三角形初步认识知识点及习题【最新】
【单元复习】第1章 三角形的初步认识(知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练)(考试版)
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（浙教版）【单元复习】第1章三角形的初步认识（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）温馨提示：一分努力勤奋一份收获，必考重难点突破是培优最佳途径！知识精讲第1章三角形的初步认识一、三角形的基本概念：三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。
二、三角形的分类：（1）按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（定义，区别）。
（2）按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
三、三角形的基本性质：（1）三角形的内角和是180°。
（2）三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）。
三角形的任何两边的差小于第三边三角形的任何两边之和大于第三边大于两边之差。
应用：知两条确定第三条范围；知三条判断能否组成三角形；知四条及以上（3）三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和（教材P7做一做）。
四、几条重要的线（1）三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边中点；三条角平分线都在三角形内且相交于一点；等量关系式∠1=∠2=二分之一∠α;（2）三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段；三条中线都在三角形内且相交于一点；等量关系式AP=BP=二分之一AB 。
等积三角形；周长差三角形（3）三角形的高；从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线段。
锐角三角形的三条高在三角形的内部相交于一点。
直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，三条高在三角形的直角顶点处相交于一点。
钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，三条高在三角形的外部相交于一点。
会带来面积问题、直角、直角三角形（4）线段的垂直平分线(中垂线)：垂直并平分一条线段的直线。
中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
初中三角形知识点总结(最新整理)
图形的初步认识：三角形考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
4、三角形的面积三角形的面积= 1 ×底×高2考点二、全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“S A S”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“A S A”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AA S”）。
直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“H L”）3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
(完整版)人教版-八年级上册-三角形的知识点及题型总结
三角形的知识点及题型总结一、三角形的认识定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾按序相接所构成的图形。
分类：锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）按角分类直角三角形（有一个角是直角的三角形）钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）三边都不相等的三角形按边分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形例题 1图1中共几个三角形。
例题 2以下说法正确的选项是（）A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形B.等边三角形不是等腰三角形C.等腰三角形是等边三角形D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形例题 3 已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c知足(b-2)2＋|c－3|=0，且 a 为方程 |x －4|=2 的解 .求△ ABC的周长，并判断△ ABC的形状 .二、与三角形相关的边三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。
例题 1以以下各组数据为边长，能够成三角形的是（），4，5，4，8，7，10，4，5例题 2已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L 的范围是（）A.1<L<9B.9<L<14C.10<L<18D.没法确立课后练习：1、若三角形的两边长分别为5、8，则第三边可能是（）B. 62、等腰三角形的两边长分别为6、13，则它的周长为。
3、等腰三角形的两边长分别为4、已知三角形的两边长为 2 和4、5，则第三边长为。
4，为了使其周长是最小的整数，则第三边的为。
5、若等腰三角形的周长为13cm，此中一边长为 3cm，则等腰三角形的底边为（）D.7cm 或3cm6、依据以下已知条件，能独一画出△ABC的是（）A.AB=3，BC=4，AC=8B.AB=4，BC=3，∠ A=30°C.∠A=60°，∠ B=45°， AB=4D.∠C=90°， AB=68、用7 根火柴棒首尾按序相连摆成一个三角形，能摆成个不一样的三角形。
四年级三角形专题训练
四年级三角形专题训练一、三角形的认识基础题。
1. 由三条（）围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
- 答案：线段。
- 解析：三角形的定义就是由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形。
2. 三角形有（）条边，（）个角，（）个顶点。
- 答案：3，3，3。
- 解析：这是三角形的基本特征，三条边、三个角和三个顶点。
3. 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的（）。
