现代控制一级倒立摆
倒立摆模型
摆杆/小车铰接点与摆杆质心的距离
l 0.25m
摆杆绕其质心的转动惯量
I 0.0034kg m2
备注：可忽略了空气阻力以及小车与摆杆之间铰接点上的摩擦力矩。
表 1. 实验装置参数
现基于现代控制理论，按照如下步骤实现对研究直线一级倒立摆的控制方 法：1）建立直线一级倒立摆的运动方程；2）推导状态空间方程；3）分析能控
F
M
g
a. 小车的受力分析
b. 摆杆的受力分析
图2. 小车与摆杆的受力分析
小车在水平方向运动，则通过对小车的水平受力分析，可以得到以下方程：
(1) 摆杆作平面运动，可以分解为质心的平动和绕质心转动，由水平方向的受力 分析，可以得到下式：
即，
(2)
带入方程（1）得：
(3) 再由摆杆的垂直方向的受力分析，得到下式：
即， 又由摆杆对质心的力矩平衡方程有：
2
(4) (5)
直线一级倒立摆控制方法
由于
，所以等式左边有负号。最后，整理方程 (4)，(5)，可得： (6)
由于 ，则有
. 用 u 代表输入，也就是作用在
小车上的作用力，整理方程(3)，(6)可以得到一级倒立摆的运动方程
(7) 2. 系统的状态空间方程
为求系统的状态空间方程，对方程（7）进行拉氏变换，得到：
1
直线一级倒立摆控制方法
及能观性；4）计算状态反馈矩阵及状态观测矩阵；5）通过离线仿真分析验证上 述控制算法的有效性；6）通过上机实验观察其实际控制效果。 1. 建立直线一级倒立摆的运动方程
对小车和摆杆进行受力分析如图 2，其中，N 和 P 为小车与摆杆相互作用力 的水平和垂直两个方向的分量。
N
P
现代控制一级倒立摆
现代控制一级倒立摆倒立摆实验电子工程学院自动化学号：目录1实验设备简介 (4)1.1倒立摆介绍 (4)1.2直线一级倒立摆 (5)2 倒立摆建模 (6)2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导 (6)2.1.1受力分析 (6)2.1.2微分方程建模 (8)2.1.3状态空间数学模型 (9)2.2 实际系统模型建立 (10)3系统定性、定量分析 (11)3.1系统稳定性与可控性分析 (11)3.1.1稳定性分析 (11)3.1.2能控性分析 (13)4极点配置的设计步骤 (13)4.1极点配置的计算 (13)4.2用MATLAB进行极点配置的计算 (15)4.3极点配置的综合分析 (16)5小结 (17)1实验设备简介1.1倒立摆介绍倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。
如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂，多变量，存在严重非线性，非自制不稳定系统。
常见的倒立摆一般由小车和摆杆两部分组成，其中摆杆可能是一级，二级或多级，在复杂的倒立摆系统中，摆杆的长度和质量均可变化。
1.2直线一级倒立摆根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质的杆组成的系统。
倒立摆系统是典型的机电一体化系统其机械部分遵循牛顿的力学定律其电气部分遵守电磁学的基本定理.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统.小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。
2 倒立摆建模2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导对于忽略各种摩擦参数和空气阻力之后，直线一即倒立摆抽象为小车和均质杆组成的系统。
一级倒立摆控制策略的研究
摘要倒立摆是一种复杂、时变、非线性、强耦合、自然不稳定的系统，许多抽象的控制理论概念都可以通过倒立摆实验直观的表现出来。
因此，倒立摆系统经常被用来检验控制策略的实际效果，也广泛用于高年级本科生的实验教学，是现代控制理论研究与教学中的一种较为理想的实验设备。
本课题利用牛顿法对直线一级倒立摆的小车和摆杆部分进行理论建模和分析；在此基础上采用线性二次型最优控制方法(LQR)设计倒立摆的控制器；并且应用MATLAB 软件对系统进行理论仿真，以达到较好的控制效果；最后，本文通过直线一级倒立摆实物调试平台验证该方案的可行性。
关键词：直线一级倒立摆；建模；线性二次型最优控制AbstractInverted pendulum is a complex, time-dependent, nonlinear, strong coupling, system with natural instability, through the experiment of which many control theory of abstract concepts can be manifested intuitively. Therefore, the control of inverted pendulum system is often used to test strategies in action