分形理论及其在材料科学中的应用
分形学理论
分形学理论分形理论是20世纪后期创立并且蓬勃发展的新学科之一。
分形理论把传统的确定论思想与随机论思想结合在一起，使人们对于诸如布朗运动、湍流等大自然中的众多复杂现象有了更加深刻的认识，并且在材料科学、计算机图形学、动力学等多个学科领域中被广泛应用, 称为非线性科学研究的一个十分重要的分支。
一．分形学的产生在19 世纪初期到20 世纪中期期间, 一些数学家、生物学家、物理学家等曾经研究了大自然中物体和现象的几何形状, 大自然中的物体和现象举不胜举,但是这些物体和现象普遍具有复杂的不规则形状, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力。
究其原因, 发现过去的几何对象都有其几何长度, 例如线段有长度、圆有半径和面积等, 而一棵树、一朵花、一片云却很难用长度、面积、体积等来描述其形状。
在传统的物理学研究之中, 牛顿的确定论是运动学的基础, 牛顿在表达物体运动时所用的质量、加速度、惯性等概念至今仍在沿用, 确定论是人们相信在研究星内一颗小球运动的时候没有必要考虑屋外一棵树上落下一片树叶的影响, 但是约在1960年时, 美国气象学家洛伦兹在通过一组微分方程组预报天气时发现: 如果将一次输入所得六位数结果四舍五入并作为第二次的输入值时, 这一步很小的误差却能造成结果的巨大差异, 洛伦兹为了强调某些系数对初始值强烈的敏感性, 在1979 年12月29 日的华盛顿科学促进会中, 提出了一个形象的提问: “一只蝴蝶在巴西扇动翅膀, 会在得克萨斯引起风暴吗? ”由此留下了“蝴蝶效应”的说法。
另外, 在1827 年就发现的布朗运动其轨迹的复杂性岩石在受击破碎时裂纹的复杂性等, 也很难用牛顿的确定论来描述, 传统的物理学也面临困境。
在化学领域里, 随着二十世纪初科学技术的发展, 有机物越来越受到人们的重视, 其中高分子已成为其中的重要的分支学科。
高分子分为两类: 一类是生物高分子, 如生物体中的核糖核酸、蛋白质等; 另一类是聚合高分子, 如塑料、橡胶、纤维等。
分形几何及其在材料科学中的应用
分形几何及其在材料科学中的应用作者：杜艳红来源：《科技视界》2018年第33期【摘要】自然界中的物质材料研究，都是需要根据其标度的性质进行。
而标度不变就是参考我们在用不同放大倍数照相机拍摄形象的研究过程中，无论放大的倍数是如何改变的，但是人们所观察到的照片都是较为相似。
根据这种物质的自相似性研究，能够开展深层次数学构造分析分型几何的概念研究，由此分形几何的产生背景条件也得以探求。
对此本文将针对其在材料科学中的应用展开细致化的讨论，以期能够给有关研究人员带来借鉴参考。
【关键词】分形几何；材料科学；应用探究中图分类号： TB303 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）33-0122-003DOI：10.19694/ki.issn2095-2457.2018.33.056【Abstract】The study of material materials in nature is based on the nature of its scale.The same scale is based on the fact that we have studied the image with different magnification cameras，no matter how the magnification is changed，but the photos observed are similar.According to the self-similarity study of this kind of material，it is possible to carry out the conceptual study of deep mathematical structure analysis and classification geometry，and the background conditions of fractal geometry can also be explored.In this paper，the paper will focus on the application of its application in materials science，in order to bring reference to relevant researchers.【Key words】Fractal geometry；Material science；Application exploration0 引言分形理论基于几何学的研究角度，将一些物质构成系统中的结合图形自相似性进行分析，该理论在耗散结构理论、混沌结构理论补充，能够将定量研究自然界的复杂现象提供较为有利的条件。