- 答案：高。
- 解析：这是三角形高的定义，三角形的高是从一个顶点向对边作的垂线段。
4. 一个三角形有（）条高。
- 答案：3。
- 解析：因为三角形有三个顶点，过每个顶点都可以作对边的高，所以一个三角形有3条高。
二、三角形的分类题。
5. 三角形按角分类可以分为（）三角形、（）三角形和（）三角形。
- 答案：锐角、直角、钝角。
- 解析：锐角三角形是三个角都是锐角（小于90°）的三角形；直角三角形是有一个角是直角（等于90°）的三角形；钝角三角形是有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形。
6. 一个三角形中最大的角是89°，这个三角形是（）三角形。
- 答案：锐角。
- 解析：因为最大角是89°，小于90°，所以三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。
7. 一个三角形中至少有（）个锐角。
- 答案：2。
- 解析：直角三角形有2个锐角，钝角三角形也有2个锐角，锐角三角形有3个锐角，所以一个三角形至少有2个锐角。
8. 等腰三角形的两腰（），两个底角（）。
- 答案：相等，相等。
- 解析：这是等腰三角形的重要特征，两腰长度相等，两底角的度数相等。
9. 等边三角形的三条边（），三个角也（），每个角都是（）度。
- 答案：相等，相等，60。
- 解析：等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，根据三角形内角和是180°，三个角相等，所以每个角都是180°÷3 = 60°。
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三角形的初步认识知识重点透视一在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
1.在三角形ABC 中， AB=8， AC=7，则 BC边长的取值范围为______________.2.在一个三角形中，在边长分别为：5， 2m-1, 7 则 m 的取值范围为3.在三角形ABC 中， AB=6， AC=12， AD 是BC 边上的中线，则_____________. AD 的长的取范围是_______________.4.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A． 2cm、 2cm、 4cm B．2cm 、 6cm、 3cmC．8cm 、 6cm、 3cm D． 11cm、 4cm 、 6cm5.用 12 根火柴棒 (等长 )拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是()A、 1B、 2C、3D、 4知识重点透视二角平分线的性质性质角平分线上的点到角两边的______相等角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的______判定上.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠ BOC 的依据是（）A、 SSSB、 ASAC、 AASD、角平分线上的点到角两边距离相等2.如图所示， D 是⊿ ABC 的角平分线BD 和 CD 的交点，若∠A=50°，则∠ D=（）A.120 °B.130 °C.115 °D110°3.如图，在Rt⊿ ABC 中，∠ C=90°，∠ BAC的平分线AD 交 BC 于点 D， CD=4，则点 D 到 AB的距离是 _____4.如图，已知⊿ ABC 中，∠ A=90°， AB=AC，CD平∠ ACB，DE⊥ BC 于 E，若 BC=15，则⊿DEB 的周长为 _______5.如图，点P 是∠ BAC 的平分线上一点，PB⊥ AB 于 B，且 PB=5cm，则 P 到 AC 边的距离是______cm。
2024年浙教版八年级上三角形初步知识：如何判断三角形,内角外角相关习题解析
习题L8-01：三角形基础（一）参考答案与试题解析1．三角形是指()A．由三条线段所组成的封闭图形B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形【答案】C2．下列说法正确的是()①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①②B．③④C．①②③④D．①②④【答案】B【分析】③④正确．3．用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是()A．B．C．D．【答案】D【分析】D、长方形包含正方形；4．小佳同学复习时将三角形按边长的等量关系整理成上表，请帮她在括号内填上一个适当的条件，该条件可以是．（填写一个条件即可）【答案】60B ∠=︒（答案不唯一）．【分析】根据等边三角形的判定定理填空即可．5．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1，2，3B ．1，1，2C ．1，2，2D ．1，5，7 【答案】C6．三角形的三边长可以是( )A ．2，11，13B ．5，12，13C ．5，5，11D ．5，12，7 【答案】B7．设a ，b ，c 为ABC ∆的三边，化简||||||a b c a b c a b c −+−+−−−−= ．【分析】a 、b 、c 为ABC ∆的三边，0a b c ∴−+>，0a b c +−>，0a b c −−<， ||||||()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c ∴−+−+−−−−=−+−+−+−−a b c a b c a b c =−+−−++−−3a b c =−+．8．已知线段5a =，3b =，线段c 与a 、b 构成三角形，则线段c 的长度的范围是( )A ．2c >B ．8c <C ．28c <<D ．无法确定 【分析】线段5a =，3b =，线段c 与a 、b 构成三角形，∴线段c 的长度的范围是：5353c −<<+，即28c <<．9．若ABC ∆三条边长为a ，b ，c ，则()()a b c a c b +−−− 0（填“>”，“ =”或“<” )．【答案】<．10．如图，点O 是ABC ∆内的一点，证明：1()2OA OB OC AB BC CA ++>++．【分析】证明：ABO ∆中，OA OB AB +>，同理，OA OC CA +>，OB OC BC +>．2()OA OB OC AB BC CA ∴++>++，1()2OA OB OC AB BC CA ∴++>++．习题L8-02：三角形基础（二）参考答案与试题解析1．下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②三角形的三条中线都在三角形内部；③三角形的高有两条在三角形的外部，还有一条在三角形的内部；④如果点P是ABC∆的中线．其中正确的是(∆中AC边的中点，则PB是ABC)A．①②④B．①②③④C．①④D．