and undergraduate experimental teaching in higher grade, making it ideal experiment equipment in the study and teaching of modern control theory.This design maintain theoretical modeling and analysis of the wagon and the pendulum part on the straight-line one-level inverted pendulum by Newton's method, based on which the controller is designed for inverted pendulum using linear quadratic optimal control method; and the software MATLAB is used to get theoretical simulation, in order to achieve better control effect. Finally, the design validates the feasibility of this scheme using a straight-line one-level inverted pendulum debugging platform.Keywords: straight-line one-level inverted pendulum; modeling; linear quadratic optimal control目录第一章绪论 (1)1.1问题的提出及研究意义 (1)1.1.1 问题的提出 (1)1.1.2 研究意义 (1)1.2本论文主要研究的内容 (2)第二章单级倒立摆数学模型 (3)2.1倒立摆系统的组成 (3)2.2倒立摆系统的工作原理 (3)2.3直线一级倒立摆模型的数学建模 (4)2.4直线一级倒立摆系统的定性分析 (8)2.4.1 稳定性、能控性和能观性判据 (8)2.4.2 基于状态方程的系统定性分析 (9)第三章一级倒立摆控制器的设计及理论仿真 (11)3.1基于LQR的一级倒立摆最优控制系统理论分析 (11)3.2LQR控制器的设计与仿真 (12)第四章一级倒立摆的实物调试 (15)4.1倒立摆系统的组成及工作原理 (15)4.1.1 系统组成 (15)4.1.2 系统主要硬件电路及功能说明 (16)4.2实验结果 (18)结论 (20)参考文献 (22)谢辞 (23)第一章绪论1.1 问题的提出及研究意义1.1.1 问题的提出杂技顶杆表演之所以为人们熟悉，不仅是其技艺的精湛，更重要的是其物理与控制系统的稳定性密切相关。
一级倒立摆的实时控制
一级倒立摆的实时控制一级倒立摆的实时控制摘要倒立摆系统，顾名思义就是将倒置摆铰链固定在小车的车架上处于不稳定状态，从而通过人为操控使其处于动态平衡状态用来验证相对应的控制算法的可靠性。
倒立摆是个非常典型的多变量、非线性、快速的不稳定系统。
可以通过倒立摆反应出控制中的许多问题，例如：系统的鲁棒性、稳定性、可靠性、随动性问题，具有重要的理论和应用价值。
理论中，倒立摆系统能够检验许多控制理论与控制算法是否有效，并且倒立摆的控制方法在航天，机器人控制中应用广泛。
本文通过对直线一级摆的物理模型进行分析，运用了牛顿-欧拉方法进行数学建模，进而通过倒立摆的各种物理参数进行运算，证明一级直线倒立摆系统是开环不稳定的，但其在平衡点附近是能控能观的。
本文只讨论研究倒立摆稳摆时的控制方式，对此设计了PID控制器，通过Simulink仿真来确定控制器参数；还运用了线性二次型最优控制器—LQR，用Matlab 软件仿真多次选取矩阵Q和R得到最合适的反馈矩阵K。
分别运用这两种控制器在实验室的固高台上进行实物操作并记录实验现象；设计模糊控制器并仿真，最后对比以上三种方法的实验结果分析它们的优缺点，为以后更好地开展倒立摆的实物操作提供了多种控制方法与控制思路。
关键词倒立摆; 牛顿-欧拉方法; LQR; PID控制- I -Real-time Control of an Inverted PendulumAbstractInverted pendulum system, just as its name implies is to inverted pendulum hinge is fixed on the frame of the car is in unstable state, and thus is in a state of dynamic equilibrium by artificial control used to verify the reliability of the control algorithm. Inverted pendulum system is a very typical multi-variable, nonlinear, unstable system rapidly. Can