上海市上海交通大学附属中学2022届高三上学期开学考试数学试题 Word版含答案
交大附中高三开学考 2021.9 一. 填空题1. 若集合{||2|3}A x x =-<，集合3{|0}x B x x -=>，则A B =2. 一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a 为半径的圆，则该几何体的体积是3. 已知i 是虚数单位，则2-的平方根是4. 函数2()1f x x =+(0)x <的反函数是 5. 设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是6. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，i P (1,2,,16)i =是上、下底面上其余十六个点，则i AB AP ⋅(1,2,,16)i =的不同值的个数为7. 数列{}n a 满足12n n n a a a --=-(3)n ≥，15a =，其前n 项和记为nS ，若89S =，那么100S =8. 若na 是(2)nx +*(,2,)n n x ∈≥∈N R 开放式中2x项的系数，则2323222lim()nn n a a a →∞++⋅⋅⋅+= 9. 设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕπ<，若5()28f π=， ()08f π11=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=10. 已知函数||2,1()2,1x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是11. 函数1()f x x =(0)x >绕原点逆时针旋转，每旋转15°得到一个新的曲线，旋转一周共 得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是12. 已知两正实数a 、b ，满足4a b +=，则2211a ba b +++的最大值为二. 选择题13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ） A.0543- B. 1024 C. 0543 D. 0543- 14. “要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”等价于（ ） A. 假如()0f x ≥，则[,]x a b ∉ B. 假如[,]x a b ∈，则()0f x < C. 假如()0f x <，则[,]x a b ∈ D. 假如[,]x a b ∉，则()0f x ≥15. 参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >，t 为参数）所表示的函数()y f x =是（ ）A. 图像关于原点对称B. 图像关于直线x π=对称C. 周期为2a π的周期函数D. 周期为2a π的周期函数16. 已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点(1, 0)P ，直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则22||+||PA PB 的值为（ ）A. 32149B. 32449C. 32749D. 33049三. 解答题 17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC；（2）求直线1BC 到平面1D AC的距离.18. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1B C ⋅=，3a =，求ABC ∆的周长.19. （1）请依据对数函数()log a f x x =(1)a >来指出函数()log x g x a =(1)a >的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯赞扬对数是一项“使天文学家寿命倍增”的创造. 对数可以将大数之间的乘 除运算简化为加减运算， 请证明：log ()log log a a a x y x y ⋅=+(0,1,,0)a a x y >≠>；（3） 2021年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ” 进行三局人机对弈，以简单的围棋来测试人工智能. 围棋简单度的上限约为3613M =，而依据有关资料，可观测宇宙中一般物质的原子总数约为8010N =. 甲、乙两个同学都估算了MN 的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310. 现有两种定义：① 若实数x 、y 满足||||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ；② 若实数x 、y 、m ，且10sx =，10ty =，10um =，满足||||s u t u ->-，则称y 比x 接近m ；请你任．选取其中一种．．．．．．定义来推断哪个同学的近似值更接近M N ，并说明理由20. 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（n ∈*N ），将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ；将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n d d d d .（1）求数列{}n d 的通项公式()h n ；（2）求数列{}n c 的通项公式()f n ； （3）设数列{}n c 的前n 项和为nS ，求数列{}n S 的通项公式()g n .21. 如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”.（1）证明：1C 的左焦点是“12C C -型点”；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：||1k >，进而证明原点不是“12C C -型点”；（3）求证：{(,)|||||1}x y x y +<内的点都不是“12C C -型点”.2022届交大附中高三第一学期数学摸底测试时间：120分钟满分：150分姓名：__________命题：季风、陈云鹤审题：王敏杰一、填空题（前6题，每题4分；后6题，每题5分，共54分）1、若集合{}23A x x=-<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=03xxxB，则A B⋃=____R_______.2、一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a为半径的圆，则该几何体的体积是_____343aπ_____.3、已知i是虚数单位，则-2的平方根是__________.4、函数2()1(0)f x x x=+<的反函数是__1)y x=>____________.5、设x、y满足约束条件2+330233030x yx yy-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y=+的最小值是_____-15__________.6、如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,,16)iP i =是上、下底面上其余十六个点，则(1,2,,16)iAB AP i⋅=的不同值的个数为______2______ .7、数列{}na满足12=(3)n n na a a n---≥，15a=，其前n项和记为nS，若89S=，那么100S=__3____.8、若na是()()*2,2,nx n N n x R+∈≥∈开放式中2x项的系数，则2323222lim()nnna a a→∞++⋅⋅⋅+=____8_____.9、设函数()2sin()f x xωϕ=+，x∈R，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28fπ=，()08f11π=，且()f x的最小正周期大于2π，则ϕ=___12π____.10、已知函数||2,1,()2, 1.x xf xx xx+<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a∈R，若关于x的不等式()||2xf x a≥+在R上恒成立，则a的取值范围是_____[2,2]-_______.11、函数1()(0)f x xx=>绕原点逆时针旋转，每旋转15度得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是____1592______.12、已知两正实数a、b，满足4a b+=，则2211a ba b+++的最大值为_____4__________.二、选择题（每题5分，共20分）13、关于x、y的二元一次方程组50234x yx y+=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D为（ C ）8B111614（A ）0543- （B ）1024（C ）0543（D ）0543-14、“要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”等价于（ D ） （A ）假如()0f x ≥，则[,]x a b ∉ （B ）假如[,]x a b ∈，则()0f x < （C ）假如()0f x <，则[,]x a b ∈ （D ）假如[,]x a b ∉，则()0f x ≥15、参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >，t 为参数）所表示的函数()y f x =是（ C ）（A ）图像关于原点对称（B ）图像关于直线x π=对称（C ）周期为2a π的周期函数（D ）周期为2a π的周期函数16、已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点(1, 0)P ，直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则22||+||PA PB 的值为（ B ）（A ）32149 （B ）32449（C ）32749（D ）33049三、解答题（14+14+14+16+18，共76分） 17（6+8）、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1211AB AD A A ===，，，（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC；（2）求直线1BC 到平面1D AC的距离. 解：由于1111ABCD A B C D -为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故11ABC D 为平行四边形，故11//BC AD ，----------4分明显B 不在平面1D AC上，于是直线1BC 平行于平面1D AC， --------2分（2）直线1BC 到平面1D AC的距离即为点B 到平面1D AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以面ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=---------3分而1AD C∆中，11AC DC AD ===，故132AD C S ∆=-----------------2分所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为23．---------3分18（6+8）、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1,3B C a ⋅==，求ABC ∆的周长. 解：（1）由题意可得21sin 23sin ABCa S bc A A∆==，化简可得2223sin a bc A =，---3分 依据正弦定理化简可得：2222sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B =⇒=.--------3分 （2）由2sin sin 13cos cos()sin sin cos cos 123cos cos 6B C A B C B C B C A B C π⎧=⎪⎪⇒=-+=-=⇒=⎨⎪=⎪⎩--3分由余弦定理22221cos ()9322b c a A b c bcbc +-==⇒+-=------------------2分 又22=4R sin sin ()sin sin 8sin a bc B c B c A ==所以b c +=--------------------------------------2分故而三角形的周长为分 19（4+4+6）、（1）请依据对数函数()log (1)a f x x a =>来指出函数()log (1)x g x a a =>的基本性质（结论不要求证明），并画出图像.（2）拉普拉斯赞扬对数是一项“使天文学家寿命倍增”的创造．对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减C 11运算， 请证明：log ()log log (0,1,,0)a a a x y x y a a x y ⋅=+>≠>（3） 2021年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ”进行三局人机对弈，以简单的围棋来测试人工智能.围棋简单度的上限约为M=3361，而依据有关资料，可观测宇宙中一般物质的原子总数约为N=1080. 甲、乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是1073，乙认为是1093.现有两种定义： (I): 若实数,x y 满足my m x ->-，则称y 比x 接近m .(II): 若实数,,x y m 且10,10,10s t ux y m ===，满足s u t u ->-，则称y 比x 接近m .请你任选取其中一种．．．．．．．定义来推断哪个同学的近似值更接近MN，并说明理由. （1） 解：1()log log x a g x a x ==，基本性质为： 定义域：(0,1)(1,)+∞；值域：(-,0)(0,)∞+∞；单调减区间(0,1)(1,)+∞和（推断奇偶性、周期性不予给分）-------------2分（ 渐近线画出和原点挖去，需要都画好才能给满分）-------------------2分（2）证明： 设log ,log ,log ()N M N M N M a a a N x M y x a y a x y a a a N M x y +==⇒==⇒⋅==⇒+=⋅即log ()log log a a a x y x y⋅=+----------------------------------------------4分证明完毕 （3）接受定义（I ）：3617393803=lg 361lg38092.24101010M M M NN N⇒=⋅-≈⇒<<-----------------------2分而361173361173361173153lg(23)lg 2361lg3172.54173lg1023102310+10⋅=+⋅≈<=⇒⋅<⇒⋅<-------2分36136136193737393808080333210+101010101010⇒⋅<⇒-<- --------------------------1分所以甲同学的近似值更接近MN----------------------------1分接受定义（II ）：361803=lg 361lg 38092.2410MMN N⇒=⋅-≈-------------------------------------2分甲的估值107373lg1073⇒=，乙的估值109393lg1093⇒=----------------------------2分由于7393lg10-lglg10-lgM MNN >，------------------------------------------1分所以乙同学的近似值更接近MN -------------------------------------------------1分20（4+6+6）、已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ．将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n d d d d ．（1）求数列{}n d 的通项公式()h n ； （2）求数列{c }n 的通项公式()f n ； （3）设数列{c }n 的前n 项和为nS ，求数列{}n S 的通项公式()g n .解：（1）设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=-------------------2分假设26627n k a n b k =+==+，等式左侧为偶数，右侧为奇数，冲突，2{}n n a b ∉1分所以，21()=63n h n a n -=+ -----------------------------------------------1分（2）21323123n n n n na b b a b ---=<<<∴4321423141243,,,n n n n n n n nc a c b c a c b -----====--------------------------------2分∴ 数列{}n c 的通项公式*63(43)65(42)(),66(41)67(4)k n k k n k f n k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩.-------------------4分等价形式：*36(21)()65(42),67(4)k n k f n k n k k N k n k +=-⎧⎪=+=-∈⎨⎪+=⎩，*315(21)2316()(42),2314(4)2n n k n f n n k k N n n k +⎧=-⎪⎪+⎪==-∈⎨⎪+⎪=⎪⎩（3）令4-34-24-14+++n n n n ne c c c c =，由（2）得知：{}n e 是等差数列---------------1分∴①当*4()n k k N =∈时，22412333=12334n kk n nS S e e e k k +=++⋅⋅⋅+=+=②当*4-1()n k k N =∈时，2113332=4n n n n n S S c ++++-= ③当*4-2()n k k N =∈时，22213332=4n n n n n n S S c c +++++--= ④当*4-3()n k k N =∈时，23321333=4n n n n n n nS S c c c +++++---=----------4分∴2*2*33344-3()4()=33324-14-2()4n nn k k k N g n n n n k k k N ⎧+=∈⎪⎪⎨++⎪=∈⎪⎩，，，，--------------------1分等价形式：22*2212334122774-1()=,1221134-21215184-3k k n kk k n k g n k N k k n k k k n k ⎧+=⎪+-=⎪∈⎨+-=⎪⎪+-=⎩，，，，21（4+6+8）、如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1) 证明：1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证：||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：(){},1x y x y +<内的点都不是“C 1—C 2型点”．解：（1）C 1的左焦点为(3,0)F -，-----------------1分过F 的直线3x =-与C 1交于2(3,)2-±，与C 2交于(3,(31))-±+，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为3x =-；-------------------------3分（2） 直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必需||1k >；-------------------------3分直线y kx =与C 1有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必需212k <------------------------3分故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”． （3）以1x y +=为边界的正方形区域记为Ω．1）若点P 在Ω的边界上，则该边所在直线与1C 相切，与2C 有公共部分，即Ω边界上的点都是“12C C -型点”；-------------------------1分2）设()00,P x y 是区域Ω内的点，即001x y +<，假设()00,P x y 是()00y y k x x -=-“12C C -型点”，则存在过点P 的直线l ：与1C 、2C 都有公共点．i ）若直线l 与2C 有公共点，直线l 的方程化为00y kx y kx =+-，假设1k ≤，则0000001kx y kx kx y kx x y x x +-≤++≤++<+，可知直线l 在2:1C y x =+之间，与2C 无公共点，这与“直线l 与2C 有公共点”冲突，所以得到：与2C 有公共点的直线l 的斜率k 满足1k >．-------------------------2分ii ）假设l 与1C 也有公共点，则方程组002212y kx y kx xy =+-⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解．从方程组得()()()2220000124210k x k y kx x y kx ⎡⎤-----+=⎣⎦，()222222200000082128()1y kx y k x k y kx k k ⎡⎤∆=-++-=-+--⎣⎦．由1k >，001x y +<由于()22000000000(1)(1)y kx y k x y k y k y k k y kx k -≤+⋅<+⋅-=+-<⇒-<所以，222008()+10y kx k k ⎡⎤∆=---<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”冲突，于是可知P 不是“12C C -型点”．------------------------5分证明完毕 另解：()222200008212y kx y k x k ∆=-++-令()()222000012f k x k kx y y =--+，由于001x y +<，所以01x <，即2010x -<．于是可知()f k 的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为00201x y k x =-，由于()()()0000200011111x x x y x x x ⋅-<<--⋅+，所以()f k 在区间(),1-∞-上为增函数，在()1,+∞上为减函数．由于()()2200001110f x y x y =--≤+-<，()()2200001110f x y x y -=+-≤+-<，所以对任意1k >，都有()0f k <，()2810f k k ⎡⎤∆=+-<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”冲突，于是可知P 不是“12C C -型点”．---------------------5分证明完毕。