分形几何在材料科学研究中的应用
分形几何在材料科学研究中的应用随着科学技术的不断发展，分形几何作为数学领域的一种新兴分支，已经逐渐渗透到了许多领域，包括物理学、化学、生物学和经济学等等。
在材料科学领域，分形几何也逐渐成为一种重要的分析工具，并取得了一些重要的研究成果。
分形几何是指研究自相似性和分形维数的一种数学方法。
自相似性是指一个物体的某个部分与整个物体结构相似。
而分形维数则是一种用于描述分形物体复杂度的指标。
分形几何的应用范围非常广泛，它可以应用于分析图像、声音、信号等等，还可以用于描述地形、树木、海岸线等自然现象。
在材料科学领域，分形几何可以用来研究材料的形态、结构和性质等方面。
例如，在研究复杂材料的结构时，传统的材料分析方法已经无法满足要求，而分形几何提供了一种新的思路。
利用分形几何的方法，研究人员可以分析材料的形态及其微观结构，以此来预测材料的性质和行为。
下面将详细讨论一些具体的应用。
材料疲劳破坏分析疲劳破坏是一种常见的材料失效形式，特别是在高温和高压等极端环境下更为常见。
研究人员使用分形几何方法来研究材料的疲劳破坏性质，尤其是在多尺度结构下的性质变化。
分形几何提供了一种可靠的方法来描述复杂材料的形态和结构，包括疲劳裂纹的分布和演化。
这个方法已经成功应用于金属、陶瓷和高分子等多种材料的疲劳破坏分析中。
材料表面粗糙度分析材料表面粗糙度是描述表面形态和结构的一个重要指标，因为它可以影响材料的物理、化学和机械性质等多方面。
使用分形几何方法来研究材料表面粗糙度，可以将表面形态和结构表达为一个复杂的分形模型。
分形几何方法可以提供更多的信息，如表面的局部和全局自相似性、表面特征的分布和关联等。
这些信息可以被用来描述材料的表面形貌和表面质量。
材料断裂分析材料的断裂行为是研究材料性质的重要方面。
分形几何方法可以被用来研究材料的断裂性质，包括断裂面的形态和分布特征。
这个方法可以通过分析微观结构的自相似性来描述材料的断裂行为，在这个方法中，材料被看作是一个分形结构，其内部包含了不同尺度和层次的结构。
路面材料中分形理论应用论文
路面材料中分形理论的应用近年来，分形几何理论对于研究者探索自然界中不稳定、不规则的未知现象逐渐成为重要的突破途径，其应用的范围也由复杂的理论研究渗透到各个不同学科领域，如物理、化学、生物与医学、地质与地理学、计算机科学、材料科学甚至经济学、人文社科学。
而作为路面材料工程科学研究者们已经开始关注分形几何理论在揭示材料常见的粗糙、凹凸、破碎等无序系统的本质的优越性。
传统的欧式几何无法准确的阐述固体材料复杂无序事物的本质，而目前分形几何理论已经对沥青混合料中的微观结构分析、集料颗粒表面均匀性分析、集料级配曲线分析以及体积特性分析等方面发挥了很大作用。
1分形理论1.1定义分形作为非线性科学的一个分支，没有严格的定义，但它具有非线性领域的主要特征，即随机性和复杂性。
客观的某种规律支撑起复杂的现象，分形理论作为一种科学而前沿的技术手段，使我们从另一个角度探究出隐藏在复杂现象背后的某种规律，概念新颖，深入透彻的揭示局部与整体之间内在的关系。
1.2分形理论的两大重要原则（1）自相似原则通常指不同时间或空间中某些结构或者过程都是相似的，也可以表征某些系统或者过程的局部与整体性质的相似，甚至完全相同。
[1]自相似分形通常分为有规分形和无规分形，其中有规分形要求局部与整体之间相似性非常严格，类似无穷迭代而成的结构形式，是一种标准的自相似；而无规分形是满足近似相似或统计意义上的自相似，自然界中无规分形是普遍存在的。
因此，相对于有规分形，无规分形只是一种近似相似或者在统计范畴内相似。
（2）无标度原则无标度原则又称伸缩对称性，指对象的形状不随着观察尺度的变化而变化，也就是说无论图形分形到何种程度，表现出来的都是相同的复杂程度，使得从任何尺度都可以观察出图形的细节。
同时，无标度区是分形尺度关系成立的范围，所以超出这个无标度区就不再是分形结构。
1.3分形维数整数维是用来描述欧式几何中的对象，分形维数则是描述分形的重要指标。
分形维数与欧使几何的整数维之间有一定关系，并不是独立的，对于传统整数维尺度测量无果的对象，需要采用非整数维的尺度才能准确描述其复杂程度的分形维数。
分形理论在材料科学中的应用
分形理论在材料科学中的应用分形理论是一种追求深刻而统一的自然解释的数学分支，其研究的对象是那些几何结构像自我相似的物体。
分形理论从诞生起就与材料科学密不可分，它在材料科学中的应用是广泛而深刻的。
材料科学是一门研究物质结构性质和性能的学科，材料学的发展离不开新理论、新技术的探索和开发。
分形理论作为一种先进的数学理论，发展迅速，在材料科学中的应用也日益广泛，本文将探讨分形理论在材料科学中的应用。
一、分形几何理论简介分形几何学课程的主要目标是回答什么是分形，以及在什么情况下什么样的对象可以被称为分形。
常见的分形物体包括科赫曲线、曼德勃罗集、谢尔宾斯基地毯等。
在讨论分形时，一个基本的概念是“自相似”，描述同一对象中的小结构类似于大结构。