through the study of inverted pendulum system reflects many problems in control, for example: the system robustness, stability, reliability, follow-up, has important theoretical and application value. Theory, the inverted pendulum system can test many control theory and control algorithm is valid, and the inverted pendulum control method in the aerospace, widely used in robot control.This article through to the straight line level of the physical model of inverted pendulum is analyzed, using the Newton - euler method for mathematical modeling, and then through the operations of the various physical parameters of the inverted pendulum, the inverted pendulum system is open-loop unstable, but is can control can view it in balance. This article just discuss research of inverted pendulum is steady time control method, have designed the PID controller, using Simulink simulation controller parameters; Also using the linear quadratic optimal controller - LQR, Matlab software simulation multiple selection matrix Q and R are the most appropriate feedback matrix K. Respectively using the two kinds of controller in the laboratory physical operation and record the experimental phenomenon; Design simulation of the fuzzy controller, finally compared to- II -- I -- I -目录摘要 (I)Abstract .............................................................................................................. I I第1章绪论 (1)1.1 倒立摆课题简介 (1)1.1.1 研究意义 (2)1.1.2 国内外研究状况介绍 (3)1.2 本论文主要研究的内容 (4)第2章直线一级摆系统的建模分析 (5)2.1 直线一级摆系统的控制原理 (5)2.2直线一级摆数学模型的构建 (6)2.2.1 一级摆模型原理的推导 (6)2.2.2 直线一级摆的数学建模 (6)2.3一级倒立摆系统的性能分析 (11)2.4本章小结 (11)第3章控制器的仿真 (12)3.1 PID控制 (12)3.1.1 PID控制器简介 (12)3.1.2 PID控制器的仿真设计 (13)3.2直线一级摆的LQR控制 (21)3.2.1线性二次型最优控制 (21)3.2.2 直线一级摆LQR控制器设计 (23)3.3基于融合函数的模糊控制 (27)3.3.1模糊控制简介 (27)3.3.2 模糊控制的思想方法 (27)3.3.3直线一级摆的模糊控制 (31)3.4本章小结 (33)第4章实时控制 (35)4.1 直线一级摆实物介绍 (35)4.2 控制软件简介 (36)4.3不同方法的实时控制结果 (37)4.3.1单回路PID的实时控制 (37)4.3.2双闭环PID的实时控制 (38)4.3.3 线性二次型调节器的实时控制 (41)- II -4.4 本章小结 (43)结论 (44)致谢 (45)参考文献 (46)附录A (48)附录B (55)- III -第1章绪论1.1倒立摆课题简介随着航空航天，机器人，工业过程领域的不断发展，对控制理论领域的要求越来越高并提出了一系列的难度挑战。
一级和二级倒立摆控制
当我们选取 作为状态变量， x、θ1、θ2 − θ1、 x、 θ1 、 θ2 − θ 1 可以得出如下的状态 空间方程：
.
x = A* x + B * u y = c* x
.