2022-2023学年上海交通大学附属中学高一年级上册学期分考试数学试题【含答案】
2022-2023学年上海交通大学附属中学高一上学期分考试数学试题一、填空题1．关于x 的不等式的解集是___________.23020x x -≤-【答案】(20,23]【分析】把给定不等式化成一元二次不等式求解即可.【详解】不等式化为：，解得，2320x x -≤-200(23)(20)0x x x -≠⎧⎨--≤⎩2023x <≤所以不等式的解集是.23020x x -≤-(20,23]故答案为：.(20,23]2．已知a 、，且，则ab 的最大值是____________.R b ∈2241a b +=【答案】##0.2514【分析】利用基本不等式得，即可得到最大值.22144a b ab =+≥ab 【详解】因为实数满足，,a b 2241a b +=所以由基本不等式可得：221422a b a b=+≥⨯所以，当且仅当，即时等号成立，14ab ≤22142a b ==a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即的最大值为.ab 14故答案为：.143．若点P (3，y )是角终边上一点，且，则y 的值是____________.α2sin 3=-a 【答案】【分析】利用三角函数值的定义，即可求解.【详解】，解得s 32in α==-y =故答案为：4．已知.若是奇函数，则实数a 的值是____________.()11f x x x a =+-(1)=-y f x 【答案】2-【分析】利用已知函数的定义域，结合奇函数的定义计算作答即可.【详解】函数的定义域为且，11()f x x x a =+-{R |0x x ∈≠}x a ≠因为函数是奇函数，则当且时，恒成立，(1)=-y f x 1x ≠1x a ≠+(1)(1)0f x f x --+-=因此，整理得，111101111x x a x x a +++=--------2221101(1)a x a x ++=-+-即，于是得，解得，22222(1)(1)(2)0(1)[(1)]a a a x x a x ++++--=-+-2(1)(1)020a a a ⎧+++=⎨--=⎩2a =-所以实数a 的值是.2-故答案为：2-5．若函数的值域是，则函数的值域是____________.()y f x =1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()12121F x f x f x =+++【答案】172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.(21)f x +【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，()y f x =1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(21)t f x =+1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数变为，，()F x 1y t t =+1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，1y t t =+1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,4]时，，而时，，时，，即，1t =min 2y =12t =52y =4t =17y 4=max 174y =所以原函数值域是.172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：.172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知里氏震级R 与地震释放的能量E 的关系为.那么里氏8.4级的地震释放的()2lg 11.43R E =-能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的_____________倍.(精确到0.1)【答案】251.2【分析】根据给定条件，作差并结合对数运算求解作答.【详解】令里氏8.4级的地震释放的能量为，里氏6.8级的地震释放的能量为，1E 2E 则，，两式相减并整理得，()12lg 11.48.43E -=()22lg 11.4 6.83E -=12lg lg 2.4E E -=即，因此.12lg 2.4E E = 2.41210251.2E E =≈故答案为：251.27．若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的余弦值为____________.2425【答案】或.3545【分析】设顶角，则其底角的余弦值为，由半角公式求值即可.()0,πα∈πcos sin 222ααæöç÷-=ç÷èø【详解】设顶角，则，∴或()0,πα∈247sin ,cos 2525αα==±3sin 25α=45则其底角的余弦值为或.π3cos sin 2225ααæöç÷-==ç÷èø45故答案为：或.35458．已知点A 的坐标为，将OA 绕坐标原点顺时针旋转至，则点的横坐标是(4,3)-3πOA 'A '____________.【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合差角的余弦公式求解作答.【详解】以x 轴非负半轴为角的始边，令射线OA 为终边的角为，则射线为终边的角为，αOA 'π3α-显然，，5OA OA =='=34sin ,cos 55αα=-=因此，πππ413cos cos cos sin sin 333525ααα⎛⎫-=+=⨯- ⎪⎝⎭所以点A '5=9．方程的实数解为____________.9135x x +-=【答案】3log 2x =【分析】分、两种情况化简方程，求出的值，解之即可.0x ≤0x >9135x x +-=3x【详解】当时，则，由可得，可得；0x ≤31x ≤9135xx+-=()23340x x--=3x =当时，则，由可得，可得，解得.0x >31x>9135x x +-=()23360x x+-=32x =3log 2x =故答案为：.3log 2x =10．设，当时，恒成立，则实数m 的取值范围是()222x xf x --=R x ∈()()210f x mx f ++>____________.【答案】()1,1-【分析】根据题意把不等式转化为即，结合函数的单调性2(2)(1)0f x mx f ++>2(2)(1)f x mx f +>-和奇偶性，得到在上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解.2210x mx ++>R x ∈【详解】由函数，111(22)[2()]22222()2x x x x x x f x --=--=⋅-=均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，1212,2xxy y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ R ()f x R 且满足，所以函数为奇函数，1111()22()22()x x x x f x f x --------=-=-=-()f x 因为，即，2(2)(1)0f x mx f ++>2(2)(1)(1)f x mx f f +>-=-可得恒成立，即在上恒成立，221x mx +>-2210x mx ++>R x ∈则满足，即，解得，2(2)40m -<244m <11m -<<所以实数的取值范围是.m (1,1)-故答案为：.(1,1)-11．已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，()ln f x x =1,e D t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e a D ∈b D ∈使得，则实数的取值范围是_____________.()()4f a f b +=t 【答案】{}5e【分析】分析出函数在上单调递增，可得出，即可求得实数的值.()f x D ()14e 1e f t f t ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩t 【详解】因为函数在上单调递增，()f x D 对任意的，都存在唯一的，使得，a D ∈b D ∈()()4f a f b +=则，解得.()1ln 14e 1e f t f t t ⎧⎛⎫+=-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩5e t =故答案为：.{}5e 12．对任意集合M ，定义，X 是全集，集合，则对任意的，下列命1.()0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩,S T X ⊆x X ∈题中真命题的序号是_____________.（1）若，则；S T ⊆()()S T f x f x ≤（2）；()()1S S f x f x =-（3）；()()()S S T T f x f x f x =⋅ （4）(其中符号[a ]表示不大于a 的最大整数).()()()12S T S T f x f x f x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦ 【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】根据给定条件对4个命题逐一分析并判断作答.【详解】对于(1)，因，时，，，时，，而S T ⊆x S ∈x T ∈()()1S T f x f x ==x S ∉()0S f x =或，则，(1)正确；()0T f x =()1T f x =()()S T f x f x ≤对于(2)，时，，则，时，，x S ∈x S ∉()1,()0S S f x f x ==x S ∉x S ∈即，，从而有，(2)正确；()0,()1S S f x f x ==()()1S S f x f x +=()1()S S f x f x =-对于(3)，，则，，x S T ∈ ,x S x T ∈∈()1,()1,()1S T S T f x f x f x === 即，()()()S T S T f x f x f x =⋅ ，则，此时与至少有一个成立，即与中至少一个x S T ∉⋂()0S T f x = x S ∉x T ∉()0S f x =()0T f x =成立，从而成立，()()()S T S T f x f x f x =⋅综上知(3)正确；对于(4)，时，，若，则，x S T ∈⋃()1S T f x = ,x S x T ∈∈()1,()1S T f x f x ==，()()13[[]122S T f x f x ++==若，则，，,x S x T ∈∉()1,()0S T f x f x ==()()1[]12S T f x f x ++=若，同理可得，,x S x T ∉∈()()1[12S T f x f x ++=若，则，，，x S T ∉⋃,x S x T ∉∉()()()0S T S T f x f x f x === ()()11[[]022S T f x f x ++==综上得，(4)正确.()()1()[]2S S T T f x f x f x ++= 故答案为：（1）（2）（3）（4）.【点睛】方法点睛：本题关键是理解函数的新定义，题目的来源是数学中著名的狄利克雷函数，需要对函数的新定义充分理解，进行合理的分类讨论，做到不重复不遗漏，可以利用维恩图进行辅助.二、单选题13．若a ，b 为实数，则“”是“”的（ ）1ab >1b a >A ．充分但非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】D【分析】通过举反例和反例即可判断.2,3a b =-=-2,3a b =-=【详解】当时，满足，但此时，故正向无法推出，2,3a b =-=-1ab >1b a <同样时，满足，但此时，故反向也无法推出，2,3a b =-=1b a >1ab <故“”是“”的既不充分也不必要条件.1ab >1b a >故选：D.14．已知是钝角，那么下列各值中能取到的值是（ ）θsin cos θθ-A ．B ．C ．D ．43345312【答案】A【分析】利用辅助角公式可得出，求出的取值范围，结合正弦函πsin cos 4θθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π4θ-数的值域可得出的取值范围，即可得出合适的选项.sin cos θθ-【详解】因为，则，所以，，ππ2θ<<ππ3π444θ<-<(πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭所以，可取的值为.sin cos θθ-43故选：A.15．已知.对于正实数，下列关系式中不可能成立的是（ ）()22x f x =-()a b a b ≠、A ．B ．22a b ab f ff a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭22ab a b f f f a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭C ．D ．22ab a b f f f a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭22ab a b ff f a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据给定条件，结合均值不等式可得，再探讨函数的单调性，确22a b aba b +>>+()f x定中不可能最大的作答.2(),(2ab a bf f f a b ++【详解】正实数，则，有，()a b a b ≠、02a b +>>02a bab +>>2ab a b >+因此，函数，202a b ab a b +>>>+22,1()2222,1xxx x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩即有函数在上单调递减，在上单调递增，()f x (0,1][1,)+∞若，则有，C 正确；012a b+<≤2()()2ab a b f f f a b +>>+若，则有，A 正确；21aba b ≥+2()()2a b ab f f f a b +>>+若且时，，12a b +>201aba b <<+1≥2a b f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭时，，实数最大数记为，1≤2ab f f a b ⎛⎫> ⎪+⎝⎭,,c d e max{,,}c d e于是，22max{(),(max{(),(22a b ab a b abf f f f f f a b a b ++=>++因此选项B 可能，选项D 一定不可能.故选：D16．若，，下列判断错误的是ππtan 22b a θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()()sin cos 02πa x b x x ϕϕ+=+≤<（ ）A ．当时，B ．当时，0,0a b >>ϕθ=0,0a b ><2πϕθ=+C ．当时，D ．当时，0,0a b <>πϕθ=+0,0a b <<2πϕθ=+【答案】D【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答.ϕ【详解】由选项知，，，0ab≠sin cos )a xb x x x +=令，有，，cos ϕϕ==)sin t n ππ2an ta (c 2os b a ϕϕθθϕ==-<=<02πϕ≤<则，sin cos cos cos sin ))a x b x x x x ϕϕϕ+=+=+对于A ，当时，为第一象限角，且，，，则，A0,0a b >>ϕπ02ϕ<<π02θ<<tan tan ϕθ=ϕθ=正确；对于B ，当时，为第四象限角，且，，，则0,0a b ><ϕ3π2π2ϕ<<π2θ-<<tan tan(2π)ϕθ=+，B 正确；2πϕθ=+对于C ，当时，为第二象限角，且，，，则0,0a b <>ϕππ2ϕ<<π2θ-<<tan tan(π)ϕθ=+，C 正确；πϕθ=+对于D ，当时，为第三象限角，且，，，则0,0a b <<ϕ3ππ2ϕ<<π02θ<<tan tan(π)ϕθ=+，D错误.πϕθ=+故选：D三、解答题17．已知.tan 2θ=-π2θ<<(1)求；tan θ(2)【答案】(2)3+【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解；(2)利用弦化切的方法求解.【详解】（1）因为22tan tan 21tan θθθ==--解得，2tan 0θθ-=t an θ=tan θ=因为，所以.π02θ<<tan θ=（2.sin cos tan 13sin cos tan 1θθθθθθ++====+--18．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，设用x 单位量的水清洗一次以后，13蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为.()f x (1)假定函数的定义域是，写出，的值，并判断的单调性；()y f x =[0,)+∞(0)f (1)f ()y f x =(2)设，求实数t 的值，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分()211f x t x =+⋅(0)a a >成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.【答案】(1)；；严格单调递减；(0)1f =2(1)3f =(2)；答案见解析.12t =【分析】（1）根据给定信息，直接求出，的值，再根据题意判断的单调性即可；(0)f (1)f ()f x （2）分别计算两种方式的农药残留量，再作差比较大小即可.【详解】（1）表示没有用水清洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样，则，(0)f (0)1f =因为用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的13农药量之比为，因此，232(1)3f =因为用水越多洗掉的农药量也越多，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比越小，因此函数严格单调递减.()f x （2）由（1）知，，而函数，于是，解得，，2(1)3f =()211f x t x =+⋅1213t =+12t =22()2f x x =+清洗一次，残留在蔬菜上的农药量为，122()2y f a a ==+把水平均分成2份后清洗两次，残留在蔬菜上的农药量为，222222264[([]2(8)2()2a y f a a ===++，2122222222642(4)(4)2(8)(2)(8)a a a y y a a a a +--=-=++++当时，，当时，，当时，，4a >12y y >4a =12y y =04a <<12y y <所以当时，分成2份后清洗两次，清洗后蔬菜上残留的农药量少；4a >当时，两种清洗方案效果相同；4a =当时，清洗一次，清洗后蔬菜上残留的农药量少.04a <<19．已知是定义在上的奇函数，当时，.()y f x =R 0x >()1x f x x =-+(1)求的值，并写出的解析式；(0),(1)f f -()f x (2)若，求实数a ，b 的值.()[]{}|,,,22a b y y f x x a b ⎡⎤=∈=⎢⎥⎣⎦【答案】(1),.()()100,12f f =-=()1xf x x =-+(2)1,1a b =-=【分析】(1)根据函数奇偶性的概念求函数值和解析式；(2)根据函数的单调性结合值域列出方程即可求解.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，()y f x =R 所以，1(0)0,(1)(1)2f f f =-=-=当时，，0x <()()1x f x f x x =--=--所以，即.,01()0,0,01xx x f x x x x x ⎧-<⎪-⎪==⎨⎪⎪->+⎩()1xf x x =-+（2）因为当时，单调递减，0x >()1111x f x x x =-=-+++且函数为奇函数，所以在上单调递减，()f x R 所以当时，，当时，，0x <()0f x >0x >()0f x <因为，所以，()[]{}|,,,22a b y y f x x a b ⎡⎤=∈=⎢⎥⎣⎦0a b <<所以，即解得.()2()2b f a a f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1212a b a b a b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪+⎩1,1a b =-=20．在平面直角坐标系中，两点、的“直角距离”定义为，记为11(,)P x y ()22,Q x y 1212x x y y -+-.如，点、的“直角距离”为9，记为.PQ (1,2)P --(2,4)Q 9PQ =(1)已知点，Γ是满足的动点Q 的集合，求点集Γ所占区域的面积；(0,0)P 1PQ ≤(2)已知点，点，求的取值范围；(0,0)P [(cos ,sin )(0,2))Q αααπ∈PQ (3)已知动点P 在函数的图像上，定点，若的最小值为1，1y x =-)[(),sin 0,2π)Q ααα∈PQ 求的值.α【答案】(1)2(2)⎡⎣(3)或或π3α=4π311π6【分析】（1）分类讨论区绝对值，得到其图形为正方形，求出其边长，则得到面积；（2）分，，，四类讨论即可；0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,2παπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,2παπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）利用绝对值不等式有，再根据范围即可得到答案.