自相似的对象是由被称为“自相似维数”的特殊尺寸描述的。
自相似维度介于整数维度和集合的哈斯多夫维度之间。
哈斯多夫维度是被认为是分形集合最重要的指标之一，它给出了一个度量对象粗糙度的方法，可以用于分类不同形状、硬度与裂缝的固体材料。
二、分形理论在材料科学中的应用（一）材料表面形貌的分形特征材料的表面形貌是材料科学中一个常见而重要的研究对象。
通过建立表面拓扑模型，测量表面拓扑参数，描述表面形貌，可以对材料的摩擦、润湿性、光学特性、尺寸效应等性质进行定量分析。
分形理论研究表明，材料表面的粗糙度和自相似特征与材料的结构性质相关。
对于金属、陶瓷、高分子材料和纳米材料等材料，分形理论可以用于描述其表面自相似维数，预测其表面性质和材料工艺的可行性。
（二）材料内部结构分析材料科学中，材料内部的结构也是一个重要的研究方向。
分形理论可以分析材料内部的结构及其形成原因，常用于研究材料中的晶体缺陷、孔隙、裂缝、界面等，并通过研究分形维数预测材料的物理性质与力学性能。
从分形物理学角度来看，分形维度可以量化多相材料中的结构，例如多孔介质、颗粒团簇或复合材料的孔隙和颗粒的分布。
对于孔隙研究，孔隙的分形维度能够揭示材料的孔隙形状及其沟通性，预测材料的力学性能，同时也可用于描述氧化物、半导体和金属膜中界面多孔性质。
分形理论及其在混凝土材料研究中的应用
分形理论及其在混凝土材料研究中的应用摘要：改革后，我国的科学技术水平不断进步。
其中，混凝土在其形成和服役过程中表现出了一系列分形的特征。
因而，研究人员将分形理论科学地引入混凝土研究之中。
介绍了分形理论，综合评述了分形理论评价混凝土材料的胶凝材料颗粒特征、集料的表面特征、混凝土孔隙的分形特征、混凝土断裂韧性和断裂能的分形效应、分形理论在混凝土材料声发射中的应用，并提出分形理论在混凝土研究中的应用前景。
关键词：混凝土结构；裂缝；分形理论引言随着对混凝土结构方面技术和认识的进步与提高，人们对裂缝所造成的损伤也更加重视。
由于混凝土塑性收缩及沉降、荷载、钢筋腐蚀等原因，混凝土构件很容易产生裂缝，裂缝的出现不仅使混凝土刚度、强度降低，还会影响其美观性和耐久性。
混凝土是多相复合材料，具有不规则性、非线性等特征，导致混凝土裂缝扩展具有随机性，利用传统损伤力学知识并不能恰当地解决这个问题。
而研究表明混凝土材料各相分布以及裂纹演化均具有自相似性，这是分形理论应用于混凝土结构的基础。
运用分形理论，计算混凝土表面裂纹演化的分形维数，分析分形维数与分级荷载、挠度、最大裂缝宽度、损伤变量、断裂能等之间的关系，可以将其作为一种工程应用的参考依据。
1分形理论简介什么是分形呢?事实上,目前对分形还没有严格的数学定义,只能给出描述性的定义。
粗略地说,分形是对没有特征长度(所谓特征长度,是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者,例如一个球,可用它的半径作为它的特征长度。
)但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。
曼德尔布罗特最先引入分形(fractal)一词,意为破碎的,不规则的,并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合,或者具有某种意义下的自相似集合;他也曾给出一个尝试性的定量刻画,说分形是豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。
但是所有这些定义都不够精确、不够全面。
英国数学家Falconer在其著作《分形几何的数学基础及应用》一书中认为,分形的定义应该以生物学家给出的“生命”的定义的类似方法给出,即不寻求分形的确切简明的定义,而是寻求分形的特性,将分形看作是具有如下所列性质的集合F:1)F具有精细结构,即在任意小的比例尺度内包含整体;2)F是不规则的,以至于不能用传统的几何语言来描述;3)F常具有某种自相似性,或许是近似的或许是统计意义下的;4)F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓扑维数;5)F的定义常常是非常简单的或许是递归的。
分形理论在我国混凝土材料科学研究中的进展
１ 分 形理 论简介
接下来 同济大 学的吴科如教授 、 严安博 士用激光法测试 计算
谢 什么是分形 呢 ？事 实 上 ， 目前 对 分形 还 没有 严 格 的数 学 定 了混 凝土断裂 面的分形维数 。董毓 利、 和平研究 了混凝土受压 损伤 过程 中的微裂缝演化 的分形描述 ， 建立 了损伤 因子与分形 维 义， 只能 给出描述性 的定 义。粗略地 说 ， 分形是 对没有特 征长 度 （ 谓特 征长度 ， 所 是指所 考虑 的集合 对象 所含 有 的各 种长 度 的代 数 的关 系。 １９ 年周瑞 忠研 究 了混凝 土结 构裂缝 尖端 应力场奇 异性 的 ９６ 表者 ， 例如一个 球 ， 可用 它 的半 径作为 它的特征 长度 。但 具有 一 ） 定意义下 的 自相似 图形 和结构 的总称 。曼德 尔布 罗特最 先引 入 分形 力学 意义。 分形 （ｒ ｔ１ ｆ ｃａ） ａ 一词 ， 为破碎 的 ， 意 不规则 的 ， 并且 曾建 议将分 形 定
