导数大题中不等式地证明题
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导数大题中不等式的证明
1.使用前面结论求证（主要）
2.使用常用的不等关系证明，有三种：()ln 1x x +<，sin ,x x x <-。 1、设函数()e x f x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!! n n x x x g x x n =++ +++L （*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥； （2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由； （3）证明：()123222211e 2341n n g n ????????+++++< ? ? ? ? +???????? ≤L （* n ∈N ）． 2、已知函数2901x f x a ax = >+()() ． （1）求f x ()在1 2 2[,]上的最大值； （2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值； （3）当2a =时，设1214122x x x ,?? ∈???? …,,, ，且121414x x x =…+++ ， 若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值． 文档 3、已知,ln 2)(),0()(bx x x g a x a x x f +=>- =且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切． （1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a=1时，求最大的正整数 k ，使得对Λ71828.2](3,[=e e 是自然对数的底数）内的任意 k 个实数k x x x x ,,,,321Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤++-Λ成立； （3）求证：)12ln(1 4412 +>-∑ =n i i n i )(* ∈N n 4、已知函数)1ln()(2 x ax x f +-= （1）当5 4 = a 时，求函数)(x f 在),0(+∞上的极值； （2）证明：当0>x 时，x x <+)1ln(2 ； （3）证明：e n <+++)11()311)(211(4 44Λ 为自然对数的底数）e n N n ,2,(≥∈* . 文档 5、在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L :2 14 y x = .实数p ,q 满足240p q -≥，x 1,x 2是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ?=。 （1）过点2 0001(,)(0)4 A p p p ≠(p 0≠ 0)作L 的切线交y 轴于点 B 。证明：对线段AB 上任一点Q (p ，q )有0 (,)2 p p q ?= ； （2）设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2 -4b >0,a ≠0。过M (a ，b )作L 的两条切线12,l l ，切点分别为 22112211 (, ),(,)44 E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与,' F F ，线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：M (a ,b ) ∈X ?12P P >?(,)a b ?1 2 p = ； （3）设D ={ (x ,y )|y ≤x -1,y ≥14(x +1)2-54 }，当点(p ,q )取遍D 时，求(,)p q ?的最小值 （记为min ?）和最大值（记为max ?）. 6.设a ＜1，集合 （1）求集合D （用区间表示） （2）求函数在D 内的极值点。 文档 7、设函数2 ()(1)()x f x x e kx k R =--∈ （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当1(,1]2 k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M 8、 设函数()f x = ，其中2k <-， （1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论函数()f x 在D 上的单调性； （3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）。 文档 9、已知二次函数() 21f x x ax m =+++，关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的 解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1 f x g x x = -. （1）求a 的值； （2）k k (∈R )如何取值时，函数()x ?()g x =-()1k x ln -存在极值点，并求出极值点； （3）若1m =，且x 0>，求证：()() 1122n n n g x g x n (??+-+≥-∈?? N *). 10、已知函数()()221e x f x x x =-+（其中e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域 同区间”．试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由． 文档 11、设n a 是函数()3 2 1f x x n x =+-( )* n ∈N 的零点． （1）证明：01n a <<； （2）证明：1 n n <+1232n a a a +++ 12、已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()() 1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0k f x x + <恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N * ，且2n ≥时，2211132 2ln 23ln 3ln 22n n n n n n --+++>+L . 