||12sin 13PQ πα⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭α【详解】（1）设，则，(),Q x y 1x y +≤当，则，0,0x y ≥≥1x y +≤当，则，0,0x y ≥<1x y -≤当，则，0,0x y <≥1x y -+≤当，则，0,0x y <<1xy --≤顺次连接四点,()()()()0,1,1,0,0,1,1,0A B C D --则得到点集所占区域面积.2S ==（2），|||0cos ||0sin ||cos ||sin |PQ αααα=-+-=+当，此时，π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin ,cos 0αα≥则，||cos sin 4PQ πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，，π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ππ3π,444α⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，即，则，πππsin sin ,sin 442α⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin 4α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦||PQ ∈当，此时，π,π2α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦sin 0,cos 0αα≥<则，πcos sin 4PQ ααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，，π,π2α⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦ππ3π,444α⎛⎤∴-∈ ⎥⎝⎦，即，则，π3ππsin sin ,sin 442α⎛⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin 4α⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦||PQ ∈当，此时，3π,2απ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦sin 0,cos 0αα<≤则，πcos sin 4PQ ααα⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，，3,2παπ⎛⎤∈ ⎝⎦ 57,444πππα⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦则，则，sin 1,4πα⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣[1,PQ ∈当，此时，，3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0α<cos 0α>则，||cos sin 4PQ πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，，3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ π5π7π,444α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则，，πsin 1,4α⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣(||PQ ∴∈综上，.[1,PQ ∈（3）设，根据绝对值不等式有(),1P x x-|||||(1sin )|PQ x x αα=+-+，π1sin 12sin 13ααα⎛⎫≥+=+-= ⎪⎝⎭若，即，，，π12sin 13α⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πsin 03α⎛⎫-= ⎪⎝⎭[)0,2πα∈ ππ5π,333α⎡⎫∴-∈-⎪⎢⎣⎭或，或.π03α∴-=ππ3α∴=4π3若，即，，π12sin 13α⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭sin 13πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π3π32α∴-=11π6α∴=综上或或.π3α=4π311π621．设函数的反函数存在，记为.设，.()y f x =()1y f x -=(){}A x f x x ==()(){}1B x f x f x -==(1)若，判断是否是、中的元素；()116x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭12A B (2)若在其定义域上为严格增函数，求证：；()y f x =A B =(3)若的方程有两个不等的实数解，求实数的取值范()f x =x ()()1f x a f x a --=+a 围.【答案】(1)，12A ∉12B ∈(2)证明见解析(3)7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）求出函数的解析式，利用元素与集合的关系判断与集合、的关系，可得()1f x -12A B 出结论；（2）分析可知，利用集合的包含关系以及函数的单调性证得，()(){}B x f f x x ==A B ⊆，即可证得结论成立；B A ⊆（3）令，分析可得，由已知方程可得，可得()()y g x f x a ==+()()11g x f x a --=-()()1g x g x -=，可得出，分析可得方程有两个不等的非负实根，根据二次方()()g g x x =()g x x =220x x a -+-=程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.a 【详解】（1）解：因为，则，()116xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1116log f x x -=所以，，则，所以，，116x A x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭121111642⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭12A ∉，则，所以，.1161log 16x B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭41211216111log log 22416--⎛⎫=== ⎪⎝⎭12B ∈（2）解：由题意可得，()(){}()(){}1B x f x f x x f f x x -====任取，则，所以，，，故；1x A ∈()11f x x =()()()111f f x f x x ==1x B ∴∈A B ⊆任取，则，下面证明出.2x B ∈()()22f f x x =()22f x x =因为函数在其定义域内为严格增函数，()f x 若，则，与题设矛盾；()22f x x <()()()222f f x f x x <<若，则，与题设矛盾.()22f x x >()()()222f f x f x x >>故，即，故.()22f x x =2x A ∈B A ⊆综上所述，.A B =（3）解：令，则，则，即()()y g x f x a ==+()()11x a f y x g y --⎧+=⎪⎨=⎪⎩()()11g y f y a --=-，()()11g x f x a--=-由可得，所以，，()()1f x a f x a --=+()()1g x g x -=()()g g x x=因为在其定义域内单调递增，所以，有两个不等的非负()g x =()g x x =x =实根，整理可得，220x x a -+-=所以，，解得.()Δ14247010220a a a ⎧=--=->⎪⎪>⎨⎪-≥⎪⎩724a <≤因此，实数的取值范围是.a 7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦。
2021-2022学年上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度A．2【答案】A【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求l，r，然后结合扇形圆心角公式可求.B．3C．4D．5l2r4【详解】设扇形半径r，弧长l，则，解得r1，l2，1lr12l所以圆心角为2，r故选：A.2．对于函数f（x）=asinx+bx+c(其中，a,b R,c Z),选取a,b,c的一组值计算f（1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能是A．4和6【答案】D【解析】【详解】试题分析：求出f（1）和f（﹣1），求出它们的和；由于c∈Z，判断出f（1）+f（﹣1）为偶数．解：f（1）=asin1+b+c①f（﹣1）=﹣asin1﹣b+c②①+②得：f（1）+f（﹣1）=2c∵c∈Z∴f（1）+f（﹣1）是偶数故选D【解析】函数的值．B．3和1C．2和4D．1和213．设函数f(x),g(x)ax2bx(a,b R,a0)，若y f(x)的图象与y g(x)图象有x且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是A．当a0时，x1x20,y1y2B．当a0时，x1x20,y1y2C．当a0时，x1x20,y1y2D ．当a 0时，x1x20,y1y2【答案】B【详解】令f(x)g(x),可得设F (x)1ax b ．x 21,y ax b x 2根据题意F (x)与直线y ax b 只有两个交点，不妨设x 1x 2，结合图形可知，当a 0时如右图，yax b 与F (x)左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得|x 1|x 2，即x 1x20，此时x1x20，y211y 1,y1y20，x2x1同理可得，当a 0时如左图，x 1x 20，y1y2故选：B ．【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度.xx4．设函数f(x)223,x R ，对于实数a b ，给出以下命题：命题p 1:a b 0；|x |1命题p 2:a b 20；命题q :f(a)f(b)0.下列选项中正确的是（）A ．p 1p 2中仅p 1是q 的充分条件B ．p 1p 2中仅p 2是q 的充分条件C ．p 1p 2都不是q 的充分条件D ．p 1p 2都是q 的充分条件【答案】Dx x 【分析】令f(x)g(x)h(x),g(x)=22,h(x)3,x R ，g(x)是奇函数，在R 上|x |1单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0，根据这些信息即可判断.x x 【详解】令f(x)g(x)h(x),g(x)=22,h(x)3,x R ，g(x)是奇函数，在R 上|x |1单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0.f(a)f(b)0f(a)f(b)，即g(a)＋h(a)≥－g(b)－h(b)，即g(a)＋h(a)≥g(－b)＋[－h(b)]，①当a ＋b≥0时，a≥－b ，故g(a)≥g(－b)，又h(x)＞0，故h(a)＞－h(b)，∴此时f(a)f(b)0，即p 1是q 的充分条件；②当a b 20ab 2时，a≥0，a ba ，a ba ，(i)当a≥1时，a≥a ，则－b≤a ，故g(a)≥g(－b)；此时，h(a)＞0，－h(b)＜0，∴h(a)＞－h(b)，∴f(a)f(b)0成立；(ii)当a ＝0时，b ＝0，f (0)＋f (0)＝6≥0成立，即f(a)f(b)0成立；(iii)∵g(x)在R 上单调递增，h(x)在(－∞，0)单调递增，∴f(x)g(x)h(x)在(－∞，0)单调递增，∵f (－1)＝0，∴f (x)＞0在(－1，0)上恒成立；又∵x≥0时，g(x)≥0，h(x)＞0，∴f (x)＞0在[0，＋∞)上恒成立，∴f (x)＞0在(－1，＋∞)恒成立，故当0＜a ＜1时，a ＜a ＜1，1aba 1，∴f (a)＞0，f (b)＞0，∴f(a)f(b)0成立.综上所述，a b 20时，均有f(a)f(b)0成立，∴p 2是q 的充分条件.故选：D.【点睛】本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.二、填空题15．函数y sin 2x 的最小正周期T __________；2【答案】【详解】分析：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可详解：由三角函数的周期公式可知：函数y 12 sin2x的最小正周期T22故答案为点睛：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．26．已知函数f x ax2x是奇函数，则实数a______．【答案】0【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果．【详解】∵函数f x为奇函数，∴f x f x，即ax22x ax22x，整理得ax20在R上恒成立，∴a0．故答案为0．【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题．10，则A B______．7．若集合A x x2，B xx1【答案】x1x21,2【分析】求解绝对值不等式解得集合A，求解分式不等式求得集合B，再求交集即可.10x x1，【详解】因为A x x2{x|2x2}，B xx1故可得A B{x|1x2}.故答案为：x1x2.8．方程lg2x1lgx1的解为______.【答案】2.x2x110【解析】由对数的运算性质可转化条件为x0，即可得解.2x10lgx2x11【详解】方程lg2x1lgx1等价于x0，2x10x 2x 110所以x 0，解得x 2.2x 10故答案为：2.【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.x 21(x 0)9．设函数f(x)，那么f 1(10)=_____2x(x 0)【答案】3【分析】欲求f 1(10),根据原函数的反函数为f 1(x)知,只要求满足于f(x)10的值即可,故只解方程f(x)10即得.【详解】解答：令f(t )10,则t f 1(10),当t 0有2t 10t 5不合,当t 0有t 2110t3,t3（舍去）那么f 1(10)3故答案为3【点睛】本题主要考查了反函数,一般地,设函数y f(x)x A 的值域是C ,根据这个函数中x,y 的关系,用y 把x 表示出,得到x f(y).x 210．若集合A x 3cos2x 3,x R ，B y y 1,y R ，则AB _______．【答案】1【分析】易知B 1,1，分别验证1,1和集合A 的关系即可得结果.2【详解】因为B y y 1,y R1,1，3cos231，3cos 23，即1A ，1A ，1所以AB1，故答案为：1.11．幂函数yx ，当取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点A(1,0)、B(0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数yx 1、yx 2的图像三等分，即有BMMNNA ．那么12_______．【答案】12112【分析】求出M ,N 的坐标，不妨设y x 1，yx 2，分别过M (,)，N (,)，分别3333代入点的坐标，变形可解得结果.【详解】因为A(1,0)，B (0,1)，BMMNNA ，2112所以M (,)，N (,)，33332112不妨设yx 1，yx 2，分别过M (,)，N (,)，3333211122则，，333312211222则，所以121．33331故答案为：1x 112．已知函数f x a 2a 0，a 1，的图象不经过第四象限，则a 的取值范围为__________．【答案】[2,).【解析】根据0a 1和a 1两种情况讨论，令f x 0，得出不等式，即可求解.【详解】当0a 1时，令f x 0，可得a20，此时不等式的解集为空集，（舍去）；当a 1时，令f x0，可得a20，即a 2，即实数a 的取值范围[2,)，综上可得，实数a 的取值范围[2,).故答案为：[2,).13．已知函数f(x)a sinx cos x 在0,上的最小值为2，则实数a 的值为_________．2【答案】-2【分析】根据函数f(x)a sinx cos x 在0,上的最小值为2，分f(x)在0,上递22增，递减和不单调，利用三角函数的性质求解.【详解】因为函数f(x)a sinx cos x 在0,上的最小值为2，2所以当f(x)在0,上递增时，f(x)的最小值为f(0)12，不成立；2当f(x)在0,上递减时，f(x)的最小值为f()a 2，22此时f(x)2sinx cosx5sin x,0，4因为x0,，则x,，而y sinx 在,上递增，成立；22222当f(x)在0,上不单调时，f(x)a sinx cosx a 21sin x，2令a 212，解得a3或a 3，2当a 3时，f(x)2sin x ，因为x0,，所以x,，所以66632f(x)min1，不成立；当a3时，f(x)2sin x，因为x0,，所以x,，66632f(x)min3，不成立；故实数a 的值为-2，故答案为：-214．①存在实数，②存在实数，给出四个命题：使sin cos 1；使sincos3；2552x 是偶函数；③y sin④x是函数y sin 2x⑤若的一条对称轴方程；842、是第一象限角，且，则sinsin ．其中所有正确命题的序号是_____________．【答案】③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误.111【详解】对于命题①，sin cossin 2,，所以，不存在实数使得222sin cos 1，①错误；2,2对于命题②，sin cos2sin，所以，不存在实数使得43，②错误；25对于命题③，y si n 2x si n2xcos2x ，因为cos 2x cos2x ，22sincos5所以函数y sin2x 是偶函数，③正确；235sin1ymin，时，y sin 288425所以，x是函数y sin 2x的图象的一条对称轴方程，命题④正确；84对于命题④，当x 对于命题⑤，取922，，，但sinsin，⑤错误.4442因此，正确命题的序号为③④.故答案为：③④.15．某同学向王老师请教一题：若不等式x 4e x a lnx x 1对任意x1,恒成立，求实数a 的取值范围．王老师告诉该同学：“e x x 1恒成立，当且仅当x 0时取等号，且g xx 4lnx 在1,有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a 的取值范围是__________．【答案】,4x 4e x x 1x 4e x x 1【解析】由参变量分离法可得出a ，利用已知条件求出函数ylnxlnx在1,上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.x 4e x x 1e x4lnxx 1【详解】x 1，lnx 0，由x e a lnx x 1可得a ，lnxlnx4x 由于不等式e xx 1恒成立，当且仅当x 0时取等号，且存在x 01，使得g xx4lnx0，e x4lnxx 1x 4lnx 1x 14，当且仅当xx 0时，等号成立，a 4.所以，lnxlnx因此，实数a 的取值范围是,4.故答案为：,4.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ，m f x m f xmin；（2）x D ，m f x m f x max；（3）x D ，m f x m f xmax；（4）x D ，mf xmf xmin.216．设二次函数f x mx 2x n m ,n R ，若函数f x 的值域为0,，且m 2n 2f 12，则2的取值范围为___________.n 1m 21【答案】[1,13]m 2n 2【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简2后利n 1m 21用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f (x)对称轴为x ∵f (x)值域为0,，2111∴m0且f0mn 0nmn 1，n ＞0.mmmm21，mf 12m 2n 2mn 4，m 2m 21n 2n 21m 2n 2m 4n 4m 2n 222∵2n 1m 21m n m 2n 21m 21n 21=m 2n 2=m 2n 222m 2n 2m 2n 2m 22n 22m 2n 22m 2n 22m =2n 22m 2n 21m 2n 22=m 2n 21∴m 2n 212mn11，m 2n 21(m n)2342313，m 2n 2∴2∈[1,13].n 1m 21故答案为：[1,13].三、解答题17．已知函数f xln 1x 的定义域为集合A ，集合B a,a 1，且BA .1x（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数f x 是奇函数但不是偶函数.【答案】（1）[1,0];（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f x 的定义域，计算fx 与f x 比较，即可得到所求结论．试题解析：（1）令1x 0，解得1x 1，所以A1,1，1xa 1因为B A ，所以，解得1a 0，即实数a 的取值范围是1,0a 11（2）函数f x 的定义域A1,1，定义域关于原点对称1x 1x 1x f xln ln lnln f x1x1x 1x1x 1而fln3，211fln ，所以3211f f 221x 1所以函数f x 是奇函数但不是偶函数.18．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．(1)①设BOC ，矩形ABCD 的面积为S g()，求g()表达式，并写出的范围：②设BCx(cm)，矩形ABCD 的面积为Sf(x)，求f(x)表达式，并写出x 的范围：(2)怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．2【答案】(1)①g()400sin2cm ，0π2；②g()2x 400x 2cm ，20x 20.(2)当截取AB 202cm ，BC102cm 时能使截得的矩形ABCD 的面积最大，最大面积为400cm 2【分析】（1）①用BOC 和半径表达出边AB ,BC ，进而表达出面积并写出的取值②用BC x(cm)表达出AB2OB2400x 2，范围，进而表达出面积并写出x 的取值范围；（2）利用三角函数的有界性求面积最大值.(1)①连接OC ，则OC 20cm ，BC OC sin 20sin cm ，OBOC cos20cos cm ，2则AB40cos cm ，则g()AB BC800sin cos400sin 2cm，0π.2②连接OC ，则OC20cm ，由勾股定理得：OB 400x 2cm ，AB2OB 2400x 22cm ，则g()AB BC 2x 400x 2cm ，0x 20，(2)由（1）知：g()400sin2，0πππ，所以20,π，当2，即时，224π202cm ，4g()400sin2取得最大值，最大值为400cm 2，此时AB40cos BC20sin π102cm ，所以当截取AB202cm ，BC102cm 时能使截得的矩形4ABCD的面积最大，最大面积为400cm 219．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数e x e x与双曲余弦函数，其中双曲正弦：sinh x ，双曲余弦函数：2e x e x．