中图分类号 ： ２ ＴＵ５８ 文献 标识 码 ： Ａ
分形理论是研究非线性 问题 的一 门新兴学 科 ， 它的研究对 象 重要 工具 。结 合分形理 论 的混 凝 土材料 科学 研究 在我 国 已有 十
Байду номын сангаас
是 自然界和非线性 系统 中出现 的不 光 滑 和不 规则 的几 何 形体 。 多年 的历史。 自 ２ 世纪 ７ 从 ０ ０年代 ， 曼德 尔布罗特 首先提 出分形 以来 ， 门学 这 １９ ９ ５年我国学者李 国强、 邓学钧在《 混凝土》 刊物上 发表 了一
２ 分形 理论在 我 国混凝 土 材料科 学研 究 中的进 展
１９ 年河海 大学朱卫华等 著文 介绍水 泥浆 体 中微 孔表 面分 ９８
分形理论及其应用
结语
• 分形理论是近些年发展起来的一门新学科。已被广泛的应 用到自然科学和社会科学几乎所有的领域，成为当今国际 上许多学科的前沿课题一种，然而我们还需要进行深入研 究： 如何判断一个对象是分形还是多重分形，还给分形一个严 谨的定义还需努力。 分形维数的物理意义。是描述分形特征的定量参数，但如 何理解分维确切的物理意义？ 分形的重构问题。既是任给一个几何上认为是分形的图形， 能否以某个制定的方式生成它？ 分形曲线的导数问题；分形的小波分析及小波变换产生分 形问题；图像的分形压缩问题等等。 • 总之，上面提到的这些问题对分形理论的发展至关重要， 需要人们深入进行探讨和研究。而分型理论作为非线性科 学的一个组成部分，它必将在发展中不断完善和走向成熟。
• 几种典型的分形：
Koch 曲线 Julia 集
三分康托集
1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人 知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而， 它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出 发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出 来的(如右图)。其详细构造过程是： • 第一步，把闭区间[0,1]平均分为三段， [0,1] 去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个 闭区间[0,1/3]和[2/3,1]。 三分康托集的构造过程 • 第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同 样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0,1/9]， [2/9,1/3]，[2/3,7/9]和[8/9,1]。 • 第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断 的分割下去， 最后剩下的各个小区间段就构成了三分 康托集。 三分康托集的 Hausdorff维数是0.6309。
Julia 集
Julia 集是由法国数学家 Gaston Julia 和 Pierre Faton 在发展了复变函数迭代的基础 理论后获得的。Julia 集也是一个典型的分形， 只是在表达上相当复杂，难以用古典的数学 方法描述。 • Julia 集由一个复变函数 •
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分形理论及其在材料科学中的应用Ξ郭从容 王雪松 杨桂琴 崔建中 严乐美 张万东(天津大学化学系 300072)摘要:分形是一门正处于迅速发展中的新学科,其影响范围和应用领域也在日益扩大。
本文简要介绍了分形的基本概念,以及分形应用于材料科学中的研究进展情况。
关键词:分形;自相似性;分形维数中图分类号:TN304 文献标识码:A 文章编号:1005-3077(1999)-01-0038-05The Fractal Theory and its Application in Material scienceG uo C ongrong Wang Xues ong Y ang G uiqin Cui Jianzhong Y an Lemei Zhang Wandong(Deparment of Chemistry,Tianjin University,300072)Abstract:Fractal theory is a rapidly developing subject of science.Its influence range and application field are enlarging.In this paper,the concept of fractal was explained,and its application in material science was described.K ey w ords:fractals;self-similarity;fractal dimension1 分形理论简介 Fractal一词,源于拉丁文Fractus。