文档 13、已知函数()()2 ln 12 a f x x x x =++ -()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围； （2）已知e 为自然对数的底数，证明：?n ∈N * 22212111n n n n ?????? <++???+ ??? ??????? e <. 14、设函数)(ln )(a x e x f x -=，e 是自然对数的底数，Λ718.2≈e ，R a ∈为常数． ⑴若)(x f y =在1=x 处的切线 l 的斜率为e 2，求a 的值； ⑵在⑴的条件下，证明切线 l 与曲线)(x f y =在区间)2 1 , 0(至少有1个公共点； ⑶若]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间，求a 的取值范围． 文档 15、已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈,（e ≈2.718）． （1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值； （2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围； （3）证明：2 1 1 sin ln 2(1)n k k =<+∑． 16、设函数2 ()ln ||f x x x ax =-+。 （1）求函数f （x ）的导函数'()f x ； （2）若12,x x 为函数f （x ）的两个极值点，且121 2 x x +=- ，试求函数f （x ）的单调递增区间； （3）设函数f （x ）的点C （00,()x f x ）（0x 为非零常数）处的切线为l ，若函数f （x ）图象上的点都不在直线l 的上方，求0x 的取值范围。 文档 17、已知函数2 1()ln ,()2 f x x g x ax bx == -，设()()()h x f x g x =-。 （1）若g （2）＝2，讨论函数h （x ）的单调性； （2）若函数g （x ）是关于x 的一次函数，且函数h （x ）有两个不同的零点12,x x 。 ①求b 的取值范围；②求证：212x x e > 18、()1当1m =时，求过点()0,1P -且与曲线()()2 1y g x x =--相切的切线方程； ()2求函数()y g x =的单调递增区间； ()3若函数()y g x =有两个极值点a ，b ，且a b <，记[]x 表示不大于x 的最大整数，试比较()()sin g a g b ???? ???? 与()()() cos g a g b ????????的大小． 文档 19、已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ． （1）求)(x f 的解析式和值域； （2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数； ②若当1 1k +是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中1,2,,k n =L ． 证明：1276 n a a a +++ N ∈n ）． 20、设函数()1x f x x = +，()()ln 1g x x =+． ()1求函数()()()1x f x g x H =-的最大值； ()2记()()2x g x bx H =-，是否存在实数b ，使()20x H <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由； ()3证明：2 11 1ln 1 2n k k n k =-<-≤+∑（1n =，2，???）． 文档 21、已知函数()() ln x a f x x -=. (Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数； (Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值； (Ⅲ) 若0x >,证明:()ln 1e 1 x x x x +>-(其中e 2.71828=???是自然对数的底数). 22、已知函数2 ()()ln()x f x a R x a ax = ∈+- （1）当a=0时，求函数()f x 的单调区间； （2）当a=1时，设2 ()() x h x f x =， （i ）若对任意的[)+∞∈,0x ，2 ()h x kx ≥成立，求实数k 的取值范围； （ii ）对任意121x x >>-,证明：不等式121211122 ()()2 x x x x h x h x x x -++<-+-恒成立. 文档 23、设常数a ＞0，R ∈λ，函数32)()()(a x a x x x f +--=λ. （1） 若函数)(x f 恰有两个零点，求λ的值； （2） 若)(λg 是函数)(x f 的极大值，求)(λg 的取值范围. 24、已知函数()ln f x a x =- 11 x x -+，()e x g x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围； （2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点( ),e b P b ，(),e b Q b --，过点P ，Q 作图象C 的切 线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >． 文档 25、已知0a >，函数)(x f ＝ 2x a x a -+． （1）记)(x f 在区间[]40， 上的最大值为)(a g ，求)(a g 的表达式； （2）是否存在a ，使函数)(x f y =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？ 若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 26 、已知函数()1,()f x a R =∈ （1）当1a =时，解不等式()1f x x <-； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间； （3）若在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方，求a 的取值范围． 文档 27、设函数()ln ,f x x = ()()()()212.g x a x f x =--- （1）当1a =时，求函数()g x 的单调区间； （2）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为C ()00,x y ，直 线AB 的斜率为k . 证明：()0k f x '>； （3）设()()()01 b F x f x b x =+ >+，对任意(]1212,0,2,x x x x ∈≠，都有 ()() 1212 1F x F x x x -<--，求实数b 的取值范围. 