高考数学几种重要概率等可能事件、互斥事件、对立事件
高三概率统计知识点总结
高三概率统计知识点总结在高中数学课程中，概率统计是一个重要的内容模块。
概率统计的学习对于培养学生的数据分析和决策能力具有重要作用。
下面是对高三概率统计知识点的总结。
一、概率的基本概念和性质1. 随机试验和样本空间：随机试验是指在相同条件下可以重复进行的试验，样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
2. 事件和事件的概率：事件是样本空间的子集，事件的概率是该事件发生的可能性大小。
3. 等可能概型：当随机试验的样本空间中的每个样本点发生的概率相等时，称为等可能概型。
4. 互斥事件和对立事件：互斥事件指两个事件不可能同时发生，对立事件指两个事件中至少发生一个的事件。
二、概率的计算方法1. 古典概型：根据等可能性原理进行概率计算的方法。
2. 相对频率概率：通过实验进行多次重复试验，计算事件发生的频率来估计概率。
3. 随机事件的运算：包括事件的并、交、差、对立等运算。
三、条件概率和独立性1. 条件概率的定义和计算：在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
2. 乘法公式：计算独立事件的联合概率。
3. 独立事件的定义和判定：事件A和事件B的联合概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
四、全概率公式和贝叶斯定理1. 全概率公式：用于计算一个事件A的概率，通过其他互斥事件的概率计算得出。
2. 贝叶斯定理：用于在已知事件B发生的条件下，求事件A发生的概率。
五、离散型随机变量1. 随机变量的定义：将样本空间中的每个样本点对应到一个实数的变量。
2. 概率质量函数和分布函数：离散型随机变量的概率质量函数描述了每个离散取值对应的概率，分布函数描述了小于等于某个值的概率。
3. 均匀分布、二项分布和几何分布：常见的离散型随机变量分布。
六、连续型随机变量1. 随机变量的定义：将样本空间中的每个样本点对应到一个实数的变量。
2. 概率密度函数和分布函数：连续型随机变量的概率密度函数描述了变量取某一值的概率密度，分布函数描述了小于等于某个值的概率。
浙江高考概率知识点总结
浙江高考概率知识点总结一、基本概念概率是现代数学中的一个重要分支，用来描述事件发生的可能性。
在高考中，概率常常与统计相关，是数学中的一个重要考点。
二、概率的基本属性1. 概率的取值范围：概率的取值范围是0到1之间，即0≤P(A)≤1，其中P(A)表示事件A发生的概率。
2. 必然事件和不可能事件：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
3. 互斥事件：如果两个事件不能同时发生，则称它们为互斥事件。
互斥事件的概率之和等于各事件概率之和。
三、计算概率的方法1. 等可能概率：当样本空间中的样本点具有相同的概率时，事件A 发生的概率可以通过计算事件A包含的样本点数与样本空间的样本点数之比来确定。
2. 几何概率：当样本空间中的样本点不具有相同的概率时，可以利用几何概率来计算事件发生的概率。
几何概率可以通过构造合适的图形，计算图形内的面积与总面积的比来确定。
3. 逆概率：当事件A的概率已知且不易计算时，可以通过计算事件A的对立事件（即A的补事件）的概率来得到。
4. 条件概率：当事件B已经发生时，事件A发生的条件概率可以通过计算事件A与事件B同时发生的概率与事件B发生的概率之比来确定。
四、概率的运算规则1. 加法定理：设A和B是两个事件，P(A∪B)表示事件A和事件B中至少有一个发生的概率，则加法定理可以表示为P(A∪B) = P(A) +P(B) - P(A∩B)。
2. 乘法定理：设A和B是两个事件，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，则乘法定理可以表示为P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
五、常见的概率分布1. 二项分布：二项分布描述了在n次独立重复试验中，成功的次数为k的概率分布。
其概率质量函数为P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n次试验中选出k次成功的组合数，p表示每次试验成功的概率。
事件与概率的基本知识点总结
事件与概率的基本知识点总结事件与概率的基本知识点总结概率论是研究随机现象的可能性的一门数学学科，其中的核心概念就是事件与概率。
事件是我们希望研究的一个或一组结果，而概率是用来描述这个事件发生的可能性的。
一、事件的概念与分类事件是指我们希望研究的一个或一组结果。
根据事件的特性，可以将其分为互斥事件、相对事件和对立事件。
1. 互斥事件：指两个或多个事件不能同时发生的情况。
例如掷一枚硬币的结果只可能是正面或反面，不可能既是正面又是反面。
2. 相对事件：指两个或多个事件至少有一个发生的情况。
例如掷一个骰子，结果可能是1、2、3、4、5或6，至少会出现其中的一个数字。
3. 对立事件：指两个事件在同一次实验中不能同时发生的情况。
例如抽一张扑克牌，事件A是抽到红心，事件B是抽到黑桃，这两个事件是对立事件。
二、概率的定义与性质概率是用来描述事件发生可能性的数值，它介于0和1之间，包括0和1。
1. 频率定义：频率定义概率是指某一事件在相同条件下进行的实验中发生的频率。
即当实验次数趋于无穷大时，事件发生的频率逼近于概率。
2. 古典定义：古典定义概率适用于等可能性事件。
根据古典概率的定义，事件A发生的概率等于事件A包含的基本事件数目除以样本空间中的基本事件数目。
3. 几何定义：几何定义概率适用于几何模型的实验。
根据几何概率的定义，事件A发生的概率等于落入事件A的区域面积与落入样本空间的区域面积之比。
三、概率的运算法则概率运算法则是用来描述事件之间相互关系的数学原理。
1. 加法法则：对于互斥事件A和B，它们的概率和等于两个事件发生概率的和。
即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
2. 减法法则：对于事件A，它的补事件是A的对立事件，即A'。
事件A和事件A'是对立事件，它们的概率和等于1。
