拉格朗日配方法的具体步骤
拉格朗日公式
拉格朗日公式2篇拉格朗日公式是微积分中的重要工具之一，由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于1760年提出。
它是描述多元函数在约束条件下的极值问题的一种有效方法。
拉格朗日公式是一种将约束条件转化为等式形式的方法，通过引入拉格朗日乘子，将约束条件与目标函数结合在一起，从而得到一个新的函数，称为拉格朗日函数。
本文将从拉格朗日函数的基本形式、应用领域和解决实际问题的方法等方面对拉格朗日公式进行详细介绍。
拉格朗日公式的基本形式如下：设有n个变量x1, x2, ..., xn和m个约束条件g1(x1, x2, ..., xn) = 0, g2(x1, x2, ..., xn) = 0, ..., gm(x1, x2, ..., xn) = 0。
目标函数为f(x1, x2, ..., xn)。
引入拉格朗日乘子λ1, λ2, ..., λm，构造拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f(x1, x2, ..., xn) + λ1g1(x1, x2, ..., xn) + λ2g2(x1,x2, ..., xn) + ... + λmgm(x1, x2, ..., xn)。
拉格朗日函数L所描述的是在约束条件下的一个新的函数。
拉格朗日公式的应用非常广泛，特别是在优化问题和最优化理论中，被广泛应用于经济学、物理学、工程学和管理学等领域。
在经济学中，拉格朗日乘子法常用于描述生产函数中的最优化问题，通过求解拉格朗日函数的偏导数等于零的条件，可以得到最优解。
在物理学中，拉格朗日公式广泛应用于描述运动过程中的最小作用量原理，通过求解拉格朗日函数满足欧拉-拉格朗日方程的条件，可以得到物体在某一时刻的状态。
在工程学和管理学中，拉格朗日乘子法常用于约束条件下的优化问题，可以帮助决策者找到最优解。
解决实际问题时，利用拉格朗日公式需要遵循一定的步骤。
首先，将约束条件转化为等式形式，然后构造拉格朗日函数。
用拉格朗日插值法拟合数据
用拉格朗日插值法拟合数据步骤
以下是使用拉格朗日插值法拟合数据的基本步骤：
1. 收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点，这些数据点包括自变量和对应的因变量值。
2. 构造拉格朗日多项式：根据已知数据点，构造拉格朗日多项式。
拉格朗日多项式是一个关于自变量的多项式，通过已知数据点确定其系数。
3. 插值计算：利用构造的拉格朗日多项式，对未知数据点进行插值计算。
根据自变量值，计算出对应的因变量值。
注意事项
在使用拉格朗日插值法拟合数据时，需要注意以下几点：
1. 数据点的选择：已知数据点的选择对拟合结果有重要影响。
应选择具备代表性的数据点，并避免过分密集或过于稀疏的分布。
2. 插值误差：拉格朗日插值法是一种插值方法，而非外推方法。
因此，在进行插值计算时，应注意插值误差的范围，避免过大的误差。
3. 拟合复杂性：拉格朗日插值法是一种简单直观的拟合方法，
适用于一般性的数据拟合。
然而，对于复杂的数据拟合问题，可能
需要考虑其他更为复杂的插值方法。
总结
拉格朗日插值法是一种常用的数据拟合方法，可以通过已知的
数据点推测出未知数据点的值。
它基于拉格朗日多项式的概念，并
利用多项式的特性进行拟合。
在使用拉格朗日插值法时，需要注意
数据点的选择、插值误差的范围以及拟合复杂性。
拉格朗日配方法
拉格朗日配方法拉格朗日配方法是一种在数学和物理问题中常用的方法，它是以法国数学家拉格朗日的名字命名的。
这种方法在求解变分问题和微分方程的边值问题时非常有效，也在优化问题中有着广泛的应用。
拉格朗日配方法的核心思想是通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为一个新的函数的极值问题，从而简化原问题的求解过程。
在物理学中，拉格朗日配方法被广泛应用于分析力学和场论中。
通过引入拉格朗日函数，可以将动力学问题转化为变分问题，从而可以利用变分法来求解运动方程。
这种方法在处理复杂的多体系统和非惯性参考系下的运动问题时具有很大的优势，能够简化问题的分析和求解过程。
在数学中，拉格朗日配方法也被广泛应用于求解极值和约束条件下的优化问题。
通过引入拉格朗日乘子，可以将原始的优化问题转化为一个无约束的极值问题，从而可以利用微积分的方法来求解最优解。
这种方法在工程优化和经济学中有着重要的应用，能够帮助我们找到最优的设计方案和决策方案。
除此之外，拉格朗日配方法还被应用于控制理论、信号处理、神经网络和机器学习等领域。
通过引入拉格朗日乘子，可以将原始的问题转化为一个等价的无约束问题，从而可以利用现有的优化算法来求解。
这种方法在实际工程和科学问题中有着广泛的应用，能够帮助我们解决复杂的多变量优化和控制问题。
总之，拉格朗日配方法是一种非常重要和有效的数学工具，它在物理、数学、工程和科学领域中有着广泛的应用。
通过引入拉格朗日乘子，可以将原始的问题转化为一个等价的无约束问题，从而简化问题的分析和求解过程。
这种方法不仅在理论研究中有着重要的地位，也在实际工程和科学问题中发挥着重要作用，为我们解决复杂的优化和控制问题提供了有力的工具和方法。
线性代数二次型的标准形和规范形
含有平方项
含有x1的项配方
解 f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
x1 22x1x22x1x32x2 25x3 26x2x3
(x1x2x3)2x22x322x2x3 2x225x326x2x3 (x 1 x 2 x 3 )2 x 2 2 4 x 3 2 4 去x 2 掉x 3配方后多出来的项
x3 0 0 1 y3
标准形为 f y12y22.