①②【答案】A2．如图，在ABC∠=∠，BE交AD于点F．∆中，BD CD=，ABE CBE（1）是ABC∆的角平分线；（2）是ABD∆的角平分线；（3）是BCE∆的中线．【答案】（1）BE；（2）BF；（3）ED．3．下列判断正确的是()（1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线；（2）三角形的中线、角平分线都是线段；（3）一个三角形有三条角平分线和三条中线；（4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（3）（4）C．（3）（4）D．（2）（3）【答案】D4．下列说法正确的个数是()①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】②⑤⑥正确．5．下列说法中：①锐角三角形中，角平分线的交点、中线的交点、高所在直线的交点都在三角形内部；②直角三角形中，角平分线的交点、中线的交点、高所在直线的交点都在三角形的直角顶点上；③钝角三角形中，角平分线的交点．中线的交点、高所在直线的交点都在三角形外部；④三角形中，角平分线的交点，中线的交点都在三角形内部；⑤锐角三角形中，高所在直线的交点在三角形内部；直角三角形中，高的交点在三角形直角顶点上；钝角三角形中，高的交点在三角形外部．其中，正确的说法有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】A【分析】①④正确；6．如图，AD 为ABC ∆的中线，ABD ∆的周长为23，ACD ∆的周长为18，AB AC >，则AB AC −为 ．【答案】5．【分析】AD 是ABC ∆的中线，BD DC ∴=．ABD∆的周长为23，ACD∆的周长为18，()23185 AB AD BD AC AD CD AB AD BD AC AD CD AB AC∴++−++=++−−−=−=−=. 7．如图，ABC∆中，AB AC>，AD为ABC∆的中线．（1）若AD将ABC∆的周长分为差是3cm的两部分，且7AB AC cm+=，求AB、AC 的长．（2）若ABC∆的周长为30cm，10AB cm=，7AD cm=，ACD∆周长是20cm，求AC 的长．【答案】（1）5cm，2cm，（2）6cm．【分析】（1）AD是ABC∆的中线，BD CD∴=．AB AC>，且AD将ABC∆的周长分为差是3cm的两部分，()3AB AD BD AC CD AD cm∴++−++=，3AB AC cm∴−=．7AB AC cm+=，5AB cm∴=，2AC cm=．（2）AD是ABC∆的中线，BD CD∴=．ABC∆的周长是30cm，10AB cm=，20BC AC cm∴+=．7AD cm=，ACD∆周长是20cm，13AC CD cm∴+=，即1132AC BC cm+=，14BC cm∴=，6AC cm∴=．8．如图，AD，BE，CF是ABC∆的三条中线，若ABC∆的周长是a cm．求AE CD BF++的值．【答案】2a AE CD BF cm ++=．【分析】AD 、BE 、CF 是ABC ∆的三条中线，12AF AB ∴=，12CD CB =，12BF AB =， 1()2AE CD BF AC BC AB ∴++=++， 而ABC ∆的周长是acm ，2a AE CD BF cm ∴++=． 9．（1）下列图中，哪些具有稳定性？（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）①④⑥．（2）如图（答案不唯一）．10．如图（1），在四边形木条框架中，任意加连1根对角线木条，就能使框架的形状稳定．（1）判断下列说法是否正确（正确打“√”，错误打“⨯” )①在图（2）中任意加连2根对角线木条，都能使框架的形状稳定；②在图（3）中任意加连3根对角线木条，都能使框架的形状稳定．（2）图（4）是一个用螺钉将木条连接成的框架，颇具美感，对于它的形状是否稳定，下面有四种判断，其中正确的是．A、形状已经是稳定的B、至少还要加连一根木条才能稳定C、至少还要加连两根木条才能稳定D、至少还要加连三根木条才能稳定．【分析】（1）√，⨯（错误原因如下图所示）．（2）A．习题L8-03：三角形的内角参考答案与试题解析1．ABC∠∠∠=，则这个三角形是()A B C∆的三个内角::1:2:3A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【答案】C2．如图，在ABC∆沿CD折叠，点B落∠=︒，点D在AB上，将BDCACB∆中，90在AC边上的点B'处，若20∠'=︒，则AADB∠的度数为()A．20︒B．25︒C．35︒D．40︒【分析】90ACB∠=︒，∴∠+∠=︒，90A B∆翻折得到，∆'是由CDBCDB∴∠'=∠，CB D B∠'=∠+∠'=∠+︒，CB D A ADB A20∴∠+∠+︒=︒，A A2090解得35∠=︒．A3．如图，BE、CF是ABC∠的度数是()∠=︒，那么BDC∆的角平分线，且70AA．70︒B．115︒C．125︒D．145︒【分析】70A ∠=︒，180********ABC ACB A ∴∠+∠=︒−∠=︒−︒=︒， BE 、CF 是ABC ∆的角平分线，1()552EBC FCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18055125BDC ∴∠=︒−︒=︒．4．如图，已知三角形ABC ，90ACB ∠=︒，90BCD B ∠+∠=︒，A ∠与BCD ∠有怎样的大小关系？说明你的理由．【分析】A BCD ∠=∠。
2024_2025学年八年级数学上学期期中核心考点专题01三角形的基础含解析新人教版
期中考点专题01 三角形的基础重点突破三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
三角形三边的关系（重点（1）三角形的随意两边之和大于第三边。
三角形的随意两边之差小于第三边。
（这两个条件满意其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的分类：三角形按边的关系分类如下：三角形按角的关系分类如下：三角形的稳定性➢三角形具有稳定性➢四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