28、已知函数x b ax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1 ()(=+x f x f ， 其中b a ,为常数． （1）若)(x f 的图像在1=x 处切线过点)5,0(-，求a 的值； （2）已知10< (2 >a f ； （3）当)(x f 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围． 文档 29、已知函数b a bx ax x f ,(,1)(2 ++=为实数，),0R x a ∈≠． （1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，求)(x f ； （2）设0 ,0 ,)()()(<>???-=x x x f x f x F ，0,0,0>>+ 证明：0)()(>+n F m F ； （3）设)(,1 ln )(x g e x x g x +=的导函数是),(x g '当1==b a 时，证明：对任意实数0>x ，21)(]1)([-+<'-e x g x f ． 30、已知函数x x m mx x f 2 ln )2()(- +-=（R m ∈），x x x g )1ln()(+=. （1）讨论)(x f 的单调区间； （2）是否存在0 文档 31、已知函数d cx bx x x f +++= 23 3 1)(， 设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'． （1）求()f x ； （2 ）设()g x =，0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值； （3）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围． 32、已知函数x x ax x g 223 1)(23 -+= ，函数)(x f 是函数)(x g 的导函数. (1) 若1=a ，求)(x g 的单调减区间； (2) 若对任意R x x ∈21,且21x x ≠，都有2 ) ()()2( 2121x f x f x x f +< +，求实数a 的取值范围； (3) 在第（2）问求出的实数a 的范围内，若存在一个与a 有关的负数M ，使得对任意]0,[M x ∈时 4)(≤x f 恒成立，求M 的最小值及相应的a 的值. 文档 33、已知函数(),x f x e kx x R =-∈． （1）若k e =，试确定函数()f x 的单调区间； （2）若0k >，且对于任意x R ∈，(||)0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1 *2 (1)(2)()(2)()n n F F F n e n N +???>+∈． 34、已知2 1()ln(1),()(,)2 f x x g x ax bx a b R =+= +∈． (1) 若2()(1)()b h x f x g x ==--且存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2) 若0,1a b ==,求证：当(1,)x ∈-+∞时，()()0f x g x -≤恒成立； (3) 设0,0x y >>，证明：ln ln ()ln 2 x y x x y y x y ++>+。 35、已知函数2 ()ln .f x x x = (1) 求函数()f x 的单调区间； (2) 证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =； (3) 设（2）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明：当2 t e >时，有2ln ()15ln 2 g t t <<。 函数与导数解答题之数列型不等式证明 例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈ (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明:*1111ln(1)()23n n N n + +++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ???<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln 112,23452n n n n n N n n +????? 例3．已知函数()x f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数， 2.71828e =…）. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥； （2）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ??????+ +???+< ??? ???????. 例4.设函数()ln 1f x x px （1）求函数()f x 的极值点； （2）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围； （3）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n 例5.已知函数()ln 1f x x x =-+? (1)求()f x 的最大值; (2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ??????+++<∈ ? ? ?-???? ?? 1.函数2ln 2)(x x x f -=，求函数)(x f y =在]2,2 [上的最大值 2.. 已知f(x)=e x -ax- （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围； （3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 3. 已知函数f(x)=x 2e -ax (a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值. 4.已知x ＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x 的一个极值点． (1)求a 的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y ＝b 与函数y ＝f(x)的图象有3个交点，求b 的取值范围． 