原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。
近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。
1.1 分形理论的提出 众所周知,普通的几何对象具有整数维数。
例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。
然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。
同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。
对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢?随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。
于是,在七十年代中期,分数维几何学(fractal geometry)应运而生[1]。
整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。
但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗(B.B.Mandelbrot),他在总结了Ξ收稿日期:1998-12-01自然界中的非规整几何图形之后[2],于1975年第一次提出分形这个概念。
此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来;直至1982年Mandelbrot出版了他的专著《The Fractal G eometry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3]。
曼德尔布罗有句“口头禅”:云不是球形的,山不是锥形的,海岸不是圆形的。
他认为:分形几何学可用来描述和计算复杂的、不规则的图形和运动轨道,是一个可用于研究许多物理现象的有力工具;并提出了连续空间的概念,即:空间维数的变化不是跳跃性的,而是逐渐地、连续地变化。
它们不仅仅具有整数的维数,也可能是分维的。
1.2 自相似性 分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。
自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。
形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义),而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。
自仿射性则是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以不同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
而具有自相似性或自仿射性结构的体系就是分形体[4,5]。
例如:芦沟桥的狮子,大狮子上有小狮子,局部和整体都是狮子。
又如:硬币的背面是国徽的图案,国徽中有天安门城楼的图象,天安门上又有国徽,…,这种层层嵌套的图案,正是自相似性的典型例证。
事实上,自然界中的许多复杂现象和复杂图形背后,时常隐藏着一种无标度性,即从不同的尺度范围来看,局部与整体是自相似的。
这种体系到处可见,大到天体星系、变换不定的云彩,小到材料的裂纹、构件的断裂面、空气中的灰尘微粒,以及凝聚态物质的微观凝聚体等等,都具有尺度不同的多层次的形状和结构。
当你放大或缩小观察和测量的尺度时,形状和结构几乎不变。
可见,分形理论应用性研究的领域十分广阔,具有巨大的潜力。
1.3 分形体的数学构造 分形体是个其维数介于点、线、面之间的客体,具有分形特征的物体的维数往往是分数。
分形体不具有晶体几何的旋转对称和平移对称性,但具有其特有的标度对称、伸缩对称与自相似性。
分形体之间的差别在于标度的不同,而形状在不同尺度上是相同的[6]。
分形体的数学构造通常可分为以下四类:(1)Cantor棒分形;(2)Sierpinski四面体分形;(3)随机分形(又称不规则分形),如:渗流集团[7,8];(4)多重分形。
其中,多重分形[9]是定义在分形上的由多个标度指数的奇异测度所组成的无限集合,是为处理复杂而非均匀系统与过程而由Halsey等人发展起来的。