我们从参考资料选择了系统参数： 小车系统的等效质量 １．３２８２２ ； 下摆 质量 ０．２２ ； 上摆质量 ０．１８７ ； 下摆圆心对转轴处转动惯量 ０．００４９６２６ ； 上 摆圆心对转轴处转动惯量 ０．００４８２３５ ； 下摆圆心至转轴之间的距离 ０．３０４ ： 上 摆圆心至转轴之间的距离 ０２２６ ； 上、下摆转轴间的距离 ０４９ ； 小车系统的摩 擦系数 ２２．９４７ ； 下摆转轴处的摩擦阻力矩系数 ０．００７０５６ ｋｇ・ｍ／ｓ； 上摆转 轴处的摩擦阻力矩系数 ０．００２６４６ｋｇ・ｍ／ｓ； 输入增益 １１．８８。计算出的 Ａ，Ｂ， Ｃ 如下所示： 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 A= 0.1642 − 16.6679 0.0124 − 0.0057 0 −2.5716 0 29.9495 −15.1946 40.3173 −0.2048 0.1737 0 −36.6925 65.4411 −49.3946 0.4634 −0.5910
B = [ 0 0 0 8.6478 −20.9178 25.6274]
1 0 0 0 0 0 C= 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
得到如下的系统框图：
U X Y
B
1/S
C
A
根据所选择的参数，用 ＭＡＴＬＡＢ 语言编写的程序判别本系统可控性及可观 性、计算特征值。计算出该系统的特征值为：［０，－１７．２１２８，８．２９５８，３．９４０２，
ppt直线一级倒立摆
倒立摆系统的应用领域
01
02
03
控制理论
倒立摆系统是控制理论中 常用的实验平台，用于研 究控制算法和系统稳定性 问题。
系统稳定性
倒立摆系统可以用来研究 系统的稳定性问题，例如 如何设计控制器使系统保 持稳定。
PPT直线一级倒立摆
目录
• 倒立摆系统简介 • PPT直线一级倒立摆系统模型 • PPT直线一级倒立摆系统的控制
策略 • PPT直线一级倒立摆系统的实验
研究 • PPT直线一级倒立摆系统的应用
前景和发展趋势
01
倒立摆系统简介
倒立摆系统的定义
倒立摆系统是一种具有不稳定平衡状 态的物理系统，其特点是具有一个自 由度的直线运动和一个绕垂直轴的旋 转运动。
建模与仿真
建立倒立摆系统的数学模型，通过仿真验证控制策略的有效性。
硬件实现
将控制算法嵌入到倒立摆系统的硬件中，进行实时控制。
软件实现
通过编写程序实现控制算法，通过上位机与倒立摆系统进行通信 和控制。
04
PPT直线一级倒立摆系统的 实验研究
实验目的和实验设备
实验目的
通过实验研究PPT直线一级倒立摆系 统的动态特性，分析系统的稳定性、 响应速度和抗干扰能力。
PPT直线一级倒立摆系统的原理
当摆杆受到外力作用时，会绕着摆杆的固定点进行摆动。由于上、下质量块之间 的相互作用力，使得摆杆在摆动过程中同时进行倒立摆动。
通过控制电路的控制，驱动机构可以按照指令信号进行摆动，从而实现倒立摆的 稳定控制。
PPT直线一级倒立摆系统的特点
现代控制理论大作业-倒立摆模型建立与仿真(深圳大学)
深圳大学实验报告课程名称：现代控制理论实验项目名称：倒立摆模型建立与仿真学院：机电与控制工程学院专业：自动化指导教师：***报告学号：班级：实验时间：实验报告提交时间：教务部制一、 实验目的（1）实验一：增强状态空间表达式的理解和应用，通过直线型一级倒立摆系统的具体对象，展现非线性系统线性化的应用和特点，提高仿真计算和应用Matlab 进行系统分析的能力，并为后续章节的有关系统稳定性提供感性认识。
（2）实验二：了解采用状态反馈改善系统性能的方法，应用状态反馈方法配置直线型一级倒立摆系统的极点，设计控制器，并在倒立摆系统实验平台上实现一级倒立摆系统稳定运行。
二、 实验任务与要求（1）实验一建立倒立摆的非线性状态空间表达式； 建立倒立摆的线性状态空间表达式；在两种模型下，在matlab simulink 平台上通过仿真计算给出摆角和直线位移的运动曲线，位移的初始为零，摆角的初始值分别选取如下：20πθ≤， 20πθ≥， πθ=0（2）实验二针对一级倒立摆系统，对于给定的动态性能指标（调节时间小于3秒，阻尼比0.5）确定闭环极点（参考值，32,32,10,10j j --+---），设计系统状态反馈阵的参数； 在倒立摆系统平台上完成极点配置控制实验。
实验要保持倒立状态，当系统受到扰动后仍保持稳定。
记录控制结果曲线，并进行讨论。
重新选择一组(或多组)期望的闭环极点，设计系统状态反馈阵的参数，在倒立摆系统平台上完成极点配置控制实验，记录控制结果曲线，并和第二条的实验结果进行比较分析。
三、 实验原理（1）实验参见固高《倒立摆与自动控制原理实验》（2）若受控系统(A,B)完全能控，则通过状态反馈可以任意配置闭环极点。
实验设计原理参见固高《倒立摆与自动控制原理实验》第82-89页 。
四、 实验步骤及过程（1） 非线性状态方程系统方程：1/（M+m ）=0.82988；1/（I+ml^2）=97.91922；m*g*l=0.26705；m*l=0.02725 将系统模型参数代入，可得以下仿真下载后图片可放大X 和φ输出的响应曲线（红为x ，黄为φ） 当20πθ≤，取40πθ=当20πθ≥，取430πθ=当πθ=0（2）线性状态方程可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。
直线一级倒立摆建模与控制
期望特征多项式为
s 2 k2 20 s 20 k1 k2 1
* 由设计者选取，考虑“引入状态反馈向量后系统特 1*、2
* f * s s 1* s 2 =s2 (1* 2* )s 1*2*
征多项式”和“期望特征多项式”的系数相等即可求出状态反 馈向量。
，线性化运动方程。
倒立摆系统单输入-单输出传递函数模型
线性化后运动方程（参考）：
I ml mgl mlx
2