5. (2010年全国)已知函数 f(x)＝x3－3ax2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求 f(x)的单调区间； (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围． 不等式的证明： 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式 ()()f x g x >（()()f x g x <） 的问题转化为证明 ()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小 值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。 一、利用题目所给函数证明 【例1】 已知函数 x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 【绿色通道】1 111)(+- =-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(m a x ==f x f ，因此，当1->x 时， 0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证） ， 现证左令11 1 )1ln()(-+++=x x x g ， 2 2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1 )1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1 ,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、直接作差构造函数证明 【例2】已知函数 .ln 2 1)(2 x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数3 3 2)(x x g = 的图象的下方； 【绿色通道】设)()() (x f x g x F -=，即x x x x F ln 2 132)(2 3--= ， 利用导数证明不等式的两种通法 吉林省长春市东北师范大学附属实验学校 金钟植 岳海学 利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问 题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最 大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例1 已知(0, )2 x π ∈，求证：sin tan x x x << 分析：欲证sin tan x x x <<，只需证函数()sin f x x x =-和()tan g x x x =-在(0,)2 π 上 单调递减即可。 证明： 令()sin f x x x =- ，其中(0,)2 x π ∈ 则/ ()cos 1f x x =-，而(0,)cos 1cos 102 x x x π ∈? 导数大题中不等式的证明 1.使用前面结论求证（主要） 2.使用常用的不等关系证明，有三种：()ln 1x x +<，sin ,x x 恒成立，求实数λ的最小值． 3、已知,ln 2)(),0()(bx x x g a x a x x f +=>- =且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切． （1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a=1时，求最大的正整数 k ，使得对Λ71828.2](3,[=e e 是自然对数的底数）内的任意 k 个实数k x x x x ,,,,321Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤++-Λ成立； （3）求证：)12ln(1 4412 +>-∑ =n i i n i )(* ∈N n 导数与不等式的证明 1.【2013湖南文科】已知函数f （x ）= x e x 2 1x 1+-. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0. 【解析】 (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('2 22 222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--?=+?--+?-+-=（（（ ; )(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴0时f(x) < f(-x)即可。 ]1)1[(11111)()(22 22x e x x e e x x e x x x f x f x x x x ---+=++-+-=----。 1)21()('0,1)1()(22--=?>---=x x e x x g x x e x x g 令。 ,04)21()('1)21()(222<-=-=?--=x x x xe e x x h e x x h 令 0)0()(0)(=0, 存在唯一的s , 使. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为, 证明: 当时, 有. (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0 ，得x = 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 2 l ()n f x x x =()t f s =()s g t =2>e t 2ln ()15ln 2 g t t << 用导数证明和式不等式-典型 （1）若护（工）=『J 上再減睛It求宾畫以杓取恒范 寵 (町证明车等式t 2n 1 L 1 I lii J J 1H^ In 4 hi(” +1) n , 1 1 1 < —+ l + - + —— 2 2 3 n 解析： :郭问圖利斛出 来看第二问? 1. 读者朋友们一起来思考这样一个命题逻辑：第二问单独出一道证明题行不行？ 当然行? 2. 为什么不那样出呢？ 因为那样出的话，难度太大. 3. 为什么出在本题的第二问的位置？ 因为这样命题使得学生解题相对容易一些. 4. 为什么会容易一些呢？ 因为题干和第一问，为我们顺利解决第二问提供帮助.这些内容可作为梯子，为我们搭桥、铺路. 5. 从第1问能得到什么结论呢？ '"|加 < 数特（打=—■—luz 在［人炖）上対城函 6. 这个结论对解决第 2问有什么帮助呢？ 第2问是证明不等式，我们希望能够通过第 1问得到不等式? 