（e 是自然对数的底数，e 2.71828cosh x2）．(1)解方程：cosh x 2；(2)类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh x y ________，并证明；(3)若对任意t0,ln 2，关于x 的方程sinh tcosh xa 有解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)x ln 23或x ln 23；(2)sinh x y sinh x cosh ycosh x sinh y ，证明见解析；(3)a 1.【分析】（1）由已知可得出e 2x 4e x 10，求出e x 的值，即可求得x 的值；（2）类比两角和的正弦公式可得出两角和的双曲正弦公式，再利用指数的运算性质可证得结论成立；e t e t1有解，利用函数的单调性可求得实数a 的取值范围.（3）分析可知a 2(1)e x e x2，解：由cosh x 可得e 2x 4e x 10，可得e x 23，解得x ln 232或x ln 23.(2)解：sinh x ysinh x cosh ycosh x sinh y ，右边sinh x cosh ycosh x sinh ye x exe y eye x +e xe y ey4e xye xye yxex ye x ye xye yxex ye xye x ysinh x y .42(3)e t ete x e x解：t0,ln 2，则1e 2，则a sinh tcosh x，22t e t ete x e x所以，ae x ex1，当且仅当x 0时，等号成立，22e t e t则a1有解，2e t et因为函数y e 、ye 均为0,ln2上的增函数，故函数g t 1在0,ln2上2t t为增函数，所以，ag tming 01.20．对闭区间I ，用M I 表示函数yf(x)在I 上的最大值．4，求M [1,4]的值：x3(2)已知f(x)a sin x cos x，且y f(x)偶函数，M[a,b]，求b a 的322(1)对于f(x)x最大值：(3)已知f(x)sin x ，若有且仅有一个正数a 使得M [0,a ]kM[a,2a ]成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)5(2)4312(3)k 1【分析】小问1：判断y f(x)的单调性即可求解；小问2：由偶函数求得a2，根据yf(x)的最大值判断a,b 范围，即可求解；小问3：讨论0k 1与1k ，当M [0,a ]kM[a,2a ]时，判断正数a 的取值个数，即可求解．(1)对任意x 1,x21,2，且x1x 2时，由f x1f x2x1444x2x1x21x1x2x x12对任意x 1,x22,4，且x1x 2时，由f x1f x2x1444x2x1x21x1x2x 1x2所以f(x)x 4在1,2上单调递减，在2,4上单调递增；x44又f(1)1＝5，f(4)4＝514所以M[1,4]5(2)由于y f(x)偶函数，所以f()f()66则a sin cos a sin cos63626362解得a2则f(x)2sin x cos x3cosx32因为M[a,b]532k,k Z ，所以2k a b3324.3故b a的最大值为(3)①当0k1时，由于M[0,a]kM[a,2a]，则M[0,a]M[a,2a]，所以0a若0a2，4时，有M[0,a]sin a，M[a,2a]sin2a2sina cosa1；2k所以sin a2ksin acosa，得cosa若0k 111,，此时a无解；时，有cosa22k若1212,1时，有cosa，此时a有一解；k2k2221122cosa,若k1时，有，此时a无解；2k222若4a2时，有M[0,a]sin a，M[a,2a]sin212,1所以sin a k，因为sin a2若0k 若112时，此时a无解，若k时，此时a无解；2222k1时，此时a有一解；2②当1k时，由于M[0,a]kM[a,2a]，则M[0,a]M[a,2a]，所以有M[0,a]sin2a，21，则M[a,2a]1k若k1，则M[a,2a]1得a若1k，M[a,2a]12π5或a等，421115，则sin a或sin2a，在,a必有两解．k kk24综上所述：k121．定义域为R的函数y f x，对于给定的非空集合A，A R，若对于A中的任意元素a，都有f x a f x成立，则称函数y f x是“集合A上的Z函数”.(1)给定集合A1,1，函数y f x是“集合A上的Z函数”，求证：函数y f x是周期函数；2(2)给定集合A1，g x ax bx c，若函数y g x是“集合A上的Z函数”，求实数a、b、c所满足的条件；(3)给定集合A0,1，函数y h x是集合A上的Z函数，求证：“y h x是周期函数”的充要条件是“y h x是常值函数”．【答案】(1)证明见解析；(2)a0，b0，c R；(3)证明见解析.【分析】（1）推导出f x f x1且f x1f x，可得出f x f x1，由此可证得结论成立；（2）由已知可得2ax a b0对任意的x R恒成立，由此可得出a、b、c所满足的条件；（3）利用Z函数的定义、函数周期性的定义结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立.(1)证明：由题意可知，对任意的x R，f x1f x，可得f x f x1，对任意的x R，f x1f x，所以，f x f x1，因此，函数y f x为周期函数.(2)解：由题意可知，对任意的x R，g x1g x，即a x1b x1c ax2bx c，可得2ax a b0对任意的x R恒成立，22a0所以，，即a0，b0，c R.a b0(3)证明：若函数y h x是周期函数，设其周期为T T0，因为函数y h x是集合A上的Z函数，则存在a10,1、k N，使得ka1T k1a1，所以，0T ka1a11，0k1a1T a1，对任意的xR，h x0h xa1h xka1h xka1T ka1h xT h x，所以，h x0h xa1h xka1h xT，所以，对任意的x x0,xT，h x h x，对任意的n Z，h x0h xnT，并且R x02T,xT xT,xx,xT，所以，对任意的x R，h x h xC为常数，即“y h x是周期函数”“y h x是常值函数”；若函数y h x是常值函数，对任意的x R、a A，h x a h x成立，1且h x h x，所以，函数y h x是周期函数.2即“y h x是周期函数”“y h x是常值函数”.综上所述，“y h x是周期函数”的充要条件是“y h x是常值函数”.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，本题第三问的难点在于利用函数的周期性推导出函数为常值函数，需要充分利用题中“Z函数”的定义结合函数值的不等关系以及函数的周期性来进行推导.。
2022-2023学年上海交通大学附属中学嘉定分校高一上学期期中考试数学试卷含详解
高一数学期中试卷（满分150分，120分钟完成．答案请写在答题纸上）一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.已知集合{}{1},1,0,2A x x B =<=-，则⋂=A B ___________．2.函数y =__________.3.“x 、y 中至少有一个大于0”是“0x y +>”的_____________条件．（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分也非必要”填空）4.已知12x x +=，则331x x -的值为_____________．5.已知0.63a=，则 5.4log 3=____________（结果用含a 的式子表示）．6.不等式211x x-≤的解集为___________.7.不等式41320x x--<的解集为_____________．8.如果当78x ≤≤时，|||2|()x k x k k -+-∈R 都能取到最小值，则实数k 的取值范围是___________．9.若存在x 满足不等式2211133x axx a +--⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范图是______________．10.如图，正方形OABC 的边长为(1)a a >，函数22y x =与AB 交于点Q ，函数12y x -=与BC 交于点P ，当||||AQ CP +最小时，实数a 的值为____________．11.已知集合{1,2,3}S =，若||||a b c -+的平均数为最简分数nm ，其中a b c S ∈、、，则m n +的值为___________．12.已知2()2()21,x f x b x a x a b x =⋅+⋅++⋅-∈R ，其中a 、b 正实数．若{}{}()0(())0x f x x f f x ===≠∅，则222a ba b b a +++的最大值为___________．二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）13.化简29log 3x的结果为（）A.xB.1xC.xD.1||x 14.函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A.1a >，0b <B.1a >，0b >C .01a <<，0b < D.01a <<，0b >15.已知a 、b 、c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）A.a b c>> B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>16.已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题：①若0a >，则不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立；②若a<0，则必存在实数0x 使不等式()00f f x x >⎡⎤⎣⎦成立；③方程()f f x x ⎡⎤=⎣⎦一定没有实数根；④若0a b c ++=，则不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立，其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个三．解答题（本大题满分T 6分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．17.已知{}{}2230,1,A x x x B x x a a R =--≤=-≤∈．（1）若A B A ⋃=，求出实数a 的取值范围；（2）若a A ∈，求A B ⋂．18.已知()2()x f x x =∈R ．（1）解不等式：(2)()12f x f x +≤；（2）记()()()g x f x f x =+-，求函数(2)2()y g x g x =-的最小值．19.某公司经过测算，计划投资A 、B 两个项目．若投入A 项目资金x （万元），则一年创造的利润为2x（万元）；若投入B 项目资金x （万元），则一年创造的利润为10,020()3020,20xx f x x x ⎧≤≤⎪=-⎨⎪>⎩（万元）．（1）当投入A 、B 两个项目的资金相同且B 项目比A 项目创造的利润高，求投入A 项目的资金x （万元）的取值范围；（2）若该公司共有资金30万元，全部用于投资A 、B 两个项目，且要求投资B 项目的资金不超过10万元，则该公司一年至少能创造多少利润？（结果精确到0.1万元）．20.已知22(),kk f x x k -++=∈Z ．（1）若函数()y f x =的定义域为R ，求k 的值；（2）若(4)(3)f f ->-，且()21()(20a f x a -+-+>恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在实数m ，使得关于x 的方程22(1)20f x mx --+=．恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围．21.已知，集合(){}12,,,,01,1,2,,n n i S X X x x x x i n ==== 或(2)n ≥，对于()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈ ，定义A 与B 之间的距离为：1122(,)n n d A B a b a b a b =-+-++- ．（1）对任意的22,A S B S ∈∈，请写出(,)d A B 可能的值（不必证明）；（2）设4P S ⊆，且P 中有4个元素，记P 中所有元素间的距离的平均值为()d P ，求)d P 的最大值；（3）对()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈ ，定义：()1122,,,n n A B a b a b a b -=--- ．求证：对任意的,,n A B C S ∈，有以下结论成立：①(,)(,)d A C B C d A B --=．②(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．高一数学期中试卷（满分150分，120分钟完成．答案请写在答题纸上）一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.已知集合{}{1},1,0,2A x x B =<=-，则⋂=A B ___________．【答案】{}2【分析】利用集合的补集和交集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,A x x =<所以{}|1A x x =≥又{}1,0,2B =-，所以{}2A B ⋂=，故答案为：{}22.函数y =__________.【答案】(,1)-∞【分析】由给定函数有意义列出不等式，解之即得.【详解】在函数y =10x -≥，而分式分母不能为0≠，所以101010x x x -≥⎧⎪⇒->⇒<≠，所以原函数定义域为(,1)-∞,答案为：(,1)-∞3.“x 、y 中至少有一个大于0”是“0x y +>”的_____________条件．（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分也非必要”填空）【答案】必要非充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】先证明0x y +>时，x 、y 中至少有一个大于0假设x ,y 均不大于0，即x ≤0且y ≤0，则x ＋y ≤0，这与x ＋y ＞0矛盾，即当x ＋y ＞0时，x ,y 中至少有一个大于0，即必要性成立，若x ＝1，y ＝−2，满足x ,y 中至少有一个数大于0，但x ＋y ＞0不成立，即充分性不成立，故“x ,y 中至少有一个数大于0”是“x ＋y ＞0”成立的必要不充分条件，故答案为：必要非充分．4.已知12x x +=，则331x x-的值为_____________．【答案】0【分析】解方程求出x ，再代入计算即可.【详解】12x x+= 2210x x ∴-+=，解得1x =333311101x x ∴-=-=故答案为：0.5.已知0.63a =，则 5.4log 3=____________（结果用含a 的式子表示）．【答案】12a a+【分析】先通过换底公式得到31log 0.6a=，再将 5.4log 3转化为以3为底的形式，利用对数的运算性质计算即可.【详解】由0.63a=得0.631log 3log 0.6a ==，即31log 0.6a=，()5.433331111log 31log 5.4log 0.69log 0.6log 9122aaa∴=====⨯+++故答案为：12a a+6.不等式211x x-≤的解集为___________.【答案】{}01x x <≤【分析】移项将分式不等式化为标准形式，再化为一元二次不等式可解得结果.【详解】211x x -≤等价于210x x x --≤等价于10x x -≤，等价于(1)0x x -≤且0x ≠，即01x <≤，故不等式211x x-≤的解集为{}01x x <≤.故答案为：{}01x x <≤.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了一元二次不等式的解法，考查了转化化归思想，属于基础题.7.不等式41320x x --<的解集为_____________．【答案】()0,1【分析】根据式子结构可得0x >，再通过不等式的性质及指数的运算性质变形，最后利用幂函数的性质解不等式即可.【详解】由41320x x--<中的结构12x -可得0x >，41320x x ->>∴，14231x-->∴，即1161x -∴>，即61161111x =<116y x = 在()0,∞+上单调递增，01x ∴<<故答案为：()0,18.如果当78x ≤≤时，|||2|()x k x k k -+-∈R 都能取到最小值，则实数k 的取值范围是___________．【答案】[]4,7【分析】根据绝对值三角不等式的取等条件，结合已知自变量的范围，列出不等关系，即可求得结果.【详解】因为|||2|x k x k -+-()()2x k x k k ≥---=，当且仅当()()20x k x k --≤时取得最小值；当0k ≤时，因为[]7,8x ∈,所以不满足题意；当0k >时，要取得最小值，则[],2x k k ∈；根据题意，当[]7,8x ∈，都要取得最小值，则[]7,8是[],2k k 的子集，则7,28k k ≤≥，解得[]4,7k ∈.故答案为：[]4,7.9.若存在x 满足不等式2211133x axx a +--⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范图是______________．【答案】()()8,,0+∞-∞U 【分析】根据指数函数的单调性化简，令()()()221f x x a x a =+-++，然后结合二次函数的图像列出不等式，即可得到结果.【详解】根据题意可得存在x 满足221x ax x a +<--，即()()2210x a x a +-++<令()()()221f x x a x a =+-++，即存在x 满足()0f x <所以()()22410a a ∆=--+>，解得8a >或a<0即a 的取值范图是()()8,,0+∞-∞U 故答案为:()()8,,0+∞-∞U 10.如图，正方形OABC 的边长为(1)a a >，函数22y x =与AB 交于点Q ，函数12y x -=与BC 交于点P ，当||||AQ CP +最小时，实数a 的值为____________．【答案】2【分析】由题意，可用a 表示出线段AQ 及CP 的长度，再由基本不等式求最值，即可求得||||AQ CP +取最小时的a 值．【详解】解：点P 在函数12y x -=上，则12CP aa-=，点Q 在函数22y x =上，则22Q x a =，的||2Q a AQ x ==12||||22222a a AQ CP a a ∴+≥⋅=当且仅当2a a=，即2a =时取等号，21>知，当||||AQ CP +最小时，a 的2．2．11.已知集合{1,2,3}S =，若||||a b c -+的平均数为最简分数nm，其中a b c S ∈、、，则m n +的值为___________．【答案】27【分析】根据题意，分类讨论a b =或a b ¹两种情况即可求解.【详解】设k a b c =-+，①：a b =，c 取1,2,3，则1,2,3k =，②：a b ¹，则1a b -=或2a b -=，c 取1,2,3，则2,3,4,5k =，故12323452077n m ++++++==，则27m n +=故答案为：2712.已知2()2()21,x f x b x a x a b x =⋅+⋅++⋅-∈R ，其中a 、b 正实数．若{}{}()0(())0x f x x f f x ===≠∅，则222a ba b b a+++的最大值为___________．【答案】2333【分析】设{}{}1()0(())0x x f x x f f x ∈===，即可得到()00f =，从而求出1a b +=，令1b a =-，代入目标式子化简得到()13131a a ++-+，再利用基本不等式计算可得.【详解】解：设{}{}1()0(())0x x f x x f f x ∈===，()()()110f x f f x ∴==，()00f ∴=，即()010f a b =+-=，故1a b +=，所以1b a =-，又a 、b 为正实数，所以01a <<，则112a <+<所以()222221221111a b a a a b b a a a a a a a a ++=+=-+++-+--+()()211331a a a +=++-+()123333131a a =≤++-+当且仅当131a a+=+，即1a =时取等号，即222a b a b b a +++的最大值为2333.故答案为：2333+二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）13.化简29log 3x 的结果为（）A.x B.1xC.xD.1||x 【答案】C【分析】利用对数的运算性质求解即可.【详解】223329loglog log 333x x xx ===，故选：C14.函数()b x f xa -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A.1a >，0b <B.1a >，0b >C.01a <<，0b <D.01a <<，0b >【答案】A【分析】由()b xf x a-=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图像可知函数是减函数，则101a<<，从而可求出a 的范围，由0(0)1f <<可求出b 的取值范围【详解】由()b x f x a -=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为由图像可知函数是减函数，所以101a<<，所以1a >，因为0(0)1f <<，所以001b a a <<=，所以0b <，故选：A15.已知a 、b 、c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】CD【分析】根据基本不等式，结合题意，即可判断和选择.【详解】对AB ：2222a c bc ac +=>，又0c >，故b a >，则AB 错误；对C ：若b c >，则22222a c bc c +=>，即22a c >，又0,0a c >>，故a c >，则b a c >>满足题意，C 正确；对D ：若c b >，则c b a >>，D 正确.故选：CD.16.已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题：①若0a >，则不等式()f f x x>⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立；②若a<0，则必存在实数0x 使不等式()00f f x x >⎡⎤⎣⎦成立；③方程()f f x x ⎡⎤=⎣⎦一定没有实数根；④若0a b c ++=，则不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立，其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】利用二次函数的图象和性质分别判断()f f x ⎡⎤⎣⎦与x 的关系.