即P(A') = 1 - P(A)。
3. 乘法法则：对于相对事件A和B，它们的联合概率等于A的概率乘以在A发生的条件下，B发生的条件概率。
高考数学大题概率知识点
高考数学大题概率知识点1. 引言高考数学中，概率是一个重要的章节。
掌握概率知识对于解答大题尤为关键。
本文将介绍高考数学大题中常见的概率知识点，帮助考生更好地应对考试。
2. 样本空间与事件解决概率问题首先要确定样本空间和事件。
样本空间是指一个试验的所有可能结果的集合，而事件是样本空间内的一个子集。
对于一些复杂的问题，借助树状图或排列组合的方法可以帮助我们确定样本空间和事件。
3. 互斥事件和对立事件互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，例如投掷一枚硬币的正面和反面。
而对立事件指的是两个事件只能有一个发生，例如投掷一枚骰子的结果为偶数或奇数。
4. 概率的计算方法概率可以用频率的方法计算，即频率等于发生次数除以总次数。
然而在高考中，更常用的是基于概率的计算方法。
对于等可能的样本空间，事件A发生的概率等于事件A的基本结果数除以样本空间的基本结果数。
5. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算方法是在已知条件下，将事件A与事件B的交集除以事件B的概率。
例如，已知某人患病的条件下，他接受某种治疗方法的概率。
6. 事件的独立性两个事件A和B是独立的，指的是事件A的发生与否与事件B 的发生与否无关。
在概率计算中，独立事件的概率计算方法是将事件A的概率乘以事件B的概率。
例如，两次独立投掷一枚硬币的结果。
7. 事件的相互依赖两个事件A和B是相互依赖的，指的是事件A的发生与否会影响事件B的发生与否。
在概率计算中，需要根据已知条件和条件概率进行计算。
例如，抽取有放回和无放回的问题。
8. 排列组合与概率计算在一些情况下，概率计算需要借助排列组合的知识。
例如，从n个元素中取出m个，每次取出后不放回，再继续取出的问题。
对于这类问题，可以利用排列组合的知识计算事件的基本结果数，从而计算概率。
9. 常见题型分析高考中常见的概率题型包括抽球问题、生日问题、赛事问题等。
抽球问题涉及到有放回和无放回的情况，需要根据已知条件进行计算。
高考数学总复习 概率问题
高考数学总复习 概率问题一．随机事件的概率：1 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。
2 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件叫做必然事件。
3 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫做不可能事件。
4 事件的概率：在大量重复进行同一次试验时，事件A 发生的频率nm 总是接近于某 个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数就叫事件A 的概率，记作：P(A).5 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，其取值X 围是1)(0≤≤A P ，必然事件的概率是1，不可能事件的概率为0。
二、等可能事件的概率：1、 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有．．．．．．．．．．．．．．．n ．个．，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有出现的可能性都相等．．．．．．．．．．．．．，那么每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)=n m . 2、 P(A)=nm 既是等可能事件的概率，又是计算这种概率的基本方法，其计算步骤是： （1）算出基本事件的总个数n ；（2）算出事件A 包含的基本事件的个数m ；（3）算出A的概率P(A)=nm . 三、互斥事件有一个发生的概率：1、 互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件。
2、 彼此互斥：一般地，如果事件A A A n ,...,,21中任何两个都是互斥事件，那么就说事件A A A n ,...,,21彼此互斥。
3、 对立事件：如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生，那么这样的两个互斥叫做对立事件，并记A 的对立事件为A 。
4、 A+B 事件：如果在一次试验中，A 或B 中至少有一个发生。
5、 互斥事件有一个发生的概率：如果事件A ，B 互斥，那么事件A+B 发生的概率等于A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+。
6、n 个互斥事件有一个发生的概率：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．7、 立事件的概率：)(1)(A P A P -=四、相互独立事件的概率：1、 相互独立事件：事件A （或B ）是否发生，对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
高三总复习讲义概率
高三数学总复习讲义--概率第一讲：随机事件的概率随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
必然事件：在一定条件必然要发生的事件。
不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
事件A的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。
由定义可知，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
等可能事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。