通过函数的单调性，我们可以得到什么样的不等式呢？ di 沿-1） 小如取= 2,则鸭（.工）= -- - Inx 凶为卩（工）在仏是内诚函数， 所以貯（1）=山 即——-hi^ 导数与不等式证明 作差证明不等式 1. （优质试题湖南，最值、作差构造函数） 已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若，求证：≤≤x ． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－1，+∞),， 由 得：，∴x ＞0,∴f (x )的单调递减区间 为(0，+∞). (2)证明：由(1)得x ∈(－1，0)时，， 当x ∈(0，+∞)时，，且 ∴x ＞－1时，f (x )≤f (0)，∴≤0，≤x 令 ，则 ， ∴－1＜x ＜0时，，x ＞0时，，且 ∴x ＞－1时，g (x )≥g (0)，即≥0 ∴≥ ，∴x ＞－1时， ≤≤x ． 2. （优质试题湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数 ，x x x f -+=)1ln()()(x f 1->x 11 1+-x )1ln(+x 1 111)(+-=-+= 'x x x x f 0)(<'x f ????? -><+- 1 01x x x 0)(>'x f 0)(<'x f (0)0f '=x x -+)1ln()1ln(+x 111 )1ln()(-++ +=x x x g 2 2)1()1(111)(+=+-+= 'x x x x x g 0)(<'x g 0)(>'x g 0)0(='g 11 1 )1ln(-+++x x ) 1ln(+x 1 11+- x 1 11+- x )1ln(+x 2 1()22 f x x ax = + ，其中．设两曲线，有公 共点，且在该点处的切线相同． ⑴用表示，并求的最大值； ⑵求证：当时，． 解：⑴设与在公共点处的切线相 同． ，，由题意，． 即由得：，或（舍 去）． 即有． 令，则．于是 当，即时，； 当，即 时，． 故在为增函数，在为减函数， 于是在的最大值为． ⑵设， 则． 2()3ln g x a x b =+0a >()y f x =()y g x =a b b 0x >()()f x g x ≥()y f x =()(0)y g x x =>0 ()x y ，()2f x x a '=+∵23()a g x x '=0 ()()f x g x =0 ()()f x g x ''=2 2000200123ln 2 32x ax a x b a x a x ?+=+????+=?? ，， 20032a x a x +=0 x a =03x a =-2222215 23ln 3ln 22 b a a a a a a a = +-=-2 25()3ln (0)2 h t t t t t =->()2(13ln )h t t t '=-(13ln )0t t ->13 0t e <<()0h t '>(13ln )0t t -<1 3 t e >()0h t '<()h t 1 3(0)e ，1 3()e ∞,+()h t (0)+， ∞123 33()2 h e e =2 21()()()23ln (0)2 F x f x g x x ax a x b x =-= +-->()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=> 二轮专题 （十一） 导数与不等式证明 【学习目标】 1. 会利用导数证明不等式. 2. 掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查：应知应会 1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意∈x [b a ,]都有)()(x g x f ≤，可设)()()(x g x f x h -=，只要利用导数说明)(x h 在[b a ,]上的最小值为0即可． 二级排查：知识积累 利用导数证明不等式，解题技巧总结如下： （1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式. （2）多用分析法思考. （3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. （4）常用方法还有隔离函数法，max min )()(x g x f ≥，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题. （5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来. 三极排查：易错易混 用导数证明数列时注意定义域. 【课堂探究】 一、作差（商）法 例1、证明下列不等式： ①1+≥x e x ②1ln -≤x x ③x x 1-1ln ≥ ④1x 1)-2(x ln +≥ x )1(≥x ⑤)2 ,0(,2sin ππ∈>x x x 二、利用max min )()(x g x f ≥证明不等式 例2、已知函数.2 2)(),,(,ln )1(1)(e x e x g R b a x a b x ax x f +-=∈+-+-= （1）若函数2)(=x x f 在处取得极小值0，求b a ,的值； （2）在（1）的条件下，求证：对任意的],[,221e e x x ∈，总有)()(21x g x f >. “导数证明不等式问题”练习题答案 1.设L 为曲线C:ln x y x =在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. 解: (I)设ln ()x f x x =,则21ln ()x f x x -'=.所以(1)1f '=.所以L 的方程为1y x =-. (II)令()1()g x x f x =--,则除切点之外,曲线C 在直线l 的下方等价于()0 g x >(0,1)x x >≠. ()g x 满足(1)0g =,且221ln ()1()x x g x f x x -+''=-=. 当01x <<时,210x -<,ln 0x <,所以()0g x '<,故()g x 单调递减; 当1x >时,210x ->,ln 0x >,所以()0g x '>,故()g x 单调递增. 所以,()(1)0g x g >=(0,1x x >≠). 所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方. 又解:()0g x >即ln 10x x x -->变形为2ln 0x x x -->,记2()ln h x x x x =--,则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x --+-'=--==, 所以当01x <<时,()0h x '<,()h x 在(0,1)上单调递减; 当1x >时,()0h x '>,()h x 在(1,+∞)上单调递增. 