以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令
ax
拉普拉斯变换后系统传递函数模型（参考）：
s ml G s A s I ml 2 s 2 mgl
双击“Controller1”，输入选取的4个闭环极点对应的增益，运行仿真后双击 “Scope1”观测响应曲线，其中小车位置应该很好的收敛到0.01，小车速度、摆杆角
度和角速度应该收敛到0。若响应曲线效果不好则需重新选取闭环极点。
状态空间极点配置实物控制
选取了合适的4个闭环极点并通过了仿真测试后即可进行倒立摆系统实物控制。 进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打 开 “Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Swing-Up Control”中的“Swing-Up Control Demo，如下图。
状态空间极点配置仿真控制
参考上述实例，选取倒立摆系统的4个闭环极点，进入 MATLAB Simulink 实时 控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Placement Experiments”中的“Poles Control Simulink”，如下图。
一级倒立摆控制系统设计说明
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。
设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。
二、设计要求倒立摆的设计要使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用 MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。
三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。
计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。
四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为（2） 摆杆重心的运动方程为得sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ) (3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得 一阶倒立摆简化模型：....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩即 G 1(s)= ; G 2(s)=一阶倒立摆环节问题解决！2.电动机驱动器选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下：222()0.4()12() 1.110()s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩驱动电压：U=0~100V 额定功率：PN=200W 额定转速：n=3000r/min 转动惯量：J=3×10-6kg.m2 额定转矩：TN=0.64Nm 最大转矩：TM=1.91Nm 电磁时间常数：Tl=0.001s 电机时间常数：TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为：F=0~16N ；与其配套的驱动器为：MSDA021A1A ，控制电压：UDA=0~±10V 。
一阶倒立摆控制系统
一阶直线倒立摆系统姓名：班级：学号:目录摘要 (3)第一部分单阶倒立摆系统建模 (4)（一) 对象模型 (4)（二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6)第二部分单阶倒立摆系统分析 (7)第三部分单阶倒立摆系统控制 (11)（一）内环控制器的设计 (11)（二）外环控制器的设计 (14)第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16)系统的simulink仿真 (16)摘要：该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人"的控制,实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究,有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。
控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。
另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。
实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角,来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成.实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。
实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤,最终得出实验结果。
仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。
第一部分单阶倒立摆系统建模（一） 对象模型由于此问题为"单一刚性铰链、两自由度动力学问题"，因此,依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。
如图1。