如果试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性相等，那么每个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率。
在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值：（古典概型）这样就建立了事件与集合的联系，从排列组合的角度看，m,n实际上就是事件的排列数或组合数。
题型一：与排列组合综合例1.某班委会由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是____________________；练习1.将7人（含甲、乙两人）分成三组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为________________；甲、乙分在同一组的概率P=________________。
题型二：与两个计数原理综合例2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色，再将正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，从切好的小正方体中任选一个，所得正方体的六个面均没有涂色的概率是________________；练习2.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，所得数是大于20000的偶数的概率是________________；题型三：有、无放回抽样问题例3.从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有1件次品的概率。
高中数学求概率的方法总结
高中数学求概率的方法总结高中数学中的概率理论是一个非常重要的知识点，它是统计学的基础，也是日常生活中常用的一种数学工具。
在学习概率的过程中，我们需要掌握一些基本概念和方法，以便能够正确地计算概率。
一、基本概念1. 随机事件：指具有不确定性的事件，例如掷骰子、抽卡等。
2. 样本空间：指所有可能结果的集合，通常用 S 表示。
3. 事件：指样本空间的一个子集，通常用 A 表示。
4. 等可能事件：指每个事件发生的概率相等的事件，例如抛硬币、掷骰子等。
5. 互斥事件：指两个事件不能同时发生的事件，例如抛硬币正反面、掷骰子点数等。
二、计算概率的方法1. 古典概型：指等可能事件的概率计算方法，通常用公式P(A)=m/n 表示，其中m 表示事件A 中的有利结果数，n 表示样本空间 S 的元素个数。
2. 几何概型：指通过几何图形来计算概率的方法，例如计算圆内随机点的概率等。
3. 统计概型：指通过实验和统计来计算概率的方法，通常需要进行大量的实验来验证概率的准确性。
4. 条件概率：指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常用公式P(B|A)=P(A∩B)/P(A) 来表示，其中 A 和 B 是两个事件。
5. 独立事件：指两个事件相互独立，即一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
通常用公式P(A∩B)=P(A)×P(B) 来表示。
三、应用举例1. 抛硬币的概率：假设硬币是均匀的，事件 A 表示正面朝上，事件B 表示反面朝上，样本空间 S={A,B}。
则有 P(A)=P(B)=1/2。
2. 抽卡的概率：假设卡片是等概率的，事件 A 表示抽到某个卡片，事件 B 表示抽到另一个卡片，样本空间S={A,B}。
则有P(A)=P(B)=1/2。
3. 掷骰子的概率：假设骰子是均匀的，事件 A 表示掷出的点数为偶数，事件B 表示掷出的点数为质数，样本空间S={1,2,3,4,5,6}。
则有 P(A)=1/2，P(B)=1/2。
高中概率知识点总结
高中概率知识点总结概率是高中数学中的重要内容，它在现实生活中的应用非常广泛，如抽奖活动、保险行业、数据分析等。
下面就来对高中概率的知识点进行一个全面的总结。
一、随机事件和概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如抛掷一枚硬币，正面朝上或者反面朝上就是随机事件。
2、概率概率是用来描述随机事件发生可能性大小的数值。
对于一个随机事件 A，它的概率记为 P(A)，取值范围在 0 到 1 之间。
如果 P(A) ＝ 0，表示事件 A 不可能发生；如果 P(A) ＝ 1，表示事件 A 必然发生；如果0 ＜ P(A) ＜ 1，则表示事件 A 有可能发生。
二、事件的关系与运算1、包含关系如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，那么称事件 B 包含事件 A，记作 A⊆B。
2、相等关系如果 A⊆B 且 B⊆A，那么称事件 A 与事件 B 相等，记作 A ＝ B。
3、和事件事件 A 或事件 B 至少有一个发生的事件称为事件 A 与事件 B 的和事件，记作 A∪B。
4、积事件事件 A 和事件 B 同时发生的事件称为事件 A 与事件 B 的积事件，记作A∩B。
5、互斥事件如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，那么称事件 A 与事件 B 互斥，即A∩B ＝∅。
6、对立事件如果事件 A 和事件 B 满足 A∪B 为必然事件，A∩B 为不可能事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件，此时 P(B) ＝ 1 P(A) 。
三、古典概型1、定义具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
2、古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
四、几何概型1、定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。
北京四中---高中数学高考综合复习 专题三十三 概率
高中数学高考综合复习专题三十三概率一、知识网络二、高考考点1、等可能性事件的概率问题；2、互斥事件有一个发生的概率问题；3、相互独立事件同时发生的概率问题；4、上述概率公式的综合运用问题。
