拉普拉斯公式计算行列式
第七节拉普拉斯定理行列式的乘法
在n阶行列式D中任取K个行(或K个列)
(1≤K<n),由这K行(列)元素构成的K阶
子式(共有 cnk个)与它们的代数余子式
的乘积之和等于行列式D.
即D=
S1 A1
S2
A2
...
S t
At
s1, s2 ,..., st 为某K个行构成的K阶子式;
A1, A2 ,..., At 分别是它们的代数余子式.
的代数余子式
A1
(1)(12)(12)
2 1
1 3,
2
A2
(1)(12)(13)
1 0
1 2,
2
A4
( 1) (1 2 ) ( 2 3)
0 0
1 0.
2
于是 D S1A1 S2 A2 S4 A4 3.3 2.(2) 5.
二 行列式的乘法公式
定理2
两个n阶行列式 a11 a12 ... a1n
除了左上角的n阶子式 D1之外,其余子式全为零,所以
D
D (1) D (12...n)(12...n)
1
2
D1D2
下面我们来证 D D.为此,对于I=1,2,…,n,将 D的
第n+1行的ai1 倍,第n+2行的 ai2倍,…,第2n行的ain倍
加到第i行,得
0 0 ... 0 c11 c12 ... c1n 0 0 ... 0 c21 c22 ... c2n ... ... ... ... ... ... ... ...
0 D
0 ... 0 cn1 cn2 ... cnn
1 0 ... 0 b11 b12 ... b1n
0 1 ... 0 b21 b22 ... b2n
§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换： 又对 作初等行变换： 作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.
高等代数 Laplace定理
为行列式 D 取定前 k 行运用Laplace 定理结果．
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 0
A3 = ( −1) A5 = ( −1)
1+ 3 + 2 + 3
ห้องสมุดไป่ตู้
4+1+1+ 3
∴ D = ( −2)i1 + 0i(−2) + (−1)i 5 + 2i 0 + 6i 0 + (−1)i 0 = −7
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
三、行列式乘法法则
设有两个n 级行列式 a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n D1 = , D2 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
二、拉普拉斯(Laplace)定理 二、拉普拉斯 (Laplace)定理 拉普拉斯(Laplace)
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
Laplace 定理
设在行列式 D 中任意取 k ( 1 ≤ k ≤ n − 1 )行， 由这 k 行元素所组成的一切k级子式与它们的 代数余子式的乘积和等于 D．即 若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式 为 M 1 , M 2 ,⋯ , M t ，它们对应的代数余子式分别为
行列式的定义计算法
行列式的定义计算法行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论以及其他数学分支中具有广泛的应用。
行列式的计算方法有多种，包括拉普拉斯展开法、行列式性质法和三角行列式法等。
本文将介绍这些行列式的计算方法，并展示如何通过它们来求解实际问题。
首先，我们来了解什么是行列式。
行列式是一个与方阵相关的数值，用来描述矩阵的性质。
对于一个n阶方阵A=(a_{ij})，其行列式记作|A|或det(A)。
行列式的取值可以是实数或复数。
接下来，我们介绍拉普拉斯展开法。
这种方法通过对矩阵的某一行或某一列进行展开，将行列式的计算转化为更小规模的行列式计算。
具体步骤如下：1. 选择一个行或列，记为第i行（列）；2. 对第i行（列）的每个元素a_{ij}应用余子式的概念，即去掉第i行（列）和第j列（行）的元素后所得的(n-1)阶方阵的行列式，记为M_{ij}；3. 再对每个余子式M_{ij}乘以对应元素a_{ij}，并以(-1)^{i+j}作为符号；4. 将所有乘积相加，得到行列式的值。
例如，对于一个3阶方阵A，可以选择展开第1行。
展开后的表达式为：|A| = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}。
接下来，我们介绍行列式性质法。