【详解】解：方程()f x x =无实根.()0f x x ∴->或()0f x x -<.0,()0a f x x >∴->对一切R 成立,()f x x ∴>,用()f x 代入,[()]()f f x f x x ∴>>,命题①正确；同理若a<0,则有[()]f f x x <.命题②错误,命题③正确；0a b c ++= ,(1)10f -<必然归为a<0,有[()]f f x x <.命题④正确.①③④正确.故选C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次不等式的应用综合性较强,难度较大.三．解答题（本大题满分T 6分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．17.已知{}{}2230,1,A x x x B x x a a R =--≤=-≤∈．（1）若A B A ⋃=，求出实数a 的取值范围；（2）若a A ∈，求A B ⋂．【答案】（1）02a ≤≤（2）答案见解析【分析】（1）求出集合AB ，然后根据并集结果列不等式求解即可；（2）分111a a -<-<+，1113a a -≤-<+≤，131a a -<<+讨论，确定A B ⋂【小问1详解】由已知{}[]22301,3A x x x =--≤=-，{}[]1,1,1B x x a a R a a =-≤∈=-++A B A =Q U ，B A ∴⊆1113a a -+≥-⎧∴⎨+≤⎩解得02a ≤≤【小问2详解】由（1）[]1,3A =-，[]1,1B a a =-++，[]1,3a ∈-，当111a a -<-<+，即10a -≤<时，[]1,1A B a ⋂=-+当1113a a -≤-<+≤，即02a ≤≤时，[]1,1A B a a =-+ 当131a a -<<+，即23a <≤时，[]1,3A B a =- 18.已知()2()x f x x =∈R ．（1）解不等式：(2)()12f x f x +≤；（2）记()()()g x f x f x =+-，求函数(2)2()y g x g x =-的最小值．【答案】（1）(]2,log 3-∞（2）2-【分析】（1）首先求出()2f x ，则不等式即为22212x x +≤，解得423x -≤≤，再根据指数函数的性质计算可得；（2）首先表示出()g x ，从而得到(2)2()y g x g x =-的解析式，令22x x t -=+，利用基本不等式求出t 的取值范围，则问题转化为求函数()222h t t t =--，[)2,t ∈+∞的最小值，根据二次函数的性质计算可得.【小问1详解】解：因为()2()x f x x =∈R ，所以2(2)2x f x =，则不等式(2)()12f x f x +≤，即22212x x +≤，即()222120x x +-≤，即()()24230x x+-≤，解得423x -≤≤，显然24x ≥-恒成立，则只需满足23x ≤，解得2log 3x ≤，即不等式的解集为(]2,log 3-∞.【小问2详解】解：()()()22x x g x f x f x -=+-=+，则()()22(2)2()22222xx x x y g x g x --=-=+-+，令22x x t -=+，则222x x t -=+≥=当且仅当22-=x x ，即0x =时取等号，则()2222222222x x x xt --+=+-=-，所以问题转化为求函数()222h t t t =--，[)2,t ∈+∞的最小值，因为()()213h t t =--对称轴为1t =，开口向上，所以()h t 在[)2,+∞上单调递增，所以()()min 22h t h ==-，所以函数(2)2()y g x g x =-的最小值为2-.19.某公司经过测算，计划投资A 、B 两个项目．若投入A 项目资金x （万元），则一年创造的利润为2x（万元）；若投入B 项目资金x （万元），则一年创造的利润为10,020()3020,20xx f x x x ⎧≤≤⎪=-⎨⎪>⎩（万元）．（1）当投入A 、B 两个项目的资金相同且B 项目比A 项目创造的利润高，求投入A 项目的资金x （万元）的取值范围；（2）若该公司共有资金30万元，全部用于投资A 、B 两个项目，且要求投资B 项目的资金不超过10万元，则该公司一年至少能创造多少利润？（结果精确到0.1万元）．【答案】（1）()10,40；（2）14.5万元.【分析】（1）根据已知函数模型，列出不等式，求解即可；（2）根据题意，求得利润关于投资B 项目资金x 的函数关系，结合基本不等式求其最小值即可.【小问1详解】根据题意，当020x ≤≤时，10302x xx >-，即()100x x ->，解得0x <或10x >，故满足题意的(]10,20x ∈；当20x >时，202x>，解得40x <，则此时()20,40x ∈；综上所述，()10,40x ∈，故当B 项目比A 项目创造的利润高时，投入A 项目的资金x （万元）的取值范围()10,40.【小问2详解】根据题意，设投资A 项目x （万元），则投资B 项目30x -（万元），则03010x ≤-≤，解得[]20,30x ∈；则公司一年的利润()10301600110101014.5222x x y x x x -⎛⎫=+=+-≥⨯=≈ ⎪⎝⎭（万元），当且仅当600x x=，即x =（万元）时取得最小值.即该公司一年至少能创造14.5万元的利润.20.已知22(),kk f x x k -++=∈Z ．（1）若函数()y f x =的定义域为R ，求k 的值；（2）若(4)(3)f f ->-，且()21()(20a f x a -+-+>恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在实数m ，使得关于x 的方程22(1)20f x mx --+=．恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围．【答案】（1）0k =或1k =（2）97a <-或1a ≥（3）10,16⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）根据幂函数的性质得到220k k -++>，求出不等式的解析，再结合k ∈Z ，求出k 的值；（2）首先分析22k k -++的取值情况，依题意及幂函数的性质可得()f x 在(),0∞-上单调递减，即可确定()f x 的解析式，则问题即()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，根据函数的奇偶性，只需研究0x ≥的情况即可，结合二次函数的性质计算可得；（3）由（2）可得方程222(1)120x x x mx ---+=在()0,∞+上有4个不同的根，令()1x m x x-=()0,x ∈+∞，分析()m x 的取值情况，则问题转化为2211220x x m x x---+=，即22()()20m x m x m -+=，再令()s m x =，关于s 的方程2220s s m -+=在()0,1上有两个不等的根，结合一元二次方程根的分布问题得到不等式组，解得即可.【小问1详解】解：函数22(),kk f x x k -++=∈Z 的定义域为R ，则220k k -++>，所以()()210k k -+<，解得12k -<<，又k ∈Z ，所以0k =或1k =；【小问2详解】解：因为()2212k k k k -++=--+且Z k ∈，若k 为奇数，则1k -为偶数，则()12k k --+为偶数，若k 为偶数，则1k -为奇数，则()12k k --+为偶数，且221992244k k k ⎛⎫-++=--+≤ ⎪⎝⎭，因为(4)(3)f f ->-，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，若222k k -++=，即0k =或1k =时()2f x x =符合题意，若220k k -++=，即1k =-或2k =时()0f x x =，不符合题意，若220k k -++<，则22()k k f x x -++=为偶函数且在()0,∞+上单调递减，则()f x 在(),0∞-上单调递增，不符合题意；所以()2f x x =，则不等式()21()(20a f x a -+-+>恒成立，即()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，因为()()221(1)2h x a x a x =-+-+为偶函数，由()0h x >恒成立，只需研究0x ≥的情况即可，①当0x =时显然成立，②当0x >时()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，若210a -=解得1a =或1a =-，当1a =时显然成立，当1a =-时不等式即220x -+>，解得1x <，不符合题意；若210a -<，即11a -<<时，显然不成立，若210a ->，即1a >或1a <-时，函数()()221(1)2g x a x a x =-+-+的对称轴为()121x a -=+，开口向上，当1a >时()1021x a -=<+，又()020g =>，所以()()221(1)20g x a x a x =-+-+>()0,x ∈+∞恒成立，符合题意，当1a <-时()1021x a -=>+，则()()221810a a ∆=---<，解得1a >（舍去）或97a <-，综上可得：97a <-或1a ≥；【小问3详解】解：由（2）可得22(1)20f x mx --+=，即()222(1)120x x x mx ---+=，因为方程22(1)20f x mx --+=在()0,∞+上有4个不同的根，即222(1)120x x x mx ---+=在()0,∞+上有4个不同的根，令()1x m x x-=，()0,x ∈+∞，当1x >时，()111x m x x x-==-，所以()m x 在(1,)+∞上单调递增，则()()0,1m x ∈；当01x <<时，()111x m x x x-==-，所以()m x 在(0,1)上单调递减，则()(0,)m x ∈+∞．方程222(1)120x x x mx ---+=可变形为2211220x x m xx---+=，即22()()20m x m x m -+=，令()s m x =，则方程为2220s s m -+=，要使得原方程有4个不同的正根，则关于s 的方程2220s s m -+=在()0,1上有两个不等的根1s ，2s ，所以211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，故实数m 的取值范围为10,16⎛⎫⎪⎝⎭．21.已知，集合(){}12,,,,01,1,2,,n n i S X X x x x x i n ==== 或(2)n ≥，对于()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈ ，定义A 与B 之间的距离为：1122(,)n n d A B a b a b a b =-+-++- ．（1）对任意的22,A S B S ∈∈，请写出(,)d A B 可能的值（不必证明）；（2）设4P S ⊆，且P 中有4个元素，记P 中所有元素间的距离的平均值为()d P ，求)d P 的最大值；（3）对()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈ ，定义：()1122,,,n n A B a b a b a b -=--- ．求证：对任意的,,n A B C S ∈，有以下结论成立：①(,)(,)d A C B C d A B --=．②(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．【答案】（1）证明见解析（2）83，（3）证明见解析【分析】（1）（2）由新定义计算，（3）由新定义与反证法证明，【小问1详解】由题意得2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}S =，22,A S B S ∈∈，则(,)d A B 可能的值为0,1,2，【小问2详解】设{,,,}P A B C D =，4个元素中第1个位置共t 个1，4t -个0，当0=t 时，1111111111111=||||||||||||0s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当1t =时，1111111111111=||||||||||||3s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当2t =时，1111111111111=||||||||||||4s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当3t =时，1111111111111=||||||||||||3s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当4t =时，1111111111111=||||||||||||0s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，若要使()d P 最大，则2t =，同理得第2，3，4个位置各有2个1，2个0，()d P 的最大值为44863⨯=，【小问3详解】①由题意得,,{0,1}i i i a b c ∈，1,2,,i n = ，若0i c =，则||i i i a c a -=，||i i i b c b -=，||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-，若1i c =，则||1i i i a c a -=-，||1i i i b c b -=-，||||||||||i i i i i i i i a c b c b a a b ---=-=-，故(,)(,)d A C B C d A B --=，②由①可设(,)(,0)d A B d A B k =-=，(,)(,0)d B C d B C m =-=，(,)(,)d A C d A B C B n =--=，则||A B -中有k 个1，||C B -中有m 个1，设t 是使得||||1i i i i a b c b -=-=成立的i 的个数，则2n k m t =+-，假设,,k m n 均为奇数，则2k m t +-为偶数，矛盾，故假设不成立，故(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．。
2022届高三上册开学摸底考试数学题免费试卷(上海市交通大学附属中学)
2022届高三上册开学摸底考试数学题免费试卷（上海市交通大学附属中学）解答题（1）请根据对数函数来指出函数的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍増”的发明.对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明：；（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是,乙认为是.现有两种定义：①若实数满足，则称比接近；②若实数，且，满足，则称比接近；请你任选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.【答案】(1)见解析;(2) 见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据对数函数的性质即可描述函数的基本性质；（2）设，得，根据实数指数幂的运算，即可作出证明；（3）分别采用定义，利用指数幂和对数的运算，即可作出结论.试题解析：(1) ，基本性质为：定义域：；值域：；单调减区间和(判断奇偶性、周期性不予给分)（2）证明：设即证明完毕（3）采用定义（Ⅰ）:而所以甲同学的近似值更接近采用定义（Ⅱ）：甲的估值，乙的估值因为，所以乙同学的近似值更接近选择题参数方程（为参数）所表示的函数是（）A. 图像关于原点对称B. 图像关于直线对称C. 周期为的周期函数D. 周期为的周期函数【答案】C【解析】由题意得，此参数方程为摆线的参数方程，此时摆线的图象关于垂直，且周期为的周期函数，故选C.填空题函数的反函数是__________．【答案】【解析】由，则，因为，则，所以函数的反函数.解答题如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”.（1）证明：的左焦点是“型点”；（2）设直线与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”；（3）求证：内的点都不是“型点”.【答案】(1) ;(2)见解析;(3)见解析.【解析】试题分析：（1）由题意的左焦点为，过的直线与、交于，即可判定，得出直线方程；（2）联立方程组和，根据方程有解，即可求解的范围，从而判断原点不是“型点”；（3）以为边界的正方形区域记为，分点在的边界上，和是区域内的点，两种情况分类讨论，进而说明，联立方程组，得出，得出直线与曲线没有公共点，从而证得结论.试题解析：（1）的左焦点为，过的直线与交于，与交于，故的左焦点为“型点”，且直线可以为；（2）直线与有交点，则，若方程组有解，则必须；直线与有交点，则，若方程组有解，则必须故直线至多与曲线和中的一条有交点，即原点不是“型点”（3）以为边界的正方形区域记为.1）若点在的边界上，则该边所在直线与相切，与有公共部分，即边界上的点都是“型点”；2）设是区域内的点，即，假设是“型点”，则存在过点的直线与都有公共点.ⅰ)若直线与有公共点，直线的方程化为，假设，则，可知直线在之间，与无公共点，这与“直线与有公共点”矛盾，所以得到：与有公共点的直线的斜率满足.ⅱ)假设与也有公共点，则方程组有实数解.从方程组得，，由，因为所以，，即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”.证明完毕另解：令，因为，所以|，即.于是可知的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为是，因为，所以在区间上为增函数，在上为减函数.因为，，所以对任意，都有，即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”.证明完毕.解答题已知数列和的通项公式分别为，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列；将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，求数列的通项公式.【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】试题分析: （1 )设，可得，得即可得到；（2）由题意，得到数列的通项公式，等价变形得到函数的解析式即可得到结论；（3）令，由（2）得知：是等差数列，分四种情况讨论，即可得到的表达式.试题解析：（1 )设，则，即假设，等式左侧为偶数，右侧为奇数，矛盾，所以，（2）∴∴数列的通项公式等价形式:，（3）令，由（2）得知：是等差数列∴①当时，②当时，③当时，④当时，∴等价形式：选择题已知椭圆，直线，点，直线交椭圆于两点，则的值为() A. B. C. D.【答案】B【解析】设点的坐标分别为，由椭圆的定义可知，椭圆的右焦点，此时直线经过点，可得，，所以联立方程组，得，所以，代入上式可得，故选B.填空题数列满足，其前项和记为，若，那么__________．【答案】3【解析】因为，所以，即，所以，即，即数列是周期为6的周期数列，因为，所以，所以，所以，又因为，解得，，且所以填空题设满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，当经过可行域的点时，目标函数取得最小值，由，解得，则的最小值是.填空题已知是虚数单位，则的平方根是__________．【答案】【解析】设复数，则，即，解得，所以.填空题—个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以为半径的圆，则该几何体的体积是__________．【答案】【解析】根据几何体的三视图的规则可知，该几何体表示半径为的球，所以该几何体的体积为.解答题如图，在长方体中，.（1）证明直线平行于平面；（2）求直线到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意得，可证得，从而得到直线平行于平面；（2）直线到平面的距离即为点到平面的距离设为，根据等体积法即可求解直线到平面的距离.试题解析：（1）因为为长方体，故，故为平行四边形，故，显然不在平面上，于是直线平行于平面，（2）直线到平面的距离即为点到平面的距离设为考虑三棱锥的体积，以面为底面，可得而中，，故所以，，即直线到平面的距离为.选择题“要使函数成立，只要不在区间内就可以了”等价于（）A. 如果，则 B. 如果，则C. 如果，则D. 如果，则【答案】B【解析】设条件函数成立，条件：不在区间内，题中“要使函数成立，只要不在区间内就可以了”这句话反映了为的必要条件，是的充分条件，即，即“若，则”，也就是“如果，则”故选C.填空题已知两正实数，满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】由题意得令，则，所以，所以，所以，当时，.选择题关于的二元一次方程组，其中行列式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】关于的二元一次方程组的系数行列式：，故选C.填空题函数绕原点逆时针旋转，每旋转得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是__________．【答案】【解析】由题意得，函数绕原点逆时针旋转，每旋转得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线，则不能构成函数的的共有，所以不能构成函数的概率为.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上、下底面上其余十六个点，则的不同值的个数为__________．【答案】2【解析】由题意得，,则,因为，所以，所以的不同的值的个数为.填空题若集合，集合，则__________．【答案】【解析】由题意得，或，所以.填空题若是展开式中项的系数，则．【答案】【解析】试题分析：由题意，，∴，∴．填空题已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】根据题意，函数的图象如图，令，其图象与x轴相交于点，在区间上我减函数，在上为增函数，若不等式在上恒成立，则函数的图象在上的上方或相交，则必有，即，可得.填空题设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则__________．【答案】【解析】由的最小正周期大于，得，又，得，所以，则，所以，由，所以，取，得，所以.解答题的内角的对边分别为a，b，c，已知的面积为（1）求;（2）若，，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由三角形的面积公式和正弦定理进行求解；（2）利用正弦定理和余弦定理求其边长.试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.。
上海市交通大学附属中学2022届高三上学期9月月考数学试题Word版含解析
【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.