三、知识要点（一）随机事件的概率1．随机事件在一定的条件下必然发生的事件，叫做必然事件；在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
2．随机事件的概率在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，并在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率P（A）∈[0，1]。
提醒：注意频率与概率的区别和联系。
设随机事件A在n次试验中发生了m次，则比值叫做随机事件A的频率（或相对频率），在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率有稳定性——总在某个常数附近摆动，并且随着试验次数的不断增多，这种摆动的幅度越来越小，此时，这个常数即为随机事件A的概率，概率可以看作频率在理论上的期望值。
3．等可能性事件的概率（古典概型）（1）等可能性事件如果在随机试验中可能出现有限个不同的试验结果，并且这些试验结果出现的可能性都相等，那么这一试验中的某一事件A称为等可能性事件。
（2）古典概型公式（Ⅰ）基本事件一次试验连同可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
认知：基本事件是不可能再分的事件，一次试验中只能出现一个基本事件。
通常一次试验中的某一事件A由几个基本事件组成。
（Ⅱ）概率公式如果一次试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成），而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率（Ⅲ）集合解释在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合Ⅰ（这n个结果就是集合Ⅰ的n个元素），各基本事件均对应于集合Ⅰ的含有1个元素的子集，包含m个结果的事件A对应于含有m个元素的子集A，则。
概率高中数学知识点
概率高中数学知识点
高中概率知识点如下：
1、确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件。
2、K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）。
3、若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件。
4、必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1。
5、必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件。
6、对立事件:事件A和事件B必有一个发生的互斥事件. A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生这时P(A+B)=P(A)+P(B)＝1 即P(A+A)=P(A)+P(A)=1。
当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件A的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（A）。
事件与集合：从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。
事件A的对立事件A所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集。
对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
注意
1、在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
2、通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
3、通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
4、了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义。
5、通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
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§43 高考几种重要概率——等可能事件、互斥事件、对立事件复习要点：1．注意分清事件类型（**对事件背景、结构的分析，明确意义），灵活运用相关事件的概率公式解题。
——————注意概率中容易混淆问题的训练：（1） 频率与概率关系；（2） 等可能性与非等可能性； （3） 有序取与无序取； （4） 有放回取与无放回取；（5） 第k 次取到与第k 次才取到。
2．有关概念与性质（**条件（在一定条件）） （1）必然事件A ： P(A)=1 （2）不可能事件A ： P(A)=0 （3）随机事件A ： 0≤P(A)≤1————随机事件既有随机性（在一次试验）又有统计规律性（大量重复试验）在一次试验中可能发生，也可能不发生。
3．等可能事件及其概率（1）等可能事件的特征：① 试验的结果有限；②每种结果出现机会均等。
（2）概率计算公式： nm )A (P（明确意义，结合排列组合知识求m 和n ）4．互斥事件与对立事件（1）深刻理解概念（特征）①互斥事件——在一次试验中不可能同时发生．．．．．．．的两个事件。
（不可能同时发生，并没有要求不能同时不发生，即允许同时不发生。
）可见，两互斥事件在一次试验中最多只有一个发生。
②对立事件——两互斥事件必有一个发生。
（2）区别与联系：对立必互斥，互斥不一定对立。