所以()(1)0h x h >=.) 2.Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； (Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域． 解⑴证明：()2e 2 x x f x x -=+ ()()()22224e e 222x x x x f x x x x ??-' ?=+= ?+++?? ∵当x ∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时， ()2e 0=12x x f x ->-+， ∴()2e 20x x x -++> ⑵ ()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'= () 4e 2e 2x x x x ax a x -++= ()322e 2x x x a x x -??+?+ ?+??= [)01a ∈， 由(1)知，当0x >时，()2e 2x x f x x -= ?+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得2e 2 t t a t -?=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增 ()()()222e 1e e 1e 22 t t t t t t a t t h a t t t -++?-++===+ 记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()() 2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ??=∈ ??? ，． 3.设函数． x x 2f (x)x 2 -=+e 0x >(2)20x x e x -++>[0,1)a ∈2x =(0)x e ax a g x x -->（）()g x ()h a ()h a ()1x f x e -=- 导数中的不等式证明问题 一、常见基本题型： （1） 结合问题之间的联系，利用函数的单调性证明； （2） 构造新的函数，求导，结合函数的单调性去证。 例1：已知函数()ln f x x =，21()22g x x x = -． （1）设/()(1)()h x f x g x =+-（其中/()g x 是()g x 的导函数），求()h x 的最大值； （2）证明: 当0b a <<时，求证：()(2)2b a f a b f a a -+-< ； 解:（1）/()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+,1x >- 所以 1()111 x h x x x -'=-=++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<． 因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． 因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =； （2）当0b a <<时，102b a a --< <． 由（1）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<． 因此，有()(2)ln ln 1222a b b a b a f a b f a a a a +--??+-==+< ??? ． 例2：已知221()ln ,02 f x x a x a =->. （I ）求函数f （x ）的最小值； （II ）（i ）设0t a <<，证明：()()f a t f a t +<-； （ii ）若12()()f x f x =，且12,x x ≠证明：122.x x a +> 解：（Ⅰ）f '(x )＝x －a 2x ＝(x ＋a )(x －a )x ． 当x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增． 当x ＝a 时，f (x )取得极小值也是最小值f (a )＝ 1 2a 2－a 2ln a ． （Ⅱ）（ⅰ）设g (t )＝f (a ＋t )－f (a －t )，则 当0＜t ＜a 时， 一题多解专题三：利用导数证明不等式问题 1.构造函数证明不等式的方法 (1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如 f(a)>f(b)的形式. (2)对形如f(x)>g(x),构造函数F(x)= f(x)-g(x). (3)对于(或可化为)A x x f ≥),(21的不等式,可选1x (或2x )为主元,构造函数),(2x x f (或 ),(1x x f ). 2.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x). (3)对h(x)求导. (4)利用)(x h '判断h(x)的单调性或最值. (5)结论. 例：设b a R b a b ax x x x f ,,,(1)1ln()(∈++++ +=为常数），曲线)(x f y =与直线 x y 2 3 = 在(0，0)点相切. (1)求b a ,的值. (2)证明：当20< 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 技巧精髓 1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点 也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得 不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明 例1】已知函数f (x) =ln(x ? 1) -X ,求证：当x ? -1时，恒有 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 1 g(x) = ln(x ? 1)1,从其导数入手即可证明。 x十1 1 x 绿色通道】f(X) 1 = x+1 x+1 ???当T：：：x”：0时，f(x)?0,即f (x)在x?