三、解答题
17.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1 底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
14.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1
【答案】A
【解析】
【答案】
【解析】
【分析】
根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】每一“爻组”为“阳爻”的概率为 ， 次独立重复试验，“阳爻”恰出现 次的概率为 .
故答案为 .
【点睛】本小题主要考查独立重复试验概率计算公式，属于基础题.
8.设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点），记直线 与直线 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则三个角 、 、 中最小的角是______.
①-②并化简得 ， ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， ④.
③+④并化简得 .
故答案为 .
【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
11.如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .若 ，则 的值是_____.
【答案】 .
【解析】
【分析】
上海市交通大学附属中学2022届高三上学期10月月考数学试卷及答案
绝密★启用前 上海市交通大学附属中学2022届高三上学期10月月考数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设0x >，则“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为A ．17πB ．22πC ．68πD ．88π3．设O 为坐标原点，第一象限内的点(),M x y 的坐标满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩， (),ON a b =（0a >,0b >）.若OM ON ⋅的最大值为40，则51a b+的最小值为A ．256 B ．94C ．1D ．44．已知实数λ同时满足：（1）(1)AD AB AC λλ=+-，其中D 是ABC ∆边BC 延长线上一点；（2）关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是（ ） A．1λ<-或2λ=- B ．4<-λC ．2λ=-D ．4<-λ或1λ=-二、填空题5．已知集合{}11A x x =-<<，{}1,0,2B =-，则A B =___________. 6．计算：20lim313n n n →∞+=+___________.7．若复数z 满足3iiz +=（其中i 是虚数单位），z 为z 的共轭复数，则z =___________. 8．若线性方程组的增广矩阵是122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，其解为11x y =⎧⎨=⎩，则12c c +=________ 9．已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x =________（用反正弦表示） 10．在()()21511....(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是________（用数字作答） 11．若双曲线22213x y a -=的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为_________．12．已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩，不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则a 的取值范围是___________.13．已知点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（12λ≤≤，01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为__________.14．已知等差数列{}n a 中公差10,1d a ≠=，若125,,a a a 成等比数列，且1212,,,,,,nk k k a a a a a ⋯⋯成等比数列，若对任意n *∈N ，恒有()2121n mn m a a m k k *≤∈--N ，则m =_________． 15．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是____．16．对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列5个结论：①任取1x 、[)20,x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤； ②函数()y f x =在区间[]4,5上单调递增；③()()()22f x kf x k k +=+∈N ，对一切[)0,x ∈+∞恒成立；④函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；⑤若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同实根1x 、2x ，则123x x +=. 则其中所有正确结论的序号是___________.（请写出全部正确结论的序号） 三、解答题17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB AD A A ===.（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.18．设函数()3sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，且以23π为最小正周期．（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．19．设n S 、n T 分别是数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，已知对于任意*n ∈N ，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，且525T =，1019b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设()1n nn a b c n n =+，求数列{}n c 的前n 项和n R ，并求n R 的最小值.20．如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，A B 、为椭圆的左右顶点，焦点(),0F c 到短轴端点的距离为2，且c a =，P Q 、为椭圆E 上异于A B 、的两点，直线BQ 的斜率等于直线AP 斜率的2倍.（1）求直线BP 与直线BQ 的斜率乘积值； （2）求证：直线PQ 过定点，并求出该定点； （3）求三角形APQ 的面积S 的最大值.21．已知a ∈R ，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若()23f =-，求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围.（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.参考答案 1．A 解：试题分析：由题意得，min 2()221a a x x a x x +≥⇔+≥⇔⇔≥，故“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1．充分必要条件；2．恒成立问题． 2．A 解：从题设中提供的三视图可以看出：该几何体所是底面是边长为2的正方形，高是3的正四棱柱，如图，外接球的球心在上下底面的中心的连线的中点上，即球心距为13322d =⨯=，底面外接圆的半径为12r =⨯222917244R d r =+=+=，其表面积21744174S R πππ==⨯=，应选答案A ． 3．B 解：OM ON ax by ⋅=+，∴设z=ax+by ，则z 的最大值为40．作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=ax+by ，得a z y x b b =-+，由图象可知当直线a z y x b b =-+，经过点A 时，直线a z y x b b=-+的截距最大，此时z 最大（∵b ＞0），由26020x y x y ＝＝--⎧⎨-+⎩，解得810x y ＝＝⎧⎨⎩，即A （8，10），代入z=ax+by ，得40=8a+10b ，即154ab +＝，5151155519)(12544454424a b b a a b a b a b ∴+=++=+++≥++⨯（）＝＝， 当且仅当545b a a b ＝，即4a 2=25b 2，2a=5b 时取等号，∴5a+1b 的最小值为94， 本题选择B 选项.4．D首先根据（1）确定0λ<，再结合换元法把（2）转化为二次方程在区间内有唯一解的问题，即可得解． 解：(1)AD AB AC λλ=+-()AC AB AC λ=+-AC CB λ=+，又AD AC CD =+，∴CB CD λ=，D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，0λ∴<，关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0，2)π上恰有两解， 令sin t x =，由正弦函数的图象可知， 方程22(1)10t t λ-++=在(1,1)-上有唯一解， [2(1)1][2(1)1]0λλ∴-+++++<或01114λ∆=⎧⎪⎨+-<<⎪⎩，解得4<-λ或2λ>（舍)或1λ=--1λ=-+，∴4<-λ或1λ=--故选：D ． 【点睛】此题考查向量变换、换元法、二次方程的根等，考查逻辑推理能力和运算求解能力，综合性较强，难度较大． 5．{}0##利用交集的定义，即得解 解：集合{}11A x x =-<<，{}1,0,2B =-， 由交集定义，{}0A B ⋂=， 故答案为：{}0 6．13利用常用数列的极限可求得结果. 解：201201lim lim 1331333n n n n n n→∞→∞++==++， 故答案为：13.7利用复数的除法化简复数z ，可得出z ，再利用复数的模长公式可求得结果. 解：()223i i 3i 3i i 3i 113i i i i i 1z +++-=====-⋅-，所以，13i z =+，因此，z ==8．6本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 解：解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 9．2arcsin 5π+解：由于2arcsin 5表示[]22ππ-，上正弦值等于25的一个锐角，由2sin 5x =-3()2x ππ<<，则2arcsin 5x π=+，故答案为2arcsin 5π+.点睛：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点是表示出符合条件的角. 10．560由题意可得x 2项的系数是222223415C C C C ++++，再利用二项式系数的性质化简可得结果．解：在（1+x ）+（1+x ）2+…+（1+x ）15的展开式中，x 2项的系数是222232341516C C C C C ++++==560，故答案为：560． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题． 11．2 解：22213x y a -=＋ay ＝0，被圆(x －2)2＋y 2＝4所截弦长为2，=，a ＝1.所以双曲线的实轴长为2.12．(),2-∞-作出分段函数图象，可知()f x 在R 上单调递减，不等式()()2f x a f a x +>-可转化为2x a a x +<-在[],1x a a ∈+上恒成立，即2a x >，转化为max (2)a x >即得解 解：作出分段函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩的图象如图，要使不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立， 则2x a a x +<-在[],1x a a ∈+上恒成立， 即2a x >在[],1x a a ∈+上恒成立， ∴()21a a >+，解得：2a <-. 故答案为：(),2-∞- 13．3()2,1AB =, ()1,2AC =，()()()2,11,22,2AP AB AC λμλμλμλμ=+=+=++，设 (),P x y ，则()1,1AP x y =-+，所以 12,{12,x y λμλμ-=++=+即23,3{23.3y x x y μλ-+=--=因为12λ≤≤，01μ≤≤，所以23013y x -+≤≤且23123x y --≤≤，即画出平面区域，如下图所示，||CD =E 到直线230x y --=BDCE 的面积为3.【考点定位】本题考查两条直线的位置关系、考查了点到直线的距离、平面向量的线性运算、坐标运算，线性规划问题.难度较大. 14．1或2 解：设等差数列的公差为d ，由题意可得：2215a a a =，即：()()21114a d a a d +=⨯+， 结合11a =整理可得：()20d d -=，由0d ≠可得：2d =，数列的通项公式：()1121n a a n d n =+-=-，则：121,3a a ==，即数列1212,,,,,,nk k k a a a a a ⋯⋯是首项为1公比为3的等比数列，则：1321nn k n a k +==-，据此可得：121213n n na n k +-=-， 结合数列21n n a k ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的单调性可得1m =或2. 15．(,6][12,)-∞⋃+∞由题意可知，进行两次操作后，得出3a 的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解. 解：由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当3112(26)6418a a a =--=-，其出现的概率为211()24=，当3111(26)632a a a =-+=+，其出现的概率为211()24=，当1312(6)662a a a =+-=+，其出现的概率为211()24=， 当1131669224a a a ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭其出现的概率为211()24=，∵甲获胜的概率为34，即31a a >的概率为34，则满足111111114184189944a a a a a a a a -≤->⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+≤⎪⎪⎩⎩或整理得11612a a ≤≥或.【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，明确题意，得出3a 的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 16．①④⑤求出函数()f x 的最大值和最小值，可判断①的正误；求出函数()f x 在区间[]4,5上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；数形结合可判断④的正误；利用正弦型函数的对称性可判断⑤的正误. 解：()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图象如图所示：①当[]0,2x ∈时，()[]sin 1,1f x x π=∈-， 当[]2,4x ∈时，()()()111112sin 2sin ,22222f x f x x x ππ⎡⎤=-=-=∈-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 当[]4,6x ∈时，()()()111114sin 4sin ,44444f x f x x x ππ⎡⎤=-=-=∈-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 以此类推，当()()2,21x k k k N ∈+∈⎡⎤⎣⎦时，()()()111112sin 2sin ,22222k k k k k f x f x k x k x ππ⎡⎤=-=-=∈-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 所以，函数()f x 的最大值为1，最小值为1-，对任意的1x 、[)20,x ∈+∞，()()()()12max min 2f x f x f x f x -≤-=，故①正确； ②当[]4,5x ∈时，()()()1114sin 4sin 444f x f x x x ππ=-=-=⎡⎤⎣⎦， 因为45x πππ≤≤，所以，函数()f x 在[]4,5上不单调，故②错误；③111112244868822222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+≠+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故不正确，故③错误；④如图所示，函数()()ln 1y f x x =--有3个零点，故④正确， ⑤当12x ≤≤时，函数()f x 关于直线32x =对称， 若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同实根1x 、2x ，则12322x x +=， 则123x x +=成立，故⑤正确， 故答案为：①④⑤.17．（1）见解析；（2）23. 解： 试（1）因为1111ABCD A B C D -为长方体， 故1111AB //C D ,AB C D =，故11ABC D 为平行四边形，故11BC //AD ， 显然1B C 不在平面1D AC 内， 所以直线1BC 平行于平面1D AC ；（2）直线1BC 到平面1D AC 的距离即为点B 到平面1D AC 的距离，设为h 考虑三棱锥1ABCD 的体积，以面ABC 为底面，可得111V 121323⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭而1ΔAD C 中，11AC D C ==1ΔAD C 3S 2=所以，1312V h=h 3233=⨯⨯⇒=，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为23.18．（1）225,,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3,2⎡--⎢⎣⎦.（1）根据()f x 的最小正周期求解出ω的值，再采用整体替换的方法结合正弦函数的单调递减区间的公式求解出()f x 的单调递减区间；（2）先求解出t x ωϕ=+的范围，然后根据3sin y t =的单调性求解出()f x 的最值，从而()f x 的值域可求. 解： （1）因为2T πω=，所以22323T ππωπ===，所以()3sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令3232,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，所以225,312312k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为：225,,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为()3sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以令573,444t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，又因为3sin y t =在5342ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在37,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 所以()min 33sin 32f x π==-，此时512x π=，又57sinsin 44ππ==()max 53sin 4f x π==，此时3x π=或2π，所以()f x 的值域为：3,⎡-⎢⎣⎦.