考查题型考查题型一三角形的个数问题典例1．（2024·西林县期中）如图所示，其中三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【提示】依据三角形的定义解答即可，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.【详解】图中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5个.故选D.【名师点拨】本题考查了三角形的概念，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角.变式1-1．（2024·秦皇岛市期中）图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【解析】图中的三角形有: △ABD, △ADE, △AEC, △ABE, △ADC, △ABC,共6个.故选D.变式1-2．（2024·洛阳市期末）图中三角形的个数是（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【提示】依据三角形的定义即可得．【详解】图中的三角形是，共8个故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的定义，驾驭理解三角形的概念是解题关键．变式1-3．（2024·恩施市期中）如图，图中三角形的个数有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】B【解析】试题解析：以O为一个顶点的有△CBO、△CDO、△ABO、△ADO，不以O为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD，共有8个．故选B.考查题型二三角形的分类典例2（2024·石家庄市期末）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形态是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】D【解析】试题提示：依据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形态．解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．变式2-1．（2024·黄冈市期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形肯定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】试题提示：依据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形.故选B.变式2-2．（2024·深圳市期中）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形态不确定【答案】C【提示】依据∠A：∠B：∠C=1：3：5，可设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，再依据三角形内角和为180°可得方程x+3x+5x=180，解方程算出x的值，即可推断出△ABC的形态．【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∴设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，∴x+3x+5x=180，解得：x=20，∴∠C=5×20°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【名师点拨】本题考查三角形内角和定理，关键是利用方程思想列出三个角的关系式．变式2-3．（2024·石家庄市期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形按角分类的方法一一推断即可．【详解】视察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型．故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的分类，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考常考题型．考查题型三构成三角形的条件典例3．（2024·宜兴市期末）下列各组线段不能组成三角形的是 ( )A．4cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、11cmC．4cm、5cm、6cm D．5cm、12cm、13cm【答案】B【提示】依据三角形的随意两边之和大于第三边对各选项提示推断后利用解除法求解.【详解】A 、4485+=>，∴445cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；B 、461011+=<，∴4611cm cm cm 、、不能组成三角形，故本选项正确；C 、5496+=>，∴456cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；D 、5121713+=>，∴51213cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误.故选：B .【名师点拨】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键.变式3-1．（2024·太仓市）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．18【答案】B【解析】试题提示：依据题意，要分状况探讨：①、3是腰；②、3是底．必需符合三角形三边的关系，随意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B ．变式3-2．（2024·兰州市期末）等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的周长为( )A ．22B ．17C ．13D ．17或22【答案】A【提示】分4是腰长和底边两种状况探讨求解即可．【详解】解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，∵4+4=8＜9，∴不能组成三角形，4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，能组成三角形，周长=4+9+9=22，综上所述，该等腰三角形的周长为22．故选A ．【名师点拨】本题主要考查了三角形三边关系，难点在于分状况探讨并利用三角形的三边关系推断是否能组成三角形．cm cm长的两根木棒首尾相接成一个三角形的变式3-3．（2024·哈尔滨市期中）下列长度的四根木棒中，能与49，是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【答案】C【提示】依据三角形三边关系：三角形随意两边之和大于第三边，逐一推断选项，即可.【详解】∵4+4<9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴4cm，49，∴A错误；∵5+4=9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴5cm，49，∴B错误；∵9+4>9，cm cm长的木棒能组成三角形，∴9cm，49，∴C正确；∵4+9=13，cm cm长的木棒，不能组成三角形，∴13cm，49，∴D错误；故选C.