即：对立⇒互斥， 互斥⇒对立（3）概率计算公式：① 若A与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ）集合角度看 A ∪B② 若A 与B 为任意事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)–P(A ∩B)从集合角度看：A ∪B③ 对立事件概率：)A (P 1)A (P -=范例及其解法例1．（2003上海理科试题）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）解法1.22015141511114111C C C C C C C P ++==190119解法2、属于同一个国家的概率为190712202524211=++C C C C ， 所求概率为 190119190711=-例2．甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题．（I ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II ）甲、乙二人至少有一人抽到选择题的概率是多少？（2000年天津高考题）分析：本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力。
解：（I ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C 14C 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为110C 19C 个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为154191101416=C C C C ，所求概率为154； ——5分 （II ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314C C CC ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为15131191101314=-C C C C ，所求概率为1513。
或 +191101516C C C C +191101416C C C C 191101614C C C C 151315415431=++=，所求概率为1513。
——10分例3．已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支.求：（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率.（2004全国理Ⅱ试题）分析：本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 .7148154815=+C C C C故有一组恰有两支弱队的概率为.76711=-解法二：有一组恰有两支弱队的概率.76482523482523=+C C C C C C （Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率 21481533482523=+C C C C C C 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为.21例4．某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把.于是，他逐把不重复地试开，问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？ （2）三次内打开的概率是多少？（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？解：5把钥匙，逐把试开有A 55种等可能的结果.（1）第三次打开房门的结果有A 44种，因此第三次打开房门的概率P （A ）=5544A A =51. （2）三次内打开房门的结果有3A 44种，因此，所求概率P （A ）=5544A A 3=53. （3）方法一：因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A 33A 22种，从而三次内打开的结果有A 55－A 33A 22种，所求概率P （A ）=55223355A A A A -=109. 方法二：三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有C 12A 13A 12A 33种；三次内恰有2次打开的结果有A 23A 33种.因此，三次内打开的结果有C 12A 13A 12A 33+A 23A 33种，所求概率P （A ）=55332333121312A A A A A A C +=109. 例5．（2004年合肥模拟题）在袋中装20个小球，其中彩球有n 个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.求：（1）如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是11413，且n ≥2，那么，袋中的红球共有几个?（2）根据（1）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.解：（1）取3个球的种数为C 320=1140.设“3个球全为红色”为事件A ，“3个球全为蓝色”为事件B ，“3个球全为黄色”为事件C .P （B ）=32035C C =114010，P （C ）=320310C C =1140120. ∵A 、B 、C 为互斥事件，∴P （A +B +C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ），即11413=P （A ）+114010+1140120⇒P （A ）=0⇒ 取3个球全为红球的个数≤2.又∵n ≥2，故n =2. （2）记“3个球中至少有一个是红球”为事件D .则D 为“3个球中没有红球”. P （D ）=1－P （D ）=1－320318C C =9527或 P （D ）=3201182221812C C C C C +=9527.课堂巩固训练：1．.（2004年东北三校模拟题）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为________.