(T,0)上为增函数 当x 0时，f (x) ：：：0,即f (x)在x ? (0/::)上为减函数 故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)，单调递减区间(0, 于是函数f (x)在(-1「：)上的最大值为f (x),因此，当X ? -1时， f (x) _ f (0) =0 ,即ln(x 1) -x _0 ???In(x 1) _ x (右面得证)， 1 1 1 现证左面，令g(x)二ln(x 1) 1, 则g (xp x+1 x+1 (x + 1) x 2 (x 1) 当x (-1,0)时,g(x) ：：0;当x (0,：：)时,g (x) 0 ,即g(x)在(-1,0)上为减函数，在X- (0, V)上为增函数， 故函数g(x)在(-1, ?：：)上的最小值为g(x)min二g(0) =0 , . 1 ???当x -1 时,g(x) - g(0) =0 ,即ln(x 1) 导数与函数不等式 考点1不等式的证明 考法1比较法 考向1求商比较法 1.（2014·福建卷·理科）已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-. （Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的极值； （Ⅱ）证明：当0x >时，x e x < 2. 解析：（Ⅰ）()x f x e a '=-，(0)11f a '=-=-，2a =.()2x f x e x =-，()2x f x e '=-，令()0f x '=，ln 2x =，极小值为(ln 2)22ln 2f =-，无极大值. （Ⅱ）2 x x e <，等价于21x x e <，令2()x x g x e =，22()x x x g x e -+'=，220x x -+=，0x =或2x =，当0x >时，24 ()(2)1g x g e ≤= <，所以，x e x <2. 2.（2018·全国卷Ⅱ·理科）已知函数2()x f x e ax =-. （Ⅰ）若1a =，证明：当0x ≥时；()1f x ≥； 解析：当1a =时，()1f x ≥等价于2 1x e x -≥，2110x x e +-≤．设函数21 ()1x x g x e +=-， 则222(1)(21) ()x x x x x x g x e e -+--+'==．当1x ≠时，()g x '0<，所以()g x 在(0,) +∞单调递减．而(0)0g =，当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． 考向2 求差比较法： 1.（2013·北京卷·理科）设l 为曲线C ：ln x y x =在点(1,0)处的切线. （Ⅰ）求l 的方程； （Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方. 解析：（Ⅰ）1y x =-. 导 数 的 应 用 --------利用导数证明不等式 教学目标：1、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式 2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力； 教学重点：利用导数证明不等式 教学难点：利用导数证明不等式 教学过程： 一、复习回顾 1、利用导数判断函数的单调性； 2、利用导数求函数的极值、最值； 二、新课引入 引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性, 出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解. 因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题． 下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用． 三、新知探究 1、利用导数得出函数单调性来证明不等式 例1：当x>0时,求证：x 2x 2 -＜ln(1+x) . 证明：设f(x)= x 2x 2-－ln(1+x) (x>0), 则f '(x)=2x 1x -+． ∵x>0,∴f '(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减， 所以x>0时,f(x) 文档 导数大题中不等式的证明 1.使用前面结论求证（主要） 2.使用常用的不等关系证明，有三种：()ln 1x x +<，sin ,x x 文档 3、已知,ln 2)(),0()(bx x x g a x a x x f +=>- =且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切． （1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a=1时，求最大的正整数 k ，使得对Λ71828.2](3,[=e e 是自然对数的底数）内的任意 k 个实数k x x x x ,,,,321Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤++-Λ成立； （3）求证：)12ln(1 4412 +>-∑ =n i i n i )(* ∈N n 4、已知函数)1ln()(2 x ax x f +-= （1）当5 4 = a 时，求函数)(x f 在),0(+∞上的极值； （2）证明：当0>x 时，x x <+)1ln(2 ； （3）证明：e n <+++)11()311)(211(4 44Λ 为自然对数的底数）e n N n ,2,(≥∈* . 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 技巧精髓 1、 利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点， 也是近几年高考的热点。 2、 解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得 不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明 【例1】 已知函数f(x) ln(x 1) x ，求证：当x 1时，恒有 1 1 In (x 1) x x 1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 g(x) 1 ln(x 1) 1,从其导数入手即可证明。 x 1 【绿色通道】 1 f (x) 1 x x 1 x 1 ???