【名师点拨】本题主要考查三角形的三边关系，驾驭“三角形随意两边之和大于第三边”，是解题的关键.m-=，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，变式3-4．（2024·濮阳市期末）若实数m，n满意20则△ABC的周长是( )A．12 B．8 C．10 D．10或8【答案】C【提示】依据非负数的性质求出,m n的值，依据等腰三角形的性质求解即可.m-=【详解】20m n∴==2,4,当三角形的腰长为2时，224+=，构不成三角形；++=.当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：44210故答案选：C.【名师点拨】考查非负数的性质以及等腰三角形的性质，驾驭三角形的三边关系是解题的关键.考查题型四三角形第三边的取值范围典例4．（2024·三明市期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【答案】C【提示】依据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此依据选项即可推断. 【详解】设第三边长为x，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，视察只有C选项符合，故选 C.【名师点拨】本题考查了三角形三边的关系，娴熟驾驭三角形三边之间的关系是解题的关键.a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）变式4-1．（2024·龙岩市期中）若长度分别为,3,5A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【提示】依据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，由此可得，符合条件的只有选项C，故选C．【名师点拨】本题考查了三角形三边关系，能依据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，留意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．变式4-2．（2024·齐齐哈尔市期末）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为A．2 B．3 C．5 D．13【答案】B【提示】依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得x的取值范围，一一推断可得答案. 【详解】解：依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因为取正整数,故x的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个.故本题正确答案为B.【名师点拨】本题主要考查构成三角形的三边的关系.变式4-3．（2024·广州市期中）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A ．5或7B ．7或9C ．7D ．9【答案】B 【详解】依据三角形三边关系可得：5＜第三边＜11，依据第三边长为奇数，则第三边长为7或9．故选B.考查题型五 三角形三边关系的应用典例5．（2024·德州市期末）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【提示】依据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再依据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x ，依据三角形的三边关系，得：4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5，∵x 为整数，∴x 的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【名师点拨】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．变式5-1．（2024·汕头市期中）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，化简a b c b a c +----的值是（ ）A ．2c -B ．22b c -C ．22a c -D ．22a b - 【答案】B【提示】依据三角形的三边关系“随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边”，得到a+b-c ＞0，b -a -c ＜0，再依据肯定值的性质进行化简计算.【详解】依据三角形的三边关系，得a+b-c>0，b -a -c <0.∴原式= a+b-c −(a +c −b)= 22b c -.故选择B 项.【名师点拨】本题考查三角形三边关系和肯定值，解题的关键是娴熟驾驭三角形三边关系.变式5-2．（2024·保定市期末）如图，为估计池塘岸边A ，B 的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA=15米，OB=10米，A ，B 间的距离可能是（ ）A．30米B．25米C．20米D．5米【答案】C【解析】设A，B间的距离为x．依据三角形的三边关系定理，得：15-10＜x＜15+10，解得：5＜x＜25，所以，A，B之间的距离可能是20m．故选C．变式5-3．（2024·滨州市期末）若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B【提示】依据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，依据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，依据三角形的周长公式，可得答案．【详解】由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，周长为6+6+3＝15，故选B．【名师点拨】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．变式5-4．（2024·南开区期末）假如一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（）A．13 B．5 C．5或13 D．1【答案】A【详解】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，依据题意，2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13；当底边长为x+12时，依据题意，2x+x+12=27，解得x=5，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13，故选A．