【点睛】思路点睛：求解形如()sin y A ωx φ=+的函数在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下： （1）先确定t x ωϕ=+这个整体的范围；（2）分析sin y A t =在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的x 的取值. 19．（1）3nn a =，21n b n =-；（2）1331n n R n +=-+，最小值为32. （1）推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，设数列{}n b 的公差为d ，根据已知条件求出等差数列{}n b 的首项和公差，进而可求得等差数列{}n b 的通项公式；（2）计算得出1331n nn c n n+=-+，利用裂项求和法可求得n R ，结合数列的单调性可求得数列{}n R 的最小值. 解：（1）由323n n a S =+，当1n =时，11323a a =+，解得13a =； 当2n ≥时，由323n n a S =+可得11323n n a S --=+， 上述两式相减得1332n n n a a a --=，即13n n a a -=，所以，数列{}n a 是等比数列，公比为3，因此1333n nn a -=⨯=.设数列{}n b 的公差为d ，由题意可得5110151025919T b d b b d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11b =，2d =，因此()1121n b b n d n =+-=-；（2）由（1）可得：()()()()()1313213331111n n n n n n n n n n a b c n n n n n n n n +-+⋅⎡⎤-⋅⎣⎦====-++++， 数列{}n c 的前n 项和2231133333333122311n n n n R n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++⋅⋅⋅+-+=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为0n c >，所以数列{}n R 单调递增. 所以1n =时，n R 取最小值，故最小值为32. 20．（1）1-；（2）证明见解析，定点为2,03⎛⎫⎪⎝⎭；（3）329（1）由题意可得：a ＝2，c a =a 2＝b 2+c 2，联立解出可得椭圆E 的方程为：2242x y +=1．设P 点坐标（x ，y ），y 212=（4﹣x 2），则A （﹣2，0），B （2，0），利用斜率计算公式可得k AP •k BP 22142y x ==--，由k BQ ＝2k AP ，可得k BP •k BQ ．（2）当直线PQ 的斜率存在时，设l PQ ：y ＝kx+t 与x 轴的交点为M ，与椭圆方程联立得：（2k 2+1）x 2+4ktx+2t 2﹣4＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由k BP •k BQ ＝﹣1，即BP BQ ⋅=0，利用数量积运算性质、根与系数的关系可得结论．（3）由（2）可知： t 23k =-．且S ＝S△APQ＝S△APM+S△AQM12AM =|y 1﹣y 2|=，利用根与系数的关系、函数的单调性可得S 329＜．当直线PQ 的斜率不存在时，可得|PQ|83=，可得S ．解：（1）解：由题意可得：a ＝2，c a =，a 2＝b 2+c 2， 联立解得a ＝2，b ＝c = ∴椭圆E 的方程为：2242x y +=1． 设P 点坐标（x ，y ），y 212=（4﹣x 2），则A （﹣2，0），B （2，0），则 k AP 2y x =+，k BP 2y x =-， 则k AP •k BP 22142y x ==--， 由k BQ ＝2k AP ，故k BP •k BQ ＝﹣1．∴直线BP 与直线BQ 的斜率乘积为﹣1为定值．（2）证明：当直线PQ 的斜率存在时，设l PQ ：y ＝kx+t 与x 轴的交点为M ，联立22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 整理得：（2k 2+1）x 2+4ktx+2t 2﹣4＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 22421kt k =-+，x 1x 2222421t k -=+，由k BP •k BQ ＝﹣1，即BP BQ ⋅=0，则y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4＝0， 得（k 2+1）x 1x 2+（kt ﹣2）（x 1+x 2）+4+t 2＝0，4k 2+8kt+3t 2＝0，得t ＝﹣2k 或t 23=-k ．y ＝k （x ﹣2）或y ＝k （x 23-），所以过定点（2，0）或（23，0）， A （2，0）为椭圆的右顶点，舍去， 当直线PQ 的斜率不存在时，当23x =时易得2424,,,3333P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足BP BQ ⋅=0 综上直线PQ 过定点M （23，0）． （3）解：由（2）可知：当直线PQ 的斜率存在时，t 23k =-S ＝S △APQ ＝S △APM +S △AQM 12AM =|y 1﹣y 2|==，令2121k =+m ∈（0，1），则S163299==＜，当直线PQ 的斜率不存在时，由（2）|PQ|83=，可得S 188322339=⨯⨯=．综上可得：当PQ ⊥x 轴时，三角形APQ 的面积S 取得最大值329． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、数量积运算性质、二次函数的性质、直线过定点问题、三角形面积计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（1）38a =-；（2）12a <≤或3a =或4a =；（3）23a ≥.（1）化简()23f =-即得解；（2）化简得()()1410x a x +--=⎡⎤⎣⎦，再讨论解集中恰好有一个元素，得到a 的取值范围； （3）由题得()()11f t f t -+≤，即()11ta t t -≥+，设1t r -=，再对r 分类讨论，结合基本不等式得解. 解：解：（1）()23f =-，∴2211log 3log 28a ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，∴1128a +=，解得38a =-（2）由()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦得()221log log 4250a a x a x ⎛⎫⎡⎤+--+-= ⎪⎣⎦⎝⎭. 即()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 即()14250a a x a x+=-+->，① 则()()24510a x a x -+--=，即()()1410x a x +--=⎡⎤⎣⎦，②，当4a =时，方程②的解为1x =-，代入①，成立； 当3a =时，方程②的解为1x =-，代入①，成立； 当4a ≠且3a ≠时，方程②的解为1x =-或14x a =-， 若1x =-是方程①的解，则110a a -+=->，即1a >， 若14x a =-是方程①的解，则4240a a a -+=->，即2a >， 则要使方程①有且仅有一个解，则12a <≤.综上，若方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是12a <≤或3a =或4a =.（3）函数()f x 在区间[],1t t +上单调递减， 由题意得()()11f t f t -+≤，即2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭， 即1121a a t t ⎛⎫+≤+ ⎪+⎝⎭，即()12111t a t t t t -≥-=++ 设1t r -=，则102r ≤≤，()()()2111232t r r t t r r r r -==+---+，当0r =时，2032rr r =-+，当102r <≤时，212323r r r r r=-++-， ∵2y r r=+在(上递减， ∴219422r r +≥+=，∴211229323332r r r r r =≤=-++--， ∴实数a 的取值范围是23a ≥.。
2022届上海市交通大学附属中学高三上学期开学摸底考数学试题(word版)
①若 为锐角三角形，且满足 ，则
②在 的二项展开式中， 项的系数为
③函数 与函数 关于直线 对称
④设等差数列 前n项和为 ，若 ，则
⑤函数 的最小值为2
11.已知有限集 ，如果A中元素 满足： ，就称A为n元“均衡集”．若 是二元“均衡集”，则 的取值范围是__．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， .
（1）∵函数y＝f（x）满足f（3x）＝3f（x），
又∵当x∈[1，3]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，
∴当x∈[31，32]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，
当x∈[32，33]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，…
当x∈[3n﹣1，3n]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，
此时函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S＝S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝ ；
（2）当 时， ， ，
由 可得，
当 时， 时取 ，
当 时， 时取 ，
当 ， 时取 ，
经计算可知 ，且 ，
所以当 时，函数 的最大值为：
【答案】（1） ；（2）不存在，理由见解析.
解：（1）数列 为“ 数列”，则 ，
所以 ，两式相减得： ，又 时， ，所以 ，
故 对任意的 恒成立，即 ，故数列 为等比数列，其通项公式为 ．
（2）假设存在这样的数列 ，则有 ，故有 ，
两式相减得， ，则又 ．
同理，由 是“ 数列”可得， ，
所以 对任意的 恒成立，
（1）设 ，将y表示成 的函数关系式，并指出 的范围；
2022-2023学年上海交通大学附属中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年上海交通大学附属中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】①②③④均可举出反例.【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；ABB A与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；②如图2，满足两侧面11③如图3，四边形11ACC A 为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误． 故选：A2．已知z 均为复数，则下列命题不正确的是（ ） A ．若z z =则z 为实数B ．若20z <，则z 为纯虚数C ．若|1||1|z z +=-，则z 为纯虚数D ．若31z =，则2z z =【答案】C【分析】设复数(,)z a bi a b R =+∈，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到答案.【详解】由题意，设复数(,)z a bi a b R =+∈，对于A 中，由z z =，即a bi a bi +=-，解得0b =，所以复数z 为实数，所以A 正确；对于B 中，复数2222z a b abi =-+，因为20z <，可得00a b =≠，，所以复数z 为纯虚数，所以是正确的；对于C 中，当0z =时，满足|1||1|z z +=-，所以复数z 不一定为纯虚数，所以不正确； 对于D 中，由31z =，可得310z -=，即2(1)(1)0z z z -++=，解得1z =或132z =-，所以2z z =，所以是正确的. 故选C.【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．如果函数()f x 的定义域为[,]a b ，且值域为[(),()]f a f b ，则称()f x 为“Ω函数”.已知函数25,01,()4,14x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则m 的取值范围是（ ）A ．[4,9]B ．[5,9]C ．[4,)+∞D ．[5,)+∞【答案】B【分析】根据函数的新定义得到()()min f x f a =且()()max f x f b =，结合函数()f x 和二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为[,]a b ，且值域为[(),()]f a f b ， 即函数()f x 的最小值()()min f x f a =，最大值为()()max f x f b =，又由函数25,01()4,14x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，当01x ≤≤时，可得055x ≤≤，要是函数()f x 满足新定义，则满足()520(4)5f f ⎧≥≥⎨≥⎩，即94{5m m ≥≥≥，所以59m ≤≤，所以实数m 的取值范围是[5,9]. 故选：B.4．一个棱长为1的正方体容器ABCD EFGH -，在八个顶点处分别有一个出口（出口大小忽略不计）.现从A 点放入一个粒子.粒子沿着直线运动，碰到容器壁会进行反射（遵循反射定律），遇到出口就会飞出容器.已知粒子在飞出容器前与容器壁产生了三次碰撞（粒子未与棱产生碰撞），则粒子在容器内的飞行距离有（ ）种不同的值 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用正方体的对称性，根据粒子碰撞次数可分别从{,,}C H F 、{,,}B E D 射出，进而判断各情况粒子在容器内的飞行距离，即可得结果. 【详解】根据正方体的对称性，如下图示，粒子从A 射出在EG 、AC 各碰撞2次、1次后，从C 点射出；粒子从A 射出在BG 、AH 各碰撞2次、1次后，从H 点射出； 粒子从A 射出在DG 、AF 各碰撞2次、1次后，从F 点射出； 以上三种情况粒子在容器内的飞行距离相同为32；粒子从A 沿平面ABCD （平面ABFE ）射出在平面边缘靠近DC （EF ）、AB 各碰撞2次、1次后，从B 点射出；粒子从A 沿平面AEHD （平面ABFE ）射出在平面边缘靠近DH （BF ）、AE 各碰撞2次、1次后，从E 点射出；粒子从A 沿平面ABCD （平面AEHD ）射出在平面边缘靠近BC （EH ）、AD 各碰撞2次、1次后，从D 点射出；17. 综上，粒子在容器内的飞行距离共有2种不同值. 故选：B二、填空题5．已知球的表面积为π，则其体积为______. 【答案】6π【分析】由球的表面积公式与体积公式求解 【详解】由题意得24r ππ=，12r =，则3436V r ππ== 故答案为：6π6．若圆锥高为3，且母线与底面所成角为4arccos 5，则该圆锥的侧面积为______.【答案】20π【分析】由题意求出底面半径，进而求母线长、底面周长，应用扇形面积公式求圆锥侧面积.【详解】若底面半径为r45=，可得4r =，所以，底面周长为2π8πr =5，故圆锥侧面积为18π520π2⨯⨯=.故答案为：20π7．若{},A B a b ⋂=，{},,,A B a b c d ⋃=，则符合条件的不同有序集合对(),A B 共有______对. 【答案】4【分析】根据给定条件，列举出集合A 与B 的可能结果即可作答.【详解】因{},A B a b ⋂=，{},,,A B a b c d ⋃=，则有：{,},{,,,}A a b B a b c d ==； {,,},{,,}A a b c B a b d ==；{,,},{,,}A a b d B a b c ==；{,,,},{,}A a b c d B a b ==，所以符合条件的不同有序集合对(),A B 共有4对. 故答案为：48．已知A 、B 、C 是ABC 的内角，若()()1cos i sin cos i sin 2A A B B +⋅+⋅=，其中i 为虚数单位，则C 等于______. 【答案】2π3##120° 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等，得到方程组，再根据两角和的正弦、余弦公式计算可得. 【详解】由()()cos i sin cos i sin cos cos sin sin i(sin cos cos sin )A AB B A B A B A B A B +⋅+⋅=-++cos()isin()A B A B =+++12=+，所以()1cos 2A B +=，()sin A B +=，因为()0,πA B +∈，所以π3A B += 所以()2ππ3C A B =-+=. 故答案为：2π39．正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 【答案】12【分析】正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况.【详解】从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况， 所以，所有共面的情况有2438=⨯种，而每条棱均重复计数一次， 综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有24122=种. 故答案为：1210．已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 的最短路线的长为___________. 【答案】10【分析】将三棱柱的侧面展开两次，结合矩形的对角线长，进而求得最短距离，得到答案. 【详解】将正三棱柱111ABC A B C 的侧面展开两次，再拼接到一起， 其侧面展开图，如图所示的矩形，连接1AA ，因为正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为1，高为8，可得矩形的底边长为6，高为8， 所以2216810AA =+=. 故答案为：10.11．平行六面体1111ABCD A B C D -，11BAD BAA A AD θ∠=∠=∠=，11AB AD AA ===，若12AC =，则cos θ=______.【答案】16【分析】由几何体中线段对应向量的数量关系有11AC AD AA AB =++，应用向量数量积的运算律、定义列方程即可求cos θ.【详解】如上图知：11AC AD AA AB =++，所以22221111222AC AD AA AB AD AA AD AB AD AA =+++⋅+⋅+⋅36cos 4θ=+=， 故1cos 6θ=. 故答案为：1612．如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______【答案】124【详解】试题分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4， 又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍． 即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=13S △ADE•h/S △ABC•H ＝124=1：24【解析】棱柱、棱锥、棱台的体积13．若对于定义在R 上的函数()y f x =，当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得()()f x f x -=，则称()y f x =为类偶函数，若函数()324y x a x a =+--为类偶函数，则实数a 的取值范围为______.【答案】()2,2-【分析】根据已知条件及类偶函数的定义，将问题转化为方程有解问题，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由()()f x f x -=，得()()323244x a x a x a x a ----=+--，即()3240x a x +-=， 根据类偶函数的定义，可知方程()3240x a x +-=存在有限个非零的实数解， 故()224a x -=-存在有限个非零的实数解，则240a -<，解得22a -<<，所以实数a 的取值范围为()2,2-. 故答案为：()2,2-.14．如图，函数()()3sin 0,02πy x ωϕωϕ=+>≤<图像与y 轴交于点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，与x 轴交于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，则ωϕ+=______.【答案】2π23+【分析】由题意得2π3ϕ=或π3ϕ=，且2ππ3k ωϕ+=，Z k ∈，结合图象有32π1432T T >>求ω范围，即可确定参数值.