1所示,设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ,摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ,1O 为摆杆的质心。
图1。
1 一阶倒立摆的物理模型根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则1）摆杆绕其重心的转动方程为sin cos y x l F J F l θθθ=- （1-1）2）摆杆重心的水平运动可描述为22(sin )x d F m x l dtθ=+ (1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为22(cos )y d F mg m l dtθ-= （1—3) 4）小车水平方向运动可描述为202x d x F F m dt-= (1—4）由式（1-2）和式（1—4）得20()(cos sin )m m x ml F θθθθ++⋅-⋅= （1—5）由式（1-1）、式（1-2)和式（1-3)得2()cos lgsin J ml ml x m θθθ++⋅= （1-6）整理式(1—5）和式(1-6）,得2222222220222022220()()sin sin cos ()()cos cos sin cos ()lgsin cos ()()J ml F lm J ml m l g x J ml m m m l ml F m l m m m m l m m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++⋅-=⎪++-⎪⎨⋅+⋅-+⎪=⎪-++⎩（1-7） 因为摆杆是匀质细杆,所以可求其对于质心的转动惯量。
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现代控制一级倒立摆倒立摆实验电子工程学院自动化学号：目录1实验设备简介 (4)1.1倒立摆介绍 (4)1.2直线一级倒立摆 (5)2 倒立摆建模 (6)2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导 (6)2.1.1受力分析 (6)2.1.2微分方程建模 (8)2.1.3状态空间数学模型 (9)2.2 实际系统模型建立 (10)3系统定性、定量分析 (11)3.1系统稳定性与可控性分析 (11)3.1.1稳定性分析 (11)3.1.2能控性分析 (13)4极点配置的设计步骤 (13)4.1极点配置的计算 (13)4.2用MATLAB进行极点配置的计算 (15)4.3极点配置的综合分析 (16)5小结 (17)1实验设备简介1.1倒立摆介绍倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。
如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂，多变量，存在严重非线性，非自制不稳定系统。
常见的倒立摆一般由小车和摆杆两部分组成，其中摆杆可能是一级，二级或多级，在复杂的倒立摆系统中，摆杆的长度和质量均可变化。
1.2直线一级倒立摆根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质的杆组成的系统。
倒立摆系统是典型的机电一体化系统其机械部分遵循牛顿的力学定律其电气部分遵守电磁学的基本定理.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统.小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。
2 倒立摆建模2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导对于忽略各种摩擦参数和空气阻力之后，直线一即倒立摆抽象为小车和均质杆组成的系统。
本系统的参数定义如下：2.1.1受力分析下面我们对这个系统作一下受力分析。
N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
应用牛顿第二定律方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F xM --= (2-1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：22(sin )d N m x l dt θ=+ (2-2)2cos sin N mx ml ml θθθθ=+- (2-3)把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2 （2-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：图1：倒立摆系统小车和摆杆的受力分析22(cos )d P mg m l dt θ-=- (2-5)2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+ (2-6) 力矩平衡方程如下：θθθ I Nl Pl =--cos sin (2-7)注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：θθθcos sin )(2x ml mgl ml I -=++ (2-8)2.1.2微分方程建模设φπθ+=，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小，即 1<<φ 时，则可以进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(2=dt d θ。