考查题型六三角形的稳定性典例6．（2024·路北区期中）下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行推断即可得．【详解】A、具有稳定性，符合题意；B、不具有稳定性，故不符合题意；C、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确驾驭三角形的性质是解题关键．变式6-1．（2024·乌鲁木齐市期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等【答案】C【解析】试题提示：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形态就不会变更．解：这样做的道理是三角形具有稳定性．故选：C．变式6-2．（2024·安阳市期末）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A．0根B．1根C．2根D．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B变式6-3．（2024·济南市期末）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短【答案】A【提示】依据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形态，所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．故答案选A.【名师点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．变式6-4．（2024·深圳市期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的依据是( )A．两点之间的线段最短B．长方形的四个角都是直角C．三角形有稳定性D．长方形是轴对称图形【答案】C【详解】用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的依据是三角形具有稳定性．故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．变式6-5．（2024·抚顺市期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等D．三角形具有稳定性【答案】D【提示】依据三角形的稳定性解答即可．【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：D．【名师点拨】此题考查三角形的性质，关键是依据三角形的稳定性解答．。
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。
其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。
文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。
此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。
最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。
例题部分也包括了两个问题的解答。
1、正确画出AC边上的高的是（C）。
2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。
3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。
4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。
5、在图中，由于AB=CD。
AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。
6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。
7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。
8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。
9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。
10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。
三角形(知识点+题型分类练习+基础检测+能力提高)
三角形章节复习全章知识点梳理：一、三角形基本概念1. 三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
2.3. 三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b解题方法：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。
②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。
④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。
二、三角形的高、中线与角平分线1. 三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。
三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。
2. 三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。
要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。
三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。
初中数学知识点归纳精品教学-三角形初步认识知识点及练习题
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6.如图，将等边三角形 ABC 剪去一个角后，则∠1+∠2 的大小为（ A.120° B.180° C.200°
） D.240°
7.如图，一块三角形绿化园地，三个角都做有半径为 2R 的圆形喷水池，则这三个喷水池占去的绿化园 地（即阴影部分）的面积为（ A. 2R
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21.如图,∠A=65 ， ∠B=75 ， 将纸片的一角折叠， 使点 C 落在△ABC 外， 若∠2=20 则∠1 的度数为
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度.