这种方法利用行列式的性质来简化计算过程。
以下是一些常用的行列式性质：1. 交换行列式的两行（列），行列式的值不变；2. 如果行列式中的某一行（列）全为0，那么行列式的值为0；3. 如果行列式中有两行（列）成比例，那么行列式的值为0；4. 行列式可以通过对角线元素的乘积和副对角线元素的乘积相减得到。
通过利用这些性质，我们可以选择合适的行列式变换，使得计算更加简便。
例如，如果某一行的元素全为0，那么可以直接得出行列式的值为0，无需再进行展开计算。
最后，我们介绍三角行列式法。
这种方法通过将方阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，使得行列式的计算更加简单。
具体步骤如下：1. 计算上三角矩阵或下三角矩阵的对角线上的元素的乘积，得到行列式的值。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，是一种用于描述矩阵特征的数学工具。
在数学和工程领域中，行列式的计算是非常重要的，它与矩阵的性质及相关运算具有密切的关系。
本文将介绍关于行列式的几种计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义在了解行列式的计算方法之前，我们首先来了解行列式的定义。
行列式是一个用方括号表示的数学量，它是一个矩阵所代表的线性变换对“面积”或“体积”的伸缩因子。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。
二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种常见的行列式计算方法。
在使用拉普拉斯展开法计算行列式时，首先需要选择一个行或列，然后将行列式展开成以该行或列元素为首元素的一系列代数余子式的和。
具体步骤如下：1. 选择一个行或列，我们以第一行为例；2. 对第一行的每个元素，计算它的代数余子式，代数余子式的计算方法是去掉对应行和列的元素后计算得到的行列式；3. 计算每个元素的代数余子式，然后与对应元素相乘再相加，得到最终的行列式值。
对于一个3阶矩阵A```a b cd e fg h i```使用拉普拉斯展开法，选择第一行进行展开，计算行列式的方法如下：```det(A) = a*det(A11) - b*det(A12) + c*det(A13)```其中A11、A12、A13分别为：A11 =```e fh i```A12 =```d fg i```A13 =```d eg h```通过计算A11、A12、A13的行列式值，再按照上述公式计算，即可得到矩阵A的行列式值。
三、性质法行列式的性质法是一种简单而有效的计算方法，它是通过一些行列式的基本性质来简化和计算行列式的值。
行列式的基本性质包括以下几条：1. 对调行或列，行列式变号；2. 行或列成比例，行列式为0；3. 行列式中有两行、两列相同，行列式为0；4. 两行或两列互换，行列式变号；5. 行列式中某一行或列乘以一个数，等于这个数与行列式的乘积。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
计算行列式的方法
计算行列式的方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。
在实际应用中，我们经常需要计算行列式的值，因此掌握计算行列式的方法对于理解线性代数和解决实际问题至关重要。
本文将介绍几种常用的计算行列式的方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用行列式的概念。
首先，我们来介绍行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|，它是一个数值，可以通过一定的方法来计算。
行列式的计算方法有很多种，其中最常用的包括代数余子式法、拉普拉斯展开法和特征值法。
下面我们将分别介绍这三种方法的具体步骤。
首先是代数余子式法。
对于一个n阶方阵A，其行列式的计算公式为：|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中a11, a12, ..., a1n为矩阵A的元素，A11, A12, ...,A1n为对应元素的代数余子式。
代数余子式的计算方法是，对于矩阵A的每个元素aij，去掉第i行和第j列后得到的n-1阶子矩阵的行列式记作Mij，那么元素aij的代数余子式Aij就等于(-1)^(i+j)Mij。
最后，将每个元素的代数余子式与对应的元素相乘，再相加起来，就得到了行列式的值。
其次是拉普拉斯展开法。
这种方法适用于任意阶的方阵，其计算步骤是，选择矩阵A的任意一行（或一列），将该行（或列）的每个元素与其对应的代数余子式相乘，再按照正负号交替相加，最终得到行列式的值。