当 1 x 0 时，f (x) 0 ,即 f (x)在 x (1,0)上为增函数 当x 0 时，f (x) , 即 f (x)在 x (0, )上为减函数 故函数f (x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间(0, ) 图象的下方; 于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x) max f(0) 0，因此，当x 1 时，f (x) f (0) 0， 即 ln(x 1) x 0 ???ln(x 1) x (右面得证)， 现证左面，令g(x) In(x 1) 1 门1 ，则g (x) 1 (x 1)2 x (x 1)2 当 x ( 1,0)时,g (x) 0;当x (0, )时,g (x) 0 , 即g(x)在x ( 1,0)上为减函数，在 x (0, )上为增函数, 故函数 g(x)在(1,)上的最小值为 g (x) min g(0) 0 , 【警示启迪 1 )十1 1 1 1) 1 ，综上可知，当x 1时，有 1 ln (x 1) x 1 x 1 】如果f (a)是函数f(x)在区间上的最大(小)值，则有 f(x) x 1 时，g(x) g(0) 0 , 即 ln(x f (a)(或 f (x) f (a)), 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过 2、直接作差构造函数证明 1 2 【例2】已知函数f (x) x ln x.求证：在区间 2 0就可得证. (1, )上，函数f (x)的图象在函数g(x) - x 3的 3 训练目标 (1)利用导数处理与不等式有关的题型；(2)解题步骤的规范训练． 训练题型 (1)利用导数证明不等式；(2)利用导数解决不等式恒成立问题及存在性问题； (3)利用导数证明与数列有关的不等式． 解题策略 (1)构造与所证不等式相关的函数；(2)利用导数求出函数的单调性或者最值再 证明不等式；(3)处理恒成立问题注意参变量分离. 1.已知函数f (x )＝x 2 －ax －a ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求证：f (x )≥－x 33＋5x 2 2－4x ＋11 6. 2．(2016·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2 －ax ，g (x )＝ln x ，h (x )＝f (x )＋g (x )． (1)若函数y ＝h (x )的单调减区间是? ?? ??12，1，求实数a 的值； (2)若f (x )≥g (x )对于定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围． 3．(2016·山西四校联考)已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1. (1)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：在(1)的条件下，当x >1时，12x 2＋ax －a >x ln x ＋1 2成立． 4.已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1 x ＋2ax . (1)当a <0时，讨论f (x )的单调性； (2)若对任意的a ∈(－3，－2)，x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围． 5．(2017·福州质检)设函数f (x )＝e x －ax －1. (1)当a >0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0； (2)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2 n ＋1 ＋3 n ＋1 ＋…＋n n ＋1 <(n ＋1) n ＋1 . 导数中的不等式证明 【考点点睛】 放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。 命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法 命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 【考点突破】 命题角度1 构造函数 【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数()ln 1 1,()x x ae f x g x bx x e x =- =+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直． （1）求,a b 的值； （2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x +≥ ． 【解析】（1）1a b ==-； （2）1()x e g x x e x =- ++，()2ln 1 ()10x x e f x g x x x x e x +≥?---+≥， 令()()()2 ()1h x f x g x x x =+-≥，则 ()ln 1 1x x e h x x x e x =---+， ()2221ln 1ln 11x x x e x e h x x e x x e -'=- +++=++， 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ? 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 趣题引入 已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0， 证明:2ln )()2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析:主要考查利用导数证明不等式的能力。 证明:1ln )(+='x x g ，设)2 ( 2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2 ln ln )2()(21)2( 2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ， 即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数 ∴0)()(min ==a F x F ,又a b > ∴0)()(=>a F b F , 即0)2 ( 2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2(2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2 ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时,0)('导数之数列型不等式证明
导数不等式证明
利用导数证明不等式的两种通法
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