22.如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 的内部，若∠A=400，则∠1+∠2= 23.如图，在△ABC 中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=148°，则∠EDF=__________. 24.在△ABC 中， ∠B 内角平分线和∠C 外角平分线交于一点 A1， ∠A1BC 与∠A1CD 的平分线交于 A2， 继续作∠A2BC 与∠A2CD 的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A=64°时，∠A2014 的度数为
15.一条线段的长为 a， 若要使 3a-l， 4a+1， 12-a 这三条线段组成一个三角形， 则 a 的取值范围_________ 16.如图,△ABC 中,DE⊥BC 于 E,AF⊥BC 于 F,已知△BCD 与△ABC 的面积之比为 1:3,DE=3cm,则 AF= .
17.如图所示,若∠A=30°,∠B=45°,∠C=44°,则∠DFE 等于 18.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=900,∠A=540,将其折叠,使点 A 落在边 CB 上 A/处,折痕为 CD,则∠A/DB= 19.多边形的每一个内角都等于 1500，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条 20.若一个 n 边形 n 个内角与某一个外角的总和为 13500，则 n 等于
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②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，
解：根据图象可知△ACD和△ADE全等，
理由是：∵根据图形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，
∴△ACD≌△AED，
即△ACD和△ADE全等，
4.如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．
（1）求证：△ADE≌△ABF．
（2）求△AEF的面积．
分析：（1）由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE=BF，进而证明出两三角形全等
则BD⊥CE，
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，
3.附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？
分析：根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可．
A.120° B.130° C.115° D110°
3.如图，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离是_____
4.如图，已知⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15，则⊿DEB的周长为_______
5.如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5cm，则P到AC边的距离是______cm。
(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；
(5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等；
(6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等
1.如图，已知D是AC上一点，
AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE.
求证：BC＝AE.
2.已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．求证：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；
性质
全等三角形的对应角平分线________
全等三角形的判定
总结
判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等
常见
结论
(1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
(2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；
(3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；
知识重点透视三
线段垂直平分线的性质
性质
线段垂直平分线上的点到线段两端点的______相等
判定
到线段两端点的距离相等的点在这条线段的______________上
1. .如图，已知DE⊥BC于E，BE=CE，
AB+AC=15，则⊿ABD的周长（）
A.15 B.20 C.25 D.30
2.如图，△ABC中，∠C=90°，AB的
三角形的初步认识
知识重点透视一
在三角形中，任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边。
1.在三角形ABC中，AB=8，AC=7，则BC边长的取值范围为______________.
2.在一个三角形中，在边长分别为：5，2m-1, 7则m的取值范围为_____________.
3.在三角形ABC中，AB=6，AC=12，AD是BC边上的中线，则AD的长的取范围是_______________.
角平分线的性质
性质
角平分线上的点到角两边的______相等
判定
角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的______上
.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）
A、SSS B、ASA C、AAS
D、角平分线上的点到角两边距离相等
2.如图所示，D是⊿ABC的角平分线BD和CD的交点，若∠A=50°，则∠D=（）
4.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）
A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm
C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm
5.用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
知识重点透视二
且AB=AD=4，DE=BF=0.5×4=2，CE=CF=0.5×4=2，
∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF
=4×4﹣0.5×4×2﹣0.5×4×2﹣0.5×2×2=6．
中垂线DE交AB于E，交BC于D，
若AB=10，AC=6，
则△ACD的周长为（）
A、16 B、14 C、20 D、18
知识重点透视四
全等三角形的性质和判定
性质
全等三角形的对应边________
性质
全等三角形的对应角________
性质
全等三角形的对应边上的高________
性质
全等三角形的对应边上的中线________
（2）首先求出DE和CE的长度，再根据S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF得出结果．
证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，
∵E、F为DC、BC中点，
∴DE=BF，
∵在△ADE和△ABF中
∴△ADE≌△ABF（SAS）
（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，
证明：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，
②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，