这种方法的优点是可以通过逐步简化矩阵来减少计算量，但是在高阶矩阵上计算比较复杂。
最后是特征值法。
对于一个n阶方阵A，如果能够求出其n个特征值λ1, λ2, ..., λn，那么矩阵A的行列式就等于其特征值的乘积，即|A| = λ1 λ2 ... λn。
这种方法的优点是可以通过特征值分解来简化矩阵的计算，适用于特征值已知的情况。
除了以上介绍的三种方法外，还有其他一些计算行列式的方法，如三角化法、对角化法等。
利用拉普拉斯定理计算行列式
利用拉普拉斯定理计算行列式作者：马佳奇来源：《数学学习与研究》2019年第19期【摘要】拉普拉斯定理是行列式按行按列展开定理的推广，可用于简洁快速地解决某些高阶行列式的计算和证明.本文首先介绍了拉普拉斯定理的内容，然后介绍了拉普拉斯定理在证明分块矩阵乘法方面的应用，最后利用拉普拉斯定理计算某些高阶的行列式.【关键词】行列式;拉普拉斯;子式;代数余子式高等代数在行列式这一章中介绍了行列式按行（列）展开定理和拉普拉斯定理，前者每次展开只能降低一阶，对计算某些高阶行列式而言使用效果不佳;而拉普拉斯定理降阶速度快，对计算某些高阶行列式来说十分方便，所以为了推广这种方法，本文归纳了拉普拉斯定理，并给出了该定理在行列式计算中的应用.一、拉普拉斯定理（一）拉普拉斯定理定理1[1] 设在行列式D中任意取定了k（1≤k≤n-1）行，由这k行元素所组成的一切k级子式为M1，M2，…，Mt（t=Ckn），它所对应的代数余子式为A1，A2，…，Ai，则D=M1A1+M2A2+…+MtAi=∑ti=1MiAi.（二）拉普拉斯定理求行列式的两个重要结论定理2[2] （1）m+n阶行列式Am×m0Bn×mCn×n=|An×m||Cn×n|;（2）m+n阶行列式0Am×mCn×nBn×m=（-1）mn|Am×m||Cn×n|.（二）拉普拉斯定理的应用1.利用拉普拉斯定理证明相关命题定理3[3] 设A，B是n阶方阵，则|AB|=|A||B|.定理4 A10000A200000000As=|A1||A2|…|As|，其中Ai是ni阶方阵，i=1，2，…，s.定理4由定理2易得.2.利用拉普拉斯定理計算行列式例1 计算行列式D=a00b0cd00ef0g00h.解由于D的第一、四行中只有一个2阶子式不为零，因此，取这两行，然后根据拉普拉斯定理展开得D=abgh（-1）（1+4）+（1+4）cdef=acfh-adeh+bedg-bcgh.例2 设A=34004-30000200022，求|A8|及A4.解若记AA100A2，其中A1=344-3，A2=2022，则A成为一个分块对角矩阵.于是|A8|=|A|8=（|A1||A2|）8=|A1|8|A2|8=1016;A4=A4100A42.因为，A21=250025，所以A41=54E;A2=21041.代入即得A4=540000540000240002624 .三、结束语利用拉普拉斯定理对某些高阶行列式计算和证明，可以对高阶行列式更快地降阶，并且简单易操作，因而，学习者应重视拉普拉斯定理的学习应用.【参考文献】[1]王文省.高等代数[M].济南：山东大学出版社，2004.[2]朱亚茹，牛泽钊.谈拉普拉斯定理及其应用[J].科技信息，2009（31）：498-499.[3]蓝以中.高等代数学习指南[M].北京：北京大学出版社，2008.[4]肖马成，周概容.线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析[M].北京：高等教育出版社，2008.。
拉普拉斯(Laplace)定理
行运用Laplace 定理结果． 定理结果． 为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 ： 0
M 1 = 1 2 = −2, 解： 1 0
2 1 4 −1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组 ：
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 − ax2 + dx3 − cx4 cx − dx − ax + bx dx1 + cx2 − bx3 − ax4 2 3 4 1
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
级子式与余子式、 一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n)，位于这些行和列的交叉点上的 位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
利用拉普拉斯定理计算行列式