为了与控制理论的表达习惯相统一，即u 一般表示控制量，用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ )(2 (2-9)2.1.3状态空间数学模型由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式：Du CX Y Bu AX X+=+= (2-10)方程组（2-9）对φ,x 解代数方程，得到如下解：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++-==++++++++++-==u Mml m M I ml Mml m M I m M mgl x Mml m M I mlb u Mml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x2222222222)()()()()()()()()(φφφφφ (2-11)整理后得到系统状态空间方程：u Mml m M I ml Mml m M I mlI x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlbMml m M I gl m Mml m M I b ml I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010φφφφ 1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2-12)2.2 实际系统模型建立实际系统参数如下，求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的Matlab 仿真。
1）以外界作用力作为输入的系统状态方程：u x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 2.683800.89060031.69261.9235-0100000.71670.0891-00010ϕϕϕϕ1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3系统定性、定量分析3.1系统稳定性与可控性分析3.1.1稳定性分析先分析系统的稳定性，将数据代入状态方程中，利用matlab 程序可以求出系统的零极点。
程序段如下：[num,den]=ss2tf(A,B,C,D) %状态空间表达式——>传递函数为-2.6838/(s^2-31.6926)[z,p,k]=tf2zp(num,den) %传递函数——>零极点型结果如下：零点：z =5.4344 0.5492-5.4344 -0.0000极点：p =-5.65165.6081-0.0456由得到的p（极点）可知，有的极点在单位圆外，所以可知原系统是不稳定。
3.1.2能控性分析我们可以利用matlab来得到系统的能控性，源代码如下：uc=ctrb(A,B) %判断能控性r=rank(uc) %求秩r =4由得到的rank（ud）的值可知，原系统的能控性矩阵为4，所以我们可知原系统是能控的。
4极点配置的设计步骤4.1极点配置的计算对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间和合适的阻尼。
倒立摆极点配置原理图如图所示：极点配置步骤如下：（1）检验系统能控性（以证）（2）计算特征值选取期望的闭环极点）（4,3,2,1i i ==μλ，其中：j j 3.32-3.32-10-10-1321-=+===μμμμ期望的特征方程为：()()()()()()()()14898.69789.194243.323.3210102344321++++=++-+++=----λλλλλλλλμλμλμλμλj j因此可以得到：2489,1948.69714894321====αααα由系统的特征方程：λλλλλλλλλ8238.2-6926.31-0891.06926.31-9235.1010007167.0-0891.00001-234-=-+-=A I因此有：0891.06926.31-8238.204321-====a a a a系统的反馈增益矩阵为：[]144332211-----=T a a a a K αααα（3）状态反馈增益矩阵K 为：[]19.8540] 114.1177 32.9817- -56.6141[144332211=----=-T a a a a K αααα4.2用MATLAB 进行极点配置的计算程序段如下：[num,den]=ss2tf(A,B,C,D) %状态空间表达式——>传递函数为-2.6838/(s^2-31.6926)p=[-10 -10 -2+3.3j -2-3.3j]; %期望极点配置K=acker(A,B,p) %求状态增益K结果相同：19.8540] 114.1177 32.9817- -56.6141[=K系统输出响应图3 系统输出响应图4.3极点配置的综合分析极点配置法成功实现了同时对倒立摆摆角和小车的位置的控制，但是在极点配置时，期望极点的选取，需要考虑、研究它们对系统品质的影响以及它们与零点分布状况的关系，还需要顾及抗干扰性能方面的要求。
状态反馈系统的主要优点是极点的任意配置，无论开环极点和零点在什么位置，都可以任意配置期望的闭环极点。
这为我们提供了控制系统的手段，假如系统的所有状态都可以被测量和反馈的话，状态反馈可以提供简单而适用的设计。
5小结通过本次读书工程，我对状态空间有了更深的了解，从建立系统传递函数到状态空间方程再到对系统的稳定性能控性分析，都充分的将理论与实践结合了起来。
极点配置法做得很成功，输入参数后摆杆能成功倒立，当有干扰的时候，可以迅速的恢复稳定，也学会了将不稳定的发散的系统通过状态反馈和观测，进行极点配置，从而得到稳定的系统。
最后通过直线一级倒立摆系统的设计使我掌握了用matlab来进行系统设计仿真的方法，并熟悉了现代控制理论的相关知识，学以致用，学会一般系统的建模方法和控制器设计方法。
很好的将课本上的知识运用到了生活中。