这是因为简单分形不能完整而生动地刻画大自然的复杂性与多样性,它仅是一种近似的手段;用一个参数不足以描述它,需要引入一系列参数用以更详细地描述复杂分形及其生长过程的特点。
1.4 欧氏空间与非欧氏空间 从数学的观点来看,在分形中产生了从欧氏测度到豪斯道夫测度的转变,即产生了测度观的转变;在物理上则表现为量纲数的转变,而这正是分形理论的主要特征。
可以说,分形理论带来了一场由平直的欧氏时空观转变到弯曲的非欧氏时空观的革命浪潮。
经典几何学是以古希腊的欧几里得几何学为基础的逻辑体系,它是以规整几何图形作为研究对象的。
由其定义不难看出:对于欧氏空间,其维数只能是整数。
而所谓几何测量是指长度、面积与体积的测量。
欧氏几何中的测量问题可用如下的公式加以描述: 长度=l; 面积A=al2; 体积V=bl3; 其中,a与b均为常数,称为形状因子。
显然,长度、面积与体积的量纲数恰与其欧氏空间维数相等,并且均为整数;可以证明微积分的基本思想正是以欧氏几何作为基础的。
然而,对于象海岸线、断口表面、粒子表面等不规则图形,怎样计算其空间维数呢?是否仍可按上述方法进行测量呢?广义上讲,这类曲线都存在如下特征:曲线在全区间上连续,但是并不满足可微或逐段可微的条件。
显然,上述的测量方法已不适用,传统数学对此无能为力;而分形理论则给出分形维数,并给出下述的计算原则: (1)仍以正四方形或正六面体作为标准; (2)改用如下的量纲:长度L=l D1;面积A=l D2;体积V=l D3;式中,1<D1<2,2< D2<3,3<D3; (3)对每个小标准几何图形的几何量按上式进行构造后迭加,并取下确界。
不难看出:分形几何学的一个明显特征就是其维数不再是整数,即改变了长度、面积与体积的量纲数。
分形曲线共同的特点是:处处连续,但处处不光滑。
这与经典几何学把曲线均视为处处连续,或至少是分段分块光滑的情况形成了两个极端。
这是对客观物体的形状从两个相反的方向进行抽象的结果。
而现实世界中的物体形状则是介于这两个极端之间。
2 分形维数的求算 分形维数是描述物体形态及物理现象的重要参数,它包含着深刻的物理意义,可以用它来表示不同的分形结构[10]。
分形维数有多种不同的定义,例如:豪斯道夫维数、信息维数、关联维数、广义维数、相似维数等等。
而较为常用的是豪斯道夫维数的定义:即对于一个D 维的物体,若将它每一维的尺寸放大L倍,会得到N个原来的物体,则豪斯道夫(Hausdorff)维数D=ln N/ln L,可见D不一定是整数。
例如:把一个立方体的每一个面等分成九块,挖掉位于中间的一个小方块,再对剩下的小立方体作同样的操作(。
最后剩下的几何体,称谢尔宾斯基(Sierpinski)海棉。
其分形维数D=ln N/ln L=ln20/ln3=2.7768。
该全息体的特点是:体积趋近于零,而其表面却趋于无穷大,故其维数介于2与3之间。
它内部有无穷多个自相似体,任何一个分割后的图形都是原来图形的翻版。
目前,常用的测定分形维数的实验方法,主要有:(1)分形曲线长度公式法;(2)周长2面积关系法;(3)表面积-体积关系法;(4)Sandbox法。
此外,测定二维随机分形的分形维数,还有(5)面积2回转半径法;(6)密度2密度相关函数法。
事实上,在测定分形结构的分形维数时,其实验方法的取定是分形结构的特点来决定的。
也就是说,不同的实验方法适用于不同的对象。
作者在对群青微胶囊进行分形研究中,曾根据颜料粒子分形结构的具体特点而进一步发展了常规Sandbox法,暂称为“放大图象法”[11]。
3 分形理论应用举例 由于具有分形特性的物质可能具有某种特殊功能,这无疑会引起材料科学工作者的极大兴趣,从而促使他们去研究分形的物理和数学机制,探索无序系统内部隐含的某种规律,并用分形维数值去规范无序系统。
不少材料工作者已经在这方面做了许多有意义的尝试,并取得一些有价值的成果。
本文在此仅就近年来分形在材料科学中的应用作以简要的介绍。
3.1 固体材料断裂分形行为 在对固体材料断裂所产生的断口(或断纹)的研究中,人们发现其具有分维特性。
无论是纳米复合陶瓷仿生结构陶瓷[12],还是岩石材料,其断裂均可用分形维数来表征。
Mandelbrot[13]等报道了冲击断口的分形维数与冲击功的实验结果:随着分形维数的增加,冲击功单调下降。
以后的实验表明,冲击功与分形维数成反变化的关系。
根据分形维数,可以得到断裂韧性的理论上界。
Rosenfield认为,断裂力学实验应服从分形的要求。
3.2 无机材料中的分形 在无机材料微观结构上,分形概念可用于描述其结构特点及其他情况。
用小角中子散射(SANS)对铝硅酸盐气溶胶研究[14]发现其内部在较大尺度范围呈现自相似性。
对多晶材料晶界的不规则性进行研究则发现没有进行热处理的材料的晶粒的分形维数为1,而进行热处理的为1.225。
龙起易等通过研究测量含马氏体和剩余奥氏体的金相照片的谢宾斯基地毯分维,发现谢氏分维越大,剩余奥氏体面积随马氏体晶粒变小的速度越慢。