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ １９利用拉普拉斯定理计算行列式利用拉普拉斯定理计算行列式Һ马佳奇㊀(青海师范大学ꎬ青海㊀西宁㊀８１０００８)㊀㊀ʌ摘要ɔ拉普拉斯定理是行列式按行按列展开定理的推广ꎬ可用于简洁快速地解决某些高阶行列式的计算和证明.本文首先介绍了拉普拉斯定理的内容ꎬ然后介绍了拉普拉斯定理在证明分块矩阵乘法方面的应用ꎬ最后利用拉普拉斯定理计算某些高阶的行列式.ʌ关键词ɔ行列式ꎻ拉普拉斯ꎻ子式ꎻ代数余子式高等代数在行列式这一章中介绍了行列式按行(列)展开定理和拉普拉斯定理ꎬ前者每次展开只能降低一阶ꎬ对计算某些高阶行列式而言使用效果不佳ꎻ而拉普拉斯定理降阶速度快ꎬ对计算某些高阶行列式来说十分方便ꎬ所以为了推广这种方法ꎬ本文归纳了拉普拉斯定理ꎬ并给出了该定理在行列式计算中的应用.一㊁拉普拉斯定理(一)拉普拉斯定理定理１[１]㊀设在行列式Ｄ中任意取定了ｋ(１ɤｋɤｎ－１)行ꎬ由这ｋ行元素所组成的一切ｋ级子式为Ｍ１ꎬＭ２ꎬ ꎬＭｔ(ｔ＝Ｃｋｎ)ꎬ它所对应的代数余子式为Ａ１ꎬＡ２ꎬ ꎬＡｉꎬ则Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋ ＋ＭｔＡｉ＝ðｔｉ＝１ＭｉＡｉ.(二)拉普拉斯定理求行列式的两个重要结论定理２[２]㊀(１)ｍ＋ｎ阶行列式Ａｍˑｍ０ＢｎˑｍＣｎˑｎ＝｜Ａｎˑｍ｜｜Ｃｎˑｎ｜ꎻ(２)ｍ＋ｎ阶行列式０ＡｍˑｍＣｎˑｎＢｎˑｍ＝(－１)ｍｎ｜Ａｍˑｍ｜｜Ｃｎˑｎ｜.(二)拉普拉斯定理的应用１.利用拉普拉斯定理证明相关命题定理３[３]㊀设ＡꎬＢ是ｎ阶方阵ꎬ则｜ＡＢ｜＝｜Ａ｜｜Ｂ｜.定理４㊀Ａ１００００Ａ２００００⋱００００Ａｓ＝｜Ａ１｜｜Ａ２｜ ｜Ａｓ｜ꎬ其中Ａｉ是ｎｉ阶方阵ꎬｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｓ.定理４由定理２易得.２.利用拉普拉斯定理计算行列式例１㊀计算行列式Ｄ＝ａ００ｂ０ｃｄ００ｅｆ０ｇ００ｈ.解㊀由于Ｄ的第一㊁四行中只有一个２阶子式不为零ꎬ因此ꎬ取这两行ꎬ然后根据拉普拉斯定理展开得Ｄ＝ａｂｇｈ(－１)(１＋４)＋(１＋４)ｃｄｅｆ＝ａｃｆｈ－ａｄｅｈ＋ｂｅｄｇ－ｂｃｇｈ.例２㊀设Ａ＝３４００４－３００００２０００２２ꎬ求｜Ａ８｜及Ａ４.解㊀若记ＡＡ１００Ａ２æèçöø÷ꎬ其中Ａ１＝３４４－３æèçöø÷ꎬＡ２＝２０２２æèçöø÷ꎬ则Ａ成为一个分块对角矩阵.于是｜Ａ８｜＝｜Ａ｜８＝(｜Ａ１｜｜Ａ２｜)８＝｜Ａ１｜８｜Ａ２｜８＝１０１６ꎻＡ４＝Ａ４１００Ａ４２æèçöø÷.因为ꎬＡ２１＝２５００２５æèçöø÷ꎬ所以Ａ４１＝５４ＥꎻＡ２＝２１０４１æèçöø÷.代入即得Ａ４＝５４００００５４００００２４０００２６２４æèççççöø÷÷÷÷.三㊁结束语利用拉普拉斯定理对某些高阶行列式计算和证明ꎬ可以对高阶行列式更快地降阶ꎬ并且简单易操作ꎬ因而ꎬ学习者应重视拉普拉斯定理的学习应用.ʌ参考文献ɔ[１]王文省.高等代数[Ｍ].济南:山东大学出版社ꎬ２００４.[２]朱亚茹ꎬ牛泽钊.谈拉普拉斯定理及其应用[Ｊ].科技信息ꎬ２００９(３１):４９８－４９９.[３]蓝以中.高等代数学习指南[Ｍ].北京:北京大学出版社ꎬ２００８.[４]肖马成ꎬ周概容.线性代数㊁概率论与数理统计证明题５００例解析[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００８.。
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拉普拉斯公式计算行列式
拉普拉斯公式是一种计算行列式的方法，适用于任意阶的行列式。
公式如下：
对于n阶行列式A，以第i行或第j列展开，得到以下公式：
|A| = a_i1 * cofactor(i, 1) + a_i2 * cofactor(i, 2) + ... + a_in * cofactor(i, n)
或者
|A| = a_1j * cofactor(1, j) + a_2j * cofactor(2, j) + ... + a_nj * cofactor(n, j)
其中，a_ij表示矩阵A第i行第j列的元素，cofactor(i, j)表示A的第i行第j列元素的余子式。
余子式的计算方法是，将A 的第i行和第j列删除后得到的(n-1)阶子矩阵的行列式。
举例说明，对于一个3阶行列式：
|A| = a11 * cofactor(1, 1) + a12 * cofactor(1, 2) + a13 * cofactor(1, 3)
其中，cofactor(1, 1)表示以第1行和第1列展开的余子式。
cofactor(1, 2)表示以第1行和第2列展开的余子式。
cofactor(1, 3)表示以第1行和第3列展开的余子式。
以此类推，可计算出整个行列式的值。
注意：拉普拉斯公式的计算过程相对繁琐，对于阶数较高的行列式，计算量很大。
因此，在实际计算中，通常会选择使用高斯消元法等其他更高效的方法。