所用变换矩阵为
1 C 0
1 1
0 0
1 2 , 1
(C 10)
例2 用配方法化二次型
f 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
为标准形，并写出对应的可逆线性变换。
解 所给二次型中无平方项，所以先作线性变换
x1 3 y 3
即
x1 x2
1 1
1 1
0 y1 0 y2
x2 0 0 1 y3
原二次型化为
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
再配方，得
f 2 (y 1 y 3 ) 2 2 (y 2 2 y 3 ) 2 6 y 3 2 ,
第二节
本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性变换XCY，
把二次型f(x1,x2,,xn)XTAX化为y1, y2,, yn 的平方和 d1y12 d2y22 dnyn2 ，称之为二次型的标准形。从前面分
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵C， 使CTAC成为对角阵，即A与一个对角阵合同。
z3
线性代数--第六节和第七节配方法和正定二次型
第五章小结
本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度 量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩 阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵 所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角 化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型 提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实 对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为 矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。
称为负惯性指数
T 定义 设有实二次型 f x Ax , 如果对于任何
x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定 二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型， 并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A < 0 。 T 定理 实二次型 f x Ax 为正定的充分 必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。 证 设可逆变换 x Cy使
2 2
2 3
令
x1 2 x2 2 x3 y1 , x 2 x 3 y2 , 即 x3 y3 .
2 1 2 2 2 3
x1 y1 2 y2 , x2 y2 y3 , x y . 3 3
得f y 2 y y .
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3
( x1 2 x2 2 x3 ) 2( x 2 x2 x3 x ) x 2 ( x1 2 x2 2 x3 )2 2( x2 x3 )2 x3
2 2 2 2 3
2 3 2 3
( x1 2 x2 2 x3 ) 2( x2 x3 ) x
线性代数 第六章第二节 二次型化为标准型的三种方法
解 由于所给二次型中无平方项，所以
记X=BY
得 再把所有含y1的项集中,配平方;同样地 把含有y2的项集中,配平方,就得到
即：
求逆 矩阵
记Y=DZ
所用变换矩阵为
定理4 对于任一n元二次型
都存在非退化的线性变换X=CY，使之成为标准型（平方和）
证明பைடு நூலகம்
对变量个数进行归纳。
平方项的系数不全为零，不妨设
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
4、没有改变二次型的秩，事实上，二 次型的系数中正负项的个数也没有被 正交变换改变。
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
例3
解
含有平方项
去掉配方后多出来的项
所用变换矩阵为
例4 用配方法化二次型
为标准型，并求出所用的可逆线性变换。 解
令
(1)
则
(2)
(2)是可逆线性变换，使
2 2 9 2 f (x1, x2, x3) y1 + y2 - 4 y3
例5
化为标准形,并指出方程f =1表示何种二 次曲面.
解 写出 f 的系数矩阵A，求出A的特征 值和特征向量
由
得
,
当
时,解方程组
得基础解系 当 得基础解系 时,解方程组
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵 由 构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换
则非退化线性变换为
拉格朗日配方法步骤
拉格朗日配方法步骤
拉格朗日配方法是一种求解含有约束条件的极值问题的方法。
下面是拉格朗日配方法的步骤：
1. 确定原始优化问题：确定需要求解的原始优化问题，即目标函数和约束条件。
2. 建立拉格朗日函数：将原始优化问题转化为拉格朗日函数，即在目标函数和约束条件之间引入拉格朗日乘子。
3. 求解拉格朗日函数的驻点问题：将拉格朗日函数对各个变量求偏导，并令其等于零，得到一组由未知变量和拉格朗日乘子构成的方程组。
4. 利用约束条件解得未知变量：将方程组与约束条件组合联立，解得未知变量的值。
5. 检验解的有效性：将求得的未知变量代入原始优化问题中，检验解的有效性。
6. 若解不满足约束条件，返回步骤2；若解满足约束条件，确定极值：将求得的解代入目标函数中，得到最优的目标函数值。
7. 找到原始优化问题的最优解：若原始优化问题不仅有一组解，可以利用比较法或Lagrange乘子法来找到最优解。
注意：拉格朗日配方法适用于约束条件为等式形式的问题，对于约束条件为不等式形式的问题，还需要考虑松弛条件等相关处理方法。
线性代数 用配方法化二次型为标准型
y1 y2
y3
2Eyv3 aluation
only.
