }2x > B .1 {|2x x ≤-或3 }2x ≥ C .13{|}22x x -≤≤ D .1 3 {|}22x x -<< 4.设11b a -<<<,则下列不等式恒成立的是( ) A .11 b a > B .11 b a < C .22b a < D .2b a < 5.若()0,2x ∈,则()2x x -的最大值是( ) A .2 B .3 2 C .1 D .1 2 6.若21y x ax =-+有负值,则a 的取值范围是( ) A .2a >或2a <- B .22a -<< C .2a ≠± D .13a << 7、已知不等式20ax bx c ++>的解集为1 |23x x ??-<???,则不等式20cx bx a ++<的解为( ) A .1|32x x ?? -<??? B .{3x x <-或12x ? >?? C .1|23x x ?? -<??? D .{2x x ≤-或13x ? >?? 8.已知关于x 的不等式24x x m -≥,对任意(0,1]x ∈恒成立,则有( ) A .3m ≤- B .3m ≥- C .30m -≤< D .4m ≥- 9.已知实数x ,y 满足41x y -≤-≤-,145x y -≤-≤,则9x y -的取值范围是( )
必修一第二章-一元二次函数、方程和不等式全章讲解训练-(含答案)
~ 第二章 一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解 (含答案) 【要点梳理】(不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式) 一、不等式 1.定义 不等式:用不等号(>,<,≥,≤,≠)表示不等关系的式子. 2..不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有: 性质1 对称性:a b b a >?<; 】 性质2 传递性:,a b b c a c >>?>; 性质3 加法法则(同向不等式可加性):()a b a c b c c R >?+>+∈; 性质4 乘法法则:若a b >,则000c ac bc c ac bc c ac bc , ,.>?>?? =?=?? 补充:除法法则:若a b >且0c =,则00a b c c c a b c c c ? >?>?? ? ?? ., 性质5 可加法则:,a b c d a c b d >>?+>+; 性质6 可乘法则:0,00a b c d a c b d >>>>??>?>; 性质7 可乘方性:()*00n n a b n a b N >>∈?>>; 可开方性:( )01a b n n N 且+>>∈>? ! 要点诠释:不等式的性质是不等式同解变形的依据. 二、比较两代数式大小的方法 作差法: 1. 任意两个代数式a 、b ,可以作差a b -后比较a b -与0的关系,进一步比较a 与b 的大小. ①0a b a b ->?>; ②0a b a b -<; ③0a b a b -=?=. 作商法: 任意两个值为正的代数式a 、b ,可以作商a b ÷后比较a b 与1的关系,进一步比较a 与b 的大小. ① 1a a b b >?>; ②1a a b b <; ③1a a b b =?=. &