【详解】由题设3322πsin()03ϕωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且0,02πωϕ>≤<，所以2π3ϕ=或π3ϕ=，且2ππ3k ωϕ+=，Z k ∈，当2π3ϕ=时，2π2ππ33k ω=-，Z k ∈，故312kω=-，Z k ∈， 当π3ϕ=时，2πππ33k ω=-，Z k ∈，故312k ω-=，Z k ∈，由图知：33π2π1π4232T T ωω=>>=，可得3924ω<<，综上，2k =时32122ω⨯=-=，此时2π3ϕ=，故ωϕ+=2π23+. 故答案为：2π23+15．用一个平面将圆柱切割成如图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为 1.52cos y x =+.则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是______.【答案】63【分析】根据已知画出 1.52cos y x =+在[π,π]-上的图象，直观想象侧面展开图与几何体的关系确定截面最高、低高度差及底面半径，即可求二面角正弦值.【详解】由 1.52y x =在一个周期[π,π]-上图象如上图，其最大值与最小值相差2222 底面周长为2π，即底面半径为1，故直径为2， 22226(22)2=+. 616．定义在R 上的函数()y f x =、()y g x =，且满足()()()()1212f x f x g x g x -≥-对任意12,R x x ∈恒成立，请判断以下命题：（1）若()y f x =是周期函数，则函数()y g x =也是周期函数； （2）若()y f x =是偶函数，则函数()y g x =也是偶函数；（3）若()y g x =是R 上的严格增函数，则函数()y f x =是R 上的严格增函数或者严格减函数； （4）若()y f x =是R 上的增函数，则函数()()y f x g x =+与函数()()y f x g x =-也都是R 上的增函数.其中真命题的序号是______. 【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）令1x x T =+，2x x =代入条件即可判断；（2）令1x x =-，2x x =代入条件即可判断；（3）（4）令1x >2x ，根据函数的单调性定义判断正误即可.【详解】（1）若()y f x =是周期为T 的函数，则()()f x f x T =+， 令1x x T =+，2x x =，故|()()|0f x T f x +-=|()()|g x T g x ≥+-， 所以|()()|0g x T g x +-=，即()()g x T g x +=； （2）若()y f x =是偶函数，则()()f x f x -=，令1x x =-，2x x =，故|()()|0f x f x --=|()()|g x g x ≥--， 所以|()()|0g x g x --=，即()()g x g x -=；（3）若()y g x =是R 上为增函数，令1x >2x ，则1212()()()()0f x f x g x g x -≥->， 所以1212()()()()0f x f x g x g x -≥->，或1221()()()()0f x f x g x g x -≤-<，即12()()f x f x >或12()()f x f x <，故()y f x =是R 上的严格增函数或者严格减函数； （4）()y f x =是R 上的增函数，令1x >2x ，则1212()()|()()|f x f x g x g x -≥-， 所以121221()()()()()()f x f x g x g x f x f x -≥-≥-，即1122()()()()f x g x f x g x -≥-，故()()y f x g x =-为增函数或为常数函数； 1122()()()()f x g x f x g x +≥+，故()()y f x g x =+为增函数或为常数函数；综上，（1）（2）（3）正确，（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3）三、解答题17．已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为3cm ，高为3cm ，M 、N 、P 分别是1AA 、AC 、11B C 的中点.(1)用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）； (2)在（1）中作出过M 、N 、P 三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）. 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析.【分析】（1）利用斜二测法画出棱柱底面111A B C 的直观图，再根据斜二测画图的原则确定,,A B C 三点，即可得直观图；（2）应用平面的基本性质画出截面即可.【详解】（1）①平面直角坐标系中作边长为3cm 的等边三角形111A B C ，原点O 为11A B 中点，如下图，②在线段1OC 上找到中点Q ，过O 作与x 轴成45°的y '轴，并在y '轴找点1C 使1OC OQ =，此时直观图底面111A B C 确定；③过111,,A B C 向上作与x 轴垂直的射线，并在各射线上找一点,,A B C 使1113A A B B C C ===cm ，连接,,AB BC BA ，即得正三棱柱的直观图.（2）①过MN 作直线分别交射线111,C A C C 于,E D ，连接,EP DP ，分别交11,A B BC 于,G F ，②连接,MG NF ，则截面FNMGP 即为所求.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，2AD =.点M 为BC 的中点.(1)证明：平面PAM ⊥平面PBD ； (2)求点B 到平面PAM 的距离. 【答案】(1)证明见解析； 7.【分析】（1）由线面垂直性质得PD AM ⊥，根据已知可证BD AM ⊥，再应用线面、面面垂直的判定证结论；（2）AM 与BD 交于点E ，连接PE ，过点B 作BH 垂直于PE 交其于点H ，由面面垂直的性质有BH ⊥面P AM ，即BH 的长为B 到面P AM 的距离，等面积法求长度即可. 【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，所以PD AM ⊥.底面为矩形，且1PD DC ==，2AD =，则tan 2cot AD ABABD BAM AB BM∠====∠， 所以Rt △ABD Rt △BMA ，易知BD AM ⊥.又PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂面PBD ，所以AM ⊥平面PBD ，而AM ⊂平面PAM ， 所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）设AM 与BD 交于点E ，连接PE ，过点B 作BH 垂直于PE 交其于点H ，由①知，面PAM ⊥面PBD ，面PAM ⋂面PBD PE =，BH PE ⊥且BH ⊂面PBD ， 因此BH ⊥面P AM ，线段BH 的长为点B 到平面P AM 的距离.由1122PEB S BE PD PE BH =⋅⋅=⋅⋅△，解得7BH =因此点B 到平面P AM 719．已知数列{}n a 和{}n b 有11a =-，()1122n n n a a n a --=≥-，而数列{}n b 的前n 项和2322n n n B =+.(1)证明数列{}n c 为等比数列，其中1nn n a c a =-；(2)如果n n n d b c =⋅，试证明数列{}n d 的单调性. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）根据给定的递推关系，结合等比数列定义计算判断作答.（2）由（1）求出数列{}n c 的通项，再求出数列{}n b 的通项，利用作差法比较1,n n d d +大小作答. 【详解】（1）数列{}n a 中，当2n ≥时，111222122n n n n a a a a ----+==-+--，因11a =-，有210a -<<，3(1,0)a ∈-，由此可得(1,0),2n a n ∈-≥，而1nn n a c a =-，于是得111111121111222112n nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a c a a a a a a a a a c a a a a a a a +++++-----==⋅=⋅=⋅=-----，而111112a c a ==-， 所以数列{}n c 为以12为首项，以12为公比的等比数列. （2）由（1）知，1111()()222n nn c -=⋅=，当2n ≥时，2213(1)3(1)12222n n n n n n n b B B n ---=-+--=+=，112b B ==满足上式，因此1n b n =+，则12n n n d +=，有111210222n n n n n n n n d d +++++--=-=<，即1n n d d +<，所以数列{}n d 为严格递减数列.20．已知定义域为()0,∞+的函数()y f x =满足：①对()0,x ∈+∞，恒有()()22f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-. (1)求18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求出当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈时的函数解析式；(3)求出方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和. 【答案】(1)0；(2)()12n f x x +=-，(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈；(3)5123.【分析】（1）根据给定的函数关系，依次计算即可作答. （2）根据给定的关系，分1x >和01x <≤求解作答. （3）由（2）求出方程()12f x x =在(12,2n n +⎤⎦上的根，再探讨n 的取值，利用无穷等比数列求和公式计算作答.【详解】（1）依题意，()0,x ∈+∞，有()()122f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-， 2341111111()()()(1)(2)08242222f f f f f =====. （2）当1x >时，(12,2k k x +⎤∈⎦，N k ∈，(]1,22kx∈， 则()2122222222222k k k k kx x x x f x f f f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；当1x ≤时，(12,2k k x --+⎤∈⎦，N k ∈，1k ≥，(]21,2kx ∈，则()()()()()212112222222222k k k k k f x f x f x f x x x ---+===⋅⋅⋅==-=-， 综上，对任意(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈，()12n f x x +=-. （3）由（2）知，当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈，()1122n f x x x +=-=，解得(1124222,233n n n n x ++⎤=⋅=⋅∈⎦， 因此在每一区间(12,2n n +⎤⎦，Z n ∈段上方程都有唯一解，由421003n⋅≤解得2log 757n ≤<，于是得6n ≤， 从而方程所有不大于100的解从大到小分别为：651244442,2,,2,2,3333--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，形成一个以12为公比的无穷等比数列，则其所有项的和为69422512313312⋅==-， 所以方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和5123.【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键.21．如果实数[],,02πx y ∈，且满足()cos cos cos x y x y +=+，则称x 、y 为“余弦相关”的. (1)若π2x =，请求出所有与之“余弦相关”的实数y ； (2)若两数x 、y 为“余弦相关”的，求证：3ππx y ≤+≤；(3)若不相等的两数x 、y 为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数[]02,πz ∈，使得x 、z 为“余弦相关”的，y 、z 也为“余弦相关”的. 【答案】(1)34πy =或7π4；(2)证明见解析； (3)证明见解析.【分析】（1）将π2x =代入已知条件求得tan 1y =-，即可得实数y ；（2）先应用反证法证明πx y +≥，再根据定义证2πx -，2πy -也是余弦相关的，结合前一结论证3πx y +≤，即可；（3）先证存在性：记3πz x y =--，易得()cos cos x z y +=-、cos cos cos x z y +=-，即得x ，z 为“余弦相关”的，同理证y 、z 也为“余弦相关”的；再证唯一性：x ，y ，z 中任意两个数灯“余弦相关”的，得到三角方程()cos cos cos t z t z +=+，应用三角恒等变换、正弦型函数的性质，将问题化为cos sin 22sin 2z z t z ⎛⎫+=⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭在()0,2π内两个不同的解x 和y ，得到3πz x y =--即可.【详解】（1）将π2x =代入得2πcos cos y y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故sin cos y y -=，故tan 1y =-，又[]2π0,y ∈，则34πy =或7π4.（2）已知[],,02πx y ∈满足()cos cos cos x y x y +=+. 先证πx y +≥：若πx y +<，由余弦函数单调性知：()cos cos x y x +≤， 从而()cos cos cos 0y x y x =+-≤，故π2y ≥，同理π2x ≥.相加得：πx y +≥与假设矛盾，故πx y +≥. 再证3πx y +≤：易知2πx -，[]2π0,2πy -∈，()()()()cos 2π2πcos cos cos cos 2πcos 2πx y x y x y x y -+-=+=+=-+-，故2πx -，2πy -也是余弦相关的.从而利用以上结论，有()()2π2ππx y -+-≥，即3πx y +≤. 综上，3ππx y ≤+≤.（3）证存在性：记3πz x y =--，由（2）知[]02,πz ∈，而()()3cos cos πcos x z y y +=-=-， 且()()cos cos cos cos 3πcos cos cos x z x x y x x y y +=+--=-+=-.从而()cos cos cos x z x z +=+，故x ，z 为“余弦相关”的，同理，y 、z 也为“余弦相关”的. 证唯一性：x ，y ，z 中任意两个数灯“余弦相关”的， 代入检验易知x ，y ，z 均不为0和π，故(),,0,2πx y z ∈. 注意到()cos cos cos x z x z +=+，()cos cos cos y z y z +=+，x y ≠ 固定z ，引入关于t 的三角方程()cos cos cos t z t z +=+.移项，和差化积，得2sin sin cos 22z z t z ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而cos sin 22sin 2z z t z ⎛⎫+= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，其中()0,π2z ∈，x 和y 为该方程在()0,2π内两个不同的解.利用()sin 2z f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,2πt ∈内图象知，x 和y 关于函数在()0,2π内的一条对称轴对称.注意到(),2π0,3π222z z z t ⎛⎫+∈+⊂ ⎪⎝⎭，故对称轴可能π22zt =-或3π22z -或5π22z -. 从而πx y z +=-或3πz -或5πz -.由（2），[]π,3πx y +∈，而()0,2πz ∈，故ππz -<，5π3πz ->. 从而只能是3πx y z +=-，即3πz x y =--.【点睛】关键点点睛：第二问，根据新定义求证不等式关系，注意反证法的应用；第三问，记3πz x y =--并从存在性、唯一性两方面证明结论.。
上海市华东师范大学第二附属中学2024届高三上学期开学考试数学试题
上海市华东师范大学第二附属中学2024届高三上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________16．已知定义在R 上的函数()y f x =． 对任意区间[],a b 和[],c a b Î，若存在开区间I ，使得[],c I a b ÎI ，且对任意[],x I a b ÎI （x c ¹）都成立()()f x f c <，则称c 为()f x 在[],a b 上的一个“M 点”． 有以下两个命题：①若()0f x 是()f x 在区间[],a b 上的最大值，则0x 是()f x 在区间[],a b 上的一个M 点；②若对任意a b <，b 都是()f x 在区间[],a b 上的一个M 点，则()f x 在R 上严格增．那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题三、解答题17．如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O 的半径为1，圆锥的高2PO =，三棱锥-P ABC 的底面ABC 是以圆锥的底面圆的直径AB 为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上．(1)求直线PC 和平面ABC 所成角的大小；(2)求该几何体的表面积．18．甲、乙两地之间的长途客车均由A B 、两公司运营．随机抽查两地之间的500个班次的长途客车运行情况，得到下面的列联表．多面体外接球球心O到截面对于A ，()()11,1,0,0,0,2MN CC =--=uuuu r uuuu r ，则10MN CC ×=uuuu r uuuu r ，所以1MN CC ^，故A 正确；对于B ，()2,2,0AC =-uuu r ，则0MN AC ×=uuuu r uuu r ，所以MN AC ^，又11,,AC CC C AC CC =ÌI 平面11ACC A ，所以MN ^平面11ACC A ，故B 正确；对于C ，()0,2,0DC =uuu r ，若MN 与DC 平行，则存在唯一实数l 使得DC MN l =uuu r uuuu r ，所以0200ll =-ìï=-íï=î，无解，所以MN 与DC 不平行，故C 错误；对于D ，()()12,2,0,2,0,2DB DA ==uuu r uuu u r ，设平面1BDA 的法向量(),,n x y z =r ，则有1220220n DB x y n DA x z ì×=+=ïí×=+=ïîuuu r r uuu u r r ，可取()1,1,1n =--r ，因为1100MN n ×=-++=uuuu r r ，且MN Ë平面1BDA ，所以MN //平面1BDA ，故D 正确.。
2021-2022学年上海交通大学附属中学高一上学期期末考试数学试卷(练习版)
（1）若 ，求不等式 解集；
（2）若 ，求证：函数 的图象关于点 成中心对称；
（3）若方程 解集恰有一个元素，求a的取值范围．
21.设函数 ．
（1）设 与坐标轴交于A、B、C三点，且△ABC为直角三角形，求a 值；
（2）解不等式 ；
（3）对于给定的负数a，有一个最大的正数l（a），使得在整个区间 上，不等式 都成立，求l（a）的最大值及相应a的值．
18.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点 车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
19 已知不等式 ，其中x，k∈R．
（1）若x＝4，解上述关于k的不等式；
（2）若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．
.已知函数 ，若 ，则实数a的值为___．
11.已知函数 的定义域是R，则实数a的取值范围是___．
12.已知正实数a，b，满足 ，则 的最大值为___．
二、选择题
13.已知x∈R，则“ 成立”是“ 成立”的（）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
14.已知 ， ， ， ， ， ，则下列关于集合P，Q，S关系的表述正确的是（）