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Copyy2y1 rigzz21ht
22z30z30, 4-20即11yyA12spos10e
思考题解答
解 由于所给二次型不含平方项,故令
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为标C准op形y？right 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
eated w令ithCAoysyyp1p23yorsixgxex12.h3Stlx2Ei2d20vxe03as4lxuf-3o2art0i.1oN1nEAoTnsxxxpl31y23o..5seyCyy1P23liteyy2n2Lty3tPdyr.o3 file 5.2.0
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得
2 2 f = 2 y 1 − 2 y 2 − 4 y1 y 3 + 8 y 2 y 3 .
再配方，得
2 f = 2( y1 − y3 ) − 2( y2 − 2 y3 ) + 6 y3 . 2 2
⎧ z1 = y1 − y3 ⎪ 令 ⎨ z 2 = y2 − 2 y 3 ⎪z = y ⎩ 3 3 ⎧ y1 = z1 + z3 ⎪ ⇒ ⎨ y2 = z2 + 2z3 , ⎪y =z ⎩ 3 3
⎛ 1 1 0 ⎞⎛ 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ C = ⎜ 1 − 1 0 ⎟⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ 0 0 1 ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜ = ⎜ 1 − 1 − 1⎟. ⎜0 0 1 ⎟ ⎠ ⎝
(C
= −2 ≠ 0 ).
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
成标准形, 并求所用的变换矩阵 .
解 由于所给二次型中无平方项，所以 ⎧ x1 = y1 + y 2 ⎛ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞⎛ y1 ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎪ 令 ⎨ x 2 = y1 − y 2 , ⎜ 即⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 1 − 1 0 ⎟⎜ y 2 ⎟ ⎟ ⎪x = y ⎜ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ y ⎟ ⎟ ⎩ 3 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎝
例1 化二次型
2 2 2 f = x1 + 2 x 2 + 5 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 6 x 2 x 3
为标准形 , 并求所用的变换矩阵 .
解
含有 x1的项配方 含有平方项 2 2 2 f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3 2 2 2 = x1 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 2 x 2 + 5 x 3 + 6 x 2 x 3 2 = ( x1 + x2 + x3 ) 去掉配方后多出来的项
一、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变． 问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 a ij ≠ 0 ( i ≠ j ),则先作可逆线性变换 ⎧ x i = yi − y j ⎪ (k = 1,2, , n且k ≠ i , j ) ⎨ x j = yi + y j ⎪ x = y ⎩ k k 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
得标准形
2 f = z1 − z 2 − z 2 , 2 3
所用可逆线性变换为 ⎧ x1 = z1 − z 2 − z 3 , ⎪ ⎨ x 2 = z1 + z 2 − z 3 , ⎪ x3 = z3 . ⎩
⎧ x1 = y1 − y2 + y3 ⎪ ⇒ ⎨ x 2 = y2 − 2 y3 ⎪x = y ⎩ 3 3
⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 − 1 1 ⎞⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⇔ ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 1 − 2 ⎟ ⎜ y2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜0 0 1 ⎠ ⎜ y3 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎝
思考题
化二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 为标准形 , 并写出所作的可逆线性 变换 .
思考题解答
解 由于所给二次型不含平 方项, 故令 ⎧ x1 = y1 − y 2 , ⎪ ⎨ x 2 = y1 + y 2 , ⎪ x =y , 3 ⎩ 3 2 2 2 有 f = ( y 1+ y 3) − y 2 − y 3 , ⎧ z1 = y1 + y 2 , ⎧ y1 = z1 − z 3 , ⎪ ⎪ 再令 ⎨ z 2 = y 2 , 或 ⎨ y2 = z2 , ⎪ z =y , ⎪ y =z , 3 ⎩ 3 ⎩ 3 3
2 2 2 2 − x2 − x3 − 2x2 x3 + 2x2 + 5x3 + 6x2 x3
2 2 = ( x1 + x2 + x3 ) + x2 + 4x3 + 4x2 x3 2
= ( x1 + x2 + x3 ) + ( x2 + 2x3 ) .
2 2
⎧ y1 = x1 + x2 + x3 ⎪ 令 ⎨ y2 = x 2 + 2 x 3 ⎪y =x ⎩ 3 3
2 2 2 ∴ f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
= y +y .
2 1 2 2
所用变换矩阵为
⎛1 −1 1 ⎞ ⎟ ⎜ C = ⎜ 0 1 − 2 ⎟, ⎜0 0 1 ⎟ ⎠ ⎝
(C
= 1 ≠ 0 ).1 x3 − 6 x2 x3
得
⎛ ⎛ y1 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞⎛ z1 ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 即⎜ y 2 ⎟ = ⎜ 0 1 2 ⎟⎜ z 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ y ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ z ⎟ ⎟ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎝
2 2 2 f = 2 z1 − 2 z 2 + 6 z 3 .
所用变换矩阵为