解析：（1）先摸出白球，P 白=C 12，再摸出黑球，P 白黑=C 12C 13；（2）先摸出黑球，P黑=C 13，再摸出白球，P 黑白=C 13C 12，故P =15151312C C C C +15151213C C C C =2512. 2．9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲队分在同一组的概率.解：9个队分成甲、乙、丙三组有C 39C 36C 33种等可能的结果.（1）三个亚洲国家队分给甲、乙、丙三组，每组一个队有A 33种分法，其余6个队平分给甲、乙、丙三组有C 26C 24C 22种分法.故三个组各有一个亚洲国家队的结果有A 33·C 26C 24C 22种，所求概率P （A ）=33363922242633C C C C C C A =289. 答：三个组各有一个亚洲国家队的概率是289. （2）∵事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，∴所求概率为1－289=2819. 答：至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率是2819. 3．某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车.假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：（1）该车在某停车点停车； （2）停车的次数不少于2次； （3）恰好停车2次. 解：将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，那么共有38=6561（个）基本事件.（1）记“该车在某停车点停车”为事件A ，事件A 发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件A ，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”.∵P （A ）=8832=6561256， ∴P （A ）=1－P （A ）=1－6561256=65616305. （2）记“停车的次数不少于2次”为事件B ，则“停车次数恰好1次”为事件B ，则P （B ）=1－P （B ）=1－8133C =1－65613=21872186. （3）记“恰好停车2次”为事件C ，事件C 发生就是8名职工在其中2个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，所以该事件包含的基本事件数为C 23（C 18+C 28+C 38+…+C 78）=3×（28－2）=3×254，于是P （C ）=65612543⨯=2187254.4．9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲队分在同一组的概率.解：9个队分成甲、乙、丙三组有C 39C 36C 33种等可能的结果.（1）三个亚洲国家队分给甲、乙、丙三组，每组一个队有A 33种分法，其余6个队平分给甲、乙、丙三组有C 26C 24C 22种分法.故三个组各有一个亚洲国家队的结果有A 33·C 26C 24C 22种，所求概率P （A ）=33363922242633C C C C C C A ⋅=289. 答：三个组各有一个亚洲国家队的概率是289. （2）∵事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，∴所求概率为1－289=2819.作业题：1． 袋中有a 只黑球，b 只白球，它们除颜色不同外，没有其他差别，现在把球随机地一只一只地摸出来，取后不放回，则第k 次摸出的球是黑球的概率（1≤k≤a ＋b ）为______． 分析：此事件为等可能事件，因此每次摸出的球是黑球的概率均相等．从排列的观点分析该问题，考虑顺序． 换一个角度考虑，同样“柳暗花明又一村”． 从组合的观点分析该问题，选取基本事件不同．解：解法一：只考虑第k 次摸出球的每一种可能作为基本事件，第k 次摸出的球的所有可能有a ＋b 种，摸到黑球的可能有a 种，故所求概率为：ba aP +=解法二：把a 只黑球及b 只白球都看作不同的，将所有的球一一摸出依次放在排成一直线的a ＋b 个位置上，则所有不同的排法(a ＋b)!作为基本事件全体，第k 次摸到黑球a(a ＋b －1)!，故所求概率为：ba a)!b a ()!1b a (a P +=+-+=解法三：把a 只黑球及b 只白球都看作不同的，将前k 次摸球的所有不同可能作为基本事件全体，所求概率为：b a a A A C P kba 1k 1b a 1a +==+--+ 解法四：对同色球不加以区别，仍把摸出的球依次排在成一直线的a ＋b 个位置上，a 只相同的黑球在a ＋b 个位置上的所有不同排法作为基本事件全体，总数为ab a C+有利场合数为：1a 1b a C--+故所求概率为：b a a C C P a ba 1a 1b a +==+--+2．8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是________.解法一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A 组和都分在B 组.2个强队都分在A 组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为4826C C ；2个强队都分在B 组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，其概率为4846C C .因此，2个强队分在同一个组的概率为P =4826C C +4846C C =73. 解法二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”这一事件，其概率为483612C C C .因此，2个强队分在同一个组的概率P =1－483612C C C =1－74=73.3．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分。